Page 1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
RESUMO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Bolsista Ped: Elias Antonio Nicolas Pad: Bianca Lopes de Oliveira
Campinas, Fevereiro - 2006
Page 2
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
2
SUMÁRIO
1-FLEXÃO GERAL ................................................................................ 3
2-TORÇÃO.............................................................................................. 25
3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS...........
48
4-TEORIA DAS TENSÕES..................................................................... 62
5-TEORIA DAS DEFORMAÇÕES......................................................... 73
6-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO.......................................................... 81
7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA......................................................... 97
8-FLAMBAGEM....................................................................................111
9-BIBLIOGRAFIA..................................................................................121
Page 3
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
3
OBSERVAÇÃO INICIAL Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que freqüenta o curso de EC-501 – Resistência dos Materiais II um material que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares. Não tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Resistência dos Materiais . Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a colocação de alguns exemplos adicionais. 1-FLEXÃO GERAL
- Momentos de segunda ordem:
zy, eixos centrais de inércia.
- Momentos de inércia centrais:
AzIA
y∂⋅= �
2
AyIA
z∂⋅= �
2
- Produto de inércia:
AzyIA
yz∂⋅⋅= �
AzbAzIAA
y ∂⋅+=∂⋅= ��22 )(
Page 4
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
4
AzzbbIA
y ∂⋅+⋅⋅+= � )2( 22
AzAbIA
y ∂⋅+⋅= �22
Momento estático = � ∂⋅=A
AzS
S = 0 em relação ao c.g.
yy IAbI +⋅= 2
zz IAcI +⋅= 2
yzyz IAcbI +⋅⋅=
• “b” e “c” são coordenadas do c.g. em relação ao sistema (y,z).
- Rotação dos eixos (u,v):
Matriz de transformação de coordenadas:
���
����
�⋅�
��
−=��
�
����
�
z
yv
u
αααα
cossensencos
αα sencos ⋅+⋅= zyu
αα cos⋅+⋅−= zsenyv
AvIA
u ∂⋅= �2
AzyIA
u ∂⋅⋅+⋅−= �2)cossen( αα
AzyAzAyIAAA
u ∂⋅⋅⋅⋅⋅−+∂⋅⋅+∂⋅⋅= ��� αααα cossen2cossen 2222
Page 5
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
5
αααα cossen2cossen 22 ⋅⋅⋅−⋅+=yzyzu IIII
AzyAuIAA
v ∂⋅⋅+⋅=∂⋅= ��22 )sencos( αα
αααα cossen2sencos 22 ⋅⋅⋅+⋅+=yzyzv IIII
AzyzyAvuIAA
uv ∂⋅+−⋅+=∂⋅⋅= �� )cossen()sencos( αααα
( ) ( )αααα 22 sencoscossen −+⋅⋅−=yzzyuv IIII
- Utilizando Arcos duplos: ααα cossen22sen ⋅⋅=
ααα 2cossencos 22 =−
1sencos 22 =+ αα
Tem-se:
αα 2sen2cos22
⋅−⋅−
++
=yz
zyzyu I
IIIII
αα 22cos22
senIIIII
Iyz
zyzyv ⋅+⋅
−−
+=
αα 2cos22
⋅+⋅−
=yz
zyuv Isen
III
22
22cos22 �
�
�
�
��
�
�⋅−⋅
−=
��
���
��
�
�
��
�
� +− αα senI
IIIII
yz
zyzyu
( )2
2 2cos22 �
�
�
�
��
�
�⋅+⋅
−= αα
yz
zyuv Isen
III
yzzy
uvzy
u III
III
I 2
2
2
2
22+
��
�
�
��
�
� −=+
��
�
�
��
�
� +−
- Equação da circunferência
• ( ) 2220 Ryxx =+−
• (y0 = 0)
• (x0, y0) posição do centro.
Page 6
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
6
Círculo de Mohr:
I1 = momento de inércia máximo
I2 = momento de inércia mínimo.
Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0.
02cos22
=⋅+⋅−
= ααyz
zyuv Isen
III
yz
yz
II
Itg
−
⋅=
22α
Propriedade:
cteIIIIIIII vuzyzy =+=+=+=+ 21
Valores de I1 e I2.
yzzyzy I
IIIII 2
2
1 22+
��
�
�
��
�
� −+��
�
�
��
�
� +=
yzzyzy I
IIIII 2
2
2 22+
��
�
�
��
�
� −−��
�
�
��
�
� +=
Page 7
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
7
Exercícios:
1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
2) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
Page 8
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
8
3) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
(resolvido)
Page 9
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
9
Resolução do exercício 4:
- Divisão da seção em áreas:
Centro de gravidade (c.g.):
( ) cmA
Ayy
i
ii 88,55,0125,1115
05,01265,05,115,105,015 =⋅++
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅
=��
( ) cmA
Azz
i
ii 60,65,0125,1115
65,01285,05,1165,015 =⋅++
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅
=��
Momento de inércia de cada seção:
Área 1:
43
1 16,012
5,015cmI z =⋅=
43
1 63,14012
155,0cmI y =⋅=
�= 01yzI seção retangular
Page 10
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
10
Rotação dos eixos da área 1:
αα 2sen2cos221
⋅−⋅−
++
==yz
zyzyuy
IIIII
II
41
06,900)74,73cos(24,7040,70 cmIy
=−⋅+=
αα 2sen2cos221
⋅+⋅−
−+
==yz
zyzyvz
IIIII
II
41
73,500)74,73cos(24,7040,70 cmIz
=+⋅−=
αα 2cos2sen21
⋅+⋅−
==yz
zyuvyz
III
II
41
43,670)74,73sen(24,70 cmIyz
=+⋅=
Área 2:
43
2 12,012
5,05,11cmI y =⋅=
43
2 37,6312
5,115,0cmI z =⋅=
�= 02yzI seção retangular
Área 3:
43
3 7212
125,0cmI y =⋅=
43
3 13,012
5,012cmI z =⋅=
�= 03yzI seção retangular
087,36=α
Page 11
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
11
Momento de inércia total: 4222 3,1785,0126,0725,05,114,112,05,0156,006,90 cmI
y=⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+=
4222 82,4815,01288,513,05,05,1112,037,635,01562,473,50 cmIz
=⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 477,685,0126,088,55,05,114,112,05,01562,46,043,67 cmIyz
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−+⋅⋅−⋅+=
Direções principais:
453,03,17882,481
77,68222 =
−⋅=
−
⋅=
yz
yz
II
Itg α
02,12=′α
02,102=′′α
Momentos principais de inércia:
( )2
2
2,1 22 yz
zyzy IIIII
I +��
�
�
��
�
� −±
��
�
�
��
�
� +=
( )22
2,1 77,682
82,4813,1782
82,4813,178 +��
���
� −±��
���
� +=I
41 68,496 cmI =
42 45,163 cmI =
Page 12
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
12
Tensões Normais à Seção Transversal Seja:
- Flexão Pura: quando atua apenas o momento fletor. (N=V=0).
Hipóteses:
1. A distribuição da tensão normal na seção é linear.
2. O material é isotrópico e segue a lei de Hooke ( εσ ⋅= E ; γτ ⋅= G ).
3. As seções planas permanecem planas após o carregamento.
- Tensão ( xσ )
Da hipótese (1): yKx ⋅=σ (variação linear), onde K = constante.
Sabe-se que AF=σ que resulta em AF xx ∂⋅=∂ σ , e que yFM xz ⋅∂=∂ . Assim:
AyyAM xxz ∂⋅⋅=⋅∂⋅=∂ σσ
Page 13
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
13
AyKM z ∂⋅⋅=∂ 2
�� ∂⋅⋅=∂=AA
zz AyKMM 2 � � ∂⋅⋅=A
z AyKM 2 � zz IKM ⋅=
Como z
z
IM
K = e yKx ⋅=σ , tem-se:
• yI
M
z
zx ⋅=σ
- Flexão oblíqua pura: o plano de cargas é inclinado de um ângulo � em relação ao
plano vertical. O vetor momento é inclinado do mesmo ângulo em relação ao eixo z.
Essa flexão é tratada como a superposição de duas flexões normais (Mz e My):
θcos⋅= MM z
θsen⋅= MM y
Page 14
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
14
A tensão normal será: xxx σσσ ′′+′= , onde yKx ⋅′=′σ e zKx ⋅′′=′′σ .
Logo: zKyKx ⋅′′+⋅′=σ .
Sabe-se que �� ⋅∂⋅=⋅∂=A
xA
xz yAyFM σ
� ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
z AyzKyKM )( � � ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
z AzyKyKM )( 2
� � ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=A A
z AzyKAyKM )()( 2 � � � ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=A A
z AzyKAyKM 2
• yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′=
�� ⋅∂⋅=⋅∂=A
xA
xy zAzFM σ � � ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
y AzzKyKM )(
� ∂⋅⋅⋅′+⋅′′=A
y AzyKzKM )( 2 � � � ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=A A
y AzyKAzKM )()( 2
� � ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=A A
y AzyKAzKM 2
• yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′=
Como o sistema yz é central de inércia, ou seja, vuzy ,, → (momentos principais de
inércia), tem-se:
0== uvyz II
yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= � v
vvv I
MKIKM =′→⋅′=
yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= � u
uuu I
MKIKM =′′→⋅′′=
Assim:
vKuKx ⋅′′+⋅′=σ
vI
Mu
IM
u
u
v
vx ⋅+⋅=σ
A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal onde as
tensões normais são nulas.
