146
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
Si el vector aleatorio asume slo una cantidad numerable de valores, eno tonces cada componente es una variable aleatoria discreta, sucediendo que la funcin de probabilidad de una componente coincide con la suma de la funcin o o de probabilidad conjunta sobre la otra componente. Por ejemplo: P1 (k1 ) =k2
P (k1 , k2 ).
Cuando adems las componentes son variables aleatorias independientes entona ces: P (k1 , k2 ) = P1 (k1 ) P2 (k2 ).
Ejercicios ResueltosP5.1] Sea la funcin de masa P {(1, 2)} = P {(1, 3)} = P {(2, 2)} = P {(2, 3)} = o 1/6, P {(3, 3)} = 2/6. Calcular: 1. la funcin de distribucin bivariante asociada; o o 2. P {(x, y) IR2 : x + y = 4}. Solucin o 1. Considerando los distintos casos posibles, la funcin de distribucin o o bivariante asociada es: si x < 1 0 si y < 2 0 si 1 x < 2, 2 y < 3 1/6 2 x, 2 y < 3 F (x, y) = si 1/3 1 x < 2, y 3 si 2 x < 3, y 3 2/3 1 si x 3, y 3 2. Los unicos puntos con probabilidad no nula pertenecientes a la recta x + y = 4 son (1, 3) y (2, 2). Por lo tanto: P (x, y) IR2 : x + y = 4 = P ({(1, 3)}) + P ({(2, 2)}) = 1/3.
P5.2] Sea una urna con 15 bolas rojas, 10 negras y 25 blancas. Se extraen 10 con reemplazamiento y al azar y se considera la variable aleatoria (, ) donde es nmero de rojasy es nmero de negras. u u 1. Calcular la funcin de probabilidad conjunta. o 2. Hallar las funciones de distribucin marginales. o
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Solucin o 1.
147
La funcin de probabilidad conjunta viene dada, teniendo en cuenta o que las bolas se extraen con reemplazamiento, por: P ( = x, = y) = 15 10! x! y! (10 x y)! 50x
10 50
y
25 50
10xy
,
para x, y {0, . . . , 10} . 2. Las funciones de distribucin de estas dos variables discretas son: o P ( = x) = 10 x 10 y 15 50 10 50x 10x
y
35 50 40 50
,10y
P ( = y) =
.
P5.3] Sea el vector aleatorio (, ) con funcin de probabilidad conjunta: o P ( = i, = j) =3 i 3 j 4 3ij
120
,
i, j = 0, 1, 2, 3 i+j 3
Calcular P (0 < 2, = 3) y P ( 1). Solucin o Ntese que esta funcin de probabilidad conjunta toma valores no nulos o o para aquellos puntos (i, j)tales que i, j = 0, 1, 2, 3 y i + j 3. Por lo tanto: P (0 < 2, = 3) = P ( = 1, = 3) + P ( = 2, = 3) = 0. Por otra parte:3
P ( 1) =
1 P ( = 0) = 1 j=0 3
P ( = 0, = j) = 4 3j 17 . 24
=
1j=0
1 3 120 0
3 j
=
P5.4] Una urna contiene tres bolas rojas, tres blancas y cuatro negras. Se extraen dos bolas de la urna, sin reemplazamiento. Sean las variables y denidas como = 1 si la bola extra en primer lugar es roja y 0 si da no lo es, y = 1 si la bola extra en segundo lugar es roja y 0 si no lo da
148
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD es. Calcular las distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas de (, ). Son y independientes? Solucin o La funcin de probabilidad conjunta, as como las funciones de probabio lidad marginales, estn expresadas en la siguiente tabla: a | 0 17 10 7 10
0 6 9 3 9 3 10 3 10
1 7 9 2 9 7 10 3 10
7 10
3 10
1
Adems: a P ( = x | = y) = por lo que:
P ( = x, = y) , y = 0, 1, P ( = y) 2/3 , si 1/3 , si 7/9 , si 2/9 , si x=0 , x=1 x=0 . x=1
P ( = x | = 0) = P ( = x | = 1) =
Finalmente, se puede armar que las variables y no son independientes, puesto que P ( = x, = y) = P ( = x) P ( = y) , para todo x, y {0, 1} . P5.5] Repetir el problema anterior suponiendo que las extracciones se hacen con reemplazamiento. Solucin o De forma similar al caso anterior: | 0 17 10 7 10
0 7 10 7 10 3 10 3 10 3 10
1 3 10 7 10 3 10 7 10 3 10
1
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES y adems: a P ( = x | = 0) = P ( = x | = 1) = 7/10 , si 3/10 , si 7/10 , si 3/10 , si x=0 , x=1 x=0 . x=1
149
Finalmente, se puede armar que las variables y son independientes, puesto que P ( = x, = y) = P ( = x) P ( = y) , para todo x, y = 0, 1. P5.6] El vector aleatorio (, ) tiene la distribucin de probabilidad conjunta o dada por P ( = x, = y) = k(x + 1)(y + 1) donde x, y = 0, 1, 2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Calcular el valor de k. Calcular las distribuciones marginales. Distribuciones de condicionada a = y (y = 0, 1, 2). Son independientes y ? Calcular P ( + > 2) y P ( 2 + 2 1). Distribuciones de Z = + y de = 2 + 2 .
