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Revista digital
Matemtica, Educacin e
Internet(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).
Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014. ISSN 1659 -0643
La paradoja del nio o nia: aplicaciones parala clase de
probabilidad
Jos M. [email protected]
Universidad de GranadaEspaa
Carmen [email protected]
Universidad de GranadaEspaa
Gustavo [email protected]
Universidad de GranadaEspaa
Pedro [email protected]
Universidad de GranadaEspaa
Recibido: 1 Enero, 2013 Aceptado: 20 Mayo 2013
Resumen. En la historia de la probabilidad encontramos
diferentes paradojas que permiten al profesororganizar actividades
didcticas en la enseanza y el aprendizaje. Como ejemplo, en este
trabajoanalizamos la paradoja del nio o nia, su historia, algunas
variantes, soluciones, objetos matemticostrabajados y dificultades
de los estudiantes, tales como la sesgo de equiprobabilidad y
confusin entreprobabilidad condicional y conjunta.
Palabras clave: Probabilidad, probabilidad condicional,
paradojas, aplicaciones docentes
Abstract. In the history of probability there are various
paradoxes which aid in organizing teachingand learning activities.
As an example, in this paper we analyze the Boy and Girl paradox,
its history,several variations, solutions, and the mathematical
objects involved and students? potential difficulties,such as the
equiprobability bias and confusion between joint and conditional
probability.
KeyWords: Probability, conditional probability, paradoxes,
didactic applications
1.1 Introduccin
Aunque la probabilidad se incluye en la educacin secundaria
desde hace ms de veinte aos, en lasorientaciones curriculares
recientes (ej. NCTM, 2000; Ministerio de Educacin y Ciencia (MEC),
2006)se propone un cambio metodolgico con la finalidad de mejorar
las intuiciones, que en el campo de laprobabilidad, son, con
frecuencia, errneas.
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En trabajos anteriores (Contreras, Batanero, Arteaga y Caadas,
2011 a y b) hemos sugerido el intersdel uso de paradojas, como
herramienta didctica que permite enfrentar a los estudiantes con
sus in-tuiciones incorrectas y hacerlas evolucionar de forma
positiva, a la vez que aumenta su motivacin. Lahistoria de la
probabilidad presenta situaciones muy atractivas que pueden
conducir a reflexionar sobrela presencia del azar en la
cotidianidad y son asequibles a los estudiantes. Por su carcter
paradjico,enfrentan al alumno a una situacin de resolucin de un
verdadero problema. El debate de las solu-ciones obtenidas por
parte de los mismos estudiantes y la posterior aceptacin de la
solucin correctapermiten tambin aplicar en aula las diferentes
etapas en la teora de situaciones didcticas propuestapor Brousseau
(1986).
En este trabajo, describimos la paradoja del nio o nia (Gardner,
1959), analizada con frecuencia en laliteratura sobre alfabetizacin
estadstica, presentando algunas variantes y soluciones, los
contenidosmatemticos que se trabajan y posibles dificultades.
1.2 Inters didctico de las paradojas
Son muchos los autores que defienden el inters de utilizar
algunas paradojas sencillas en la clase dematemticas, pues permiten
plantear situaciones motivadoras en el aula, refuerzan la motivacin
y lameta-cognicin de los estudiantes, y les hace descubrir
conexiones entre la historia y la vida cotidiana.El uso inteligente
de las mismas apoya una pedagoga constructivista, promoviendo un
aprendizajeprofundo, partiendo de las creencias previas (con
frecuencia errneas) que los alumnos pueden revisaral resolverlas
(Lesser, 1998). A la vez, el anlisis y discusin de las soluciones a
las mismas exige alalumno una reflexin sobre sus propios procesos
de pensamientos, lo que es tan importante como elaprendizaje de la
solucin correcta y un paso vital para alcanzar la capacidad
matemtica abstracta(Falk y Konold, 1992).
Len (2009) indica que podemos servirnos de algunas de estas
paradojas clsicas para crear situacionesdidcticas que sirvan para
provocar la reflexin didctica de los alumnos. No es difcil
encontrar estetipo de situaciones, pues la construccin de la teora
de la probabilidad no ha sido sencilla y solucionesincorrectas a
problemas de probabilidad fueron a veces publicadas por matemticos
famosos (Batanero,Henry y Parzysz, 2005). Un proceso similar se
desarrolla en el aprendizaje de los alumnos, pues el er-ror puede
convertirse en un factor de aprendizaje, siempre que se reconozca
como tal por parte de losestudiantes, quienes deben construir su
conocimiento mediante un proceso gradual (Borassi, 1987).
