RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Ayuda para el estudiante Compendio de los conocimientos mínimos obligatorios necesarios para rendir la Prueba de Selección Universitaria 2012, Chile. Este manual no incluye todas las unidades temáticas, aunque si la gran parte. Contacto: [email protected]Aviso pedagógico Este documento no pretende ser más que una guía de apoyo y su mera memorización no logrará buenos resultados. La única manera de aprender matemáticas es mediante la resolución de problemas y la aplicación personal de los contenidos mediante el ejercicio continuo. Edison Muñoz 2012
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Transcript
RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Ayuda para el estudiante Compendio de los conocimientos mínimos obligatorios necesarios para rendir la Prueba de Selección Universitaria 2012, Chile. Este manual no incluye todas las unidades temáticas, aunque si la gran parte. Contacto: [email protected]
Aviso pedagógico
Este documento no pretende ser más que una guía de apoyo y su mera memorización no logrará buenos resultados. La única manera de aprender matemáticas es mediante la resolución de problemas y la aplicación personal de los contenidos mediante el ejercicio continuo. Edison Muñoz 2012
I. PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................................................. 2
II. CODIFICACIÓN .............................................................................................................................................. 3
III. ECUACIONES ................................................................................................................................................ 4
IV. LOGARITMOS ............................................................................................................................................... 5
V. FUNCIONES ................................................................................................................................................... 6
VI. SUCESIONES ................................................................................................................................................ 9
VII. ÁNGULOS .................................................................................................................................................... 9
VIII. TRIÁNGULOS ............................................................................................................................................ 10
IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ................................................................................................................ 14
X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ...................................................................................................................... 14
XI. CUADRILÁTEROS ........................................................................................................................................ 15
XII. POLÍGONOS .............................................................................................................................................. 20
XIII. CIRCUNFERENCIA ..................................................................................................................................... 21
XIV. CÍRCULO .................................................................................................................................................. 23
XV. CUERPOS POLIEDROS ............................................................................................................................... 24
XVI. CUERPOS REDONDOS .............................................................................................................................. 26
XVII. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA ............................................................................... 27
XVIII. TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................... 28
XIX. PROBABILIDADES ..................................................................................................................................... 30
Falta ................................................................................................................................................................ 31
Cap
ítu
lo:
I. P
RO
DU
CTO
S N
OTA
BLE
S
2
I. PRODUCTOS NOTABLES
· Cuadrado de binomio:
–
· Suma por su diferencia:
· Producto de binomios:
· Cubo de binomio:
–
· Cuadrado de trinomio:
· Suma de cubos:
· Diferencia de cubos:
Cap
ítu
lo:
II. C
OD
IFIC
AC
IÓN
3
II. CODIFICACIÓN
· N.° natural cualquiera:
· El antecesor de un n.°:
· El sucesor de un n.°:
· N.° natural par:
· N.° natural impar:
· El cuadrado del sucesor de un n.°:
· El sucesor del cuadrado de un n.°:
· El cuadrado del sucesor del antecesor de un n.°:
· Dos n.os naturales impares consecutivos: ,
· El inverso aditivo u opuesto de un n.°: –
· El inverso multiplicativo o recíproco de un n.°:
· El triple de un n.°:
· Un n.° de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d:
· Un n.° de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la
cifra de las centenas es c:
· La razón o cociente entre p y q:
· El valor absoluto de un n.°:
· p es directamente proporcional a q:
k: constante
· p es inversamente proporcional a q:
Cap
ítu
lo:
III.
EC
UA
CIO
NES
4
III. ECUACIONES
A. ECUACIÓN LINEAL
· Ecuación principal de la recta:
m: pendiente, n: coeficiente de posición
· Ecuación general de la recta:
· Pendiente:
· Rectas paralelas:
· Rectas perpendiculares: –
· Distancia entre dos puntos:
· Coordenadas del punto medio:
B. ECUACIÓN CUADRÁTICA
· Ecuación cuadrática:
· Fórmula cuadrática:
· N.° de soluciones y cortes en el eje x:
∆: discriminante –
Dos raíces reales y distintas. Dos cortes en el eje x.
Dos raíces reales e iguales. Un corte en el eje x.
No tiene raíces reales. La función no corta al eje x.
