Resumo - CÁLCULO DE ESFORÇOS E DEFORMAÇÕES EM LAJES USANDO SÉRIES DE FOURIER

Centro Universitário de Brasília – UniCEUB

PIC VOLUNTÁRIO / UniCEUB

PROFESSOR ORIENTADOR: JOCINEZ NOGUEIRA LIMA

ALUNO: THIAGO ARAUJO MACEDO

Curso de Engenharia Civil, Fatecs, UniCEUB

CÁLCULO DE ESFORÇOS E DEFORMAÇÕES EM LAJES

USANDO SÉRIES DE FOURIER

Brasília

2014

PROFESSOR ORIENTADOR: JOCINEZ NOGUEIRA LIMA

ALUNO: THIAGO ARAUJO MACEDO

CÁLCULO DE ESFORÇOS E DEFORMAÇÕES EM LAJES

USANDO SÉRIES DE FOURIER

2

Brasília

2014

SUMÁRIO:

1. Introdução...................................................

.............................................................

.................

4

2. Justificativa................................................

.............................................................

..................

4

3. Objetivos....................................................

.............................................................

..................

5

4. Fundamentação

Teórica......................................................

......................................................

6

5. Metodologia..................................................

.............................................................

8

3

...............

6. Cronograma...................................................

.............................................................

...............

9

7. Orçamento....................................................

.............................................................

................

9

8. Referências .................................................

.............................................................

.................

10

4

1. Introdução:

As placas são estruturas diferenciadas em relação às

vigas, tendo esforços de flexão bidirecionais e ortogonais

entre si, e são submetidas a carregamentos perpendiculares à

superfície. As placas podem ter diversas configurações

geométricas e possuem uma espessura constante ou variável.

Neste trabalho somente serão abordadas placas retangulares de

espessura constante.

No caso de placas finas, como é o caso da maioria das

lajes de edificações, as hipóteses consideradas verdadeiras

para efeitos de cálculo, conforme Timoshenko, S.P. &

Woinowsky-Krieger, S. (1959) e Szilard (1974) são as

seguintes:

1. O material da placa é elástico, homogêneo e isotrópico;2. A placa indeformada é plana;3. A espessura (h) da placa é pequena em relação às outras

dimensões (aproximadamente 10% do maior vão);4. As deformações angulares da superfície média são pequenas;5. Os deslocamentos dos pontos da superfície média são pequenos

comparados com a espessura da placa. (Posteriormente, segundo aNBR 6118/2003, inferiores a L/350);

6. As cargas dinâmicas ou estáticas são aplicadasperpendicularmente à superfície da placa;

7. A configuração deformada da placa é tal que linhas retasinicialmente perpendiculares à superfície média permanecemretas e perpendiculares;

8. As deformações devidas ao cisalhamento são desprezadas;9. A deformação da placa é produzida por deslocamentos dos pontos

da superfície média perpendicular ao plano indeformado;10. As tensões normais à superfície média são desprezíveis em

relação às tensões no mesmo plano.

2. Justificativa:

5

Uma das patologias verificadas em edificações são as

trincas que aparecem nos elementos estruturais. As lajes em

especial, quando têm suas deflexões negligenciadas no cálculo

da estrutura, tendem a apresentar padrões de fissuramento

conforme as imagens:

Imagem 1 – Fissuras comuns em lajes por torção

Imagem 1 – Fissuras em lajes por flexão

Imagem 2 –Fissuras em alvenaria externa, causadas pela retração de

lajes intermediárias

Para evitarem-se tais patologias, é de suma importância

uma correta análise Dos esforços e deformações nos diversos

elementos estruturais do projeto, em especial, das lajes.6

O referido tema aborda a aplicação dos conteúdos estudados

nas disciplinas de cálculo para as soluções de problemas de

engenharia, focados na área de estruturas, mostrando a

importância da interdisciplinaridade entre as disciplinas do

curso.

3. Objetivos:

O objetivo deste trabalho é utilizar o método das Séries

de Fourier, para determinar as deformações e esforços interno

em lajes retangulares com espessura constante, sujeitas a

cargas uniformemente distribuídas e concentradas, supondo-se o

comportamento linear sob efeito do deslocamento e compará-los

com os processos adotados pelas normas vigentes.

Espera-se ser obtido por meio de exemplo práticos, os

esforços e as deformações nas lajes e o resultado da sua

comparação com os processos adotados pelas normas vigentes.

4. Fundamentação Teórica

Na análise estrutural de placas, são comumente utilizados

vários processos para determinação de esforços e deslocamentos

nas lajes e nos elementos de apoio, como a Teoria das Grelhas,

Teoria de Flexão de Placas, Método dos Elementos Finitos e

Teoria das Linhas de Ruptura. Neste trabalho serão analisados

os esforços e deslocamentos através de processos analíticos

pela Teoria de Flexão de Placas.

7

O processo de análise envolve a resolução de equações

diferenciais parciais. As equações serão resolvidas pelo

método das Séries de Fourier. Dentre os diversos processos

existentes para a obtenção dos resultados das Séries, o

trabalho enfatizará o Processo de Navier e o Processo de Lévy.

Por definição, uma série simples de Fourier é dada pela

equação:

f (x )=a0+∑n=1

∞

(ancos nπxL +bnsinnπxL )

Mas esse somatório somente converge no caso de funções de

uma variável. Entretanto, numa laje, tem-se uma placa fina com

seus carregamentos e esforços definidos em (x,y). Logo, entra-

se na teoria das séries duplas de Fourier. Ideais para

resolução de equações diferenciais parciais.