Gonzlez (2004) seala que el uso de la historia con fines
didcticos depende del conocimiento histricodel profesor y su
iniciativa para adaptar este saber a los intereses y necesidades
del grupo, por lo queha de exponer los avances de la disciplina
junto con su estado actual terico y de aplicabilidad. Elestudio de
la historia de la probabilidad y de las paradojas asociadas a la
misma ser entonces uncomponente importante en la preparacin de
formadores.
El profesor que participa en estos cursos ya conoce los
conceptos bsicos de probabilidad, pero nosiempre es consciente de
las dificultades de los estudiantes o incluso de sus propias
intuiciones incor-rectas. El formador de profesores podra proponer
algunos de estos problemas al comienzo del curso.La bsqueda de la
solucin correcta y el debate de las incorrectas, ser un factor
motivador, que lleve
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al profesor a interesarse por mejorar su formacin sobre la
didctica de la probabilidad, a la vez que lelleva a reconocer sus
propios sesgos de razonamiento.
1.3 Historia de la paradoja
Esta paradoja, tambin conocida como el problema de los dos
hijos, es una variante de la conocidacomo paradoja de la caja de
Bertrand y fue descrita por Gardner (1959), quien lo titul los nios
deSmith o el problema del seor Smith. El enunciado inicial de la
paradoja se describi mediante dosopciones de la siguiente manera,
haciendo el supuesto que los dos sexos son equiprobables:
El Sr. Smith tiene dos hijos. El hijo mayor es una nia. Cul es
la probabilidad de que ambos sean nias? El Sr. Smith tiene dos
hijos. Al menos uno de ellos es un nio. Cul es la probabilidad de
que ambos hijos
sean nios?
La primera solucin que viene a la mente es pensar que la
estructura de las dos preguntas es similar,dando la respuesta
intuitiva 1/2 para ambas. Esto es debido que la segunda pregunta
lleva al lector acreer que los dos posibles casos para el sexo del
segundo hijo (es decir, nio y nia) son equiprobables,y que la
probabilidad de estos resultados es independiente de la informacin
dada.
Gardner (1959) inicialmente dio como solucin 1/2 y 1/3,
respectivamente, a las dos preguntas ante-riores, pero ms tarde
reconoci que la segunda era ambigua, pues la respuesta podra ser
tambin1/2, dependiendo de cmo se obtuvo la informacin de que uno de
los hijos del Sr. Smith era un nio.Bar-Hillel y Falk (1982) y
Nickerson (2004) confirmaron posteriormente la ambigedad de la
anteriorformulacin.
Esta paradoja ha estimulado una gran controversia. En primer
lugar, el espacio muestral de todos loseventos posibles puede ser
fcilmente enumerado: {Nio-Nio, Nio-Nia, Nia-Nio, Nia-Nia}.
Ensegundo lugar, se supone que estos resultados son igualmente
probables. Los supuestos son los sigu-ientes:
1. Que cada nio es hombre o mujer.
2. El sexo de cada hijo es independiente del sexo del otro.
3. Que cada hijo tenga la misma probabilidad de ser hombre como
de ser mujer.
Estos supuestos no son totalmente ciertos ya que la proporcin de
nios y nias no es exactamentede 50:50, y (entre otros factores) la
posibilidad de gemelos idnticos significa que la determinacin
delsexo no es totalmente independiente. Pero se asumen como
verdaderos.
1.3.1 3.1. Algunas soluciones correctas y objetos matemticos que
se trabajan
Solucin intuitiva correcta para la primera cuestin. En la
primera cuestin, el Sr. Smith tiene dos hijosy el mayor es una nia;
se nos pide la probabilidad de que ambos hijos sean nias. En el
espacio mues-tral del problema encontramos que hay cuatro eventos
igualmente probables, pero que dos de ellos no
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cumplen la condicin de que el hijo mayor sea una nia (Tabla
1.1).