Solucin o 1. El valor de k es aqul para el que se verica: e2 2
k(x + 1)(y + 1) = 36k = 1,x=0 y=0
es decir, k = 1/36. 2. Las distribuciones marginales son: P ( = x) = x+1 (x + 1)(y + 1) = , para x = 0, 1, 2. 36 6 y=0 y+1 (x + 1)(y + 1) = , para y = 0, 1, 2. 36 6 x=02 2
P ( = y) = 3.
La distribucin de condicionada a = y (y = 0, 1, 2) es: o P ( = x | = y) = x+1 P ( = x, = y) = , para x = 0, 1, 2. P ( = y) 6
150
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD 4. Las variables y son independientes, pues P ( = x, = y) = P ( = x) P ( = y) , para todo x, y = 0, 1, 2. O, alternativamente, porque P ( = x | = y) = P ( = x) , para todo x, y = 0, 1, 2. 5. Se tiene que P ( + > 2) = P ( = 1, = 2) + P ( = 2, = 1) +P ( = 2, = 2) = 7 . 12
P ( 2 + 2 1) = P ( = 0, = 0) +P ( = 0, = 1) + P ( = 1, = 0) = 5 . 36
6. A partir de la funcin de probabilidad conjunta del vector aleatorio o (, ) se concluye que la variable Z = + tiene distribucin: o z 0 1 2 3 4 y = 2 + 2 : w 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P ( = w) 1/36 1/19 1/14 0 1/16 1/13 0 0 1/14 P (Z = z) 1/36 1/19 5/18 1/13 1/14
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
151
P5.7] Consideremos una urna con 3 bolas azules, 2 blancas y 1 roja. Extraemos 3 bolas sin reemplazamiento, y consideremos las variables aleatorias que nos dan el nmero de bolas azules y el nmero de bolas blancas u u que aparecen en la extraccin. Calcular la distribucin de probabilidad o o conjunta. Solucin o =0 0 0 1/20 =1 0 6/20 3/20 =2 3/20 6/20 0 =3 1/20 0 0
=0 =1 =2
P5.8] Denimos sobre el experimento de lanzar diez veces una moneda las variables aleatorias como el nmero de lanzamiento en el que aparece u la primera cara (si no aparece cara = 0), y como el nmero de u lanzamiento en el que aparece la primera cruz (con = 0 si no aparece cruz). 1. 2. 3. 4. 5. Calcular la funcin de probabilidad conjunta. o Calcular las distribuciones marginales. Distribuciones de condicionada a = y (y = 0.,10). Son independientes y ? Probabilidad de que | | 1.
Solucin o 1. Ntese que si una de las dos variables ( o ) toma un valor mayor o que 1 o bien igual a cero, la probabilidad P ( = x, = y) ser nua la si la otra variable toma un valor distinto de 1. Por lo tanto P ( = x, = y) es: = 1 10 2 1 10 2 1 10 2 1 10 2
, si x = 1, y = 010y
i=0 10x j=0
10y i
= 1/2y
, si
x = 1, y = 2, . . . , 10
, si x = 0, y = 1 10x j
= 1/2x
, si
x = 2, . . . , 10, y = 1
2.
