Resumen_sobre_Integrales_Dobles_Lapso_2011-1_

8/3/2019 Resumen_sobre_Integrales_Dobles_Lapso_2011-1_

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Tema 3Resumen de Integrales Mltiples

3.1 Introduccin

En el tema anterior vimos que tiene sentido derivar funciones

de varias variables con respecto a una variable manteniendo

las otras variables constantes. Podemos integrar funciones de

varias variables mediante un proceso similar.

Generalizamos a continuacin el proceso de integracin para

funciones que dependen de ms de una variable de modo

natural y veremos que estas integrales comparten las mismas

propiedades bsicas que las integrales para funciones

univariantes. As mismo estudiaremos las aplicaciones de las

integrales mltiples, en cuanto al clculo de reas de regiones

planas y volmenes de slidos. En este tema, slo

trabajaremos con integrales dobles.

3.2 Integrales Dobles

Evaluacin de las Integrales Dobles

Integracin Iterada

As como el segundo teorema fundamental del clculo nos

proporciona un mtodo para determinar el valor de la integral

de una funcin de una sola variable, existe un mtodo similar

que nos permite calcular una integral doble, utilizando la

evaluacin sucesiva de integrales simples, el cual se conoce

como integracin iterada.


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Al calcular una integral doble sobre una regin, lo hacemos

por medio de dos integraciones sucesivas (o iteradas) de una

sola variable, las cuales calculamos a travs del segundo

teorema fundamental del clculo. Integramos con respecto a

una variable manteniendo constante la otra, donde la primera

diferencial a la derecha del integrando f(x,y) indica la

variable de la primera integracin parcial. El primer smbolo

de integral a la izquierda de f(x, y) nos plantea los lmites de

integracin de dicha variable.

Por lo tanto, al evaluar una integral iterativa se calcula

primero la integral de adentro y posteriormente la de afuera.

Para calcular las integrales dobles sobre regiones se nos

presentan los siguientes casos:

i) Si R = [a, b] [c, d] = {(x, y) R2: a x b, c y d}

entonces:

R

y)dAf(x, = dxdyy)f(x,ba

dc = dydxy)f(x,

dc

ba

R

a b

c

d

x

y

0


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ii) Si R es una regin Tipo I, aquella acotada por

a x b, g1(x) y g2(x), donde g1 y g2 son continuas en

[a, b] con g1(x) g2(x) para todo x [a, b], entonces si f es

continua en R entonces

Ry)dAf(x, = dxdyy)f(x,ba

(x)2g

(x)1g

iii) Si R es una regin Tipo II, aquella acotada por

c y d, h1(y) x h2(y), donde h1 y h2 son continuas en

[c, d] con h1(y) h2(y) para cada y [c, d].

Ry)dAf(x, = dydxy)f(x,

dc

(y)2

h

(y)1

h.

R

g2

g1

x

xba

y

y

d

R

y

c

x

x = h1 (y) x = h2 (y)


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Ry)dAf(x, = dydxy)f(x,dc

(y)2

h(y)1

h.

Observacin 1.

R1 y R2 son regiones que no se traslapan, si no tienen puntosen comn excepto posiblemente en su frontera comn.

iv) Si R = R1 R2 . . . Rn , donde R1, R2, . . . , Rn son

regiones tipo I que no se traslapan:

Ry)dAf(x, =

1R

y)dAf(x, +

2R

y)dAf(x, + +

nR

y)dAf(x, .

v) Si R = R1 R2 . . . Rn , donde R1, R2, . . . , Rn sonregiones tipo II que no se traslapan:

R

y)dAf(x, =1

Ry)dAf(x, +

2R

y)dAf(x, + +

nR

y)dAf(x, .

En todo este tema, R denotar una regin que se puede

descomponer en un nmero finito de subregiones del Tipo I o

del Tipo II.

Observacin 2. Si la regin R es una regin que puede serconsiderada tanto tipo I como tipo II, tenemos la opcin deelegir el orden de integracin de tal forma que los clculosresulten ms sencillos.

R1

R2

R

R =R1 R2

Esta grfica ilustra una regin

R que se ha dividido en dos

subregiones R1 y R2 que no se

traslapan.


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Observacin 3.

SiR

y)dAf(x, existe, se dice que f es integrable sobre R.

Teorema 3.3.Si f es continua sobre una regin rectangular R, entonces f

es integrable sobre R.

Enumeremos a continuacin algunas propiedades tiles de las

integrales dobles, varias de las cuales son anlogas a las de la

integral definida de una funcin de una sola variable.