Puesto que las dos posibilidades del espacio muestral reducido
{Nia-Nio, Nia-Nia}son igualmenteprobables, y slo uno de los dos
incluye dos nias, la probabilidad de que el hijo ms pequeo
seatambin una nia es 1/2. Aunque no es necesario, se podra usar el
diagrama en rbol (Figura 1.1) pararepresentar el problema. La
condicin supone que se elimina la rama superior.
Figura 1.1: Posibles resultados del experimento
Hijo mayor Hijo menorNia NiaNia NioNio NiaNio Nio
Tabla 1.1: Espacio muestral del problema
Solucin intuitiva correcta para la segunda cuestin. En la
segunda cuestin, se indica que el Sr. Smithtiene dos hijos y al
menos uno de ellos es un nio y se pregunta la probabilidad de que
ambos hijossean nios. Aunque esta cuestin se parezca a la primera,
la condicin dada es diferente pues, en lugarde especificar el sexo
del hijo mayor, se dice que al menos uno de los hijos es un
nio.
Al considerar el espacio muestral inicial, como en el primer
apartado, vemos que hay cuatro posibleseventos en el espacio
muestral. Tres de estas familias renen la condicin necesaria y
suficiente detener al menos un nio. El espacio muestral reducido se
presenta en la Tabla 1.2, donde vemos quehay un caso favorable de
tres. Una informacin fundamental para resolver el problema es cmo
fueseleccionada la familia del Sr. Smith y cmo se obtuvo la
informacin. Si no se sabe nada, se aceptantodos los sucesos
posibles y la respuesta a la cuestin 2 sera 1/3.
Hijo mayor Hijo menorNia NiaNia NioNio NiaNio Nio
Tabla 1.2: Espacio muestral de la variable aleatoria
Solucin analtica correcta para la segunda cuestin. A partir de
la regla del producto en el experi-mento compuesto, podemos
calcular probabilidades a priori de los tres casos posibles:
1. Ambos son nias (Nia-Nia), con probabilidad P(Nia-Nia) =
1/4;
2. Ambos son varones (Nio-Nio), con probabilidad de P(Nio-Nio) =
1/4, y
3. Un hijo es nio y el otro nia, O = {Nia-Nio, Nio-Nia}, con una
probabilidad de P(O) = 1/2.
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Sea H el suceso al menos uno es un nio. Aplicando el teorema de
Bayes, tenemos:
P (Nio-Nio/H) =P (Nio-Nio H)
P(H)
=P (H/Nio-Nio) P (Nio-Nio)
P(H)
=1 1/4
3/4= 1/3.
Un diagrama en rbol como el que se muestra en la Figura 1.2
podra facilitar la comprensin detodos los pasos en la solucin del
problema, ya que se identifica fcilmente la reduccin del
espaciomuestral y las probabilidades condicionadas del suceso H a
cada una de los tipos de familias. Estasdos soluciones se pueden
trabajar en el aula, dependiendo de los conocimientos de los
estudiantes y elnivel educativo en el que estemos trabajando. En la
Tabla 3 presentamos los objetos matemticos quese trabajan, que
pueden variar dependiendo de la solucin dada.
Figura 1.2: Posibles resultados del experimento
Tipo Objetos matemticos Significado en el problema Solucin 1
Solucin 2
Lenguajes Verbal Explicacin de la situacin
x x
Grfico Diagrama en rbolOpcional Opcional
Simblico Expresar sucesos, probabilidadesx X
Numrico Valor de la probabilidadx X
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Conceptos
Experimento aleatorio Sexo del niox X
Sucesos; espacio muestral Nio o niax X
Experimento compuesto Sexo de dos niosx x
Sucesos en el experimentocompuesto
Nio-nio, nio-nia, nia-nio,nia-nia
x x
Interseccin de sucesos Conjunto comn de sucesos.x x
Probabilidad clsica Proporcin de casos favorables aposibles.
