República bolivariana de Venezuela Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño” Extensión Porlamar UNIDAD VII RESPUESTA EN FRECUENCIA Profesor: Realizado Por: Ing. Alejandro Bolívar Elías J. Ramírez C.I. 19.317.725 Sección “1A” Ing. Electrónica Porlamar, Julio de 2014.
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Respuesta en Frecuencia, se presentan los métodos del Diagrama de Bode y del Diagrama Polar
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República bolivariana de Venezuela Instituto universitario politécnico “Santiago Mariño”
Extensión Porlamar
UNIDAD VII
RESPUESTA EN FRECUENCIA
Profesor: Realizado Por: Ing. Alejandro Bolívar Elías J. Ramírez C.I. 19.317.725 Sección “1A” Ing. Electrónica
Porlamar, Julio de 2014.
Introducción
Los objetivos del presente informe son conocer las aplicaciones de
Matlab en el desarrollo y solución de problemas matemáticos para entender los
métodos del Diagrama de Bode y del Diagrama Polar.
MATLAB es un sistema basado en el cálculo matricial para desarrollar
aplicaciones matemáticas y de ingeniería. Es un lenguaje diseñado únicamente
para realizar manipulaciones matriciales todas las variables que se manejan en
Matlab sin matrices.
Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para
caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de
dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función
y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico
estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.
Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en
electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de
filtros y amplificadores.
El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de
transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o
la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de
señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante
en el tiempo.
Un diagrama polar es un dibujo técnico que refleja la radiación en que un
determinado sistema capta o emite (radia) energía al espacio. Estas pueden
ser, por ejemplo ondas de sonido o Radiación electromagnética.
Empleado para sistemas lineales invariantes en el tiempo. Los modelos a emplear pueden ser:
- Continuos en el tiempo
- Discretos en el tiempo
Y estos sistemas se pueden representar en Matlab de diversas formas:
Variables de estado
Ecuaciones diferenciales en el formato:
Dónde:
u es un vector que contiene las entradas de control
x es un vector que contiene los elementos del vector estado
y es un vector que contiene las salidas
A, B, C, y D matrices que lo definen.
Funciones de transferencia
Es la representación equivalente de sistemas de variables de estado empleando la transformada de Laplace.
Ganancia-Polos-Zeros
Una función de transferencia puede representarse en formato factorizado de ganancia-polos-ceros
Dónde:
k puede ser vector fila que contiene la/s ganancias.
p puede ser vector columna que contiene los polos.
z es vector columna que contiene los ceros.
Fracciones parciales
Una f.d.t. puede también representarse en fracciones parciales o en formato de residuos:
Dónde:
p un vector columna contiene los polos.
r un vector columna contiene los residuos.
k contiene el polinomio independiente.
Conversión de modelos
[num, den]=ss2tf(a,b,c,d,iu) De variables de estado a función de transferencia.
[z,p,k]=sstzp(a,b,c,d,iu) De variable de estado a polos-ceros.
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den) Función de transferencia a variables de estado.
[z,p,k]=tf2zp(num,den) Función de transferencia a polos-ceros.
[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) Polos-ceros a variables de estado.
[num,den]=zp2tf(z,p,k) Polos-ceros a función de transferencia.
[r,p,k]=residue(num,den) Función de trasferencia a residuos.
[num,den]=residue(r,p,k) Residuos a función de transferencia.
Definición de funciones de trasferencia
Manejamos las f.d.t. mediante polinomios. Un polinomio se representa mediante un vector que contiene los coeficientes del polinomio, donde el primer componente es el coeficiente de mayor potencia de s, y el último es el coeficiente de orden 0.
Se representa por: p=[1 3 5]
Los polinomios del numerador y del denominador de la f.d.t. se mantienen separados. Así dada la f.d.t.:
Se definen dos polinomios: num=[1]; den=[1 3 5];
Multiplicación de polinomios
Dados dos polinomios p1=[1 2] y p2=[3 5] los podemos multiplicar mediante la función conv como en el ejemplo:
>> p1=[1 2]; p2=[3 5];
>> p=conv(p1,p2); p =
3 11 10
Multiplicación de bloques
Dos bloques en serie, se combinan al multiplicar los polinomios, o lo que es lo mismo al convolucionar las dos repuestas impulso asociadas.
Si se desea determinar la magnitud y el ángulo que forma los residuos, emplearemos las funciones abs(), y angle():
>> magr=abs(r) magr =
1.1765 1.7489 1.7489
>> angr=angle(r)*180/pi angr =
180.0000 -70.3462 70.3462
MATLAB SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Introducción de sistemas de primer orden, a las distintas formas de representación y al cálculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada.