Las correspondientes distribuciones marginales son:
152
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD P ( = x) = = 10 y=0 1 10 2 1 10 2 1 2x 10 x=0 1 10 2 1 10 2 1 2y
P ( = x, = y) = , si x=0 x=1 x = 2, . . . , 10
+
10 y=2
1/2y = 1/2
, si , si
P ( = y) = =
P ( = x, = y) = , si y = 0
+
10 x=2
1/2x = 1/2 , si
y=1
, si y = 2, . . . , 10
3. Si y = 0 : P ( = 1 | = 0) = si y = 1 : P ( = x | = 1) = y por ultimo, si y = 2, . . . , 10 : P ( = 1 | = y) = 1 2y1 .1 9 2 1
P ( = x, = 0) = 1, P ( = 0)
2x1
, si x = 0 , si x = 2, . . . , 10
4. Las variables aleatorias y no son independientes, pues, por ejemplo: P ( = 2, = 1) = 5. Finalmente: P (| | 1) = 1 P (| | = 0)10
1 1 1 = P ( = 2) P ( = 1) = 2 . 2 2 2 2
= 1 P ( = ) = 1 i=0
P ( = i, = i) = 1.
P5.9] En una jaula hay un ratn y dos pollitos. La probabilidad de que cada uno o de los animales salga de la jaula en la prxima hora es de 0.3. Esperamos o una hora y observamos lo que queda en la jaula.
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES 1. 2. 3.
153
Cmo se distribuye la variable aleatoria que cuenta el nmero de o u animales que quedan en la jaula? Si es el nmero total de patas de los animales que hay en la jaula, u dar la distribucin conjunta de (, ). Son y independientes? o Cul es la probabilidad de que el nmero de patas no supere al a u doble del nmero de animales? u
Solucin o 1. La variable aleatoria que cuenta el nmero de animales que quedan u en la jaula tiene la siguiente distribucin: o P ( = x) = 2. 3 0,33x 0,7x , para x = 0, 1, 2, 3. x
La distribucin de probabilidad conjunta del vector aleatorio (, ) o es: 0 1 2 3 | 0 0,027 0,027 0 0 0 0 0,126 2 0 0 0,126 0 0,21 4 0 0,063 0,147 0 0,294 6 0 0,294 0 0 8 0 0 0,343 0,343 0,027 0,189 0,441 0,343 1 Adems, las variables y no son independientes, pues: a P ( = 0, = 0) = 0,33 = P ( = 0) P ( = 0) = 0,36 .
3.
La probabilidad de que el nmero de patas no supere al doble del u nmero de animales viene dada por: u P ( 2) = P ( = 0, = 0)+P ( = 1, = 2)+P ( = 2, = 4) = 0,3. Esto puede observarse en la gura 5.1.
P5.10] Sea (, ) una variable aleatoria bidimensional con funcin de densidad o f (x, y) = 24y (1 x y), si (x, y) pertenece al recinto limitado por las rectas x + y = 1, x = 0, y = 0. 1. 2. 3. Calcular la funcin de distribucin de la variable aleatoria bidimeno o sional (, ) . Calcular las funciones de densidad marginales. Calcular las funciones de densidad condicionadas.
154
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
T q q q q q
= 2
E
Figura 5.1: Diagrama para el ejercicio P5.9.
y
R4 R3 R2 R1
R6
R5 x
Figura 5.2: Regiones del plano para el problema P5.10.