· Propiedades de las raíces:
Cap
ítu
lo:
IV. L
OG
AR
ITM
OS
5
IV. LOGARITMOS
·
·
·
·
·
·
·
·
Cap
ítu
lo:
V. F
UN
CIO
NES
6
V. FUNCIONES
A. FUNCIÓN DE PRIMER GRADO
·
B. FUNCIÓN LINEAL
· Función de primer grado , con :
· La recta pasa por el origen.
C. FUNCIÓN IDENTIDAD
· Función lineal , con :
· La recta pasa por el origen.
· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.
y
x
y
x
y
x
y
x
Cap
ítu
lo:
V. F
UN
CIO
NES
7
D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
· Asigna a cada número real x, un número no negativo:
E. FUNCIÓN CONSTANTE
· Función de grado cero.
· Su gráfico es una recta horizontal.
F. FUNCIÓN CUADRÁTICA
· Función de segundo grado:
· Se grafica una curva llamada parábola.
G. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
· Su dominio es .
y
x
–
y
x
y
x
3
y
x
Cap
ítu
lo:
V. F
UN
CIO
NES
8
y
x
y
x
H. FUNCIÓN EXPONENCIAL
· Función del tipo , con
· Existen dos casos: y
· La curva es asintótica (se acerca sin tocar) al eje x (1° y 4° cuadrante).
PRIMER CASO SEGUNDO CASO
· La función es creciente. · La función es decreciente
I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
· Inversa a la función exponencial.
· De tipo , con .
· Existen dos casos: y .
· La curva es asintótica al eje y (1° y 2° cuadrante).
PRIMER CASO SEGUNDO CASO
· La función es creciente. · La función es decreciente.
y
x
y
x
Cap
ítu
lo:
VI.
SU
CES
ION
ES
9
1 2
4 3
5 6 5 6
L1
L3
L2
L1 L2
8 7
VI. SUCESIONES
A. SUCESIÓN ARITMÉTICA
· Término general o:
· Diferencia entre dos términos consecutivos:
· Suma de los n primeros números:
B. SUCESIÓN GEOMÉTRICA
· Término enésimo:
· Razón entre 2 términos:
· Suma de los n primeros números:
VII. ÁNGULOS
· Medición:
· Complemento de
· Suplemento de
· Ángulos correspondientes:
(1 y 5), (2 y 6), (3 y 7), (4 y 8)
· Ángulos alternos internos: (3 y 5), (4 y 6)
· Ángulos alternos externos: (1 y 7), (2 y 8)
Cap
ítu
lo:
VII
I. TR
IÁN
GU
LOS
10
α
α’
β β'
γ γ'
A
B
C
h
VIII. TRIÁNGULOS
A. PROPIEDADES
·
·
·
·
· ; ;
· Cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.
· Cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos lados.
· Al lado de mayor medida se le opone el ángulo mayor.
· Al lado de menor medida se le opone el ángulo menor.
B. CLASIFICACIÓN
Clasificación según ángulos:
Rectángulo: un ángulo recto (90°).
Acutángulo: tres ángulos agudos (menores que 90°).
Obtusángulo: un ángulo obtuso (mayor que 90°).
Clasificación según lados:
Equilátero: tres lados iguales.
Isósceles: dos lados iguales.
Escaleno: tres lados distintos.
Cap
ítu
lo:
VII
I. TR
IÁN
GU
LOS
11
A
L M
C
B N
G
C. TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
· Trazo que une el vértice con el punto
medio del lado opuesto.
; ;
· Las tres transversales de gravedad se
intersectan en un mismo punto llamado
centro de gravedad (G) y el triángulo
queda dividido en seis triángulos
equivalentes (de igual área).
D. ALTURA
· Recta que pasa por un vértice y es
perpendicular al lado opuesto o a su
prolongación.
· Un triángulo tiene tres alturas.
· La intersección de las alturas se llama
ortocentro (H).
E. BISECTRIZ
· Recta que pasa por un vértice y divide
el ángulo en dos ángulos congruentes.
· La intersección de las bisectrices se
llama incestro (I).
A
C
B
L M
N
H
G
A
C
B
L M
N
I
I
Cap
ítu
lo:
VII
I. TR
IÁN
GU
LOS
12
F. SIMETRAL
· Recta perpendicular construida sobre
el punto medio de cada lado del
triángulo.