Page 15
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
15
0=⋅+⋅= vI
Mu
IM
u
u
v
vxσ � u
II
MM
vv
u
u
v ⋅⋅−=
Sendo
• θsen⋅= MM u
• θcos⋅= MM v
Substituindo:
uII
MM
vv
u ⋅⋅⋅⋅−=
θθ
sencos
uII
tgv
v
u ⋅⋅−=θ
1
Essa é a equação da linha neutra.
Se v
u
II
tgtg ⋅−=
θβ 1
utgv ⋅=∴ β
Page 16
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
16
Exercícios:
5) Calcular os valores extremos de tensão (tração e compressão) que surgirão na viga. O
peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção.
Dados: 4167.124 cmI y = , 4042.461 cmI z = , 4375.194 cmI yz = .
6) Qual deve ser o valor do momento fletor admissível num plano que forma com o
eixo y um ângulo de 30o ?. Dados: 41408cmI y = , 42656cmI z = , 4864cmI yz −= ,
2/1000 cmtf=σ
Page 17
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
17
��� ���
����� �
� �� � ��
��
��
��
�
�� � ���������
7) Determinar na seção crítica a linha neutra e calcular a flecha máxima em A. 2/200 cmtfE =
Resolução do exercício 5 Calcular os valores extremos de σ (tração e compressão) que surgirão na viga. O peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo cg da seção.
Dados: Iy = 124167 cm4
Iz = 461042 cm4 Iyz = 194375 cm4
Figura 5.1
Solução: a) Características Geométricas - Cálculo do CG
→→→→ como a seção é simétrica a posição do cg é óbvia.
Page 18
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
18
������
��������� ��������������
�
� �
�
α
!
�
θ
β
σ
σ
"
#
- Momentos Totais de Inércia e suas Direções
�7624124167461042
194375222 ,
II
Itg
yz
yz =α�−
⋅=−⋅
=α
�+���
����
� −±
+= yz
zyzy IIIII
I2
2212 ��
���
=
=4
2
41
8039532
20550676
cm,I
cm,I
→→→→ eixos u e v,
480395322222
cm,IsenIcosIIII
I uyzzyzy
u =�α⋅−α⋅−
++
=
1
2
II
II
v
u
==∴
b) Tensões
Pela regra da mão direita temos:
uI
Mv
IM
v
v
u
ux ⋅+⋅−=σ
onde: �7624,−=θ
���
⋅=θ⋅=⋅−=θ⋅=cmtf,cosMM
cmtf,senMM
v
u
61181
7683
u,
,v
,,
x ⋅+⋅−=σ∴20550676
611818039532
7683
- Para a Linha Neutra σ = 0
020550676
611818039532
7683 =⋅+⋅−=σ u,
,v
,,
x
Page 19
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
19
→ podemos calcular a LN de duas formas:
admitindo pontos na eq. de tensão
4261
00
,uv
vu
=�==�=∴
ou pelo cálculo do angulo β:
�858
1,
II
tgtg
utgv
v
u =β�⋅θ
−=β
⋅β=
Para a obtenção dos pontos mais solicitados será necessário fazer uma mudança de
base, onde será utilizado a matriz de transformação:
���
���
⋅�
��
αα−αα
=���
���
z
y
cossen
sencos
v
u
→ ponto A:
���
=−=
����
=−=
cm,v
cm,u
z
cm,y
A
A
A
A
6113
5129
0
532
( ) 2863512920550676
611816113
80395327683
cmtf,,,
,,
,,
A −=−⋅+⋅−=σ�
→ ponto B:
���
−==
����
==
cm,v
cm,u
z
cm,y
B
B
B
B
6113
5129
0
532
( ) 2863512920550676
611816113
80395327683
cmtf,,,
,,
,,
B =⋅+−⋅−=σ�
��
���
=σ
−=σσ∴
2
2
863
863
cmtf,
cmtf,:sãodeextremosvaloresos
T
C
Page 20
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
20
- Flexão composta: quando atua no trecho o momento e também a força axial(F).
• Flexo-compressão (F < 0).
• Flexo-tração (F > 0).
• e: excentricidade.
Quando e = 0: é flexo-compressão ou flexo-tração centrada. Quando não, deve-se
considerar a excentricidade.
- Flexão Oblíqua Composta:
eu : excentricidade em relação ao eixo u.
ev : excentricidade em relação ao eixo v.
vI
Mu
IM
AF
u
u
v
vx ⋅+⋅+=σ
Superposição de efeitos.
Nesse caso:
uu eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ sensen
vv eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ coscos
Linha Neutra:
0=⋅+⋅+= vI
Mu
IM
AF
u
u
v
vxσ � 0
sencos1 =⋅⋅+⋅⋅+ vI
eu
Ie
A uv
θθ
utgeAI
v u ⋅+⋅⋅
−= βθsen
utgctev ⋅+= β � →≠ 0cte a linha neutra não passa pelo c.g.
Page 21
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
21
Exercícios:
8) Calcular F, sendo 2/800 cmkgfc =σ e 2/1400 cmkgft =σ .
Dados: 4000.105 cmI y = , 473,577.55 cmI z = , 4320.28 cmI yz −= , 2900cmA =
9) Determinar a carga admissível P sabendo que 2/120 cmkgfc =σ ; 2/30 cmkgft =σ e
que �Pq = . Dados: 436,689.103 cmI y = , 436,689.183 cmI z = , 457,319.76 cmI yz −= .
Page 22
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
22
10) Traçar o diagrama de tensões normais na situação mais crítica. Dados: 413932cmI y = , 434668cmI z = , 415552cmI yz −= , P = 10KN, q = 5KN/m.
11) Determinar a posição e o valor de uma carga P de tração que provoca a linha neutra
indicada na figura abaixo. A tensão no ponto A vale 2/100 cmkgfA =σ .
Page 23
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
23
Núcleo central de Figuras Planas
• Definição: região da seção transversal onde aplicada uma força normal, sua
linha neutra não corta a seção.
• Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou
tração) de acordo com o sinal da força.
• Importância: materiais com baixa resistência a tração.
Exemplos: murros de arrimo, chaminés e pilares.
Determinação do núcleo central:
uI
MAN
v
vx ⋅+=σ � com vv eNM ⋅= � u
IeN
AN
v
vx ⋅
⋅+=σ
Linha neutra:
0=⋅⋅
+= uI
eNAN
v
vxσ � 0
1 =⋅+ uIe
A v
v � v
v
eAI
u⋅
−=
Observação:
1. Cada figura plana tem seu núcleo central que não depende de N.
2. A cada par de lados consecutivos do polígono circunscrito corresponderá a um lado
do polígono que constitui o núcleo central.
3. O ponto de aplicação de N e a LN conseqüente ficam em semi-planos opostos
delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN).
4. O núcleo central terá tantos lados quantos forem os lados (ou vértices) do polígono
convexo circunscrito.
Exercícios:
Page 24
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
24
12) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo.
13) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo.
Dados: 22300cmA = , 454,1220171 cmI u = , 415,385504 cmI v = , 085,9−=α
2-Torção
Page 25
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
25
Torção em barras de seção circular
Figura a Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na extremidade livre por um momento torsor Mt (figura a). No engastamento, surgirá um momento de mesmo valor com sentido oposto. Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação γ (ângulo de torção). Aparecerá, assim, em cada seção da barra, tensões de cisalhamento �. Hipóteses básicas:
1. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores são proporcionais ao mesmo.
)()( rfr =τ
ττ ⋅=ar
r
ar <<0
γ : distorção e Mt: momento de torção.
2. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos.
Seja:
Page 26
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
26
A tensão aplicada na face 34 dr e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 dr
são insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas
formam um binário (�). Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento
(� � ).
O Teorema de CAUCHY diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais.
trxxtr ∂⋅∂⋅∂⋅=∂⋅∂⋅∂⋅�
ττ
�ττ =∴
Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke
Após a aplicação de Mt, os pontos 3 e 4 passarão a ocupar as posições 3’ e 4’
devido a distorção γ .
Page 27
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
27
Na flexão, a tensão normal é: εσ ⋅= E .
Analogamente, na torção, a tensão de cisalhamento será: γτ ⋅= G , onde G é o
módulo de elasticidade transversal. Para materiais isotrópicos:
)1(2 ν+⋅= E
G ν : coeficiente de Poisson
Para o Aço:
MPacmKgfE 210000/2100000 2 ==
MPacmKgfG 80000/800000 2 ==
3,0=ν
Se ττ ⋅=ar
r � γγ ⋅⋅=⋅ Gar
G r � γγ ⋅=ar
r .
Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças
elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (confome figura abaixo) de
espessura ∂ r, o momento ∂ Mt é dado pela resultante das tensões � na área elementar
∂ A.
Page 28
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
28
Sendo rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ e rrA ∂⋅⋅⋅=∂ π2 , tem-se:
rrrar
M t ∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂ πτ 2
arr
M t
∂⋅⋅⋅=∂32πτ
2422 3
0
4
0
3 τπτππτ ⋅⋅=���
����
�
⋅⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂= � �
aa
ra
rrMM
aa
tt
3
2aM t
⋅⋅
=π
τ
2D
a = (D = diâmetro)
Portanto, 3
16DM t
⋅⋅
=π
τ .
Flexão:
WM
yIM
yI
M ==⋅=/
σ
W: módulo de resistência à flexão.