x x
Probabilidad condicional Proporcin de ocurrencia sucesodada una
condicin
x x
Procedimientos Clculo probabilidades
intuitivo Aplicar reglas intuitivas
x
Clculo probabilidadesformal
Aplicar reglas de clculo formalx
Reduccin de espaciomuestral
Aplicar condicionesx x
Representacin grfica Diagrama; esquemax x
Propiedades Diferencia probabilidad
condicionada y simple Restriccin del espacio muestral
x x
Regla del producto P (A R)= P (A)P (R/A)x
Teorema probabilidad to-tal
Aplicar a la situacinx
T. Bayes Aplicar a la situacinx
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Argumento Razonamiento deductivo Demostracin de la solucin
x x
Tabla 1.3: Objetos matemticos implcitos en la solucin
Observamos que el trabajo con este problema, es abordable en la
educacin secundaria o en la univer-sidad, ya que es en estos
niveles educativos donde se estudia la probabilidad condicional y
el teoremade Bayes. Tambin puede ser til en cursos de formacin de
profesores, sobre todo si se realiza con losprofesores el anlisis
de las diferentes soluciones posibles y de los objetos matemticos
involucrados.No slo permite a los profesores trabajar con los
objetos matemticos ligados a la probabilidad condi-cional, sino
mejorar su conocimiento didctico. Por tanto, esta sencilla pero
contra-intuitiva paradojapuede ser utilizada en el aula, ya que
ilustra algunos principios bsicos de la enseanza de la teora
deprobabilidades. Por supuesto es posible tambin un trabajo con
mayor nivel de formalizacin, lo queimplicara un conjunto diferente
de objetos matemticos usados.
1.3.2 Posibles dificultades a la hora de interpretar la
paradoja
Esta paradoja tiene valor pedaggico, ya que ilustra una
aplicacin interesante del comportamiento dela probabilidad
condicional (Contreras, 2011). Fox y Levav (2004) utilizaron el
problema para analizarcomo los alumnos estiman las probabilidades
condicionales. El estudio encontr que el 85% de losparticipantes
respondieron correctamente al primer problema, mientras que slo el
39% respondicorrectamente a la segunda pregunta. Los autores
alegaron que la razn se debe a una utilizaciningenua de la
heurstica de equiprobabilidad, ya que no se define exactamente el
nmero de resultadosposibles. Tambin puede deberse a confusin entre
probabilidad condicional y conjunta.Otro razonamiento errneo es
suponer que la familia fuese seleccionada al azar entre todas las
familiasde dos hijos y se pidiese calcular la probabilidad de que
los dos hijos fuesen nios, sin tener en cuentala informacin de que
uno de los hijos es nio. Como observamos en la Figura 1, la
probabilidad deque el primer hijo fuese nio y el segundo tambin lo
sea es de 1/4, ya que:
P(1oNio 2oNio) = P(2oNio/1oNio) P(1oNio) = 12 1
2=
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La paradoja surge porque el segundo enunciado (al menos uno de
los dos hijos de una familia con doshijos es nio) es difcil de
comprender, y podra llevar a contradicciones si utilizamos el
teorema deBayes para su resolucin. Por ejemplo, una interpretacin
posible es suponer que se trata de un prob-lema de muestreo sin
reposicin, donde hemos tomado un elemento (un nio) y deseamos
averiguarla probabilidad de que el segundo tambin sea nio.
Se hara el siguiente razonamiento. Sea o el suceso el elemento
obtenido en la muestra es un nio.Entonces:
P ((Nio-Nio)/o) =P((Nio-Nio) o)
P(o)
=P (o/(Nio-Nio)) P (Nio-Nio)
P(o)=
1 1/41/2
= 1/2.
La diferencia de este razonamiento con la solucin dada
anteriormente, es que aqu P(o) es la proba-bilidad simple de
seleccionar un nio al azar que es 0,5, mientras el enunciado indica
al menos unnio en una muestra de dos. Es decir en este caso se
puede tener un nio o dos nios.
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Esta paradoja es un ejemplo de cmo los enunciados de problemas
relacionados con la probabilidadcondicional pueden inducir a
errores de interpretacin. Pollatsek, Well, Konold y Hardiman
(1987)coinciden en que muchas de las dificultades que las personas
tienen con la comprensin de la prob-abilidad condicional pueden
deberse a la redaccin de los enunciados. Su hiptesis se basa en
losresultados de Einhorn y Hogarth (1986), quienes sugieren que los
enunciados que usan la conjunciny pueden llevar a confundir la
probabilidad conjunta y la probabilidad condicional.
1.4 Variantes de la paradoja
Paradoja del Seor Smith. A raz de la popularizacin de la
paradoja de Gardner se presentaron y dis-cutieron diferentes
variantes. La primera de ellas, Bar-Hillel y Falk (1982), tiene el
siguiente enunciado:
El Sr. Smith es el padre de dos hijos. Nos encontramos con l
caminando por la calle con un nio, a quien seenorgullece en
presentar como su hijo. Cul es la probabilidad de que otro hijo del
Sr. Smith sea tambin unnio?