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo

R do plano se:

I. f(x,y) é contínua no interior e nas bordas de R,

possui um número finito de descontinuidades ou é

descontínua ao longo de arcos diferenciáveis.

II. Existe lim(x,y)→ ¿¿

¿ quando (x¿¿0,y0)¿ é um ponto de

descontinuidade de f em R e (x,y) tende a (x¿¿0,y0)¿

pelos arcos diferenciáveis.

Os arcos diferenciáveis são definidos como:

¿f,g>¿∫a

b

∫c

d

f (x,y )g (x,y )dxdy

8

Teorema: Sejam fi(x) e gj(y) ortogonais e pertencentes aos

espaços Cp[a,b ] e Cp[c,d ], respectivamente, então f (x,y ) e

g(x,y) estarão contidos em Cp(R), onde R é o retângulo

a≤x≤b,c≤y≤d e Cp designa o conjunto de funções contínuas

definidas em R e com período igual a 2π.

A série dupla de Fourier, que será utilizada para resolver as

equações diferenciais parciais, é dada por:

f (x,y )=∑(i,j )

ai,j∙hi,j(x,y)

Tomando-se uma região definida por −π≤x≤π,−π≤y≤π

9

As funções utilizadas como hi,j(x,y) serão dadas pelas

combinações lineares de:

cos (nx),Sen (mx)cos (py ),Sen(qy)

Que são definidas por:

cos (nx)∙cos (py);cos (nx)∙sen (qy );sen (mx )∙cos (py );sen(mx)∙sen(qy)

O termo ai,j do somatório é definido por:

ai,j=¿f,hi,j> ¿

||hi,j||2=

∫−π

π

∫−π

π

f (x,y )hi,j(x,y)dxdy

∫−π

π

∫−π

πfi² (x)gj² (y )dxdy

¿

Assim, de forma geral:

f (x,y )=∑n=0

∑p=0

an,p∙cos(nπxa )∙cos(pπyb )+¿∑n=0

∑q=1

an,q∙cos(nπxa )∙sen(qπyb )¿

+∑m=1

∑p=0

am,p∙sen(mπxa )∙cos(pπyb )+¿∑m=1

∑q=1

am,q∙sen(mπxa )∙cos(qπyb )¿−a≤x≤a,−b≤y≤b

10

E esta série dupla será utilizada para a resolução dos

problemas diferenciais com lajes, como por exemplo, a equação

da elasticidade do plano:

∂4ω(x,y)

∂x4 +∂4ω(x,y)

∂x2∂y2 +∂4ω(x,y)

∂y4 =f(x,y)

D

ω (x,y )→Deformaçãoouflechadalajef (x,y )→Carregamentonalaje

D→ProdutodeRigidezdalaje

5. Metodologia:

a) Revisão bibliográfica.

b) Abordagem conceitual do cálculo dos esforços e

deformações em lajes.

c) Analise das Patologias em lajes devido aos problemas de

deformações excessivas.

d) Estudo de aplicações das Séries de Fourier.

e) Analise dos esforços internos em laje utilizando as

Equações Diferenciais Parciais.

f) Simplificação das Equações Diferenciais Parciais por Séries de

Fourier.

g) Resolução do elemento de laje pelo método de Navier.

h) Resolução do elemento de laje pelo método de Lévy.

i) Comparação dos resultados obtidos pela analise de lajes

pelo método por Fourier com as normas vigentes.

6. Cronograma:

2014 2015

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AGO. SET.

OUT.

NOV. DEZ.

JAN.

FEV.

MAR. ABR.

MAI.

JUN.

JUL.

Revisão Bibliográfica

X X X

Desenvolvimento do trabalho

X X X X X

Análise dos Resultados X X X

Elaboração do trabalho final

X X X

Apresentaçãodo trabalho final

X

Publicação X

7. Orçamento:

Como a pesquisa tem embasamento teórico e a biblioteca do

UNICEUB proporciona uma vasta opção de referências

bibliográficas, não será requerido nenhum recurso financeiro.

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8. Referências:

ABNT/CB-002 Construção Civil. (2007). NBR 6118 Projeto deestruturas de concreto - Procedimento. ABNT.BOTELHO, M. (2013). Concreto Armado Eu Te Amo. São Paulo:Edgard Blucher.CAMELO, M. (1976). Placas Cogumelo Retangulares SimplesmenteApoiadas nos Quatro Bordos. RJ: PUC.COELHO, J. (25 de Março de 2014). Análise de Placas pelaTeoria da Elasticidade. Fonte: Site da AltoQI:http://faq.altoqi.com.br/content/245/587/pt-br/an%C3%A1lise-de-placas-pela-teoria-da-elasticidade.htmlDepartamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil daUniversidade Federal do Ceará. (26 de Março de 2014). Flexãode Placas. Fonte: DEECC-UFC:http://www.deecc.ufc.br/Download/TB797_Analise_de_Estruturas_I/TeoriadasPlacas.pdfFIGUEIREDO, D. G. (1977). Analise de fourier e equacoesdiferenciais parciais. São Paulo: Edgard Blucher.M.J.S.DINIS, L. (2004). Métodos Analíticos na Análise dePlacas. Porto: Faculdade de Engenharia da Universidade doPorto.SPIEGEL, M. R. (1976). Análise de Fourier. São Paulo: SchaumMcgraw-Hill.

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