Rhéologie des matériaux - Mines ParisTechmms2.ensmp.fr/mms_paris/2015/transparents/cours_visco.pdf · 2014. 1. 14. · Relaxation des contraintes input: ε(t)=ε o h(t) Module de

Rhéologie des matériaux

Hypothèses des petites pertubations (HPP)

Comportement élastique,

la loi de Hooke :

Essai de traction

exp

S0

l0 σ ≈FS0

εv ≈1+εing

HPP : Hypothèse de Petites Pertubations

εσ ,

εσ ,

S

εing =l − l0l0

l

εv =dlll0

l

∫ = ln ll0

"

#$

%

&'

σ =FS

σ =σ 0 00 0 00 0 0

!

"

###

$

%

&&& ε

t

ε

σ

ε

t

Welas = énergie restituée

W = σ dε∫

σ = Eε E

Plasticité Parfaite indépendance du temps

ε = ε e +ε p

ε

t

ε p ε e

WelasWdissipée

Introduction

Many structural components undergoing “small” deformationsare reasonably-well described by the stress-strain relation oflinear elasticity

σ(t) = Eε(t), ε(t) = Jσ(t), Jdef= 1/E

where E is the Young’s modulus of elasticity, and J is the elasticcompliance. Although we have introduced time t as an argumentfor the strain ε, and the stress σ, the stress-strain relation for anelastic material is both time-independent and rate-independent.

In contrast, a linear viscous fluid obeys the constitutive equation

σ(t) = ηε̇(t)

where η is the viscosity (usually defined in shear, but here fornotational convenience, we define it tension), and for fluids thestress depends linearly on the strain rate.

MIT MECHE 2/55

  Le comportement de nombreux matériaux subissant des «  petites  » déformations sont raisonnablement bien décrits par une relation linéaire élastique entre les contraintes-déformations .

Où E est le module de Young, J est la complaisance élastique et t le temps. Cependant pour un matériau élastique, la déformation et la contrainte sont indépendants du temps, indépendants de la vitesse.  Par oppositon, le comportement liquide visqueux linéaire obéit à

la loi d’équation constitutive :

Où η est la viscosité (habituellement défini en cisaillement, mais ici on l’a définit en traction) et pour les fluides la contrainte est linéaire avec le taux de déformation..

 En réalité les équations constitutives pour la plupart des matériaux solides diffèrent du comportement élastique linéaire :

  Lorsque le matériau a un comportement à la fois élastique et visqueux : on parle alors de visco-élasticité

Exp silly putty

  Lorsqu’une structure élastique est déformée, la déformation de charge/décharge est instantannée et réversible. Lorsque la charge est retirée, on retrouve l’état initial instantanément et sans déformation permanente.  Exemples : metaux soumis à des petites déformations et

élastomères

  Les structures viscoélastiques ne permettent pas une telle réponse (excepté à très basse température)

Exp silly putty + silicone

Comportement Visco-élastique, (Réponse mécanique des Polymères)

•  Rappel du comportement mécanique d’un matériau élastique linéaire en traction uniaxiale.

output

εσ ,

input

σ

temps

)(1)( tE

t σε =

output

input

ε

temps

temps

εσ E=

)()( tEt εσ =εσ ,

Eσ

ε =

temps

  Lorsqu’une structure élastique est déformée, la déformation de charge/décharge est instantannée et réversible. Lorsque la charge est retirée, on retrouve l’état initial instantanément et sans déformation permanente.  Exemples : metaux soumis à des petites déformations et élastomères

Stress-relaxation and creep

(a) (b)

Figure: (a) Heaviside unit step function. (b) Dirac delta function

δ(t)def= ˙h(t)

MIT MECHE 5/55

Fonction d’Heaviside Fonction Dirac

Comportement viscoélastique linéaire

Comportement viscoélastique linéaire, la réponse est dependante du temps. Réponse visco-élastique linéaire :

ε•

(t) = 1ησ (t) ou

Entrée σ

temps

Entrée

ε

temps

Sortie

εtemps

ησ

Sortie

σ

σ (t) =ηε•

(t)

temps

Deux tests standards pour observer le comportement visco-élastique linéaire :

• Test de relaxation des contraintes

• Test de fluage

Test de Relaxation des contraintes

Application d’un déplacement uniaxiale

Observons l’évolution des contraintes en fonction du temps.