Bar-Hillel y Falk (1982) utilizan esta variante para resaltar la
importancia de considerar los supuestossubyacentes. La respuesta
intuitiva es 1/2 y, cuando se hacen las suposiciones ms naturales,
esto escorrecto. Sin embargo, alguien puede argumentar que ...
antes de que el Sr. Smith identifica al niocomo su hijo, slo
sabemos que l es o bien el padre de dos nios (Nio-Nio), o de dos
nias(Nia-Nia), o de uno de cada sexo en cualquiera orden de
nacimiento(Nia-Nio,Nio-Nia). Suponiendo denuevo independencia y
equiprobabilidad, tenemos una probabilidad de 1/4 de que Smith es
el padrede dos nios. Al descubrir que l tiene por lo menos un nio,
descartamos el suceso Nia-Nia. Dadoque los restantes tres eventos
son equiprobables, se obtiene una probabilidad de 1/3 para
Nio-Nio.
Paradoja de los cachorros beagles. Otras variantes de esta
paradoja fue popularizada por Savant (1991,1996). La primera versin
del problema planteado por Savant tiene el siguiente
planteamiento:
Un tendero dice que tiene dos cachorros beagles, pero que no
sabe si son machos, hembras o parejas. Usted ledice que quiere un
macho, y el tendero llama por telfono a un compaero que les est
dando un bao. Hay porlo menos un macho? S! se le informa el
compaero. Cul es la probabilidad de que el otro sea un macho?
Savant (1991) dio como respuesta uno de cada tres. Defendi su
conclusin, observando que haycuatro parejas posibles en tres de las
cuales al menos uno es macho, pero slo en una ambos sonmachos.
La confusin de algunas personas que piensan que la respuesta es
1/2 surge porque al compaerodel tendero no se le pregunta si el
cachorro al que est lavando es un macho, sino que se le preguntasi
alguno de ellos es macho. El orden de nacimiento de los cachorros
es irrelevante. Si se pudieradiferenciar el orden; por ejemplo, si
los cachorros estuvieran etiquetados (A y B), cada uno tendrauna
probabilidad del 50% de ser macho, independientemente del sexo del
otro. Esta independencia serestringe cuando se establece que al
menos uno de los dos A o B es macho. Con dicha informacin,si A no
es macho, B debe serlo y viceversa. Esta restriccin se introduce
por la forma en que estestructurada la pregunta y se pasa por alto
fcilmente, llevando a la respuesta errnea del 50%.
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Debido al gran nmero de conclusiones errneas que la autora
recibi, Savant (1996) vuelve al plantearel problema de forma
diferente:
Un cliente y un tendero, que no estn relacionados, tienen dos
hijos cada uno. Sabemos que por lo menos unode los hijos del
tendero es un nio y que el hijo mayor del cliente es un nio. Puede
explicar por qu lasprobabilidades de que el tendero tenga dos nios
no son iguales a las probabilidades de que el cliente tenga
dosnios?
Siguiendo razonamientos similares a los ya expuestos, Savant
concluye que la probabilidad de que eltendero tenga dos nios es
1/3, mientras que la probabilidad de que el cliente tenga dos nios
es 1/2;en el primer caso no se dice cul de los hijos es el nio,
mientras que en el segundo se dice que es elmayor. Para corroborar
los resultados el autor realiz una encuesta entre sus lectores,
pidi a aquelloscon exactamente dos hijos, de los cules al menos uno
fuese nio le escribiesen indicando el sexo deambos hijos. Con casi
18000 respuestas, los resultados mostraron que un 35,9% de los que
cumplanla condicin tenan dos nios. Carlton y Stansfield (2005)
afirman que los resultados de esta encuestavalidan empricamente las
soluciones de Savant a este problema; las probabilidades de que el
tenderoy el cliente tengan dos nios son diferentes y en el caso del
tendero, esta probabilidad es ms cercanade 1 de cada 3 que a 1 de
cada 2.
Problema del nacimiento en martes. La siguiente versin de la
paradoja fue descrita por Foshee (2010)en un congreso en homenaje a
Gardner.