· La intersección de las simetrales se
llama circuncentro (O).
G. MEDIANA
· Segmento que une cualquier par de
puntos medios de los lados del
triángulo.
· Es paralela al lado opuesto
; ;
· Mide la mitad del lado al cual es
paralela.
;
;
H. TRIÁNGULO EQUILÁTERO
· Los tres lados miden lo mismo:
· Los ángulos interiores miden 60°:
·
·
A
C
B
L
N
O
O
A
C
B
L M
N
a b
c
C
B A α β
γ
h
Cap
ítu
lo:
VII
I. TR
IÁN
GU
LOS
13
I. TRIÁNGULO ISÓSCELES
· Dos lados congruentes ( ) y una
base (c)
· Los ángulos basales son iguales ( )
L. TRIÁNGULO RECTÁNGULO
· Posee un ángulo recto.
· Teorema de Pitágoras:
· Teorema de Euclides:
· Números pitagóricos:
a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
12 35 37
a b
c
C
B A
α β
γ
h
A
a
b
c
C
B
h
p q
a y b: catetos
c: hipotenusa
Cap
ítu
lo:
IX. C
ON
GR
UEN
CIA
DE
TRIÁ
NG
ULO
S
14
IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
· Dos triángulos son congruentes -de igual medida y forma- si tiene los tres lados correspondientes
congruentes y los tres ángulos correspondientes congruentes.
· Criterios:
LLL: los tres lados correspondientes de igual medida.
LAL: dos lados correspondientes iguales y el ángulo entre ellos igual.
ALA: dos ángulos y el lado entre ellos iguales.
LLA>: dos lados de igual medida y congruente el ángulo opuesto al mayor de los dos lados.
X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
· Dos triángulos son semejantes –de igual forma- si tiene los lados correspondientes son proporcionales y los
ángulos correspondientes son congruentes.
· Criterios:
LLL: los tres lados correspondientes proporcionales.
LAL: dos lados correspondientes proporcionales y ángulo entre ellos igual.
AA: dos ángulos correspondientes iguales.
Cap
ítu
lo:
XI.
CU
AD
RIL
ÁTE
RO
S
15
XI. CUADRILÁTEROS
· Los ángulos interiores suman 360°.
· Los ángulos exteriores suman 360°.
· Clasificación según par de lados opuestos paralelos:
Paralelogramos: dos pares.
Trapecios: un par.
Trapezoides: ningún par.
A. PARALELÓGRAMOS
· Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
Se clasifican en:
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
1. CUADRADO
· Cuatro ángulos interiores rectos.
· Cuatro lados congruentes.
· Lados opuestos paralelos.
· Las diagonales son iguales y son perpendiculares.
· Las diagonales se bisecan.
· Las diagonales bisecan los ángulos.
· Se puede inscribir una circunferencia.
· Se puede circunscribir una circunferencia.
·
·
·
A B
D C
a
d1
d2
a
a
a
a
Cap
ítu
lo:
XI.
CU
AD
RIL
ÁTE
RO
S
16
2. RECTÁNGULO
· Los cuatro ángulos interiores rectos.
· Lados opuestos de igual medida.
· Lados opuestos paralelos.
· Las diagonales son congruentes y se bisecan.
· Se puede circunscribir una circunferencia.
·
·
3. ROMBO
· Los cuatro lados de igual medida.
· Lados opuestos paralelos.
· Ángulos opuestos congruentes.
· Ángulos contiguos suplementarios.
· Las diagonales son perpendiculares.
· Las diagonales se bisecan y bisecan los ángulos.
· Se puede inscribir una circunferencia.
·
· /
4. ROMBOIDE
· Lados opuestos de igual medida.
· Lados opuestos paralelos.
· Ángulos opuestos congruentes.
· Ángulos contiguos suplementarios.
· Las diagonales se bisecan.
·
·
A B
D C
a
d1
d2 h b
a
b
A B
D C
a
d2 d1
f
h
a
a a
D
A B
C
a
b
d1
d2
a
b
Cap
ítu
lo:
XI.
CU
AD
RIL
ÁTE
RO
S
17
B. TRAPECIO
· Tienen un par de lados opuestos paralelos llamados basales.