- Características de los sistemas de primer orden
- Visualización de respuestas impulso y escalón
- Cálculo de valores respuesta ante cualquier señal de entrada
- Parámetros que definen un sistema d primer orden
FORMATO GENERAL DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Parámetros a destacar:
T = Constante de tiempo.
Parámetro de la respuesta temporal:
Tiempo de establecimiento ts. ts = 3T
Análisis de funciones. Respuestas en el tiempo.
Matlab proporciona las herramientas necesarias para simular sistemas de control con distintas entradas:
[x,y]=impulse(num,den,t) Calcula respuesta impulso de un sistema lineal continuo.
[x,y]=step(num,den,t) Calcula la respuesta escalón de un sistema lineal continuo.
[x,y]=lsim(num,den,u,t) Respuesta del sistema lineal continúo a una entrada dada por u. Cada fila de 'u' es un valor de la entrada. El vector 't' especifica eje de tiempo de la simulación
Dónde:
- x es un vector columna que contiene los valores de la respuesta de salida.
- y es un vector columna que contiene los estados intermedios.
- t es un vector fila que contiene los valores de tiempo para los que se calcula la salida
Se tienen que cumplir que el número de columnas de t coincide con el número de filas de 'y' e 'x'.
Formato:
y=lsim(num,den,u,t)
Dónde:
- u es una matriz formada por tantas columnas como entradas al sistema y donde cada fila corresponde a un punto en el tiempo t.
- t es el eje de tiempo para la simulación; suele ser un rango de valores t=0:0.001:3. u y t poseen la misma dimensión.
- y retorna la salida.
Distintas formas de visualizar respuestas en el tiempo para cualquier sistema.
impulse(num,den) step(num,den)
Visualiza la salida en una ventana gráfica, pero no guarda en vectores los valores de la salida ni de tiempo.
La función axis permite especificar el rango de los ejes del gráfico
axis([Xmin Xmax Ymin Ymax])
MATLAB SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Introducción de sistemas de segundo orden, a las distintas formas de representación y al cálculo de su respuesta en el tiempo ante diferentes tipos de entrada.
- Características de los sistemas de segundo orden
- Visualización de respuestas impulso y escalón
- Análisis dinámico de los mismos
Formato general de sistemas de segundo orden
Parámetros:
- Wn
- d
Análisis de funciones. Respuestas en el tiempo.
Emplea las mismas funciones que en los sistemas de primer orden.
Obtenida la respuesta en tiempo, podemos determinar sus características de una forma sencilla mediante su respuesta. Hecho el análisis es aplicable también a sistemas de primer orden u orden superior.
Otras funciones que son de utilidad:
[Wn,Z]=damp(A) Calcula la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento de A.
[f,i]=max(y) Determina el mayor elemento contenido en el vector 'y' retorna en 'f' dicho valor y en 'i' la posición dentro del vector.
[f,i]=min(y) Determina el menor elemento contenido en el vector 'y' retorna en 'f' dicho valor y en 'i' la posición dentro del vector.
[f,c]=find(condición) Determina las filas y/o columnas del elemento que cumple la condición dada. Los operadores mpleados son los operadores relacioneales.
>>f=find(y>=2); Dado un vector coumna 'y, retorna un vector f que contiene los índices del vector y que cumplen la condición de ser mayor o igual a 2.
Por ejemplo si definimos una señal rampa, podemos localizar uno o varios puntos:
Para realizar el cálculo de la estabilidad, no te4nemos más que determinar las raíces de la ecuación característica, es decir, del denominador de la f.d.t. final del sistema.
Para ello se utiliza la instrucción roots, que calcula las raíces de un polinomio dado.
raices=roots(den)
Esta función computa el polinomio cuyos coeficientes están en el vector 'den', de tal forma que si P son los coeficientes del mismo y tiene N+1 componentes el polinomio es P(1)*s^N + ...+ P(N)*s + P(N+1).
Conclusión
Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues
permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea
éste eléctrico, mecánico. Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la
forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de
adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente
ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido
espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el
argumento están acotadas salvo por características propias del sistema. En este sentido, sólo
cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º
y -180º.
Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis
de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes:
Margen de fase: Es el ángulo que le falta a la fase para llegar a los -180º cuando la ganancia
es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito.
Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o sumar (en dB)
a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180º.
El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son
positivos.
MATLAB nos ayuda para desarrollar la complejidad matemática de los métodos del Diagrama
de Bode y del Diagrama Polar. Generalmente el estudiante o Ingeniero que trabaja en estos
métodos choca con la dificulta del complejo matemático que genera el sistema con más de una
variable de estado y varias entradas. Encontrar la solución a estos modelos se torna engorroso
y se corre el riesgo del más mínimo error que se cometa en este procedimiento o no nos
permite encontrar una respuesta o esta sea errónea.
Gracias al Matlab se puede estar seguro sobre la respuesta dada y además se tiene un ahorro