Resumen Fis120 - Certamen 1.

Resumen Fısica 120 - Primer Certamen.

Claudio Alvarez R.

Noviembre 2, 2011

En el presente documento les presento un resumen de los contenidos queentraron en mi primer certamen de Fis120 el primer semestre del ano 2011.Destaco que NO he sido ayudante de esta asignatura hasta el momento yque solo quiero compartir este material con la comunidad sansana. La infor-macion fue extraıda del libro Resnick volumen 2.

1

1 Capıtulo 27: Ley de Coulomb.

La ley de Coulomb, llamada ası en honor a Charles Agustın Coulomb, quienmidio cuantitativamente la atraccion y repulsion electrica y dedujo la ley quelas gobierna.

F = kq1q2r2

(1)

Cabe destacar que esta formula la utilizaremos SOLO cuando hablemos decargas puntuales. La constante K de la frmula se define segn:

k =1

4ΠEo

(2)

k = 8, 99x109Nm2/C2 (3)

Donde Eo es la constante de permitividad.

1.1 Principio de Superposicion.

Cuando hablamos de la Ley de Coulomb en su forma vectorial podemosutilizar el principio de superposicion, el cual senala (en palabras simples) quesi tenemos dos o mas fuerzas actuando sobre una misma partıcula, entoncespodemos sumar estos vectores para obtener la fuerza neta sobre ella. (Lesaconsejo repasar sumas vectoriales)

1.2 Ejemplo

CARGAS en TRIANGULO. Tres partıculas cargadas identicas. Cada partıculase ubica en un vertice de un triangulo equilatero. La magnitud de la fuerzaque UNA de ellas ejerce sobre CUALQUIERA de las otras es de 1 N. Lamagnitud de la fuerza NETA sobre cualquiera de ellas vale:A) Cero.B) 2 N.C) Mayor que 2 N.D) Menor que 2 N, pero mayor que 1 N.E) 1 N.(Certamen del primer semestre del ano 2010, ejercicio 3)

2

Figure 1: Tres partıculas cargadas identicas forman un triangulo equilatero.

Solucion: Por el principio de superposicin sabemos que la fuerza neta queejercen las parıcula 1 y 2 sobre la 3 la podemos representar como la sumavectorial de estas:

FN = F13 + F23

El primer paso consiste en dividir cada una de las fuerzas en sus componentesX e Y, para luego sumar las que que queden en igual sentido, y restar lasque tengan sentidos opuestos (como en el caso de las componentes X de esteejemplo, las cuales se anulan)

⇒ FNx = F13x− F23x ∧ FNy = F13y + F23y

⇒ FNx = 1 ∗ cos(60)− 1 ∗ cos(60) ∧ FNy = 1 ∗ cos(30) + 1 ∗ cos(30)

Luego, como habıa adelantado anteriormente, las componentes a lo largo deleje X se anulan, por lo que la fuerza neta resultante ser igual a la suma delas componentes en el eje Y.

⇒ FN = FNy = 2 ∗ cos(30) =√

3

3

2 Capıtulo 28: Campo Electrico.

El campo electrico es un vector que se define como ”Fuerza por unidad decarga”, y su magnitud se define segun la siguiente formula:

E =F

qo(4)

Donde F es la fuerza ejercida sobre una carga qo, y qo es una carga de pruebamuy pequena. Observemos que si remplazamos (1) en (4) obtenemos otraforma de expresar el campo electrico en funcion de la carga de emisor (Q)y la distancia que lo separa del punto en el espacio donde estudiamos elcomportamiento del campo electrico (r).

E =1

4ΠEo

Q

r2(5)

2.1 Principio de superposicion

Al igual que con la fuerza de atraccion o repulcion electrica neta, el campoelectrico neto sobre un punto en el espacio se define como la suma vectorialde los N campos que lo atraviesen.

E =∑

Ei (6)

2.2 Lıneas de Fuerza.

Las lıneas de fuerza dan la direccion del campo electrico en cualquier punto.Estas se originan en cargas positivas y terminan en cargas negativas (Ver fig-ure 2). Cabe destacar que estas lıneas se trazan de tal modo que el numero delıneas por unidad de area sea proporcional a la magnitud del campo electrico.Como se observa en la figura 2, en la zona A hay mas lineas por unidad dearea, por lo que la magnitud del campo es mayor que, por ejemplo, la zonaB.