ε(t) = ε0h(t)

L

ε(t) = ε0h(t)

Stress-relaxation

ε(t) = ε0h(t) ε̇(t) = ε0 δ(t)

Elastic Viscous Viscoelastic

σ(t) = σ0 h(t), σ0 = Eε0 σ(t) = ηε0δ(t)

MIT MECHE 6/55

ε(t) = εoh(t)

Relaxation des contraintes

input: ε(t) = εoh(t) Module de relaxation :

rE

Er∞ = Ere

t

t

σ

ε

toutput: :)(tσ

Er (0+ ) = Erg

Définition :

Stress-relaxation function

Er(t)def=

σ(t)

ε0

The short-term value of this function is called its “glassy” value

Er(0+) ≡ Erg.

The long-term value of this function is called its “equilibrium”value,

Er(∞) ≡ Ere.

MIT MECHE 7/55

σ (0+ )

σ (∞)   La valeur au temps court de cette fonction est appelée la valeur ‘vitreuse’ :

  La valeur au temps long de cette fonction est appelée la valeur à ‘l’équilibre’ :

or

ttEεσ )()( =

Er(t) est une propriété du matériau

  Ne dépend pas du niveau de contraintes ou de déformations

Er (t) =σ1(t)ε1

=σ 2 (t)ε2

i.e. les deux tests (ε1) et (ε2) donne le même Er(t)

2ε

1ε

ε

1σ

2σσ

Test de fluage

  Application d’une charge constante avec le temps

P

P

P(t) = P⇒σ (t) = PS

σ (t) =σ 0h(t)

σ

t

input:

t

εoutput:

  Observons la déformation en fonction du temps

Creep compliance function

Jc(t)def=

ε(t)

σ0,

The short-term value of this function is called its “glassy” value

Jc(0+) ≡ Jcg

The long-term value of this function is called its “equilibrium”value,

Jc(∞) ≡ Jce

MIT MECHE 9/55

Complaisance de fluage:

Complaisance de fluage

  La valeur au temps court de cette fonction est appelée la valeur ‘vitreuse’ :

  La valeur au temps long de cette fonction est appelée la valeur à ‘l’équilibre’ :

La complaisance de fluage Jc(t) et le module de relaxation Er (t)

• Sont linéaires pour des petites déformations (ε < .02)

• Er (t) – independant du niveau de déformation

• Jc (t) – independant du niveau de contrainte

Viscoelastic behavior is said to be linear when thestress-relaxation function Er(t) is independent of the step straininput ε0, and when the creep function Jc(t) is independent of thestep stress input σ0.

Note that although

Jcg = 1/Erg and Jce ≡ 1/Ere,

in generalJc(t) "= 1/Er(t).

Knowledge of the material response functions Er(t) or Jc(t) issufficient to predict the output corresponding to any input withinthe linear range (typically when the total strain is less then∼ 0.01) by the Boltzmann superposition principle, which westudy next.

MIT MECHE 10/55

Notons :

Cependant en règle générale:

Même comportement pour le cisaillement

Relaxation des contraintes :

oR

ttGγ

σ )()( 12=Input

Output

)(tGR

12γ

t

t

t

12σ

oγ

Fluage

Entrée

Sortie t

t

t

12σ

12γ

cJ oc

ttJτ

γ )()( 12=

oτ

La compressibilité des matériaux (terme de pression) est moins viscoelastique ; i.e., faible dépendance en temps et température

K = Module de compressibilité

K K

gT T t

Maxwell Model Kelvin-Voigt Model

Deux simples modèles rhéologiques

Exp silly putty

ε = ε1 +ε 2

σ =σ 1 =σ 2

ε = ε1 = ε 2

σ =σ 1 +σ 21

2 1 2

Modèle standard linéaire

Ce modèle donne de bonnes descriptions physiques des deux modes de relaxations et de fluage.