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Solucin o
155
Dividimos IR2 en distintas regiones segn muestra la gura 5.2, y en cada u una se obtiene: si (x, y) R1 : F (x, y) = 0; si (x, y) R2 :x y 0
F (x, y) =0
24t (1 s t) t s = 12y 2 x 6y 2 x2 8y 3 x;
si (x, y) R3 :1y y
F (x, y) =0 x 0
24t (1 s t) t s1s
+ = si (x, y) R4 :x 1s 0 1y 2 2 0
24t (1 s t) t s
y (2y 8y + 6) (1 x)4 + y 4 ;
F (x, y) =0
24t (1 s t) t s = 1 (1 x)4 ;
si (x, y) R5 :y 1t 0
F (x, y) =0
24t (1 s t) s t = y 2 (3y 2 8y + 6);
si (x, y) R6 : F (x, y) = 1. Las correspondientes funciones de densidad marginales son:1x
f (x)
=0
24y (1 x y) y =3 3
24y 3 24y 2 (1 x) 2 33
y=1x
=y=0
= 12 (1 x) 8 (1 x) = 4 (1 x) , para 0 x 1.1y x=1y
f (y)
=0
24y (1 x y) x = 24y (1 y) x 12yx2x=0 2 2 2
=
= 24y (1 y) 12y (1 y) = 12y (1 y) , para 0 y 1.
156
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD y
R3
R5
R2 R1
R4 x
Figura 5.3: Regiones del plano para el problema P5.11.
Por ultimo, las funciones de densidad condicionadas son: f|=y (x) = 2(1 x y) 24y (1 x y) f (x, y) = = 2 2 f (y) 12y (1 y) (1 y)
para 0 y 1, 0 x 1 y, y f|=x (y) = 24y (1 x y) 6y(1 x y) f (x, y) = = 3 3 fX (x) 4 (1 x) (1 x)
para 0 x 1, 0 y 1 x. P5.11] Sea (, ) una variable aleatoria bidimensional con funcin de distribuo cin uniforme en el recinto limitado por y = x/2, x = 2, y = 0. Calcular o la funcin de distribucin. o o Solucin o El recinto propuesto en el enunciado es el tringulo sombreado en la a gura 5.3. Dado que la funcin de distribucin es uniforme, entonces o o f, (x, y) = k para k un valor constante en el recinto y las integrales se reducen al clculo de reas. As a a :2 0 0 x/2
kyx = 1, es decir, k = 1. Por tanto, la funcin de distribucin es: o o si (x, y) R1 : F (x, y) = 0; si (x, y) R2 : F (x, y) = xy y 2 ;
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES y
157
R4 R3 R2
R6
R5 x
R1
Figura 5.4: Regiones del plano para el problema P5.12.
si (x, y) R3 : F (x, y) = si (x, y) R4 :
x2 ; 4
F (x, y) = y(2 y); si (x, y) R5 : F (x, y) = 1. P5.12] Sea (, ) una variable aleatoria bidimensional con distribucin uniforme o en el recinto: C = (x, y) IR2 : x2 + y 2 < 1, x 0, y 0 . 1. 2. 3. Calcular la funcin de distribucin conjunta. o o Calcular las funciones de densidad marginales. Calcular las funciones de densidad condicionadas.
Solucin o 1. Consideremos las zonas del plano indicadas en la gura 5.4. La funcin de densidad es f (x, y) = 4/ cuando (x, y) est en R2 , y o a f (x, y) = 0 cuando (x, y) est fuera de R2 . Para calcular la funcin a o de distribucin es util el siguiente resultado: o 1 x2 x = 1 arcsenx + x 2 1 x2 + c.
De este modo, considerando un punto (x, y) arbitrario pero jo:
158
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD si (x, y) R1 : F (x, y) = 0; si (x, y) R2 :y x 0
F (x, y) =0
4 s t = xy 1s2 0
si (x, y) R3 : F (x, y) =0
1y 2 0
y
x 4 t s+ 1y 2
4 t s = 1 y2 ;
4
y
1 y2 +
1 arcsenx + x 1 x2 arcsen 1 y 2 y 2 si (x, y) R4 :x 1s2 0
F (x, y) =0
4 2 t s = arcsenx + x 1 x2 ;
si (x, y) R5 :y 1t2 0
F (x, y) =0
4 2 s t = arcseny + y F (x, y) = 1.
1 y2 ;
si (x, y) R6 : 2. Las funciones de densidad marginales son: 1x2
f (x) =0
4 4 y =
1 x2
si 0 < x < 1, y f (x) = 0 en el resto; y 2 1y 4 4 x = f (y) = 0 si 0 < y < 1, y f (y) = 0 en el resto. 3. Para todo x [0, 1] : f|=x (y) =
1 y2
si 0 y 1 x2 y cero en el resto. Dado que para la variable condicionada el valor de x es un par ametro jo, su distribucin ha o resultado uniforme en el intervalo [0, 1 x2 ]. De forma similar la variable condicionada a = y sigue una distribucin uniforme en o [0, 1 y 2 ] cuando y [0, 1].
