INFERENSI STATISTIKA INFERENSI STATISTIKA INFERENSI STATISTIKA INFERENSI STATISTIKA DISTRIBUSI SAMPEL MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial PENAKSIRAN UJI HIPOTESIS MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial 6 September 2012 Utriweni Mukhaiyar
70
Embed
Review 4. Inferensi Statistika-06.09.12 · berdistribusi normal yyg g ppang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. 11nn EX E X E X ... Statistik yang digunakan untuk mendapatkan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
INFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKAINFERENSI STATISTIKADISTRIBUSI SAMPEL
MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial
PENAKSIRANUJI HIPOTESIS
MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial6 September 2012
Utriweni Mukhaiyar
DISTRIBUSI SAMPELDISTRIBUSI SAMPEL
2
Beberapa definisiBeberapa definisiBeberapa definisiBeberapa definisi Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang
j di h i menjadi perhatian. Sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi. Misalkanlah X X X merupakan n peubah acak bebas Misalkanlah X1, X2, ..., Xn merupakan n peubah acak bebas
yang masing-masing berdistribusi peluang f(x). X1, X2, ..., Xndidefinisikan sebagai sampel acak ukuran n dari populasi f(x) dan distribusi peluang gabungannya sebagai,
f(x1, x2, ..., xn) = f(x1), f(x2), ..., f(xn) Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu Setiap fungsi dari peubah acak yang membentuk suatu
sampel acak disebut statistik. Contoh statistik : rataan sampel ( ) , variansi sampel Xp ( ) p
(S2), ...
Rataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi SampelRataan dan Variansi Sampel Bila X1, X2, ..., Xn merupakan suatu sampel acak ukuran n,
k l di k l h i ikmaka rataan sampel dinyatakan oleh statistik,1 n
iX Xn
dan variansi sampel oleh statistik,
1in
21 1
n n n
2 2 2
1 1 1
1 1( )1 1
i i ii i i
S X X n x xn n n
Simpangan baku sampel dinyatakan dengan Sdidefinisikan sebagai akar positif variansi sampel.
Distribusi sampelDistribusi sampelDistribusi sampelDistribusi sampel
Distribusi peluang suatu statistik disebut p gdistribusi sampel.
Simpangan baku distribusi sampel suatu S pa ga ba u st bus sa pe suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.
Distribusi sampel dari rataan,Distribusi sampel dari rataan,XDistribusi sampel dari rataan,Distribusi sampel dari rataan, Misalkan sampel acak berukuran n diambil dari populasi
l d d 2
X
normal dengan rataan dan variansi 2. tiap pengamatan Xi, i = 1, 2, ..., n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama dengan populasiy g g p pyang diambil sampelnya.
1 1n nE X E X E X
1 1
11 1...
i ii i
n
E X E X E Xn n
E X E X nn n
n n
21 1
1 1n n
i ii i
Var X Var X Var Xn n
1 1
22
12 21 1...
i i
n
n n
Var X Var X nnn n
Teorema Limit PusatTeorema Limit PusatTeorema Limit PusatTeorema Limit Pusat Bila rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari
l d d 2 b h X
populasi dengan rataan dan variansi 2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi,
X
bila n , ialah distribusi normal baku N(0,1)./XZ
n
Distribusi sampel dari selisih dua Distribusi sampel dari selisih dua rataan,rataan,
Bila sampel bebas ukuran n1 dan n2 diambil secara acak d i d l i di k i k i i i
1 2X X
dari dua populasi, diskrit maupun kontinu, masing-masing dengan rataan 1 dan 2 dan variansi 1
2 dan 22, maka
distribusi sampel dari selisih rataan, , berdistribusi 1 2X Xphampir normal dengan rataan dan variansi berturut-turut adalah,
d 2 2
2 1 2 dan sehingga,
1 2 1 2X X 1 2
2 1 2
1 2X X n n
1 2 1 2X XZ
2 21 2
1 2
Z
n n
Secara hampiran merupakan peubah normal baku.
Distribusi sampel dari (Distribusi sampel dari (nn--1)1)SS22//22Distribusi sampel dari (Distribusi sampel dari (nn 1)1)SS //
Bila S2 variansi sampel acak ukuran npdiambil dari populasi normal dengan variansi 2, maka statistik
22
2
1X
n S
berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan = n 1
kebebasan = n-1.
Distribusi Distribusi -- ttDistribusi Distribusi tt Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah
acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Zdan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila
ZTdiberikan oleh,
TV
1 2
1 221 21 ,
2th t t
Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat kebebasan .