AE BEB

C

A

η

Afin d’obtenir les relations entre les contraintes et les déformations, les théorèmes mécaniques à appliquer sont les suivants : I L’Equilibre II Les lois constitutives des comportements des matériaux III La compatibilité

I. Equilibre

CB

BA

σσ

σσσ

=

+=

(2) )1(

II. Equations constitutives

III. Compatibilité

CC

BBB

AAA

EE

εησ

εσ

εσ

=

=

=

(5) (4) )3(

CBA

CBA

εεεε

εεεε +==

+==

(7) (6)

Aσ Bσ

σCσ

Bσ

En combinant les équations, on obtient :

(7), (4), (5) → ε =σ B

EB

+σC

η

utilisant (1) ε =σ B

EB

+σ B

η

utilisant (2) ε =σEB

−σ A

EB

+ση−σ A

η

utilisant (3) ε =σEB

−EA

EB

εA +ση−EA

EB

εA

utilisant (6) ε =σEB

−EA

EB

ε +ση−EA

EB

ε

L’équation differentielle en contrainte et en déformation s’écrit tel que:

De (*), les expressions du module des relaxations et de la complaisance de fluage peuvent être obtenues.

ση

σεη

ε111 +=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

B

A

B

A

EE

EE

Relaxation des contraintes

)()()()(tttht

o

o

δεε

εε

=

=

fonction d’Heaviside

⎩⎨⎧

=∞

≠=

⎩⎨⎧

≥

≤=

0 , 0 , 0

)(

0 , 10 , 0

)(

tt

t

tt

th

δDirac

)(1)(1)()(1 ttE

thEtEE

Bo

Ao

B

A ση

σεη

δε +=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

)(∗

Entrée:

oBAB

Bo

A

EEEdtd

dtd

EE

εη

ση

σ

ση

σε

η

=+

+=11

Résolvons l’équation differentielle en σ:

Solution homogène

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

=+

tEA

Edtd

BH

B

ησ

ση

σ

exp

0

Solution particulière

oAp

oBA

pB

E

EEE

εσ

εη

ση

=

=

:0>t ⎩⎨⎧

=∞

≠=

⎩⎨⎧

≥

≤=

0 , 0 , 0

)(

0 , 10 , 0

)(

tt

t

tt

th

δ

)(1)(1)()(1 ttE

thEtEE

Bo

Ao

B

A ση

σεη

δε +=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

La condition initiale en t=0+ permet d’obtenir A ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−+= tEAE B

oA ηεσ exp

( )

oB

oBAoA

oBA

EAEEAE

EEt

ε

εεσ

εσ

=

+=+=

+== +

)(

,0

)(exp)( thtEEEt oB

BA εη

σ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−+=

Arre

BArrg

BBAr

EEEEEEE

tEEEtE

=∞=

+==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−+=

+

)(

)0(

exp)(η

Le temps relaxation : τr=η/EB

Module de Relaxation:

(temps court) (temps long, la réponse à l’équibre)

σ (t) = Ere + Er −Ere( )exp −tτ r

"#$

%&'

(

)*

+

,-εoh(t)

•

time

BArg EEE +=

)(tEr

Are EE =

0=t

Standard linear solid: stress-relaxation

Stress-relaxation function

Er(t) = Ere+(Erg−Ere) exp(−t

τR)

Erg = Er(0+) = E1 + E2,

Ere = Er(∞) = E1 .

With E1 = 0.5GPa, E2 = 2.5GPa,so that

Erg = 3GPa, and Ere = 0.5GPa,

and different values of relaxationtimes τR.

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t, seconds

E r, GPa

τR= 5s

τR= 10s

τR= 20s

τR= 40s

MIT MECHE 18/55

Avec EA=0,5 Gpa, EB=2,5 Gpa ; Erg=3 Gpa, Ere=0,5 Gpa et différentes valeurs de temps de relaxation τ r

Avec τr=η/EB

Obtenons la complasiance de fluage :

)( );()( ttht oo δσσσσ == Input:

( ) oBA

B

BA

BA

oA

B

A

ooB

A

B

A

EEE

EEEE

EEE

t

thtE

EEE

ση

εη

ε

ησ

εη

ε

ση

δσεη

ε

+=

++

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

)(

1

0

)(1)(11

Le temps de fluage caractéristique τc ≡ η(EA +EB )EAEB

ε + 1τ cε =

1EAτ c

σ o

Résolvons l’equation diff. eq.