4

Figure 2: Ilustracion de lıneas de fuerza.

2.3 Dıpolo Electrico.

Uno de los casos mas comunes al trabajar con cargas puntuales, es el dıpoloelectrico (Ver Figure 3). En este caso primero debemos observar que lasmagnitudes de ambos campos son iguales en el punto P:

||E+|| = ||E−||Para luego proceder a usar el principio de superposicion.

E+ ∗ sin(φ)− E− ∗ sin(φ) = 0

⇒ E = E+ ∗ cos(φ) + E− ∗ cos(φ)

Ahora bien, si utilizamos la formula (5) tenemos que:

E = (1

4ΠEo

q

x2 + (d2)2

+1

4ΠEo

q

x2 + (d2)2

) ∗ cos(φ)

Luego observemos que:

cos(φ) =d2√

x2 + (d2)2

Por lo tanto, finalmente la ecuacion del campo electrico de un dıpolo nosqueda de la forma:

E =1

4ΠEo

q ∗ d(x2 + (d

2)2)

32

(7)

Donde q*d corresponde al momento dipolar electrico (p).

5

Figure 3: Dıpolo Electrico.

2.4 Campo electrico en las distribuciones de cargascontinuas.

Ya hemos visto como calcular el campo electrico neto cuando trabajamos conpartıculas, pero Que sucederıa si ahora hablaramos de un cuerpo cargado,ya sea un disco, una esfera o una barra?Sabemos que cada uno de estos cuerpos esta compuesto por millones departıculas, y cada una de ellas posee una cantidad de carga, la cual llamare-mos dq, y que produce un campo electrico asociado, el cual llamaremos dE,donde:

dE =1

4ΠEo

dq

r2(8)

Por el principio de superposicion sabemos que si sumamos cada una de estoscampos asociados obtendremos finalmente el campo electrico total. Ahorabien, si intentaramos sumar uno a uno no terminarıamos nunca, por lo queaplicaremos el concepto de integral para facilitar el calculo:

E =∫dE (9)

6

Recordemos que esta sigue siendo una suma vectorial, por lo que tenemosque tener cuidado con el sentido de cada uno de los vectores.

2.4.1 Densidad de carga.

La densidad de carga la podemos calcular a nivel lineal, superficial o volumetricodependiendo del caso. La formula para el caso lineal es:

dq = λds (10)

donde lambda es la densidad lineal y ds representa una longitud muy pequena.Para el caso superficial y volumetrico tenemos casos similares:

dq = σdA (11)

dq = ρdV (12)

Donde sigma es la densidad superficial, rho la densidad volumetrica, dA ydV una fraccion muy pequena del area y del volumen respectivamente.

2.5 Casos particulares.

A continuacion les presento los casos mas comunes en el curso.

2.5.1 El anillo de carga.

En esta situacion contamos con un anillo cargado de manera homogenea en elplano XY, y vamos a calcular la magnitud del campo electrico en cualquierpunto del eje Z. (Observar que el centro del anillo coincide con el punto(0,0,0)).Primero, como acordamos anteriormente, vamos a dividir el anillo en infinitaspartıculas dq. Ahora veamos cuanto vale el campo electrico para cada unade estas particulas. (Ver figura 4).

dE =1

4ΠEo

dq

r2

Ahora, segun la formula (10) tenemos que:

dE =1

4ΠEo

λds

r2

7

Figure 4: Anillo cargado.

Ahora, utilizando el teorema de pitagoras podemos facilmente calcular cuantovale r en funcion del radio del disco (R) y la distancia del centro de este hastael punto en cuestion (z).

dE =1

4ΠEo

λds

R2 + z2

Ahora ya conocemos la magnitud de cada una de las partıculas del disco,sin embargo aun tenemos que calcular el campo electrico neto. Para elloocuparemos el principio de superposicion, pero antes es necesario observarbien la situacion y percatarse que cuando descompongamos cada uno de estosvectores en los componentes X, Y y Z podremos observar que al sumar losvectores en el eje x y el eje y estos se anularn, quedando solo el componentez. Por ejemplo, tomemos dos puntos opuestos del disco y dibujemos el vectorde cada campo electrico, entonces nos damos cuenta que efectivamente alsumarlos nos queda un vector a lo largo del eje z. Lo mismo sucede parael resto de los puntos. Entonces, partiendo por este razonamiento que nosfacilitara el calculo, continuamos con el ejercicio.Habiendo aclarado esto, podemos despreciar el valor de las componentes x e yde cada vector asociado a las partıculas del disco, y solo sumar vectorialmentesu componente z.