Distribusi Distribusi FFDistribusi Distribusi FF Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-
i b di ib i khi k d d d j masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,
1UF
Diberikan oleh,
1
2
FV
1 1
1 2
2 2 11 2 1 2
21 2 1 2
2, 0
2 2 1 2
fh f f
f
Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan dan
Metode PenaksiranMetode PenaksiranMetode PenaksiranMetode Penaksiran
Penaksiran Titik1
Penaksiran 2
Penaksiran Titik gSelang
Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d
Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah MAxx, ketika di
Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut
awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul MAxx adalah B.
mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB
Nilai : B = 3 IP : AB = [3.5, 4]
14
a : 3 : [3.5, ]
IlustrasiIlustrasi
P r m t r P pul siParameter Populasi
σ2µ
Populasi
Sampelσ2µ
menaksir
? ?titik?? selang??
Parameter Sampel
? ?
Parameter sampel menaksir parameter populasi
m mp
15
PenaksiranPenaksiran TitikTitik
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran
16
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksirantitik disebut penaksir atau fungsi keputusan.
X22 s
X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?
PenaksirPenaksir TakbiasTakbias dandan Paling Paling EfisienEfisien
Definisi17
Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,
]ˆ[ˆ E
Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien
2ˆ
2ˆ
21
PenaksirPenaksir TakTak Bias Bias untukuntuk dan dan 22
Misalkan peubah acak X ~ N( 2) 18
Misalkan peubah acak X N(, ) penaksir tak bias untuk .
n
iiX
nX
1
1
penaksir takbias untuk 2.
i 1
n
i XXs 22
11 p
iin 11
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
][XE22 ][ sE ][ sE
PenaksiranPenaksiran SelangSelanggg19
Taksiran selang suatu parameter populasi :
2 2121
ˆˆ
1
g p p p
dan : nilai dari peubah acak dan
dan dicari sehingga memenuhi : 1 2 1ˆˆP
2 211 p
121P
taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.
taraf/koefisien keberartian
21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.
KurvaKurva Normal Baku Normal Baku (Z~N(0,1))(Z~N(0,1))menghitungmenghitung tabeltabel zz
Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.D k t f k b ti 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
24
Contoh 2Contoh 2Contoh 2Contoh 2
Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan b k 10 j D k t fbaku 10 jam. Dengan menggunakan tarafkeberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?contoh 2?
25
AnalisisAnalisis ContohContoh26
Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X
Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)
Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistikyang telah dirumuskan Notasinya berpadanan denganyang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan denganjenis distribusi yang digunakan.
Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaanH Di l h d i t b l t ti tik b k tH0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.
H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.
Statistik uji menyerupai statistik untukkasus satu populasi dengan variansip p gtidak diketahui.
0 ;/
D μT =S n
47
/dS n
ContohContoh 11ContohContoh 11
Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( glama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata i k h h j d l h d l h 71 8 tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm
dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm.a Nyatakan dugaan tersebut dalam a. Nyatakan dugaan tersebut dalam
pernyataan hipotesis statistikb. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah
48
b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah pernyataan literatur tersebut?
SolusiSolusiSolusiSolusiDiketahuiDitanya: X 71 8 s 8 90 70, 0 05 Ditanya:a. Hipotesis statistikb. Kesimpulan uji hipotesis
X 71.8, s 8.9,0 70, 0,05
b. es pu a uj potes sJawab:Parameter yang akan diuji : μy g j μa. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70H1: μ > 70b. Kesimpulan???
Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan p j j ( glama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata i k h h j d l h d l h 71 8 tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm
dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata rata tingkat curah literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak lebih dari 70 mm.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam
pernyataan hipotesis statistik
50
p y pRumusan hipotesis akan sama dengan Contoh 1.
ContohContoh 11--modifikasi 2modifikasi 2ContohContoh 11 modifikasi 2modifikasi 2Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak kurang dari 70 mmdari 70 mm.a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan
hipotesis statistikpRumusan hipotesis akan berbeda dengan Contoh 1,
menjadi:
51
H0: μ 70H1: μ < 70
ContohContoh 22ContohContoh 22Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan
di kib k l h k d i d b h dil i i yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiappotong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potongp g p g p p gbahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamatidalamnya keausan. S l b h 1 b ik t t k ( d hSampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudahdisandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausansebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata rata keausan bahan 2
52
rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusihampir normal dengan variansi yang sama.
Solusi Solusi Solusi Solusi Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakanrata rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2 rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahanadalah sama. Rumusan hipotesis yang diujiadalah:adalah:H0 : μ1 - μ2 2H1 : μ1 - μ2 > 2
53
ContohContoh 22 –– modifikasi 1modifikasi 1ContohContoh 22 modifikasi 1modifikasi 1Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkanoleh gosokan dari dua bahan yang dilapisi Dua belas potong bahan 1 diujioleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diujidengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluhpotong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnyakeausan. keausan.
Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5 memberikan rata rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.
Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausanbahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 sebesar dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
Rumusan hipotesis menjadi :H : μ μ = 2
54
H0 : μ1 - μ2 = 2H1 : μ1 - μ2 2
ContohContoh 3 (data 3 (data berpasanganberpasangan))ContohContoh 3 (data 3 (data berpasanganberpasangan)) Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa
h b i l h li h d k dpengaruh obat succinylcholine terhadap kadarperedaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebasp y g pdiambil melalui urat nadi leher segera setelahsuccinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusak di di bil l i d h ki ki 30 kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusatersebut dilepaskan. Kadar androgen padap g pwaktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukurdalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
55
Data terdapat pada tabel berikut
No. Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik
Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik
Selisih (di)
1 2 76 7 02 4 26123
2.765.182.68
7.023.105.44
4.26-2.082.76
456
3.054.107 05
3.995.2110 26
0.941.113 216
78
7.056.604.79
10.2613.9118.53
3.217.3113.74
91011
7.397.3011 78
7.914.8511 10
0.52-2.450 6811
1213
11.783.9026.00
11.103.7494.03
-0.68-0.1668.03
1415
67.4817.04
94.0341.70
26.5524.66 56
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikanAnggap populasi androden sesaat setelah suntikandan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah,pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasip g , pandrogen berubah setelah ditunggu 30 menit.
57
SolusiSolusiSolusiSolusiIni adalah data berpasangan karena masing-masing unit
b ( ) l h d k l kpercobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran
Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata Misalkan μ1 dan μ2 masing masing menyatakan rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah
Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05
58
Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu PopulasiPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk
kasus variansi satu populasi adalah
2 2 2 21 H H 2 2 2 20 0 1 01. H : = vs H :
2 2 2 20 0 1 02. H : vs H :
2 2 2 20 0 1 03. H : vs H :
Dengan 02 menyatakan suatu konstanta
mengenai variansi yang diketahui.
59
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah :
22 ( 1)n s
Jika H benar maka statistik uji tersebut
20
Jika H0 benar, maka statistik uji tersebutberdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.
60
Untuk hipotesis , l k d k k b k
2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :
tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) atau
n n
Untuk hipotesis , tolak H pada tingkat keberartian α jika
1 ,( 1) ,( 1)2 2
n n
2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :
tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2
1 ,( 1)n nilai dari tabel
distribusi chi-square dengan derajatk b b
Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika
2 2 2 20 0 1 0H : = vs H :
kebebasan n - 1
61
tolak H0 pada tingkat keberartian α jika2 2
,( 1)n
Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua PopulasiPopulasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya
untuk uji hipotesis mengenai ariansi untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,
2 2 2 21 H : vs H : 0 1 2 1 1 21. H : vs H : 2 2 2 2
0 1 2 1 1 22. H : vs H :
D 2 d 2 i i
2 2 2 20 1 2 1 1 23. H : vs H :
Dengan σ12 dan σ2
2 masing-masingadalah variansi populasi ke-1 danvariansi populasi ke-2
62
variansi populasi ke 2
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketigahipotesis di atas adalah,
21sF
Jik H b i ik ji b b di ib i
122
Fs
Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusiFisher dengan derajat kebebasan,v = n – 1 dan v2 = n2 – 2 v1 = n1 1 dan v2 = n2 2
63
Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H : p 0 p g
keberartian α jika : 0 1 2 1 1 2
1 2 1 21 ,( , ) ,( , ) atau
v v v vF f F f
Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkatkeberartian α jika :
1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2
v v v v
2 2 2 20 1 2 1 1 2H : vs H :
Untuk hipotesis tolak H pada tingkat
1 21 ,( , )v vF f
2 2 2 2H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkatkeberartian α jika :
0 1 2 1 1 2H : vs H :
1 2( )v vF f 1 2,( , )v vf
1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) / 2,( , ) 1 / 2,( , ), , , dan v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilai
dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 dan v2
64
Contoh 4Contoh 4Contoh 4Contoh 4
Suatu perusahaan baterai mobil pmenyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan p gsimpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut pmenghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > p j0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2S kStatistik uji
22
20
( 1) (9)(1.44) 160.81
n s
Titik kritis adalah2 2
, 1 0.05,9 16.919 n 2 2
Karena , maka H0 tidak ditolak. Simpulkanbahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi0.9
2 20.05,9
66
Contoh 5Contoh 5Contoh 5Contoh 5
Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh p g j2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0 10Gunakan taraf keberartian 0.10.
67
Solusi Solusi Solusi Solusi
Misalkan σ12 dan σ2
2 adalah variansi populasi1 2 p pdari masing-masing keausan bahan 1 danbahan 2. rumusan hipotesis yang akan diujiadalahadalahH0: σ1
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwai i b b d
1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2
v v v vf f f
69
variansinya berbeda.
RReferensieferensiRReferensieferensi
Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and pAnalysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.y
Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , J yHall, 2007.