Torção:
t
ttt
WM
D
MDM
=
���
����
� ⋅=
⋅⋅
=
16
1633 ππ
τ
16
3DWt
⋅= π para seção circular cheia
Giro Relativo (ϕ )
Page 29
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
29
Hipótese: (Teoria de pequenos deslocamentos)
ϕ∂ é muito pequeno � arco ≈ tangente
tangente = a⋅∂ϕ = x∂⋅γ ( γ é muito pequeno)
ax∂⋅=∂∴ γϕ
A variação do ângulo está relacionada à distorção do raio e do cisalhamento.
xa
∂⋅=∂= � �� �
0 0
γϕϕ
�⋅=∴aγϕ
Sendo Gτγ = �
aG ⋅⋅= �τϕ �
2
16
3 DGD
M t
⋅⋅⋅
⋅⋅=
πϕ �
4
32DG
M t
⋅⋅⋅⋅
=∴π
ϕ �
)32
(4D
G
M t
⋅⋅
⋅=∴
πϕ �
Ou t
t
IGM
⋅⋅
=�ϕ com
32
4DI t
⋅= π
Resumindo: seção circular cheia.
t
t
WM
=τ
16
3DWt
⋅= π
t
t
IGM
⋅⋅
=�ϕ
32
4DI t
⋅= π
Page 30
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
30
SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE ESPESSA (GROSSA)
Com as expressões obtidas anteriormente e a = D/2, tem-se:
2Drr =
ττ
� ττ ⋅=2
Dr
r
drrA ⋅⋅⋅=∂ π2
rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ
rrrM rt ⋅∂⋅⋅⋅=∂ πτ 2
rrM rt ∂⋅⋅⋅=∂ 22πτ
rrD
M t ∂⋅⋅⋅=∂ 32)
2(
πτ
�� ∂⋅⋅⋅=∂=∂2/
2/
32/
2/2
)2
(
D
d
D
d tt rrD
MM πτ
Momento resultante: ��
�
�
��
�
���
���
�−��
���
�⋅⋅
⋅=44
2242
2 dDD
M t
τπ.
Assim, a tensão será t
t
WM
=τ com ��
�
�
��
�
���
���
�−��
���
�=44
22dD
DWt
π.
t
t
IGM
⋅⋅
=�ϕ
( )44
32dDI t −= π
Page 31
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
31
SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE FINA (DELGADA)
Nas quais dmt <<< ou 10>t
dm, onde:
dm: diâmetro médio;
t: espessura.
Pode-se considerar que � seja uniforme.
tMdm
A =⋅⋅2
τ � tMdm
tdm =⋅⋅⋅⋅2
πτ � tMtdm =⋅⋅⋅
2
2πτ �
2
2dmtM t
⋅⋅=
πτ
Assim t
t
WM
=τ com 2
2dmtWt
⋅⋅= π. E
t
t
IGM
⋅⋅
=�ϕ com
4
3dmtI t
⋅⋅= π.
Exemplo de Diagramas de Momento Torsor
• Momento de torção aplicado
Page 32
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
32
Exercícios:
1) Traçar o diagrama de momento torsor
2) Traçar o diagrama de momento torsor
• Momento de torção uniformemente distribuído (m)
xmxmMx
t ⋅=∂⋅= �0 � �� ⋅== mxM t )(
Page 33
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
33
• Momento de torção linearmente distribuído (m)
� ∂=x
xt xmM0
onde xm
tgmx ⋅==�
θ
� ∂⋅⋅=x
t xxm
M0 �
Logo: �⋅
⋅=2
2xmM t e
22)(
2�
�
��
⋅=⋅⋅== mm
xM t
Exercícios:
1) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura isostática. a
Mm 21 = ,
aMm =2
Page 34
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
34
2) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. aMm =
3) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática.
M = 5 kNm; m = 0,3 kNm/m; L = 1,2 m.
4) Calcular o giro relativo abϕ
Page 35
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
35
5) Calcular o giro relativo abϕ
6) Calcular o diâmetro d e o giro abϕ
M = 120 Nm; m = 40 Nm/m; a = 1,2 m; b = 0,8 m; 2/10 mMNadm =τ , G = 80000
MN/m2.
7) Calcular o momento torsor M.
Page 36
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
36
E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2; cmbarra 1=φ ; 2/12 cmkNadm =σ 2/8 cmkNadm =τ
Torção em barras de seção qualquer Observações:
Barras de seção circular: seções sofrem rotações elásticas e permanecem planas.
Barras de seção qualquer: sofrem empenamento.
Hipóteses:
Page 37
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
37
1. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas é constante em x.
2. As tensões de cisalhamento igualmente distribuídas sobre a espessura t e dirigindo-se
paralelas às bordas são funções de s, )(sττ = , mas independentes de x.
obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a torção livre (torção de Saint
Venant)
Equilíbrio de forças:
xtxt ∂⋅⋅=∂⋅⋅ 2211 ττ
cteststt =⋅=⋅=⋅ )()(2211 τττ
=⋅ )()( stsτ fluxo de cisalhamento
Momento Mt:
hdsstsM t ⋅⋅⋅=∂ )()(τ com
dAdshhds
A ⋅=⋅�⋅=∂ 2
2
dAstsM t ⋅⋅⋅=∂ 2)()(τ
�� ⋅⋅⋅=∂=AA
tt dAstsMM 2)()(τ
AstsM t ⋅⋅⋅=∴ )()(2 τ
)(2)(
stAM
s t
⋅⋅=∴τ
t
t
WM
s =∴ )(τ com )(2 stAWt ⋅⋅=
Page 38
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
38
Exemplo: Seção quadrada:
2aA =
tst =)(
taWt ⋅⋅= 22
Exemplo: círculo
4
2dmA
⋅= π
2
2dmtWt
⋅⋅= π
Na seção qualquer, se t = t(s):
t
t
WM
=τ e )(2 stAWt ⋅⋅=
mint
tMAX W
M=τ � min2min tAWt ⋅⋅=
Fluxo de cisalhamento � ctests =⋅ )()(τ
Page 39
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
39
Deformação � (rotação elástica)
• Trabalho/energia
U = energia = T = trabalho
2dp
U p
⋅=
dFU FV ⋅=
ϕ⋅⋅== tMUT21
(carregamento lento)
Se ϕ⋅= tMT (cargas rápidas)
U: energia de deformação (interna)
T: trabalho externo
A carga (F,M) produz esforços (M,V,N,Mt) e tensões ( )τσ , .
dsdxstsU ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ γτ )()(21
Page 40
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
40
Pela Lei de Hooke:
εσ ⋅= E γτ ⋅= G Gτγ =
Logo dsdxstsG
U ⋅⋅⋅⋅⋅
=∂ )()(2
1 2τ .
Tem-se: )(2
)(stA
Ms t
⋅⋅=τ .
dsdxststA
MG
U t ⋅⋅⋅���
����
�
⋅⋅⋅
⋅=∂ )(
)(221
2
dsdxstAG
MU t ⋅⋅
⋅⋅⋅=∂
)(8 2
2
)(8 2
2
stds
dxAG
MU t ⋅⋅
⋅⋅=∂
��� ⋅∂⋅⋅⋅
=∂=)(8 02
2
stds
xAG
MUU t
�
Igualando-se o trabalho do esforço Mt com o das tensões �, tem-se:
TU =
ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
� tt M
stds
AGM
21
)(8 2
2�
�⋅⋅⋅⋅
=)(4 2 st
dsAG
M t �ϕ
T
t
IGM
⋅⋅
=�ϕ
�
⋅=∴
)(
4 2
stdsA
I t
como t é normalmente constante, � ds = perímetro.
Exemplo:
Page 41
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
41
A = a x b
)()(2
)(2)(4
)(
4 222
batba
tba
ba
stdsA
I t +⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅=⋅=
�
Exercícios:
1) Calcular “e”, It.
Dados: Mt = 100 tfcm, t = 0,1 cm, 2/0,1 cmtfadm =τ
2) Calcular “a”
Page 42
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
42
Dados: Mt = 250 tfcm, 2/0,1 cmtfadm =τ
Analogia de membrana Imaginemos uma membrana homogênea, com o mesmo contorno da seção transversal do elemento sujeito à torção e solicitada por uma tração uniforme nas bordas e por pressão uniforme.
Equação diferencial da superfície deformada de uma membrana.
Kp
yz
xz −=
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
Page 43
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
43
Mostra-se que a equação diferencial da superfície elástica da membrana
deformada tem a mesma forma da equação diferencial que determina a distribuição das
tensões ao longo da barra solicitada à torção.
Equação diferencial da torção:
αφφ ⋅−=∂∂+
∂∂
Gyx 2
2
2
2
Analogia entre as equações diferenciais se: α⋅= GKp
onde:
P: pressão lateral por unicidade de área;
K: força de tração por unicidade de comprimento da barra;
�: ângulo de torção por unicidade de comprimento.
Seções celulares:
Torção em seções celulares:
Equação de equilíbrio da membrana:
�⋅⋅=⋅t
dshKAp
Page 44
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
44
Placa 1:
)()()( 1231
11 chh
eK
acae
hKAp ⋅−⋅−++⋅
⋅=⋅
Placa 2:
)()()( 1232
22 chh
eK
bcbe
hKAp ⋅−⋅+++⋅
⋅=⋅
Tensão tangencial:
βτ ⋅⋅
=V
M t
2
eh=β
11 2βτ ⋅
⋅=
VM t
1
11 e
h=β
22 2βτ ⋅
⋅=
VM t
2
22 e
h=β
33 2βτ ⋅
⋅=
VM t
3
123 e
hh −=β
Momento de inércia à torção:
pKV
IT
⋅⋅= 4
ângulo de giro:
Kp
VGM
IGM t
t
t ⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
=4��ϕ
Page 45
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
45
Exercícios:
1)Calcular Mt e abϕ
Dados: G = 800 kN/cm2; 2/8 cmkNadm =τ
2) Determinar: a) Wta / Wtf, b) esforço no cordão de solda, sendo Mt = 100 tfcm.
Page 46
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
46
3) Calcular o deslocamento do ponto A.