dEz = dE ∗ cos(φ) = (1

4ΠEo

λds

R2 + z2) ∗ cos(φ)

8

⇒ dEz = (1

4ΠEo

λds

R2 + z2) ∗ (

z√R2 + Z2

)

Ahora procedemos a integrar el lado derecho en base a dEz, y el derecho ads. Observemos que z, lambda, R y k no dependen de ds, por lo tanto lospodemos considerar como constantes y ”sacarlas” de la integral.∫

dEz = (1

4ΠEo

zλ

(R2 + z2)32

) ∗∫ds

⇒ Ez = (1

4ΠEo

zλ

(R2 + z2)32

) ∗ 2ΠR (13)

Ahora bien, observemos que el perımetro del anillo multiplicado por la densi-dad lineal corresponde efectivamente a la carga total del anillo, por lo tanto,el campo electrico de un anillo es igual a:

E = Ez =1

4ΠEo

zq

(R2 + z2)32

(14)

2.5.2 Disco con carga.

Este caso es similar al anterior, sin embargo, ahora no nos conviene calcular elcampo de cada partıcula, ya que se complica mas el calculo. Lo que haremos,ser dividir el disco en infinitos anillos concentricos, y utilizaremos la formulapara campo electrico que encontramos en el ejercicio anterior.Definiremos W como la distancia del centro al anillo, y dw como el grosorde este. Observemos tambien que el valor de W variara de 0 a R, y quefinalmente, ya que esta formado de anillos cuyos campos son paralelos al ejex, la suma vectorial de estos dara como resultado que el campo electrico netosera paralelo al eje Z.

dE = (1

4ΠEo

zσ

(W 2 + z2)32

) ∗ 2ΠWdw

Luego procedemos a integrar desde 0 a R, y procedemos a sacar de esta a lasconstantes. ∫

dE =zσ2Π

4ΠEo

∫ Wdw

(W 2 + z2)32

9

Figure 5: Ilustracin de un Disco cargado en las cordenadas XYZ y visto desdearriba.

10

Figure 6: Ilustracion de lınea infinita cargada.

⇒ E =zσ

2Eo

(1

z− 1

(R2 + z2)12

)

⇒ E =σ

2Eo

(1− z

(R2 + z2)12

) (15)

2.5.3 Lınea de carga infinita.

En este caso calcularemos el campo neto en un punto a lo largo del eje Y.Partiremos por dividir la linea en infinitas partıculas de carga dq y longituddz, para luego calcular su campo asociado utilizando la formula (8) y la (10).

dE =1

4ΠEo

λdz

(y2 + z2)

Observemos que si le damos la vuelta a la barra en 180 grados en tornoal eje Y, la situacion no cambia en nada, por lo tanto no puede haber unacomponente Z del campo neto en el punto que estudiamos. En otras palabras,

11

imaginemos que efectivamente existiera una componente Z que apunte haciaarriba en este punto. Ahora bien, cuando damos vuelta la barra, la situacionno cambia, sin embargo la componente Z se modificarıa y apuntara haciaabajo. A partir de este simple razonamiento concluimos que no existe talcomponente. Podemos llegar a esta misma conclusion a partir de la simetrıade la barra, ya que se terminan anulando los componentes Z de cada partıculacon su homologo del extremo opuesto.De igual forma podemos descartar la existencia de una componente en eleje X. Imaginemos que existe un componente X en el punto que estudiamos.Ahora, si rotamos la barra sobre el eje Z, nos damos cuenta que esta direccionse altera, sin embargo, la situacion no ha cambiado.Una vez aclarado esto, procederemos a sumar las componentes Y de todoslos campos. Integrando en z desde menos infinito a mas infinito.

E = Ey =∫cos(φ)dE

⇒ E =∫

(cos(φ)) ∗ (1

4ΠEo

λdz

(y2 + z2))

Otra dato importante que hay que notar, es que la contribucion del extremosuperior y del extremo inferios son equivalentes, por lo tanto, podemos in-tegrar desde z=0 hasta z= infinito positivo y multiplicar este resultado pordos, obteniendo el mismo resultado. Tambien cabe destacar que el angulophi depende de la posicion Z de la partıcula, por lo que no podemos sacar elcoseno de phi de la integral ya que es una variable.

