Apêndice B Revisão: Notações Tensorial e Simbólica Este apêndice complementa a revisão matemática iniciada no Apêndice A. As relações aqui deduzidas se aplicam a sistemas de coordenadas retangulares, para vetores no espaço tridimensional. Os diversos tipos de produtos e operadores apresentados são usados eminentemente nos capítulos 6, 7 e 8 da apostila. Na medida do possível, todas as operações são apresentadas nas notações vetorial, tensorial, matricial e simbólica. Ao leitor interessado em se aprofundar no assunto, recomenda-se consultar as referências [1], [2] e [3]. B.1- Produto escalar entre vetores Como se sabe, dados dois vetores 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ x u x u x u u e 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ x v x v x v v , define- se o produto escalar (single dot) de u e v como: 3 3 2 2 1 1 v u v u v u v u (B.1) e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar. Na notação tensorial, ter-se-ia i i x u u ˆ , i i x v v ˆ , onde o índice repetido i implica em somatório para i=1, 2 e 3: ij j i j i j i j j i i v u x x v u x v x u v u ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( (B.2) sendo ij o delta de Kronecker. Como ij 0 somente para i=j (e seu valor é unitário), tem-se também i i v u v u (B.3) Em notação matricial, o produto escalar dos vetores u e v é dado por 3 1 3 1 3 1 i i i T v u x x v u (B.4) B.2 – Notação de produto diádico A notação de produto diádico para tensores (single dot, também), que define a forma para se escrever o produto matricial
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Revisão: Campos Vetoriais - feis.unesp.br · Em notação matricial, ... u x v x (B.4) B.2 – Notação de produto diádico A notação de produto diádico para tensores ... Ressalta-se
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Apêndice B
Revisão: Notações Tensorial e Simbólica
Este apêndice complementa a revisão matemática iniciada no Apêndice A. As relações
aqui deduzidas se aplicam a sistemas de coordenadas retangulares, para vetores no espaço
tridimensional. Os diversos tipos de produtos e operadores apresentados são usados
eminentemente nos capítulos 6, 7 e 8 da apostila. Na medida do possível, todas as operações são
apresentadas nas notações vetorial, tensorial, matricial e simbólica. Ao leitor interessado em se
aprofundar no assunto, recomenda-se consultar as referências [1], [2] e [3].
B.1- Produto escalar entre vetores
Como se sabe, dados dois vetores 332211ˆˆˆ xuxuxuu
e 332211
ˆˆˆ xvxvxvv
, define-
se o produto escalar (single dot) de u
e v
como:
332211 vuvuvuvu
(B.1)
e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar.
Na notação tensorial, ter-se-ia ii xuu ˆ
, ii xvv ˆ
, onde o índice repetido i implica em
somatório para i=1, 2 e 3:
ijjijijijjii vuxxvuxvxuvu )ˆˆ()ˆ()ˆ(
(B.2)
sendo ij o delta de Kronecker. Como ij 0 somente para i=j (e seu valor é unitário), tem-se
também
iivuvu
(B.3)
Em notação matricial, o produto escalar dos vetores u e v é dado por
3
1
3131
i
ii
T vuxx vu (B.4)
B.2 – Notação de produto diádico
A notação de produto diádico para tensores (single dot, também), que define a forma para
se escrever o produto matricial
11 xxx nnnn vTu (B.5)
num sistema de coordenadas retangular, é
TTvvTu~~
(B.6)
Ressalta-se que esta representação simbólica não deve ser interpretada somente como uma outra
forma de se escrever o produto matricial. Na verdade, simboliza uma operação que relaciona um
vetor físico ou geométrico com outro, sendo que não se depende do sistema de coordenadas
usado para a representação. Por outro lado, Tv é o produto matemático de matrizes apropriadas
das componentes de T~
e de v~ num dado sistema de coordenadas. Contudo, num sistema de
coordenadas retangular, a forma matricial sempre pode ser usada para representar a operação
vT
~
. Alguns autores usam a notação de operação simbólica de produto diádico sem o ponto:
vTu ~
(B.7)
É importante enfatizar que o produto diádico converte o produto de uma matriz por um
vetor em outro vetor.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades das diádicas (para coordenadas
retangulares):
a) UTS~~~
equivale a ijijij UTS (B.8 a)
b) )~
()~
( vTvT
(B.8 b)
c) TUUT~~~~
(B.8 c)
d) VUTVUT~
)~~
()~~
(~
(B.8 d)
e) TT~
)()~
( (B.8 e)
f) TT~~
1 (B.8 f)
g) TTT~~~
)( (B.8 g)
h) UTUT~~
)~~
( (B.8 h)
B.3- Produto escalar de dois tensores
O produto escalar de dois tensores é denotado por UT~
:~
e corresponde (em coordenadas
retangulares) a
ijijUTUT ~
:~
(B.9)
e resulta num escalar. De fato, percebe-se que
333332323131232322222121131312121111
332211
~:
~
UTUTUTUTUTUTUTUTUT
UTUTUTUT jjjjjj
(B.10)
é um escalar.