Dados: t = 0,1 cm; Mt = 1
50 kNcm, G = 8000 kN/cm2.
Resolução do exercício 3.
Page 47
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
47
Placa 1 = Placa 3
)5(1,0
)4783,5(1,0
52
)74(21 ⋅⋅−++⋅⋅=�
�
���
� ⋅+⋅ hK
hK
p � 21 583,1675,2 hhKp ⋅−⋅=⋅
Placa 2
( ) ( ) )5544(1,0
)55(1,0
95 212 +++⋅+⋅++⋅⋅=⋅⋅ hhK
hK
p � 21 28185,4 hhKp ⋅+⋅=⋅
Kp
h ⋅= 18,01
Kp
h ⋅= 05,02
Volume: ( ) ( )212112 hhAhAV +⋅+⋅⋅=
( )Kp
Kp
Kp
V ⋅=⋅+⋅+��
���
� ⋅⋅⋅= 25,2005,018,04518,05,272
Inércia à torção: 48125,2044
cmpK
Kp
pKV
I t =⋅⋅⋅=⋅⋅=
Giro: radIG
M
t
t 023,0818000
100150 =⋅
⋅=⋅⋅
=�ϕ
Coordenadas do ponto A em relação ao c.g.
cmxA 5,9= , cmyA 3,3=
( ) cmyv Ax 076,03,3023,0 =⋅−−=⋅−= ϕ
( ) cmxv AY 219,05,9023,0 −=⋅−=⋅= ϕ
Deslocamento: cmvvv yx 23,022 =+=
Page 48
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
48
3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS
- Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas:
Dado um elemento de viga obtido por duas seções: x e x + dx
• AyI
xMAxT
Az
A∂⋅⋅=∂⋅= ��
)()(σ
• AyI
xxMAxxt
Az
A∂⋅⋅∂+=∂⋅∂+= ��
)()(σ
As resultantes das trações exercidas sobre o elemento geralmente não serão
iguais: tT ≠ � tTxxMxM >�∂+> )()(
0>− tT
Page 49
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
49
0)()( >∂⋅⋅∂+−∂⋅⋅ �� Ay
IxxM
AyI
xMA
zA
z
)()()( xMxMxxM ∂−=∂+
0)( >∂⋅⋅∂
� AyI
xMA
z
O equilíbrio exige, então, que exista uma força horizontal, que será:
xsestT ∂⋅⋅=−−−)()(τ
xsesAyI
xMA
z
∂⋅⋅=∂⋅⋅∂ −−
� )()()( τ
AseI
yxVA
seIx
yxMs
A
z
A
z
∂⋅⋅
⋅=∂⋅⋅⋅∂
⋅∂=∴ �� −−−−)(
)(
)(
)()(τ
� ∂⋅⋅⋅
= −−A
z
AyseI
xVs
)(
)()(τ
• )(
)()( −−
⋅
⋅=seI
SxVs
z
τ onde:
�: tensão de cisalhamento;
V: força cortante na seção em estudo;
e: espessura da seção;
Iz: momento de inércia com relação ao eixo neutro z;
S: momento estático da parte da seção estudada com relação ao eixo neutro z.
Page 50
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
50
ssesF ∂⋅⋅=∂ )()(τ
� ∂=s
FF0
�� ∂⋅⋅⋅
⋅=∂⋅⋅= −−
s
z
s
sseseI
SxVssesF
00
)()(
)()()(τ
Geralmente ctesese ==−−)()(
� ∂⋅⋅=∴s
z
ssSI
xVF
0)(
)(
Exemplo 1:
)()(
)(seISxV
sz ⋅
⋅=τ
PxV =)(
ese =)(
��
�
�
��
�
���
���
�⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=233
22
122
212
heb
beehI z
• Variação nas mesas:
2)(
hsesS
⋅⋅=
Page 51
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
51
)()( sSKs ⋅=τ
)()(seI
xVK
z ⋅=
2)(
sheKs
⋅⋅⋅=∴τ
Tem-se:
• OBS: As tensões tangenciais verticais vτ são desprezadas
bISxV
zv ⋅⋅
⋅=2)(τ
)()(
)(seISxV
sz ⋅
⋅=τ
)(2 sbe v ττ <<�⋅<<
• Para S2 (outra posição de S) na alma
Momento estático
bhesh
sesS ⋅⋅+��
���
� −⋅⋅=22
)(
O momento estático é acumulativo.
bhesehse
sS ⋅⋅+⋅−⋅⋅=22
)(2
)()( sSKs ⋅=τ
Page 52
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
52
Exemplo 2:
2)(
shesS
⋅⋅= (mesa)
bhesh
sesS ⋅⋅+��
���
� −⋅⋅=22
)( (mesa + alma)
02
)( =⋅−⋅=∂
∂se
hessS
2h
S =∴
22222
2
max
hbe
hehheS ⋅⋅+�
�
���
�⋅−⋅⋅=
28
2
max
hbeheS
⋅⋅+⋅=
Page 53
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
53
)()(
)(seISxV
sz ⋅
⋅=τ
)()( sSKs ⋅=τ
PxV =)(
��
�
�
��
�
���
���
�⋅⋅+⋅⋅+⋅=233
2122
12h
ebbeeh
I z
� ∂⋅⋅=s
z
ssSI
xVF
0)(
)(
• � ∂⋅⋅=b
z
ssSIP
F01 )(
• 31 FF =
Page 54
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
54
42)(
2
00
bhes
shessS
bb ⋅⋅=∂⋅⋅⋅=∂⋅ ��
41
2bheIP
Fz
⋅⋅⋅=∴
• � ∂⋅⋅=h
z
ssSIP
F02 )(
222)(
2 bhesehsesS
⋅⋅+⋅−⋅⋅=
262222)(
233
0
2
0
hbehehes
bhesehsessS
hh ⋅⋅+⋅−⋅=∂⋅���
����
� ⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅ ��
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
���
���
�⋅⋅+⋅⋅+⋅
���
����
� ⋅⋅+⋅−⋅⋅=
233
233
2
2122
12
262
hbe
beeh
hbeheheP
F
he << ; be <<
)(2 xVPF ==∴
Page 55
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
55
Centro de cisalhamento (Seções delgadas simétricas)
O centro de cisalhamento ou centro de torção é o ponto do plano da seção em relação ao qual o momento de todas as resultantes das tensões devidas a � é nulo. É o ponto por onde deve passar o plano que contém a resultante de V atuante na seção, para que não haja torção.
fτ : tensão de cisalhamento devido à V
Forças de cisalhamento na seção
� ∂⋅⋅=b
zz
ssSIV
F01 )(
2)(
shesS z
⋅⋅=
42
2
01
bheIV
sshe
IV
Fz
b
z
⋅⋅⋅=∂⋅⋅⋅= �
Vhbehehe
IV
sbhesehse
IV
Fz
h
z
=�
��
⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂⋅���
����
� ⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅= � 264222
233
0
2
2
31 FF =
���
����
� ⋅⋅+⋅⋅+⋅=412
212
233 hbebeehI z
be << ; he <<
Page 56
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
56
Condições de equivalência
VF =1 ; cVM ⋅=0
cVhF ⋅=⋅1
VhF
c⋅= 1
Vhbeh
IV
cz
⋅⋅⋅⋅=4
2
zIbeh
c⋅
⋅⋅=4
22
; ),,( bhefc = não depende de V.
212
23 hbeheI z
⋅⋅+⋅=
Obs: 1. se a cortante passar pelo C.C. não haverá momento na seção, pois há
equivalência entre Vc e M0.
2. Se chamarmos de “fluxo de tensões” o produto � t, podemos imaginar uma
analogia entre “fluxo de tensões” que percorre a seção e “fluxo de água” que percorreria
um encanamento com a forma da seção analisada.
Page 57
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
57
t
tt W
M=τ
PV =
)( bcPMM t +⋅==
ft τττ += (tensão de cisalhamento resultante)
eISV
WM
zt
t
⋅⋅+=τ
Page 58
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
58
Cantoneiras
Exercícios:
1) Determinar a posição do centro de cisalhamento e calcular as tensões tangenciais.
Dado: Iz=2806 cm4.
Page 59
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
59
2) Calcular maxτ
Dado: Iz=895914 cm4.
3) Determinar as tensões principais no ponto A da seção mais solicitada.
Dado: Iy=27937 cm4.
Page 60
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
60
Resolução do exercício 3.
100⋅= FM
FF
zIM
yx 054,015
27937100 −=⋅⋅=⋅=σ
( ) 433 48,37221,212015131
31
cmthI iiT =⋅++⋅⋅=⋅⋅= �
3
max
48,37148,37
cmtI
W TT ===
� ∂⋅⋅=s
ssSIxV
F0
)()(
230
2301
2
1
ss
ssS −⋅=�
�
���
� −⋅⋅=
yy IP
ss
sIP
F ⋅=∂⋅���
����
�−⋅⋅= � 5,2812
230
15
0
2
1
5,337155,3371512 +⋅=+⋅⋅= ssS
( )yy I
Pss
IP
F ⋅=∂⋅+⋅⋅= � 97505,3371520
02
Page 61
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
61
� = 00M
cPFF ⋅=⋅⋅−⋅⋅ 352152 12
cPIP
IP
yy
⋅=��
�
�
��
�
�⋅⋅−
��
�
�
��
�
�⋅⋅ 5,281270975030
27937196875292500 −=c
cmc 42,3=
PPcP
WM
t
tt ⋅=⋅=+⋅== 49,0
48,3742,18
48,37)15(τ
PP
eISV
zf ⋅=
⋅⋅=
⋅⋅= 023,0
1279375,637τ
PPPft ⋅=⋅+⋅=+= 513,0023,049,0τττ
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +��
�
����
� +±
+=
( )22
2,1 513,02
0054,02
0054,0P
PP +��
���
� +−±+−=σ
P487,01 =σ
P541,02 −=σ
Page 62
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
62
4-TEORIA DAS TENSÕES
zz
A AF σ=
∂∂
→∂ 0lim � tensão normal
zyy
A A
Fτ=
∂∂
→∂ 0lim � tensão tangencial ou tensão de cisalhamento
zxx
A AF τ=
∂∂
→∂ 0lim
Page 63
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
63
→→→
+= xzwt z τσ
22)( τσ += zt
• Obs: A tensão é definida no ponto.