⇒ E = 2 ∗ (λ

4ΠEo

∫ cos(φ)dz

(y2 + z2))

Para el siguiente paso, primero tenemos que fijarnos que dentro de la integraltenemos dos variables, el angulo phi y z. Tenemos que dejar solo una parapoder continuar. Observemos la siguiente igualdad:

tang(φ) =z

y

⇒ z = y ∗ tang(φ)

12

Ahora bien, si derivamos ambos lados con respecto al angulo phi obtenemos:

dz = y ∗ sec2(φ)dφ

Lo que es equivalente a:

dz =ydφ

cos2(φ)

Luego podemos continuar, pero ahora integramos desde el angulo cero hastael angulo recto de 90 grados.

⇒ E = 2 ∗ (λ

4ΠEo

∫ cos(φ) ∗ y ∗ dφcos2(φ)(y2 + y2 ∗ tang2(φ))

)

⇒ E = (λ

2ΠEoy

∫ dφ

cos(φ)(1 + tang2(φ)))

⇒ E = (λ

2ΠEoy

∫ dφ

cos(φ)sec2(φ))

⇒ E =λ

2ΠEoy

∫cos(φ)dφ

⇒ E =λ

2ΠEoy(sin(

Π

2)− sin(0))

⇒ E =λ

2ΠEoy(16)

13

3 Capıtulo 29: Ley de Gauss.

La ley de Gauss propone una formula para calcular el flujo de campo electricoque pasa a traves de una superficie cerrada, y nosotros aprovecharemos lasimetrıa del ejercicio para calcular el campo E.

φE =∮

E*dA (17)

Observemos que esta integral cerrada es del producto punto entre el vec-tor campo electrico y la fraccion infinitesimal del area de la superficie queatraviesa. Ahora bien, habiendo aclarado esto, la ley de Gauss se expresacomo: ∮

E*dA =Q

Eo

(18)

Donde Q corresponde a la carga neta encerrada por la superficie. Si unasuperficie no encierra ninguna carga, entonces el flujo neto en esa superficiees cero. (Notar que el flujo que sale de una superficie lo consideramos positivoy el que entra negativo, y al sumarlos obtenemos el flujo neto)

3.1 Teorema

Una carga en exceso en un conductor aislado se traslada por completo a lasuperficie exterior del conductor (no necesariamente uniforme). Ninguna delas cargas en exceso se encuentra en el interior del cuerpo conductor.Observemos que si el conductor no estuviera aislado, la carga se disiparıa enel medio.

3.2 Casos

3.2.1 Lınea infinita cargada.

En este caso contamos con una Lınea infinita con una carga neta igual a Q.Esta situacion posee una simetrıa cilındrica tal como se muestra en la figura,ya que en todos los puntos a una distancia r de la lınea el campo es el mismo.Luego, usando la ley de Gauss podemos decir que:∮

E*dA =Q

Eo

14

Figure 7: Ilustracion superficie de gauss para lınea infinita cargada.

Ahora, como mencionamos antes, el campo es el mismo en todo punto delcilindro, por lo tanto, se considera como una constante dentro de la integral,as que podemos ”sacarlo”. (Recordar que dentro de la integral esta el pro-ducto punto entre el vector campo y el diferencial de area, pero como sonparalelos, su angulo es 0 y por ende, como el coseno de 0 es 1, dentro de laintegral queda el producto simple de ambas magnitudes.)

⇒∮EdA =

Q

Eo

⇒ E∮dA =

Q

Eo

Al integrar, obtenemos el rea superficial del cilintro (sin considerar las ”tapas”).

E(2Πrh) =Q

Eo

Y utilizando la formula (10) luego de integrarla y remplazando Q tenemos:

E(2Πrh) =hλ

Eo

15

Figure 8: Ilustracion de una lamina cargada y su superficie gaussiana.

⇒ E =λ

2ΠrEo

(19)

3.2.2 Lamina infinita cargada.

Ahora bien, utilizando la superficie gaussiana de la figura y la ley de Gaussobtenemos: ∮

E*dA =Q

Eo

Observemos que el campo interactua con la superficie del cilindro de tresformas distintas. Con la tapa de la derecha, con el borde y con la tapa de laizquierda. Para facilitar el entendimiento del ejercicio dividiremos el calculopara cada uno de estos casos.