ε =σ o

EA

+ cexp −tτ c

"#$

%&'

(

)*

+

,-

t = 0+, ε =σ o / EA +EB( )

ε(t) = 1EA

−1EA

−1

EA +EB

"#$

%&'exp −t / τ c{ }

(

)*

+

,-σ oh(t)

reAce

rgBAcg

EEJ

EEEJ

11

11

==

=+

=

Jc (t) = Jce − Jce − Jcg( )exp(−t / τ c )"# $%h(t)

Jc =1EA

−1EA

−1

EA +EB

"#$

%&'

exp − tτ c{ }

(

)*

+

,-

Jc (t) ≠1

Er (t)En générale, mais :

time

ceJ

cgJ

)(tJc

0=t

ε(t) = Jce − Jce − Jcg( )exp(−t / τ c )"# $%σ oh(t)

Standard linear solid: creep

Constitutive model

σ = E1ε + E2(ε − εv)

ε̇v =1

τR(ε − εv)

σ = σ0 ≡ constant

dε

dt= −

E1

(E1 + E2)

1

τRε +

σ0

(E1 + E2)

1

τR,

ε(0+) =σ0

(E1 + E2).

ε(t) = σ0

h 1E1

−

1E1

−1

(E1 + E2)

ff

exp“

−E1

(E1 + E2)t

τR

”i

Creep function

Jc(t) = Jce − (Jce − Jcg) exp“

−t

τC

”

,

Jcg = Jc(0+) =

1(E1 + E2)

,

Jce = Jc(∞) =1

E1

,

τCdef=

τR(E1 + E2)E1

, τR = η/E2,

Here τC is the creep retardation time. Note thatin general τC #= τR.

MIT MECHE 19/55

Standard linear solid: creep

Creep function

Jc(t) = Jce − (Jce −Jcg) exp“

−t

τC

”

,

Jcg = Jc(0+) =

1(E1 + E2)

,

Jce = Jc(∞) =1

E1

,

τCdef=

τR(E1 + E2)E1

, τR = η/E2.

With E1 = 0.5 GPa, E2 = 2.5 GPa, sothatJcg = Jc(0

+) = 1/(E1 + E2) =(1/3) GPa−1

Jce = Jc(∞) = 1/E1 = 2.0 −1

and different values of relaxation

times τR.

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t, seconds

J c, GPa

−1

τR= 5s

τR= 10s

τR= 20s

τR= 40s

MIT MECHE 20/55

Standard linear solid: creep

Creep function

Jc(t) = Jce − (Jce −Jcg) exp“

−t

τC

”

,

Jcg = Jc(0+) =

1(E1 + E2)

,

Jce = Jc(∞) =1

E1

,

τCdef=

τR(E1 + E2)E1

, τR = η/E2.

With E1 = 0.5 GPa, E2 = 2.5 GPa, sothatJcg = Jc(0

+) = 1/(E1 + E2) =(1/3) GPa−1

Jce = Jc(∞) = 1/E1 = 2.0 −1

and different values of relaxation

times τR.

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t, seconds

J c, GP

a−1

τR= 5s

τR= 10s

τR= 20s

τR= 40s

MIT MECHE 20/55

Avec E1=0,5 Gpa, E2=2,5 Gpa ; Jrg=Jc(0)=1/3 Gpa, Jce=Jc(∞)=0.2 Gpa et différentes valeurs de temps de relaxation

τ R

Soit input:

Le résultat est output: oc

o

tJtthtσε

σσ

)()()()(

=

= ici il etait implicitement assumé que la charge etait appliqué à t=0

)()( 11 ttht −=σσ

⎩⎨⎧

>

≤=−

⎩⎨⎧

>−

≤−=−

1

11

1

11

,1 ,0

)(

0)( ,10)( ,0

)(

tttt

tth

tttt

tthOu

Si la charge (contrainte) σ1 est appliquée à t=t1 :

Principe de Superposition de Bolzmann :

Réponse à une excitation quelconque

Cherchons la réponse à une exicitation quelconque

)()( 11 ttht −=σσ

⎩⎨⎧

>

≤=−

⎩⎨⎧

>−

≤−=−

1

11

1

11

,1 ,0

)(

0)( ,10)( ,0

)(

tttt

tth

tttt

tth

)( 1tth −

)()( 11 ttht −=σσ

temps

temps

1t

1t

0.1

1σ

Ainsi, pour input: )()( 11 ttht −=σσ

Où (t-t1) est le temps écoulé depuis l'application de la contrainte

Maintenant , supposons qu’il ait deux étapes de contraintes appliquées :

122

11

2211

0)()()(

σσσ

σσ

σσσ

−=Δ

−=Δ

−Δ+−Δ= tthttht

)(

)()()(2

1

2211

iii

tth

tthttht

−Δ=

−Δ+−Δ=

∑=

σ

σσσinput

time

)(tσ

1t 2t

1σ2σ

2σΔ

1σΔ

le output est: 11)()( σε ttJt c −=

Principe de Superposition de Bolzmann La réponse en déformation d’un historique de chargement est simplement la somme des réponses des déformations pour chaque incrément de contraintes pris individuellement; Ce résultat s’appuie sur la linéarité du comportement.