� = 00M � 2
22
2z
yxy
zx zyyz
∂⋅∂⋅∂⋅⋅=∂⋅∂⋅∂⋅⋅ ττ
0≠∂⋅∂⋅∂=∂ yzxV
zyyz ττ =
Teorema de Cauchy.
Genericamente jiij ττ = { }zyxji ,,, =
São seis as tensões no caso tridimensional.
Page 64
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
64
Caso plano
Caso linear
Ensaio de tração: � AF=σ
�
�∆=ε
Page 65
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
65
Estado simples/ Linear/ Unidimensional de tensão
Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma força
F centrada. Numa seção genérica, aparecerão tensões normais �1 de modo que se tenha o
equilíbrio da seção cortada.
AF=σ
Equilíbrio de forças.
• � =−
0yF
0coscos 1 =⋅⋅−⋅ ασ
ασ
AA
* ασσ 21 cos⋅=
• � =−
0xF
0cos 1 =⋅⋅−⋅ ασ
ατ
senAA
* ααστ cos1 ⋅⋅= sen
De outra maneira:
1. 2
2cos1cos2 αα += � ασσσ 2cos
2211 ⋅+=
Page 66
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
66
2. 22sen
cossenααα =⋅ � αττ 2sen
21 ⋅=
21
21 2cos
22��
���
� ⋅=��
���
� − ασσσ
212 2sen
2��
���
� ⋅= αττ
212
21
22��
���
�=+��
���
� − στσσ
Tensões principais:
• Tensão máxima: 1σ
• Tensão mínima: 2σ
Círculo de Mohr:
Nos planos principais ( 'α e ''α ) a tensão tangencial vale zero.
Obs: 1. planos ou direções principais.
2. O ponto do gráfico para o qual convergem todos os planos representativos de
cortes na barra é chamado pólo.
Convenção de sinais:
tração�> 0σ
compressão�< 0σ
Page 67
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
67
Estado Plano (duplo, bidimensional) de tensões
Considere um elemento infinitesimal com solicitação geral de tensões.
Equilíbrio de Forças:
• � =−
0yF
ασααταατασσ 22 sencossencossencos ⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅=∂⋅−−
AAAAA yxyxyxx
ασαατασσ 22 sencossen2cos ⋅+⋅⋅⋅+⋅=−−
yxyxx
• � =−
0xF
αασατατααστ cossensencoscossen 22 ⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅−⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅=∂⋅−−
AAAAA xxyxyyxy
( ) ( )ααταασστ 22 sencoscossen −⋅+⋅⋅−=−−
xyxyxy
Page 68
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
68
Arcos duplos:
ατασσσσ
σ 2sen2cos22
⋅+⋅−
++
=−−
xyyxyx
x
ατασσ
τ 2cos2sen2
⋅+⋅−
=−−
xyxy
xy
22
2sen2cos22 ��
�
����
�⋅+⋅
−=��
�
����
� +−
−−ατα
σσσσσ xy
yxyxx
22
2cos2sen2 ��
�
����
�⋅+⋅
−=�
�
���
� −−ατα
σστ xy
xyxy
( )2222
22 xyyx
xyyx
x τσσ
τσσ
σ +���
����
� −=�
�
���
�+���
����
� +−
−−−−
No círculo de Mohr:
• centro do círculo: ���
����
� +0,
2yx σσ
• raio do círculo: ( )2
2
2 xyyxR τ
σσ+�
��
����
� −=
Ryx ++
=21
σσσ
R+=maxτ
Ryx −+
=22
σσσ
R−=minτ
Page 69
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
69
Tensões principais ( )21 ,σσ :
( )2
2
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +�
��
����
� −−+
+=
• 0=−−
xyτ
02cos2sen2
=⋅+⋅−
ατασσ
xyxy
yx
xytgσσ
τα
−⋅
=2
2
Direções principais: 'α e ''α
Propriedade
cteyxyx =+=+=+−−−−
21 σσσσσσ
Expressão Matricial das tensões.
[ ] [ ] [ ]TMM ⋅⋅=�
��
−σσ
[ ] �
��
−=
αααα
cossensencos
M M: matriz de transformação de coordenadas.
Page 70
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
70
MT: matriz transposta.
��
��
�
=�
��
−−−−
−−−−−
yxy
xyx
στ
τσσ
[ ] �
��
=
yxy
xyx
σττσ
σ
Exercícios:
1) Calcular as tensões principais e suas direções, e desenhar o círculo de Mohr.
160=xσ ; 60=yσ ; 40=xyτ .
2) Calcular as tensões de cisalhamento nos cortes I, II e III. 2/10 cmkNI =σ ; 0=IIσ ; 2/10 cmkNIII −=σ
Page 71
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
71
3) Calcular as tensões principais e suas direções.
4) Calcular as tensões principais e suas direções. 2/3 cmkNa =σ ; 2/5,1 cmkNb =σ ; 2/5,0 cmkNa =σ
5) Calcular as tensões principais e suas direções nos pontos A e B.
Page 72
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
72
Resolução do exercício 5: 436167cmI z =
Reações: kNV a 5,7= , kNV b 5,22=
cmkNM z ⋅= 500
kNV 5,12=
Ponto A:
kNyI
M
z
zx 152,011
36167500 −=⋅=⋅=σ
0=xyτ
( )2
2
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +�
��
����
� −−+
+=
21 /0 cmkN=σ ; 2
2 /152,0 cmkN−=σ
Ponto B:
kNyI
M
z
zx 055,04
36167500 +=⋅=⋅=σ
2/06,01036167
17255,12cmkN
tISV
xy −=⋅
⋅−=⋅⋅=τ
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +��
�
����
� +−+
+=
21 /09,0 cmkN=σ ; 2
2 /04,0 cmkN−=σ
Page 73
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
73
5-TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
Deformações Normais: xu
x ∂∂=ε
yv
y ∂∂=ε
yu
tg∂∂== 11 γγ
xv
tg∂∂== 22 γγ
xyxv
yu γγγγ =
∂∂+
∂∂=+= 21
γ : deformação tangencial ou distorção.
Coeficiente de Poisson:
0>−=y
x
εεν
Em materiais isotrópicos (tem o mesmo comportamento elástico em todas as
direções): 5.00 <<ν
• A lei de Hooke estabelece que a tensão aplicada provoca deformação
proporcional.
Pode-se afirmar então que se em todos os pontos de um sólido elástico atua tensão �
de direção constante, um comprimento l, sofrerá, na direção da tensão, uma variação de
comprimento:
Eσ
.�� =∆
Page 74
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
74
Se ocorrer solicitação em mais de uma direção pode-se avaliar o efeito de cada
tensão isoladamente:
• Tensão �x:
Ex
x
σε = ; E
xxy
σνενε ⋅−=⋅−= ; E
xxz
σνενε ⋅−=⋅−=
xx
xxx E��� ⋅=⋅=∆
σε
yx
yyy E��� ⋅⋅−=⋅=∆
σνε
zx
zzz E��� ⋅⋅−=⋅=∆
σνε
• Analisando o efeito da tensão em y:
Ey
y
σε = � y
yyyy E
��� ⋅=⋅=∆σ
ε
xz
x E�� ⋅⋅−=∆ σν
yz
z E�� ⋅⋅−=∆ σν
• Só tensão em z:
Ez
z
σε = � zz
zzz E��� ⋅=⋅=∆ σε
xy
x E�� ⋅⋅−=∆
σν
zy
z E�� ⋅⋅−=∆
σν
Por superposição de efeitos:
• xz
xy
xx
x EEE���� ⋅⋅−⋅⋅−⋅=∆
σνσ
νσ
• ���
����
�+⋅−=
EEEzyx
x
σσνσε
Analogamente, ocorre nas outras direções.
Page 75
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
75
��
���
� +⋅−=EEE
zxyy
σσνσ
ε
���
����
�+⋅−=
EEExyz
z
σσνσε
Além disso, tem-se:
Gxy
xy
τγ = ;
Gyz
yz
τγ = ;
Gxz
xz
τγ =
Onde G é o módulo de elasticidade transversal:
( )υ+=
12E
G
Num estado triplo de deformações: zyx εεε ,, , yzxzxy γγγ ,,
Num estado plano de deformações: xyyx γεε ,,
���
����
�⋅−=
EEyx
x
σνσε
��
���
�⋅−=EE
xyy
σνσ
ε
Gxy
xy
τγ =
Para as direções principais:
αεεεεε 2cos22
2121 ⋅−++=x
αεεεεε 2cos22
2121 ⋅−
−+
=y
αεεγ 2)( 21 sen⋅−=
Page 76
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
76
Exercícios:
1) Calcular as tensões xσ , yσ e zσ .
2) Calcular x�∆ do sólido I.
2/1 cmtfz =σ ; P = 80 tf; 2/500 cmtfE I = ; 3,0=Iν ; 2/100 cmtfEE IIIII == ;
4,0== IIIII νν
Page 77
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
77
3) Qual o deslocamento total em y e a carga máxima.
Dados: E = 100 tf/cm2; 4,0=ν
4) Determinar as tensões.
