Unidade 3 Unidade 3 Equações Equações 8º ano 8º ano Resumo Resumo Equações 8º Ano Equações 8º Ano
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8º ano8º ano
Resumo Resumo
Equações 8º AnoEquações 8º Ano
Monómios e polinómiosO Pedro leva na mão 1 livro e não sabe quantos livros leva na mochila.
Que expressão pode representara situação?
Vamos designar por n o número de livros que estão dentro da mochila.
A expressão n + 1 representa a totalidade de livros que o Pedro transporta, sendo n a variável.
Nesta situação podemos ter várias hipóteses, então vamos utilizar uma tabela para organizar os dados
n 0 1 2 3
n+1 1 2 3 4
Monómios e polinómios
O que é um monómio?
É uma expressão constituída por um número ou uma letra, ou por um produto de números e letra
Exemplos: 3; 5n;
Num monómio existe um coeficiente e uma parte literal
O que é um Polinómio? É a soma de vários monómios
x + 3 ; 5x +2y +3; 3x2 + 8x + 4
Coeficiente parte literal e grau de um monómio
Monómio Coeficiente Parte literal
xy2 1 xy
-1/2 x
-5 -5 Não tem
2
x
Grau
3
1
0
Grau de um monómio é a
soma dos expoentes das
variáveis
A Parte literal é a letra
Número que está
pegado à letra
Monómios e polinómios
• Monómios semelhantes: têm a mesma parte literal
• Exemplos: 5x e 6x; 4y2 e 6y2
• Monómios simétricos: São monómios semelhantes com coeficientes simétricos
• Exemplos: 5x e -5x
Notas: Num monómio não há adições nem subtracções
b
h
2
hbExpressão que
representa a área de um triângulo
A CBx 2x
Adição de monómios e polinómios
• Observa a figura: as distâncias estão em metros
x e 2x são monómios. Nos monómios os números representam letraSe x = 4 então a distância de A até C é 4 + 2x4 = 12m
Simplificação da expressão:
x + 2x = 3x ( adiciona-se os coeficientes (1 + 2))
Lê-se 1 x Nota: Só se podem adicionar monómios semelhantes (com a mesma parte literal)
Adição de monómios e polinómios
• Como fazer:No problema anterior podia-se simplificar 1º a expressão:x + 2x = 3xse x = 4 então 3 x 4 = 12m
• Como fazer:
simplifica a seguinte expressão:
1º passo – identificar os monómios semelhantes2º passo – adicionar os monómios semelhantes
x + 3y + 2 + 3x – y – 5 =
= 4x + 2y -3
Adição de monómios e polinómios
Comutativa:
Propriedades
Associativa:
Distributiva da multiplicação
em relação à adição:
Elemento absorvente da Multiplicação:
Elemento neutro da adição:
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)
a( b + c ) = ab + ac
a + 0 = 0 + a = a
a x 0 = 0 x a = 0
Simplificações de expressões com parênteses
Sinal + antes do
Parênteses
Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
Sinal - antes do
Parênteses
Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
Sinal x antes do
Parênteses.
Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese
Como fazer
Sinal + antes do Parênteses
Mantêm-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
3 + ( x - 3y + 2 ) = 3 + x – 3y + 2 = x – 3y + 5
Sinal - antes do Parênteses
Trocam-se os sinais dos termos que estão dentro do parênteses
Sinal x antes do Parênteses.
Multiplica-se os termos que estão dentro do parêntese
3 - ( x - 3y + 2 ) = 3 – x + 3y – 2 = - x + 3y + 1
3( x - 3y + 2 ) = 3x – 9y + 6
Produto de um monómio por um polinómio
22
5
1
5
1
5
55
5
1bbbbbb
Observa a figura:
2y
3 y Qual a área da figura?
A = 2y( 3 + y)
= 6y + 2y2
Como fazer: 1232384 aa1)
2)
A = ac + bc + ad + bd
( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
3x2 +21x –x -7=
Multiplicação de polinómios
• Um polinómio é a soma de vários monómios:
Qual a área da figura?
a bc
d
ac bc
ad bd
Como fazer 1)
2) (3x -1 )(x + 7) =
= 3x2 + 20x -7
Operações com polinómios
• Observa as figuras:
Operações com polinómios• Em alguns problemas temos de efectuar operações com polinómios.• Observa o seguinte exemplo:
3x + 2
Qual é o volume do cubo?