ε(t) = Jc (t − t1)Δσ1 + Jc (t − t2 )Δσ 2

ε(t) = Jci=1

2

∑ (t − ti )Δσ i

temps

Sortie

)(tε

1t 2t

)(tε

)(1 tε

)(2 tε

)(tσ

1t 2t

1σ2σ

2σΔ

1σΔ

oc

o

tJtthtσε

σσ

)()()()(

=

=

Le principe de superposition appliqué à un nombre arbitraire d’incréments de contraintes N, s’écrit ;

σ (t) = Δi=1

N

∑ σ ih(t − ti )

ε(t) = Jci=1

N

∑ (t − ti )Δσ i

Entrée

Sortie

)(tσ

)(tε

Entrée

Sortie

Avec des incréments de chargement de plus en plus petits, l’histoire du chargement devient lisse et une relation intégrale est obtenue :

ε(t), est obtenue par superposition des incréments de contraintes

Il s'agit d'une intégrale de convolution.

Si le chargement est appliqué sous forme d’un historique de contrainte; la relation contrainte-déformation est obtenue à partir de l’intégrale de la complaisance de fluage

Entrée

Sortie

σ (t) = hi=1

N

∑ (t − ti )Δσ i

= ho

t

∫ (t −τ i ) σ (τ )dτ

ε(t) = Jco

t

∫ (t −τ ) σ (τ )dτ

S’il existe un saut de discontinuité, nous obtenons le résultat suivant :

Le même argument est utilisé pour l’application d’un historique quelconque de déformation; la réponse en contrainte est donnée par :

L’aspect linéaire de la réponse viscoélastique linéaire permets d’utiliser le principe de superposition.

σ (t) =σ oh(t)+ σo

t∫ (τ )h(t −τ )dτ

ε(t) = Jo(t)σ o + Jco

t∫ (t −τ ) σ (τ )dτ

temps

)(tσ

ττετεσ

ττεεε

dtEtEt

dzththtt

o ror

t

ooo

)()()()(

)()()()(

−+=

−+=

∫

∫Entrée

Sortie

oσ

Rappel, nous avons établis que la valeur vitreuse et la valeur à l’équilibre Jc(t) et Er(t) sont reciproques.

Mais, la relation générale n’est pas vérifiée :

Jcg =1Erg

; Jce =1Ere

Jc (t) ≠1Er

(t)

Si l’entrée est : )()( tEt rασ =

La sortie sera : )()( tht αε =

Cependant, la sortie est donc donnée :

ε(t) = Jco

t∫ (t −τ ) σ (τ )dτ

= Jco

t∫ (t −τ )αdEr (τ )

dτdτ

où αh(t) = Jco

t∫ (t −τ )α dEr (τ )

dτdτ

1= Jco

t∫ (t −τ ) dEr (τ )

dτdτ

Relation entre Jc et Er:

t = Jco

t∫ (t −τ )Er (τ )dτ

La transformée de Laplace donne l’approximation suivante :

Er (t) =sinmπmπ Jc (t)

où m =pente negative de la courbe log Er(t) vs. log t.

log time

Er (t)Jc (t)

0.1

75.

25.

  Pour un matériau donné, la complaisance de fluage Jc (t) ou la fonction de relaxation Er (t) peuvent être déterminées expérimentalement. La complaisance de fluage ou le module de relaxation peuvent être utilisés pour évaluer n’importe quel historique de chargement.

  Cependant, les expérience de fluage et de relaxation ne peuvent pas fournir des renseignements complets sur le comportement mécanique des matériaux viscoélastiques. Ces expériences fournissent généralement des données concernant le comportement d'un matériau dans la plage de temps de 10 secondes à 10 années. Il faut recourir à l’équivalence temps température (non abordé ds ce cours)

  Formulations oscillantes des contraintes et des déformations permet de faire l'analyse des vibrations et de la propagation d'ondes à travers des matériaux viscoélastiques.