Dados: 610200 ⋅=aε ; 610300 ⋅=bε ; 2εε =a ; E = 20000 kN/cm2; 3,0=ν
5) Calcular a deformação na direção � indicada, sabendo que yx εε .5,0−= .
Dados: 2/1 cmKNx =σ ; 3,0=ν ; � = 30º
Page 78
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
78
6) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F.
Dados: 4104,1 −⋅−=aε ; 4108,4 −⋅=bε ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν
7) Desenhar o círculo de Mohr.
Dados: 4x 105 −⋅−=ε , 4
y 103 −⋅=ε , rad106 2xy
−⋅=γ
Page 79
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
79
8) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformações nas direções A
e B e encontrados: 51014,7 −⋅=aε , 510.07,16 −=bε . Sabendo-se que essa viga está
solicitada apenas por M e V, calcular esses valores, dados: 2/808 cmkNG = ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν
Resolução do exercício 3.
Estágio 1
0=xσ ; 0=zσ ; 400P
y =σ
cmx 02,0=∆�
xxx �� ⋅=∆ ε
2002,0 ⋅= xε
001,0=xε
( )( )zyxx Eσσνσε +⋅−⋅= 1
��
���
� −⋅−=400
4,0100
1001,0
P
tfP 100=
( )( )yxzz Eσσνσε +⋅−⋅= 1
���
����
���
���
�−⋅−⋅=400100
4,0100
1001,0
Page 80
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
80
Estágio 2
0=zσ ; 400P
y =σ
cmz 02,0=∆�
zzz �� ⋅=∆ ε
2002,0 ⋅= zε
001,0=zε
( )( )yxzz Eσσνσε +⋅−⋅= 1
���
����
���
���
� −⋅−⋅=400
4,0100
1001,0
Pxσ
0=xε
( )( )zyxx Eσσνσε +⋅−⋅= 1
��
���
� −⋅−=400
4,0100
10
Pxσ
Px ⋅+⋅−= 001,04,01,0 σ (1)
Px ⋅+= 001,00 σ (2)
Resolvendo o sistema: 2/071,0 cmtfx −=σ
tfP 43,71=
Carga Total:
tfPPPtotal 43,17143,7110021 =+=+=
( )( )zxyy Eσσνσε +⋅−⋅= 1
( ) 004,00071,04,0400
43,171100
1 −=��
���
� +−⋅−−⋅=yε
Deslocamento total em y.
cmyyy 12,030004,0 −=⋅−=⋅=∆ �� ε
Page 81
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
81
6-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Na mecânica, uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na
mesma direção dela.
Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma força axial aplicada na
extremidade da barra.
Como a força N aumenta gradualmente de 0 até P, o deslocamento varia de 0 até
�L. Se o material comportar-se de maneira linear-elástica, a força será diretamente
proporcional ao deslocamento, ou seja:
xKN x ⋅= onde K = constante.
Pela Lei de Hooke:
( )( )zyxX E1 σσνσε +⋅−⋅= , sendo 0zy == σσ
Ex
x
σε =∴
AN x
x =σ � �∆=x
AN
x =σ � �
�∆=xε
��
∆⋅⋅=⋅= AExKN
xxKxNU x ∂⋅⋅=∂⋅=∂
O trabalho realizado será:
� � ∂⋅⋅=∂= xxKUU
Page 82
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
82
�∆ ∆
���
����
� ⋅=∂⋅⋅=�
�
0 0
2
2xK
xxKU
�� ∆⋅⋅=∆⋅⋅= NKU21
21 2
�∆⋅⋅= N21
U
U: energia de deformação (carregamento lento)
Carregamento lento: carregamento aplicado de zero até o valor final. Em caso de carregamentos rápidos (carregamentos instantâneos), temos:
�∆⋅= NU , uma vez que o gráfico apresenta-se como um retângulo.
Exemplos:
Carregamento lento: peso próprio.
Carregamento rápido: ação do vento.
- Energia de Deformação: Energia de deformação é definida como a capacidade de produzir trabalho. A
energia armazenada em sólidos elásticos devido à deformação dos elementos sob ações externas, é igual ao trabalho interno.
Objetivos: Calcular deslocamentos e calcular incógnitas hiperestáticas.
- Métodos de cálculo da energia de deformação:
• Pelas tensões
• Pelos esforços solicitantes
• Pelas cargas
a) Cálculo pelas tensões:
Seja um elemento no estado triplo de tensões.
Efeito total = somatório dos efeitos parciais (superposição de efeitos).
Page 83
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
83
Modelo de cálculo
Trabalho = força x deslocamento
Se o elemento de volume está submetido à tensão �x:
zyforça x ∂⋅∂⋅= σ
xtodeslocamen x ∂⋅= ε
trabalho = xzy xx ∂⋅⋅∂⋅∂⋅ εσ
zyx21
U xxx ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσσ e zyxV ∂⋅∂⋅∂=∂ (V = volume)
dV21
U xxx ⋅⋅⋅=∂ εσσ
Analogamente:
• para yσ : dV21
U yyy ⋅⋅⋅=∂ εσσ
• para zσ : dV21
U zzz ⋅⋅⋅=∂ εσσ
Efeito total: izyx UUUU σσσσ ∂=∂+∂+∂
zyxzyxzyxU zzyyxxi ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσεσεσσ 21
21
21
Dividindo ambos os lados por zyx ∂⋅∂⋅∂
dV
U
zyx
UU ii
,0�� ∂
=∂⋅∂⋅∂
∂= σσ
σ
σ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões normais)
Page 84
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
84
Para um elemento de volume, a tensão de cisalhamento provoca deformação no
elemento.
Assim, a energia de deformação armazenada no elemento é:
zyx21
U xzxzxz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
zyx21
U xyxyxy ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
zyx21
U yzyzyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
Efeito total: ijyzxyxz UUUU ττττ ∂=∂+∂+∂
dV
U
zyx
UU ijij
,0�� ∂
=∂⋅∂⋅∂
∂= ττ
τ
τ,0U :Energia específica de deformação (só as tensões de cisalhamento)
Efeito global:
( )� ∂+∂= iji UUU τσ
( )volume,0,00 UUU � += τσ
dVUUvolume 0 ⋅= �
ou seja:
( )� ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=V yzyzxzxzxyxyzzyyxx dV
21
U γτγτγτεσεσεσ
Page 85
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
85
b) Cálculo pelos esforços solicitantes
Considere uma viga:
• yI
MAN
x ⋅+=σ e IbSV
xy ⋅⋅=τ
dVUUvolume 0 ⋅= �
( )xyxyxx0 21
U γτεσ ⋅+⋅⋅=
Pela Lei de Hooke:
• E
xx
σε = e Gxy
xy
τγ =
��
�
�
��
�
�+⋅=
GE21
U2xy
2x
0
τσ
��
���
��
���
�
⋅⋅⋅+�
�
���
� ⋅+⋅⋅=22
0 IbSV
G1
yI
MAN
E1
21
U
�
��
���
����
�
⋅⋅⋅+��
�
����
�⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 22
222
2
2
2
2
0 IbSV
G1
yI
My
IM
AN
2AN
E1
21
U
xdAIbSV
Gy
IM
yI
MAN
AN
EU
A
∂⋅⋅�
��
���
����
�
⋅⋅⋅+��
�
����
�⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= �� 22
222
2
2
2
2
0
12
121�
Resolvendo as integrais de área, temos:
� ∂⋅�
��
���
����
�⋅⋅
⋅+���
����
�+⋅
⋅=
�
0
222
21
21
xA
Vc
GIM
AN
EU onde c = fator de forma.
AIG
SAc 22
2
∂⋅⋅
⋅= �
Page 86
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
86
Observação: Torção: tI
MwM
t
t
t
txy ⋅==τ
Ou seja,
� ∂⋅�
��
⋅⋅+���
����
�⋅⋅
⋅+���
����
�+⋅
⋅=
�
0
2222
221
21
xIG
MA
Vc
GIM
AN
EU
t
t
Exemplo: Calcular a energia de deformação para a estrutura da figura.
Dados: P = 500 kgf; d = 4 cm; c = 1,1 ; E = 2100000 kgf/cm2; G = 800000 kgf/cm2.
L = 50 cm; e = 20 cm.
Page 87
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
87
c) Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron).
�→→∂⋅=
t
0
tPT onde T = trabalho.
T = U onde U = energia de deformação.
Observação: Teoria de 1a ordem: pontos Ai e Bi muito próximos.
→→≈ ivt
ii vP21
T ⋅⋅=
ou genericamente:
� ⋅⋅= ii vP21
T
xIG
MAG
Vc
IEM
AEN
21
U0
t
2t
222
∂⋅���
����
�
⋅+
⋅⋅+
⋅+
⋅⋅= �
�
T = U � Teorema de Clapeyron: conservação de energia
Pode-se portanto calcular o deslocamento no ponto e na direção da força ou
momento aplicado, com esse teorema. A aplicação é bastante limitada, pois apenas uma
força externa ou momento pode atuar na estrutura.
Exemplo 1: Calcular o deslocamento vertical do ponto A.
Exemplo 2:calcular o giro (φ ) no apoio fixo.
Page 88
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
88
Teorema de Maxwell
Trata de uma estrutura elástica com duas cargas Pi e Pk.
Seja a viga abaixo. Por superposição de efeitos:
Considere a teoria de 1a ordem.
Observação: ikδ : indica a causa (força no ponto k que causa o deslocamento em i).
ikKiiii PPv δδ ⋅+⋅=
kkKkiik PPv δδ ⋅+⋅=
1a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P kkii →→ )
ikkikkkkiiii1 PP1PP21
PP21
T δδδ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
2a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P iikk →→ )
kiikiiiikkkk2 PP1PP21
PP21
T δδδ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
Porém o trabalho realizado é o mesmo: T1 = T2.
