Revisão Equações do 2º grau

a uma incógnita

P r ó C i n t h i a

Ao longo da his tória da Matemática encontramos várias referências a matemáticos que es tudaram métodos de resolução de equações do 2 grau.º

Os matemáticos da Babilónia já res olviam equações do 2 grau des de 2000 a.C .;º

Os gregos res olviam também equações do 2 grau à ºbase de problemas geométricos ;

No s éculo IX, os árabes des envolveram vários trabalhos s obre a res olução de equações des te tipo. No entanto, todos eles cons ideravam apenas as soluções pos itivas .

No século XVI, os matemáticos Europeus começaram a resolver as equações do 2 grau por proces s os algébricos . ºViéte foi o primeiro a us ar letras para repres entar incógnitas .

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Um Pouco de História

Picture 12

Depois de falarmos um pouco sobre alguns

matemáticos importantes na his tória das equações do 2 grau, ºnão poderíamos deixar de falar no brilhante matemático

Português Pedro Nunes .

E s te matemático

Português do século XVI realizou

uma grandios a obra na área da

Matemática, Fís ica, As tronomia e

nas s uas aplicações à Náutica.

No que diz res peito às equações ,

Pedro Nunes res olvi-as com

grande rigor de raciocínio embora

s em us ar linguagem s imbólica.

Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a

equação do tipo:

Com a, b e c números reais e

02 =++ cbxax

0≠a

Equação na forma canónica

0cbxax2 =++

Termo em x2 Termo em x Termo independente

Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?

Complete a tabela:

Equação do 2º grau

Equação na forma canónica

a b c

082 =−x

523 2 =+ xx

02 =x

2

2

1xx =

33

15 2 += xx

0523 2 =−+ xx

082 =−x

02 =x

02

1 2 =+− xx

033

15 2 =−− xx

1

1

1

0

0 0

0

8−

3 2 5−

2

1−

53

1− 3−

Termo em x e/ou o termo independente são nulos.

Equações do 2º grau

Completas

Incompletas

Todos os termos são diferentes de zero.

0523 2 =−+ xx

033

15 2 =−− xx

082 =−x

02 =x

02

1 2 =+− xx

EquaçõesIncompletas

Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:

0 e com , 0 2 ≠=+ cacax1.

0 com , 0 2 ≠= aax2.

0 e com , 0 2 ≠=+ babxax3.

, a e c ∈ IR

, a ∈ IR

, a e b ∈ IR

Resolução de Equações

do 2º Grau Incompletas

“Quais são os números que elevados ao quadrado são iguais a 25?”

Um Problema…

O problema pode ser traduzido pela equação:

252 =xAgora, resolvendo a equação vem:

252 =x 25±=⇔ x 5±=⇔ x 55 =∨−=⇔ xx

Portanto, { }5,5.. −=SC

Resposta: Os números são o -5 e o 5.

Resolva a equação:

252 −=⇔ x

Equação impossível em IR, pois qualquer número real ao quadrado é maior ou igual a zero.

Exercícios: resolva as equações

02 =+ cax 0 e ≠ca

1) 22 56 xx =− ⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔ 15

55556 22222 xxxxx

111 =∨−=⇔±=⇔ xxx{ }1,1.. −=SC

, a e c ∈ IR• Equações do tipo com

025x2 =+

2)

3)

43)3( −=+ xxx

0328 2 =+− x

4433433 222 −=⇔−=−+⇔−=+⇔ xxxxxxx

Equação impossível em IR

⇔±=⇔=⇔−

−=⇔−=−⇔ 448

32328 222 xxxx

22 =∨−=⇔ xx

{ }2,2.. −=SC

Resolução de Equações do 2º Grau Incompletas

• Equações do tipo , com02 =ax 0≠a

Exercícios:Resolva as equações:

1)

2)

02 2 =x

08 2 =− x

2

02 =⇔ x ⇔=⇔ 02x

0=⇔ x

8

02

−=⇔ x ⇔=⇔ 02x

0=⇔ x

{ }0.. =SC

{ }0.. =SC

x

y

-2 -1 0 1 2

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

-2 -1 0 1 2

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Resolução gráfica:

À representação gráfica destas equações chamamos parábolas.

e a ∈ IR

Então, de um modo geral, sendo , vem:

02 =ax

0≠a

ax

02 =⇔ 02 =⇔ x 0=⇔ x

Logo,{ }0.. =SC

Uma equação de 2º grau do tipo , com

e a ∈ IR, tem uma única solução: o número 0.

02 =ax 0≠a

Exercícios:

1)

2)

636 22 +=− xx

xxx 39)6(3 2 −−=+−

⇔−=−−⇔ 663 22 xx

04 2 =−⇔ x4

02

−=⇔ x 02 =⇔ x 0=⇔ x

{ }0.. =SC

⇔−−=−−⇔ xxx 39183 2

18339 2 +−=⇔ xxx 189 2 =⇔ x ⇔=⇔9

182x

22 =⇔ x 2±=⇔ x

{ }2,2.. −=SC