1 f (x, y) = f (x) 1 x2
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
159
P5.13] Sea una muestra aleatoria simple de tamao n, obtenida de una distribun cin uniforme en [0, 1]. Sean = mx {1 , . . . , n } y = m {1 , . . . , n }. o a n Se pide: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Calcular las distribuciones de , de y de la conjunta. Funcin de densidad condicionada de dado . o Funcin de densidad condicionada de dado . o Esperanza de , 2 y varianza de . Esperanza de , 2 y varianza de . Esperanza condicionada de dada .
Solucin o 1. Para w [0, 1] se tiene: F (w) = P mx i w = P (1 w, . . . , n w) . ai
Ntese que las variables aleatorias 1 , . . . , n son independientes y o estn idnticamente distribuidas, por lo que se puede armar que: a e P (1 w, . . . , n w) = [P ( w)] , obtenindose as que e F (w) = wn , para 0 w 1. Por otra parte, y procediendo de forma anloga al caso anterior, se a obtiene que: F (z) = P m i z = 1 P m i > z = n ni i n
= 1 P (1 > z, . . . , n > z) = 1 [P ( > z)] n = 1 (1 z) , para 0 z 1.i i
n
Como se verica que 0 m i mx i 1, el vector (, ) se n a distribuye en la regin comprendida entre las rectas z = w, w = 1, o z = 0. Vamos a hallar la funcin de distribucin en el interior de o o esta regin, ya que la funcin de densidad se obtiene derivando en o o esa zona. La funcin de distribucin conjunta es: o o F, (w, z) = = = P mx i w, m i z a ni i
P mx i w P mx i w, m i > z a a ni
F (w) [P (z < w)] = w (w z) ,
i n
i
n
n
para 0 w 1, z w.
160
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD 2. A partir de lo anterior se obtiene que: f (w) f (z) f, (w, z) y por lo tanto: f|=z (w) = 3. Anlogamente, a f|=w (z) = (n 1) (w z) f, (w, z) = f (w) wn11 n2
= nwn1 , 0 w 1, = n (1 z)n1
, 0 z 1,n2
= n (n 1) (w z)
, 0 w 1, z w,n2
(n 1) (w z) f, (w, z) = n1 f (z) (1 z)
, z w 1.
, 0 z w.
4. Utilizando los resultados del apartado anterior se obtiene que: E [] =0
wnwn1 w =
n , n+1 n . n+2 n .
E 2 Por lo tanto:
1
=0
w2 nwn1 w =
V () = E 2 (E []) = 5. De la misma forma, se obtiene:1
2
(n + 1) (n + 2) 1 , n+1
2
E [] =0
zn (1 z)1
n1
z =
E
2
=0
z 2 n (1 z)
n1
z =
2 , (n + 3) (n + 2) (n + 1) 1 n+12
V () = 6. Por ultimo:
2 (n + 3) (n + 2) (n + 1)1
.
E [ | = z]
=z
w f|=z (w) w n11 n1
w (1 z) z 1z , para 0 z 1. = 1 n P5.14] Dado el intervalo [0, 1], se eligen al azar tres nmeros a, b y c y con ellos u construimos la ecuacin de segundo grado ax2 + bx + c = 0. Calcular la o probabilidad de que tenga soluciones reales. =
w (w z)
n2
CAP ITULO 5. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Solucin o
161
Para que esta ecuacin tenga soluciones reales, el discriminante, b2 4ac, o ha de ser mayor o igual que cero. Por lo tanto, la probabilidad deseada es P B 2 4AC 0 , donde A, B y C son variables aleatorias con distribucin uniforme sobre el intervalo [0, 1]. Para ello, vamos a considerar o una nueva variable aleatoria = AC, con funcin de densidad f (x). Se o tiene entonces que: P B 2 4AC 0 = 1 P B 2 4AC < 0 = 1 P B