Substituindo os valores, tem-se que kiik δδ = � Teorema de Maxwell.
Page 89
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
89
Observações:
• se substituirmos as forças Pi e Pk por um grupo de forças, temos o Teorema de
Betti.
• o Teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos.
- Teorema de Maxwell: “O deslocamento de um ponto i, na direção i, quando se aplica
uma força no ponto k é igual ao deslocamento de um ponto k, na direção k, quando se
aplica uma força no ponto i”.
- Teorema de Castigliano (1873): “A derivada parcial da energia de deformação em
relação a uma carga Pk é igual ao deslocamento elástico vk do ponto de aplicação da
carga”.
kk
vPU =
∂∂
n1nx1xi1i1221111 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
n2nx2xi2i2222112 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
innixxiii2i21i1i P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
xnnxxxxii2x21x1x P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
nnnnxxnii2n21n1n P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
�=
⋅⋅=n
1iii vP
21
U
���
����
�
∂∂
⋅+⋅∂∂
⋅=∂∂
� �= =
n
1i
n
1i k
iii
k
i
k Pv
PvPP
21
PU
1a derivada � para ki ≠ , 0PP
k
i =∂∂
para ki = , 1PP
k
i =∂∂
Page 90
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
90
2a derivada � �= ∂
∂n
1i k
i
Pv
kk
i
Pv
i 11 δ=∂∂
�=
k2k
i
Pv
2i δ=∂∂
�=
ikk
i
Pv
ii δ=∂∂
�=
kkk
i
Pv
ki δ=∂∂
�=
nkk
i
Pv
ni δ=∂∂
�=
...P...PP ikik22k11 +⋅++⋅+⋅ δδδ
Pelo Teorema de Maxwell, tem-se kiik δδ = .
Logo: ( ) kkkk
vvv21
PU =+⋅=
∂∂
Exercícios:
Page 91
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
91
1) Calcular o deslocamento vertical do ponto A.
2) Calcular o deslocamento vertical no meio do vão.
3) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do vão.
Teorema de Menabrea
Page 92
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
92
0PU
k
=∂∂
, neste caso Pk é uma incógnita hiperestática.
Exercícios:
1) Determinar as reações dos apoios da viga.
2) Calcular a força na barra e o deslocamento vertical do ponto B.
Viga: E, I. Barra: Eb; Ab.
3) Calcular o deslocamento vertical do nó 5 (EA = constante).
4) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do balanço.
Page 93
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
93
Dados: E = 2100 tf/cm2; I = 1000 cm4; P = 2 tf.
5) calcular a força no tirante. Arco: meia-circunferência (raio = r).
6) Calcular as forças nas barras e o deslocamento vertical do ponto A.
7) Calcular as forças nas barras e seus alongamentos.
Page 94
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
94
Dados: A1 = A2 = 1 cm2; L1 = 100 cm; L2 = 200 cm; E = 2100000 tf/cm2; Iviga = 5557,3
cm4; Aviga = 112 cm2; L = 200 cm.
8) Calcular o deslocamento horizontal e vertical no ponto de aplicação da carga P.
Dado: c = constante da mola.
Resolução do exercício 4.
Page 95
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
95
Foi escolhida como incógnita hiperestática o apoio móvel vertical (R).
� = 02RM
32
1
PRR
−−=
Trecho 1:
xPM x ⋅=
0=∂
∂R
M x
Trecho 2:
xPR
RxRRM x ⋅��
���
� −⋅−+⋅=⋅+⋅=3
222 1
Page 96
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
96
xPxRRM x ⋅⋅−⋅⋅−⋅=31
32
2
xR
M x ⋅−=∂
∂32
2
Trecho 3:
xRM x ⋅=
xR
M x =∂
∂
xIE
MU ∂⋅
⋅⋅= �
�
0
2
21
00
=∂⋅∂∂⋅=
∂∂
� xRM
MRU �
( ) ( ) ( ) ( ) xxRxxxPxRx
RxPxxRM
M ∂⋅⋅+∂⋅��
���
� −⋅��
���
� −−+∂⋅⋅=∂⋅∂∂⋅ ����
2
0
3
0
1
00 32
233
220
�
203P
R =
Para P = 2 tf, temos R = 0,3 tf.
Substituindo R nas equações dos momentos, temos:
Trecho 1:
xPM x ⋅=
xP
M x =∂
∂
Trecho 2:
xPP
xPxPP
M x ⋅−=⋅⋅−⋅��
���
�⋅−��
���
�⋅=30
13103
31
203
32
203
2
xP
M x ⋅−=∂
∂3013
103
Page 97
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
97
Trecho 3:
203Px
M x =
203x
PM x =∂
∂
AvxPM
MPU =∂⋅
∂∂⋅=
∂∂
��
0
( ) ( )IE
xxPx
xxPxP
xxPxvA ⋅⋅���
����
� ∂⋅��
���
�⋅��
���
�+∂⋅��
���
� −⋅��
���
� −+∂⋅⋅= ���1
203
203
3013
103
3013
103 2
0
3
0
1
0
mmmP
EIvA 127,110127,121833,1
21001
3003551 3 =⋅=⋅⋅=⋅= −
7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
Estados limites:
Page 98
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
98
a) Estado limite último: ruptura.
b) Estado limite de utilização:
c) Estado limite de estabilidade:
Page 99
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
99
Critérios de resistência:
• Critérios obsoletos: Critérios de Rankine, Tresca e Saint-Venant.
• Critérios atuais: Critérios de Mohr, Coulomb e von Mises.
A) Critério de Rankine (critério da maior tensão normal).
A maior tensão normal é o limite para a resistência da estrutura. Adota-se, com
certa segurança, a tensão normal máxima, a partir de experimentação e das condições de
aplicação. Critério adequado para materiais dúcteis.
Observação:
)(CS adm
máx σσσ
σσ ≤1 (critério das tensões admissíveis)
Material dúctil: CS
escσσ =
Material frágil: CS
rupσσ =
- Envoltória de ruptura:
Page 100
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
100
B) Critério de Tresca (critério da maior tensão de cisalhamento):
Ensaio de tração no aço.
O que causa o rompimento do aço é a presença da tensão de cisalhamento que
“corta” a superfície da estrutura.
Observação: critério utilizado para materiais dúcteis (aço).
- Envoltória de ruptura:
C) Critério de Saint-Venant (critério de maior deformação normal):
Page 101
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
101
Envoltória de ruptura:
ν : coeficiente de Poisson.
Tanto para materiais dúcteis como para materiais frágeis.
1) Critério de Mohr
Envoltória de segurança:
Critério utilizado para diversos materiais (concreto e ferro fundido).
tctc ff >→> σσ
Resistência à compressão: fc.
Resistência à tração: ft.
2) Critério de Coulomb (critério definido por dois parâmetros físicos):
Page 102
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
102
ϕ :Ângulo de atrito interno.
Cτ :Tensão de coesão.
Critério utilizado para areias, argilas e siltes.
a) Materiais sem coesão (areia).
A partir da análise da localização do círculo de Mohr pode-se verificar se há, ou não
segurança.
0c =τ
critério de segurança: ϕα sensen ≤
a) Materiais com coesão (argila).
0c ≠τ
Mesmo princípio de funcionamento que o anterior.
Exemplo: critério de Mohr-Coulomb.
Page 103
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
103
Resistência à compressão: fc.
Resistência à tração: ft.
ct ff <
d2
fsen
t
=ϕ
2fdtg
t
c
+=
τϕ
ct
2f
tgtgd τϕϕ =⋅+⋅
ϕϕτ
tg
tg2f
dt
c ⋅⋅=
d2f
f
2f
sent
c
c
++=ϕ
ϕα sensen ≤ (critério de segurança).
- Envoltória de segurança:
3) Critério da energia de distorção (critério de von Mises).
Page 104
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
104
Utilizado para materiais dúcteis com tc ff ≈ .
Critério baseado nos conceitos de energia de deformação.
Seja:
[ ] [ ] [ ]222222
21
21
xzyzxyzyzxyxzyxtotal GEEU τττσσσσσσνσσσ ++
⋅+⋅+⋅+⋅−++⋅
⋅=
para: 0yzxzxy === τττ , teremos um estado principal de tensões em função de 1σ , 2σ
e 3σ .
[ ] [ ]32312123
22
21total EE2
1U σσσσσσνσσσ ⋅+⋅+⋅−++⋅
⋅=
[ ] [ ] [ ]desvijijmij σδσσ +⋅=
[ ] [ ] [ ]ijmijdesvij δσσσ ⋅−=
observação: 1ji ij =→= δ , 0ji ij =→≠ δ
[ ]���
���
�
=100010001
ijδ (Delta de Kronecker).
Page 105
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
105
Círculo de Mohr para o estado hidrostático de tensões.
desvhidrototal UUU +=
[ ] [ ]2m
2m
2m
2m
2m
2mhidro EE2
1U σσσνσσσ ++⋅−++⋅
⋅=
( )2321hidro E2
21U σσσν ++⋅
⋅−=
hidrototaldesv UUU −=
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221desv G12
1U σσσσσσ −+−+−⋅
⋅=
( )ν+⋅=
12E
G
Caso particular: 01 ≠σ , 032 == σσ (tração pura).
31
m
σσ = estado hidrostático de tensões.
Page 106
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
106
G1832
33G121
U21
21
21
21
desv ⋅=
��
���
��
���
� ⋅−+�
�
���
�+��
���
�⋅⋅
=σσσσ
(tração pura).