⇒∮izq

E*dA +∮der

E*dA +∮borde

E*dA =Q

Eo

16

Partiremos analizando que sucede en el borde. En esta parte el campo esperpendicular al diferencial de area, y como el coseno de 90 es 0, entonceseste producto punto se anula. Ahora bien, para los siguientes casos el analisises muy similar. El caso de la derecha tenemos que el campo y el diferencialde area son paralelos, por lo tanto su angulo es cero y su producto puntoresulta ser el producto simple de la magnitud de sus vectores. Por otraparte, en el caso de la izquierda, posiblemente sea un poco mas complicadode digerir, pero ocurre exactamente lo mismo que en la derecha. El vectorcampo electrico ”sale” de la superficie, y el vector del diferencial de areatambien, por lo que son paralelos. Entonces, el problema nos queda as:

⇒∮izqEdA+

∮derEdA+ 0 =

Q

Eo

⇒ E∮izqdA+ E

∮derdA+ 0 =

Q

Eo

⇒ EA+ EA+ 0 =Q

Eo

Remplazamos Q al igual que antes, solo que ahora con la formula (11).

⇒ EA+ EA+ 0 =Aσ

Eo

⇒ E =σ

2Eo

(20)

3.2.3 Cascaron esferico cargado.

Aunque en este caso tengamos que calcular dos campos eletricos (adentro yafuera del cascaron), resulta ser mas sencillo que los anteriores.Partamos por el interior del cascaron. Utilizaremos una simetrıa esferica eintentaremos usar la ley de Gauss. Sin embargo, no tenemos una carga netaen el interior, por lo tanto concuımos que el campo en el interior del cascarones cero.

E = 0

17

Figure 9: Ilustracion de un cascaron cargado su superficie gaussiana.

Ahora, para un punto cualquiera en el exterior, utilizaremos de nuevo unaesfera como nuestra superficie gaussiana, debido a que el campo solo tienecomponentes radiales (realizar el mismo analisis que hicimos con la lıneacargada). ∮

E*dA =Q

Eo

∮EdA =

Q

Eo

E∮dA =

Q

Eo

E(4Πr2) =Q

Eo

Con r mayor a R.

E(4Πr2) =Q

4ΠEo

1

r2(21)

Finalmente, observemos que en el exterior, el cascaron cargado se comportaigual que una partıcula cargada.

18

4 Capıtulo 30: Potencial Electrico.

4.1 Energıa potencial.

Destaquemos que la fuerza electroestatica es conservativa y podemos repre-sentarla por la siguiente regla:

Fe = Eq (22)

Y el trabajo realizado por esta desde un punto a a un punto b es:

Wa→b = q∫a→b

Eds (23)

Y este esta relacionado a una diferencia de energıa potencial:

∆U = −Wa→b (24)

⇒ Ub − Ua = −q∫a→b

Eds

Ahora imaginemos que el punto inicial a lo tenemos a una distancia que tiendeal infinito en donde Ua es igual a cero, e intentamos arrastrar un partıculade prueba de carga q hacia el punto b cercano a la fuente emisora del campoelectrico de carga Q. Entonces, podemos calcular la energıa potencial que”necesitamos para mantener” la partıcula en el punto b con la siguienteformula:

⇒ Ub = −q∫oo→b

kQdr

r2

⇒ Ub = −qkQ∫oo→b

dr

r2

⇒ Ub = qkQ(1

b− 1

oo)

U(r) =1

4ΠEo

qQ

r(25)

19

4.2 Energıa potencial en un sistema de carga.

La energıa potencial total en un sistema de cargas es la suma algebraica decantidades escalares. Es decir, si tenemos tres partıculas (Q1, Q2 y Q3),la energıa potencial de carga del sistema estara dada por la suma entre laenergıa potencial entre la carga 1 y 2, mas la 2 y 3, mas la 3 y 1.