Supongamos que nos dijeron no slo que el seor Smith tiene dos
hijos, y uno de ellos es un nio, sino tambinque el nio naci en un
martes cul es la probabilidad de que haya dos nios?
La cuestin que nos planteamos es la siguiente: Cambia esto
nuestros anlisis anteriores? Si tiene doshijos, y uno es un nio,
entonces la probabilidad de tener dos hijos es significativamente
diferente sise proporciona la informacin adicional de que el nio
naci en un martes? Una solucin intuitiva aeste problema sera contar
las diferentes combinaciones de gneros y das de la semana, y
calcular elresultado aplicando la ley de Laplace, que da el valor
13/27:
(nmero de combinaciones con dos nios de los que al menos uno
naci un martes)(nmero de combinaciones con al menos un nio nacido
en martes)
La explicacin es la siguiente: supongamos que tenemos una
poblacin de familias con dos hijos, siendoel sexo de los dos hijos
independiente, nio o nia igualmente probables, y que el da que nace
cadahijo es independiente del da que nace el otro; cada da de la
semana tiene la misma probabilidad 1/7.En la Figura 1.3 se muestran
todas las parejas posibles de hijo, teniendo en cuenta su sexo as
comolos das de la semana posibles en los que se puede nacer (X
significa Mircoles). El verde representael suceso {dos nios, al
menos uno de los cuales naci un martes}. El rojo representa el
suceso {al menos unnio nacido en martes}. Por lo tanto la respuesta
es:
P =verde
verde + rojo=
1313 + 14
=1327
.
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Figura 1.3: Posibles resultados del experimento
Nuestra intuicin sugiere que los nios nacidos en martes no
tienen mayor probabilidad de tener unhermano que los nios nacidos
en otros das. Por lo tanto, el resultado 13/27 parece absurdo
porquepodramos repetir con todos los das de la semana y llegar a la
conclusin de que la respuesta alproblema original es 13/27 y no
1/3. La paradoja aparece porque en realidad no estamos calculando
loque pensamos. El problema no es mi primognito es un nio nacido en
martes o tengo exactamenteun nio nacido en martes, sino uno, o ms
de uno, es un nio nacido en martes. El error viene delhecho de
pensar que se ha partido el espacio muestral (2 gneros, 7 das de la
semana) en 7 partesiguales.
La moraleja de la historia es que estas probabilidades no slo
dependen de la informacin que tenemosdelante de nosotros, sino de
cmo llegamos a esa informacin.
La paradoja de los cuatro hijos. Otra versin es una adaptacin de
la primera parte del primer problemade Gardner (1951), suponiendo
cuatro hijos en la familia. El enunciado es el siguiente:
Supongamos que un matrimonio tiene cuatro hijos. Cul es la
probabilidad de que dos de ellos sean nias y dosnios?
Si suponemos como en las variantes anteriores la
equiprobabilidad del nacimiento de varones y demujeres, el sentido
comn nos impulsa a creer que en un caso como este la familia tendr
dos hijos ydos hijas o pensamos que existe una alta probabilidad de
que dos de ellos sern nios, y dos nias. Laforma de abordar este
problema es simple, bastara con calcular el conjunto de posibles
combinaciones,ver tabla 1.4, del espacio muestral tener cuatro
hijos, teniendo en cuenta el orden de nacimiento,siendo O el suceso
ser nio y A el suceso ser nia.
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1 OOOO2 OOOA3 OOAO4 OOAA5 OAOO6 OAOA7 OAAO8 OAAA9 AOOO10 AOOA11
AOAO12 AOAA13 AAOO14 AAOA15 AAAO16 AAAA
Tabla 1.4: Espacio muestral paradoja de los cuatro hijos
Dado que solo hay dos sexos posibles, la cantidad de
combinaciones existente para cuatro nacimientosson las 16 que se
ven en la tabla anterior. Recordemos que todo nuestro anlisis es
vlido porqueestamos considerando que la probabilidad de que sea nio
es igual a la de que sea nia (50% cada uno).Como indicamos
anteriormente, en el mundo real dicha proporcin no es exacta, pero
se aproxima losuficiente como para que los resultados que vamos a
mostrar prcticamente no varen.