Observação: a energia de deformação correspondente ao estado desviatório de tensão é
chamada de energia de distorção.
O critério da energia de distorção faz a seguinte hipótese:
Tração pura: 01 ≠σ , 021 == σσ
G122
UU21
distdesv ⋅⋅
==σ
(tração pura).
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221distdesv G12
1UU σσσσσσ −+−+−⋅
⋅==
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221esc 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
para outros pontos: ( ) ( ) ( )[ ]213
232
221i 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
iσ : tensão ideal.
Observações: caso plano de tensões ( 01 ≠σ , 02 ≠σ , 03 =σ )
( ) ( ) ( )[ ]21
22
221dist G12
1U σσσσ −++−⋅
⋅=
G12U
21
dist ⋅= σ
(tração pura) ( esc1 σσ < )
distdist UU = (tração pura)
12
esc
22esc
21
2
esc
1 =���
����
�+
⋅−��
�
����
�
σσ
σσσ
σσ
(equação de uma elipse)
Page 107
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
107
Para uma viga: 0x ≠σ ; 0y =σ ; 0xy ≠τ
2xy
2xx
2,1 22τσσσ +�
�
���
�±= ; 03 =σ
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221i 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
2xy
2xi 3 τσσ ⋅+=
iij σσ ≤
Exercícios:
Page 108
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
108
1) Sabendo-se que a tensão máxima de um certo material vale 2max cm/kN3,1=σ e que
este material segue o critério da energia de distorção, verificar se o carregamento na
estrutura é seguro. Dados: p = 8 kN/cm2; F = 60 kN; Iz = 14951,24 cm4.
2) Verificar a segurança nos pontos A e B, sendo dados: M = 50 tfcm; V = 10 tf; fc =
0,8 tf/cm2; ft = 0,4 tf/cm2.
3) O material segue o critério indicado na figura abaixo, verificar a segurança.
Dados: 01 =σ , 22 cm/tf3−=σ , a = 1 tf/cm2.
4) Determinar quais valores a tensão P de compressão pode variar sem que haja ruptura.
a = 0,4 tf/cm2. Tensões em tf/cm2.
Page 109
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
109
Resolução do exercício 3:
Equação da parábola:
cbyayx ++= 2
pontos conhecidos: (0,1); (1,0) e (0,-1).
cba +⋅+⋅= 1'10 2
cba +⋅+⋅= 0'01 2
( ) ( ) cba +−⋅+−⋅= 1'10 2
1−=a ; 0=b ; 1=c
12 +−= yx equação da parábola.
Equação do círculo de Mohr
( ) ( ) 220
20 Ryyxx =−+−
raio: 5,12
302
21 =+=−= σσR
coordenadas do centro: ( ) ( )0;5,10,2
, 210 −=�
�
���
� +=
σσoyx
( ) ( ) 222 5,15,1 =++ yx equação do círculo
12 +−= yx
( ) ( ) 222 5,15,1 =++ yx
Resolvendo o sistema:
0122 =++ xx
Page 110
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
110
0=∆
A equação apresenta 2 raízes iguais, portanto a parábola e o círculo de Mohr se
tangenciam em um único ponto. Portanto há segurança.
8-FLAMBAGEM
-Estados limites último e de utilização.
Page 111
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
111
-Resistência; Rigidez; Estabilidade.
Fcr = força crítica.
hFcr %20015,1 →⋅
Estabilidade: propriedade que um sistema possui de recuperar seu estado original
apóes ter sido deslocado de usa posição de equilíbrio.
Determinação da força crítica ou força de flambagem ou força de Euller:
- Teoria de 1a ordem
- Teoria de 2a ordem
)(" xMvIE −=⋅⋅
Page 112
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
112
2
2
xv
K∂∂≅
- Teoria de 3a ordem
2/32
2
2
1��
�
�
��
�
���
���
�
∂∂+
∂∂
=
xv
xv
K
• Método do equilíbrio:
ϕϕ ⋅≈⋅= �� send (pequenos deslocamentos)
ϕ⋅⋅=⋅= �FdFM T
ϕ⋅= cM R
MT = momento tombador; MR = momento restaurador
• RT MM <
• RT MM =
• RT MM >
ϕϕ ⋅=⋅⋅ cF �
�
cF = (força crítica)
Barra Bi-articulada (articulada-articulada)
Page 113
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
113
vFxM ⋅=)(
)()(" xMxvIE b −=⋅⋅
vFxvIE b ⋅−=⋅⋅ )("
0)(" =⋅+⋅⋅ vFxvIE � Equação diferencial da flambagem
Soluções:
)(cossen 21 xvkxckxcv =⋅+⋅=
kxkckxkcv sencos 21' ⋅⋅−⋅⋅=
kxkckxkcv cossen 22
21
" ⋅⋅−⋅⋅−=
c1,c2 e k são constantes desconhecidas.
Condições de Contorno:
• 0=x , 0=v 02 =� c
kxcv sen1 ⋅=
0)(" =⋅+⋅⋅ vFxvIE
0)sen()sen( 12
1 =⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅ kxcFkxkcIE
IEF
K⋅
=
• �=x , 0=v
Page 114
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
114
0sen1 =⋅ �kc � 01 ≠c � 0sen =∴ �k � π⋅= nk� onde 3,2,1,0=n
IEn
IEF
K⋅⋅=
⋅=
222 π
1=n
Logo:2
2
�
IEFcr
⋅⋅= π
Barra engastada – livre
2
2
4 �⋅⋅⋅= IE
Fcr
π
Barra articulada – engastada
2
22�
IEFcr
⋅⋅⋅= π
Barra bi-engastada
2
24�
IEFcr
⋅⋅⋅= π
Comprimento de flambagem ( fl� ) ou comprimento crítico ( cr� ):
2
2
crcr
IEF
�
⋅⋅= π
- �� =cr para barra bi-articulada
- �� ⋅= 2cr para barra engastada - livre
- 2/�� =cr para barra engastada - articulada
- 2/�� =cr parabarra bi-engastada
Page 115
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
115
• Contraventamentos
• Raio de giração
AI
i = ou AI
i =2
• Índice de esbeltez ( λ )
icr�
=λ
• Tensão de flambagem ou crítica
2
2
2
22
2
2
λπππσ EiE
AIE
AF
crcr
crcr
⋅=⋅⋅=⋅
⋅⋅==��
22
2
λλπσ
−−
=⋅= kEcr
Ek ⋅=−−
2π
No caso de barras pouco esbeltas sujeitas à flambagem, deve-se abandonar o
estudo elástico.
Page 116
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
116
Exercícios:
1) Qual a relação h / b para que o pilar ofereça a mesma segurança contra a flambagem
nas direções x e y.
Page 117
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
117
2) Determine o número de contraventamentos para que a carga F seja a máxima
possível. Qual a força F neste caso?
3) Um certo material segue o diagrama indicado. Calcular Fcr.
Dados: Iz = 272 cm4; Iy = 896 cm4; E = 13000 kN/cm2; 2
2
λπσ E
cr
⋅=
Page 118
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
118
4) Calcular P máximo.
Dados: 2
10363000λ
σ =cr para 105>λ ; A = 2860 mm2;
Ix = 20 x 106 mm4; Iy = 1,4 x 106 mm4.
5) Calcular F máximo.
Dados: 300=� cm; d = 8 cm; 2,1=−−
σ tf/cm2; 2
10363000λ
σ =cr para 105>λ
Page 119
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
119
6) O escoramento da vala é feito com madeira (Peroba Rosa). Sabendo-se que as peças
disponíveis para as escoras são 6 cm x 16 cm e 6 cm x 12 cm. Escolher qual das peças é
melhor.
Dados: E = 942,5 kN/cm2, 2
2
4 λπσ
⋅⋅= E
cr para 64>λ ; P = 2 kN/m2.
Page 120
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
120
Resolução do exercício 3.
Raio de giração:
cmAI
i zz 38,2
48272 ===
cmA
Ii y
y 32,448
896 ===
Índice de esbeltez:
10538,2
250 ===z
crzz i
�λ (crítico)
5832,4
250 ===y
cryy i
�λ
Do gráfico, temos que 80=λ para 2/5 cmkNcr =σ
2
2
λγπσ
⋅⋅= E
cr
2
2
8013000
5⋅⋅=
γπ
4=λ
22
2
2
2
/91,2105413000
cmkNE
cr =⋅⋅=
⋅⋅= πλγ
πσ
kNAF crcr 65,1394891,2 =⋅=⋅= σ
Page 121
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP
121
9-BIBLIOGRAFIA
• Beer, Ferdinand Pierre, Resistência dos Materiais, São Paulo, ed. McGraw-Hill
do Brasil, 1982.
• Féodosiev, V., Resistência dos Materiais, edições Lopes da Silva, Posto, 1977.
• Higdon, Archie, Mecânica dos Materiais, Rio de Janeiro, ed. Guanabara Dois AS, 1981.
• Langendonck, Telemanco van, Resistência dos Materiais, ed. E. Blüncher.
• Miroliubov, I. [et al.], Problemas de resistencia dos materiais, ed. Moscou :
Mir,1983.
• Nash, W. A., Resistência dos Materiais, ed. McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1975.
• Popov, Egor Paul, Introdução à Mecânica dos Sólidos, São Paulo, ed. E. Blüncher, 1982.
• Schiel, Frederico, Introdução a Resistência dos Materiais, fascículo II, São
Paulo, 5ª edição, janeiro 1974.
• Timonshenko, S. P., Mecânica dos Sólidos, Rio de Janeiro, ed. Livros Técnicos e Científicos, 1983-84.
Obs.: Apostilas de assuntos de Resistência dos Materiais da FEC também são
referências bibliográficas.