Teorema 3.4 (Propiedades de las Integrales Dobles)

Sean f y g funciones continuas en una regin R del plano

cerrada y acotada.

1)R

y)dAf(x,c =R

y)dAf(x,c , ces una constante.

2)R dAy)]g(x,y)f(x,[ = R y)dAf(x, + R y)dAg(x, .3)

Ry)dAf(x, 0 si f (x, y) 0 en toda la regin R.

4)R

y)dAf(x, R

y)dAg(x, si f (x, y) g(x, y) para todo (x, y)

en R.

5)Si R = R1 R2, R1 y R2 son regiones que no se traslapanentonces

Ry)dAf(x, =

1R

y)dAf(x, +

2R

y)dAf(x, .


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y

y =g2(x)

R

y = g1(x)

x x

a b

Observacin 4.

La propiedad 5) del teorema 3.4 puede extenderse si

R = R1 R2 . . . Rn donde R1, R2, . . . , Rn no se

traslapan. Esta propiedad se utiliza si la regin de integracin

R no es una regin tipo I ni tipo II. En este caso se debe

subdividir a R en subregiones tipo I o tipo II que no se

traslapen, antes de efectuar la integracin iterada.

Aplicaciones de la Integrales Dobles.

rea de una ReginCuando f(x, y) 1 para todo (x, y) en R, entonces la integral

doble sobre RR

y)dAf(x, nos da el rea de la regin plana R,

es decir A =RdA . Veamos que esta igualdad concuerda con

los resultados ya estudiados para determinar el rea de una

regin en el plano.

Supongamos que R es la regin tipo I limitada por

a x b y g1(x) y g2(x)


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El rea de R viene dada por la integral definida

A =RdA = ba

(x)2g

(x)1g

dxdy][ = dx(x)1g(x)

2g

ba

Puesto que:

(x)1g(x)

2g

(x)1g

(x)2g

ydy

(x)2g

(x)1g

Notemos que el integrando es f(x, y) 1 para (x, y) en R.

En forma similar si la regin R es del tipo II, podemos escribir

el rea de la regin R como una integral iterada:

A =R

dA = dydxdc(y)

2h(y)1

h.

Destacamos aqu que el integrando es f(x, y) 1 para (x, y)

en R.

y

d

R

y

c

x

x = h1 (y) x = h2 (y)


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Volumen de un SlidoAs como la definicin de integral definida para funciones de

una sola variable es motivada por el problema del clculo de

reas, la definicin de integral doble est motivada por el

problema del clculo del volumen V del slido de la figura, un

slido acotado por arriba por la grfica z = f (x, y) de la

funcin no negativa fy sobre la regin R.

Consideremos una funcin continua f tal que f (x, y) 0 para

todo (x, y) en una regin acotada R del plano xy. As el

volumen del slido situado entre la superficie dada por

z= f (x, y) y sobre la regin R est dado por


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(1) V =R

y)dAf(x, si esta integral existe.

De donde la integral dada en (1) se expresa como integral

iterativa dependiendo de s R es una regin rectangular, una

regin tipo I, una regin tipo II o si R se puede subdividir en

un nmero finito de subregiones del tipo I o del tipo II.

Ejercicios1. Calcule

R

dA)y2xy 3( si R = [1,2] x [0,2].

Respuesta: 18

R


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2. Exprese la integral dobleR

dA)yx 22( como una integral

iterativa y calcule su valor, siendo R la regin acotada por

las parbolas y = x2

e y = 2 x.

Solucin

Considerando a R como regin tipo I

R

y = x2

y = 2x

(x, 2x)

(x, x2)


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Considerando a R como regin tipo II:

Respuesta:35216

R

(y/2, y)( y , y)

y = x2

y = 2x


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3. EvaleR

dAyx , donde R es la regin acotada por las

grficas y = x 1 y la parbola y2 = 2x + 6.

SolucinConsiderando a R como regin tipo I

R = R1 R2

Respuesta: 36

y = x 1

y2 = 2x + 6

R1R2(x, 62x )

(x, 62x )

(x, 62x )

(x, x 1)


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Considerando a R como regin tipo II

Respuesta: 36

R

(26y2

, y) (y + 1, y)

y2 = 2x + 6y = x 1


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4. Evale la integral 101

y

3 dydx1x , invirtiendo el orden

de integracin.

Respuesta:92

294

y = 1

x = y1/2

x = 1

R


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Respuesta:92

294

x = y1/2

R

y = 1

x = 1

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