8365427
82418123627
)23)(4129(
)23)(4669(
)23)(23)(23(23
23
223
2
2
3
3
xxxV
xxxxxV
xxxV
xxxxV
xxxxV
aV
Quadrado do binómio
Quadrado do 1º Quadrado do 2ºO dobro do 1º pelo 2º
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Como fazer
963 22 xxx1)
2) 16402545 22 xxx
3)
4
1
3
1
9
1
4
1
6
2
9
1
2
1
3
1
2
22
xx
xxx
Quantos livros são ao todo?
Quantos livros existem na mochila se ao todo são 15?
Expressões Equações
x + 4 x + 4 = 15
Nas expressões x representa um número desconhecido.
Nas equações x representa um número desconhecido mas determinado, o número 11
Balanças em equilíbrio
Resolução de Equações com parênteseComo fazer
3(x + 1) – (x -3 ) = 12
• tirar os parênteses
3x + 3 – x + 3 = 12 3x – x = 12 -3 -3
2x = 6
x = 3
2
6x
3. sc
• Passar para um membro os termos com incógnitas e para o outro os termos independentes
• Obter o valor da incógnita
• simplificar, resolvendo em ordem a x
• Indicar a solução
Equações com fracções
Como fazer:
)6()3()2( 1
5
2
32
3
1 xx
5
2
32
3
1 xx
6
30
6
96
6
22 xx 309622 xx
923062 xx 374x
4
37 x
4
37.sc
Colocar com o mesmo denominador
Cuidado com o sinal
Indicar a solução
Problemas com fracções
322
x
A soma de metade de um número com 2 é 3. Qual é esse número?
Como Fazer
Dados:
seja x o número
x/2 é a sua metade
)2()2( 1
3
1
2
2
x
2
46
64
x
x
x
2. sc
Resolução de Problemas e equações
O Pedro foi às compras.
Na primeira compra gastou a quarta parte do dinheiro que tinha e na segunda compra gastou metade do restante. Verificou que lhe sobraram 45 euros. Quanto dinheiro tinha o Pedro?
Como fazer: x = dinheiro do Pedro
x/4 = quarta parte do dinheiro que tinha
42
1 xx
= metade do restante
Resolução:
45
42
1
4
xx
xx
)8()1()4()2()8( 1
45
82
1
41
xx
xx
360428 xxxx
1203
3603603
x
xx
R: O Pedro tinha 120 euros
Lei do Anulamento do Produto
A lei do anulamento do produto aplica-se a equações de grau 2 ou superior
Lei do anulamento do produto: Se um produto de dois factores é zero então pelo menos um dos factores é zero
ab = 0 a = 0 v b =0
25
0205
0)2(5
xx
xx
xx
Como Fazer:
20
020
0)2(
xx
xx
xx
Equações do 2º grau Lei do Anulamento do Produto
A figura representa um lago quadrado de área 36m2. Qual o comprimento de cada lado
x? 36 m2
Resolução
66
36
36
36
2
xx
x
x
xx
66
0606
066
06
036
36
22
2
2
xx
xx
xx
x
x
x
Equações do 2º grau e Decomposição em factores
Equação
do 2º grau
Equação completa
22
0202
0)2)(2(0)2(
044
2
2
xx
xx
xxx
xx
Equação incompleta, falta o termo independente
Equação incompleta, falta o termo em x
50
0500)5(
055 22
xx
xxxx
xxxx
33992 xxxx
330303
0)3)(3(
03099 2222
xxxx
xx
xxx
Equação literal
• Chama-se equação literal a todo as equações que têm mais de uma variável.
• Como resolver uma equação em ordem a uma variável
v
etetv
t
ev
Equação simplificada da velocidade de um móvel
V= velocidade; e = espaço percorrido; t = tempo
Resolver em ordem a e
t
ev
Resolver em ordem a t
vtet
ev
FimFim
Bom trabalhoBom trabalho
Professor: Nelson Escalda