El paso siguiente consiste en contar cada uno de los casos
mostrados en la tabla. Vemos que, de los 16,solo hay dos casos en
que el sexo de todos los hijos es el mismo (el 1 y el 16). Eso
significa que tenemosuna probabilidad de 2/16 de que nuestros
cuatro hijos tengan el mismo sexo. Si contamos los casos enque los
nacimientos incluyen un hijo de un sexo y tres del otro,
encontramos ocho casos (en las filas2,3,5,8,9,12,14 y 15). Eso
implica que en la mitad de los casos, un matrimonio que tenga
cuatro hijostendr o bien una nia y tres nios, o bien un nio y tres
nias. Por ltimo, si contamos los casos quenos interesan, aquellos
en que hay dos nios de cada sexo, vemos que solo los casos 4, 6, 7,
10, 11 y 13cumplen con la condicin dos nios y dos nias.
Esto demuestra que solo 6 de cada 16 veces se da realmente la
situacin que nuestro sentido comndeca era la ms probable. Es decir
slo el 37,5% de las familias con cuatro hijos tendr dos de
cadasexo, y que es mucho ms probable tener 3 hijos de un sexo y uno
del otro que cualquiera de las otrasposibilidades por separado.
1.5 Conclusiones.
En el artculo hemos presentado un ejemplo de una paradoja que
permite introducir una situacin deinters para el estudiante y
motivarle en el estudio de la probabilidad. Adems de trabajar
diversosobjetos matemticos el alumno adquiere competencia para
considerar con cuidado las condiciones decada problema e
identificar los sucesos de inters.
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Es necesario tambin advertir al profesor de las posibles
dificultades de los estudiantes al resolver losproblemas, como se
ha mostrado en otras investigaciones que hicieron uso de paradojas
en la forma-cin de profesores. As Contreras (2011) informa que en
un taller en el que participaron 166 profesoresen servicio y en
formacin, slo el 24,7% resolvi correctamente el problema en la
presentacin inicialde la paradoja de Bertrand (Contreras et al.,
2011). Las soluciones incorrectas fueron debidas prin-cipalmente a
confusiones entre probabilidad condicional y conjunta, heurstica de
representatividad(donde algunos profesores esperaban una
convergencia muy exacta de las frecuencias de resultados ala
probabilidad en pocos ensayos) y sesgo de equiprobabilidad.
La discusin colectiva y simulacin de la situacin llev al 67% de
los participantes a descubrir lasolucin correcta al final de la
experiencia. Pero an as, el resto no lleg a cambiar su postura
inicial; locual indica que sera necesario un mayor tiempo en la
actividad o complementarla con otras similares.
Por otro lado, el uso de paradojas responde a un cambio
metodolgico en la enseanza de la probabil-idad, que implica la
necesidad de una mayor formacin del profesor, quien, adems de la
formacincientfica, requiere un conocimiento profesional, en el cual
Ball, Thames y Phelps (2005) incluyencuatro componentes:
conocimiento comn del contenido, conocimiento especializado del
contenido,conocimiento del contenido y la enseanza y conocimiento
del contenido y los estudiantes. Por elloes tambin importante
buscar actividades adecuadas para llevar a cabo esta formacin. En
particular,estas situaciones deberan permitir la reflexin
epistemolgica sobre la estadstica, el estudio de lasinvestigaciones
didcticas sobre errores y dificultades de aprendizaje, y el anlisis
y experimentacinde mtodos y recursos de enseanza.
Una de estas actividades pueden ser paradojas como la presentada
en este trabajo, que, junto con lasactividades de anlisis didctico
pueden contribuir a la adquisicin de los diferentes componentesdel
conocimiento profesional, en el caso de la probabilidad. Asimismo
ayuda a mejorar la formacindel profesor para llevar a cabo estos
tipos de anlisis, que puede aplicar al diseo de secuencias
deenseanza y el anlisis reflexivo sobre la propia prctica docente,
con la finalidad de favorecer elaprendizaje de los estudiantes.
Agradecimientos: Proyecto EDU2010-14947 (MCINN-FEDER) y al grupo
FQM126 (Junta de Andaluca).
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IntroduccinInters didctico de las paradojasHistoria de la
paradoja3.1. Algunas soluciones correctas y objetos matemticos que
se trabajan Posibles dificultades a la hora de interpretar la
paradoja
Variantes de la paradojaConclusiones.BibliografaBibliografa