Ut = UQ1Q2 + UQ2Q3 + UQ1Q3 (26)

⇒ Ut =1

4ΠEo

Q1Q2

r+

1

4ΠEo

Q2Q3

r+

1

4ΠEo

Q1Q3

r

4.3 Potencial elctrico. (V)

Definimos el potencial electrico como la energıa potencial por unidad decarga de prueba. Anteriormente habıamos definido la formula de energıapotencial segun la formula (25) con una carga de prueba q. A partir de esto,el potencial electrico estarıa dado por:

V =U

q(27)

V =1

4ΠEo

Q

r(28)

Donde Q es la carga puntual que estudiamos. Notar que V es un escalar,por lo tanto para calcular el potencial electrico total entre multiples cargaspuntuales hay que hacer la suma algebraica.

VT =∑

Vi (29)

4.4 Otras formulas relacionadas.

Diferencia de potencial electrico entre dos puntos, a y b.

∆V =Ub − Ua

q(30)

Relacion entre el trabajo y la diferencia de potencial electrico.

∆V =−Wa→b

q(31)

20

⇒ ∆V = −∫a→b

Eds

Y cuando a tiende al infinito tenemos:

⇒ ∆V = −∫oo→b

Eds

4.5 Potencial electrico para una distribucion de cargacontinua.

Como mencionamos anteriormente, la formula (28) es para una carga pun-tual. En este caso tendremos que hacer un trabajo similar al campo electrico,usando la misma metodologıa, es decir, dividiremos el cuerpo cargado enpartıculas, calcularemos el potencial asociado a cada una y luego haremosuna suma algebraica de las magnitudes (recordemos, el potencial es un escalary no un vector).

V =∫dV (32)

⇒ V =1

4ΠEo

∫ dq

r

Veamos que sucede con el caso partıcular de un anillo cargado. (Ver figura4). En esta situacion tenemos que:

V =1

4ΠEo

∫ dq

r

Observemos que r es constante para todo dq, por lo tanto podemos ”sacarlode la integral”.

⇒ V =1

4ΠEor

∫dq

⇒ V =1

4ΠEo

q

r

⇒ V =1

4ΠEo

q√R2 + z2

(33)

21

4.6 Superficies equipotenciales.

Las superficies equipotenciales, como su nombre lo indica, son aquellas quetienen el mismo potencial electrico en todos sus puntos. Algunas propiedadesimportantes para el curso son:

1. Cuando una carga de prueba se mueve a lo largo de una superficieequipotencial, el campo electrico no realiza ningun trabajo sobre ella.(Revisar formula 31)

2. Debido a que el potencial electrico es independiente a la trayectoria,la diferencia de potencial para dos puntos cualquiera dentro de unamisma superficie potencial es cero.

3. La superficie equipotencial es perpendicular a las lıneas de campo.

4.7 Relacion entre campo y potencial.

El negativo de la rapidez de cambio del potencial con la posicion en cualquierdireccıon (ds) es la componednde de E en esa direccion.

Es =−dVds

(34)

Un caso particular es cuando la direccion ds es perpendicular a la superficieequipotencial, en ese caso tenemos que:

E =−dVds

(35)

22

5 Capıtulo 31: Capacitores y Dielectricos.

Un capacitor es un dispositivo que almacena energıa en una campo elec-troestatico, y esta compuesto por dos conductores con cargas iguales y op-uestas, aislados el uno del otro y de su entorno, sin importar la forma deestos.La formula que relaciona a la carga de las placas con su diferencia de potenciales:

q = CV (36)

Donde C es la capacitancia que se mide en faradios (coulomb/volt). (Lacampacitancia es la constante de proporcionalidad, y esta si depende de laforma del capacitor)

5.1 Como calcular la capacitancia

1. Calculamos el campo electrico entre las placas utilizando Gauss.

2. Utilizando E calculamos la diferencia de potencial.

∆V = −∫a→b

Eds

Observacion. Hasta ahora habiamos elegido trayectorias hacia el emisordel campo (de carga positiva). Para facilitar el calculo, y evitar elsigno negativo, para los casos de capacitores siempre vamos a elegirla trayectoria que indique el campo electrico (de + a -), y entonces laformula quedarıa de la siguiente forma:

∆V =∫+→−

Eds

3. Finalmente, con la formula (36) obtenemos la capacitancia.

5.2 Casos particulares.

5.2.1 Capacitor de placas paralelas.

Como vimos en el punto anterior, tenemos que partir por calcular E. En estecaso tenemos dos cuerpos que generan un campo electrico, entonces, para

23

Figure 10: Capacitador de placas paralelas.

obtener el campo neto, tenemos que hacer la suma vectorial de los camposgenerados por ambas placas.