Exp : bille acier + balles michelin

Chargement périodique :

γ12 = γo sinωtγ12 =ωγo cosωt

appelons τ−= ts

σ12 (t) = G−∞

t∫ (t −τ ) γ12 (τ )dτ

σ12 (t) = Go

∞

∫ (s) γ12 (t − s)ds

= Go

∞

∫ (s)ωγo cos ω(t − s)[ ]ds

= γoo

∞

∫ ωG(s)sinωsdssinωt + γoo

∞

∫ ωG(s)cosωsdscosωt

= γ oω G(s)o

∞

∫ cosωsds$%&

'()cosωt +γoω G(s)

o

∞

∫ sinωsds$%&

'()sinωt

Réponse dynamique: methodes et mesures

G’: module de conservation G”: module de perte

σ12 = γo !G sinωten phase + !!G cosωt

hors phase

"

#$$

%

&''

∫

∫∞

∞

=ʹ′ʹ′

=ʹ′

o

o

sdssGG

sdssGG

ωω

ωω

cos)(

sin)(

Notons que Gʹ′ and Gʹ′ʹ′ dependent de la pulsation et donc de la fréquence de sollicitation

On peut aussi écrire la contrainte telle que:

ttt

oo

o

ωδσωδσ

δωσσ

cossinsincos)sin(12

+=

+=

)(ˆ)(

ωδδ

ωσσ

=

= oooù

alors

o

o

o

o

G

G

γδσ

γδσ

sin

cos

=ʹ′ʹ′

=ʹ′

et

GGʹ′

ʹ′ʹ′=δtan

Angle de déphasage ou angle de perte

( )[ ]

[ ]

GG

GiG

i

i

G

titi

o

o

o

o

o

o

ʹ′ʹ′ʹ′=

ʹ′ʹ′+ʹ′=

+=

=

=

+=

=

δ

δδγσ

δγσ

γσ

δωσσ

ωγγ

tan

sincos

exp

exp

)exp(

*

**

*

*

Réponse dynamique : Représentation Complexe

Energy dissipation

The work done per unit volume over a time period [0, t] is

W =

∫ t

0σε̇ dt .

Now, consider a sinusoidal strain input

ε(t) = ε0 sin(ωt) =⇒ σ(t) = σ0 sin(ωt + δ) .

ε

σ

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Le travail par unité de volume sur une période 0,t est

Maintenant considérons l’application d’une déformation sinusoidale :

Hystérésis :

aire de l’ellipse

Energy dissipation in one cycle

The energy lost in one cycle through internal friction and heat isgiven by the area of the hysteresis loop:

Wone cycle =

∫ T

0σε̇ dt , T

def=

2π

ω

For

ε(t) = ε0 sin(ωt) =⇒ σ(t) = σ0 sin(ωt+δ) =⇒ Wone cycle = πσ0ε0 sin δ .

Thus, when δ = 0 the energy dissipated is zero, as in an elasticmaterial.

Recall thatE

′′

=σ0

ε0sin δ, J

′′

=ε0σ0

sin δ,

so thatWone cycle = πε20E

′′

= πσ20J

′′

,

hence the names loss modulus and loss compliance for E′′

andJ

′′

, respectively.

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L’énergie dissipée sur un cycle est donnée par l’aire de l’hystérésis :

pour:

Alors, quand δ=0 l’énergie dissipée est zéro, cas d’un matériau élastique

Rappelons que :

Ainsi

Damping capacity

Now, the energy stored after one complete strain cycle is zero becausethe material has been brought back to its original configuration. Tofind the stored energy, we should integrate over 1/4 cycle, ort = π/(2ω). Thus,

Wquarter cycle =

∫ π/(2ω)

0σε̇ dt =

{σ0ε02

cos δ}

︸ ︷︷ ︸

stored energy

+{σ0ε0π

4sin δ

}

︸ ︷︷ ︸

dissipated energy

damping capacitydef=

dissipated energy in quarter cycle

stored energy in quarter cycle=

π

2tan δ .

Thus the damping capacity of a linearly viscoleastic material dependsonly on phase/loss angle δ, which we recall is frequency-dependent.

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Maintenant, l’énergie stockée après un cycle complet est zéro car le matériau a été remis dans sa configuration d’origine. Pour trouver l’énergie stockée il faut faire le bilan énergétique sur ¼ de cyle ou sur un temps t=π/2ω

La capacité amortissante d’un matériau viscoélastique dépend uniquement de l’angle de déphasage, ou angle de perte, nous rappelons qu’il est dépendant de la fréquence