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto escalar de dois tensores:
a) TUUT~
:~~
:~
(B.11 a)
b) VTUTVUT~
:~~
:~
)~~
(:~
(B.11 b)
c) )~
(:~~
:)~
()~
:~
( UTUTUT (B.11 c)
d) 0~
:~
TT a não ser que 0~~
T (B.11 d)
Dados os vetores, em notação matricial, ][ 131211 UUUa , ][ 232221 UUUb , etc,
então
3
1
3
1
3
1
31
31
31
31
31
31
:i
ii
i
ii
i
ii
TTT
T
fcebdafcebda
f
e
d
c
b
a
x
x
x
x
x
x
(B.12)
B.4 – Produto tensor de dois vetores
O produto tensor (ou produto aberto) de dois vetores, denotado por ba
(ou ba
), é um
tensor de segunda ordem ou diádica, definido pela seguinte exigência
)()( vbavba
(B.13 a)
ou
)()( vbavba
(B.13 b)
para todos os vetores v
, sendo que ( ) denota produto diádico e ( ) é o produto escalar entre
vetores.
Então, se baT
~
, ocorre
)(~
vbavT
(B.14)
para todo v
, em conformidade com a discussão da seção B.2, onde se estabeleceu que o produto
diádico entre matriz e vetor resulta em vetor.
Em coordenadas retangulares, tem-se que T~
corresponde à
jiij baT , para i,j=1, 2, 3 (B.15)
resultando em cada elemento do tensor T~
.
Em notação matricial, o produto tensor ba
é dado por:
TTTT
b
b
b
aaa
aaa
aaa
T baaa ][~
3
2
1
333
222
111
(B.16)
sendo ][ 321 aaaa e ][ 321 bbbb .
B.5 – Produto de duas diádicas
O produto de dois tensores de segunda ordem (diádicas), denotado por UT~~
. , designa a
composição de duas operações T e U, com a de U realizada primeiro, definida pela exigência:
)~
(~~
.~
vUTvUT
(B.17)
para todos os vetores v
, onde ( ) denota produto diádico de matriz por vetor. Observe que isto
torna necessário que UT~~
. resulte numa diádica.
Se UTP~
.~~
, em notação tensorial, tem-se
kjikij UTP (B.18)
ou em notação matricial
TUP (B.19)
A seguir, apresentam-se algumas propriedades do produto de duas diádicas:
a) )~
.~
.(~~
).~
.~
( RUTRUT (B.20 a)
b) RTUTRUT~
.~~
.~
)~~
.(~
(B.20 b)
c) TRTUTRU~
.~~
.~~
).~~
( (B.20 c)
d) )~
.(~
)~
).~
()~
.~
( UTUTUT (B.20 d)
e) TTT~
1~
.~~
.1~
(B.20 e)
B.6 – Gradiente de função escalar
O gradiente de uma função escalar é definido por
k
kx
FF
)( (B.21)
onde se fornece cada componente. Em notação simbólica (em coordenadas retangulares), tem-
se
k
k
xx
FF ˆ
, para k=1, 2, 3 (B.22)
Como se observa, este tipo de gradiente transforma um escalar num vetor. Outras notações
usadas na literatura são:
kk
k
FFx
F,
, para k=1, 2, 3 (B.23 a)
e
xkkk FxFxF ,ˆˆ (B.23 b)
Se o operador for tratado como o vetor simbólico 3
3
2
2
1
1ˆˆˆ
xx
xx
xx
, então, o
gradiente corresponde ao simples produto entre o vetor e o escalar F (em coordenadas
retangulares).
B.7 – Divergente de um vetor
O divergente de um vetor, em coordenadas retangulares, é definido por
)ˆˆˆ(ˆˆˆ321321 zyx vxvxvx
zx
yx
xxv
(B.24)
ou
ii
i
izyx vx
v
z
vx
y
v
x
vv ,3
ˆ
(B.25)
Verifica-se, assim, que o divergente de um vetor resulta num escalar (ao contrário do
gradiente). Com isso, verifica-se que se for tratado como um vetor, a divergência corresponde
ao produto escalar entre vetores estudados na seção B.1.
B.8 – Rotacional de um vetor
O rotacional de um vetor é definido, em coordenadas retangulares, como
ijkijk
zyx
xv
uuu
zyx
xxx
v ˆ///
ˆˆˆ
,
321
x (B.26)
sendo que ijk é o tensor permutação, definido como