E = E+ + E−

Ambos tienen la misma direccion y sentido, por lo tanto:

⇒ E =q

Eo(2A)+

q

Eo(2A)

Luego calculamos la diferencia de potencial:

⇒ ∆V =∫+→−

Eds

Ahora bien, el campo es constante, por lo tanto lo podemos sacar de laintegral.

⇒ ∆V = E∫+→−

ds

⇒ ∆V = Ed

⇒ ∆V =qd

EoA

Ahora podemos calcular la capacitancia.

C =q

V

⇒ C =EoA

d(37)

24

Figure 11: Seccion transversal de un capacitador cilındrico o capcitadoresferico.

5.2.2 Capacitor cilındrico.

Del mismo modo, partimos por calcular E.∮E*dA =

Q

Eo

⇒∮EdA =

Q

Eo

⇒ E∮dA =

Q

Eo

⇒ E(2ΠrL) =Q

Eo

⇒ E =Q

Eo(2ΠrL)

25

Luego el potencial:

∆V =∫+→−

Edr

⇒ ∆V =Q

Eo(2ΠL)

∫a→b

dr

r

⇒ ∆V =Q

Eo(2ΠL)lnb

a

Y finalmente la capacitancia:

C =Eo(2ΠL)

ln ba

(38)

5.2.3 Capacitor esferico.

De igual forma en este caso procedemos a calcular el campo.∮E*dA =

Q

Eo

⇒∮EdA =

Q

Eo

⇒ E(4Πr2) =Q

Eo

⇒ E =Q

Eo(4Πr2)

Luego el potencial.

∆V =∫+→−

Edr

⇒ ∆V =q

4ΠEo

∫a→b

dr

r2

⇒ ∆V =q

4ΠEo

(1

a− 1

b)

Y finalmente obtenemos la capacitancia:

C =4ΠEo(ab)

(b− a)(39)

26

Figure 12: Capacitadores en paralelo.

5.3 Capacitores en serie y en paralelo.

5.3.1 En paralelo

Propiedades:

1. La diferencia de potencia de la baterıa es igual a la diferencia de po-tencial de cada uno de los capacitores.

Vbat = Vi (40)

2. El potencial de las placas de la izquierda es igual al potencial en a, yel potencual de las placas de la derecha es igual al potencial en b.

3. Los elementos comparten la carga total que la baterıa proporciona a lacombinacion.

qbat =∑

qi (41)

4. La capacitancia equivalente corresponde a la suma de las capacitanciasindividuales.

Ceq =∑

Ci (42)

27

Figure 13: Capacitadores en serie.

5.3.2 En serie

1. La diferencia de potencia de la baterıa es igual a la suma de las difer-encias de potencial de cada capacitor.

Vbat =∑

Vi (43)

2. la carga q, entregada a cada elemento de la serie, tiene el mismo valor.

qbat = qi (44)

3. La capacitancia equivalente se calcula segun:

Ceq =∑ 1

Ci

(45)

5.4 Almacenamiento de energıa en un campo electrico.

Supongamos que en un tiempo t se transfiere una carga q’ de una placa a laotra. La diferencia de potencial V’ entre las placas en ese momento es:

V ′ =q′

C

SI ahora se transfiere un incremento de carga dq’, el pequeno cambio dUresultante en la energıa potencial electrica es:

dU = V ′dq′ =q′

Cdq′

Si este proceso continua hasta que se haya transferido una carga q, la energıapotencial total es de:

U =∫dU =

∫0→q

q′

Cdq′

28

U =q2

2C(46)

Que es equivalente a decir:

U =CV 2

2(47)

5.5 Capacitores con dielectricos.

Un dielectrico es una sustancia aislante entre las placas de un capacitor, locual aumenta la capacitancia de este en un factor K.

Ke =C

Co

C = KeEoA

d

Donde C es la capacitancia con dielectrico, y Co sin el.El dielectrico ayuda a aumentar la capacidad de almacenar energıa en uncapacitor, pero al mismo tiempo lmita la diferencia de potencial que puedemantenerse entre las placas. La resistencia o rigidez del dielectrico propio decada uno define el valor maximo que puede soportar sin perforarse.Ademas, el campo electrico se debilita en presencia de un dielectrico.

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