1 Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008 Capítulo 9 Respuesta en frecuencia 9.1. Función de transferencia El análisis de redes sometidas a una excitación sinusoidal en estado estacionario permite estudiar problemas que ocurren frecuentemente en la generación, transmisión, distribución y utilización de la energía eléctrica. Sin embargo en estudios de ingeniería electrónica interesa conocer como una red altera la amplitud y fase de un conjunto de señales sinusoidales de diferentes frecuencias. De esta forma podrán conocerse las propiedades de algunas redes para enfatizar ciertos rangos de frecuencias o de rechazar o atenuar otros. r e Filtro f 1 f 2 e(f) f 1 f 2 r(f) Figura 9.1 Múltiples frecuencias. La Figura 9.1 ilustra una red a la cual ingresan dos señales sinusoidales de frecuencias f1 y f2. Suponemos que la señal útil es la de frecuencia f1 y que la componente de frecuencia f2 se ha producido, debido a no linealidades en la red que genera la señal e. Entonces la señal indeseada puede removerse introduciendo la excitación en una red, denominada filtro en la Figura 9.1, tal que la ganancia a frecuencia f2 sea mucho menor que la ganancia a frecuencia f1. Si bien se ha ilustrado el cambio de amplitud, en función de la frecuencia, también interesa el cambio de fase, en función de la frecuencia, que se produce en las señales que pasan a través de la red. Un cambio de fase implica cambios en el tiempo que podrían afectar la información que pasa por el filtro. Si todas las frecuencias que pasan por la red, son cambiadas en un ángulo de fase proporcional a la frecuencia, la salida estará desfasada en tiempo, pero mantendrá la misma forma de onda de la entrada. Esto considerando que no cambian las amplitudes. Se dará una breve justificación de lo anterior en 9.9.
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1
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Capítulo 9
Respuesta en frecuencia
9.1. Función de transferencia
El análisis de redes sometidas a una excitación sinusoidal en estado estacionario permite
estudiar problemas que ocurren frecuentemente en la generación, transmisión, distribución y
utilización de la energía eléctrica.
Sin embargo en estudios de ingeniería electrónica interesa conocer como una red altera la
amplitud y fase de un conjunto de señales sinusoidales de diferentes frecuencias. De esta forma
podrán conocerse las propiedades de algunas redes para enfatizar ciertos rangos de frecuencias o
de rechazar o atenuar otros.
r e Filtro
f1 f2
e(f)
f1 f2
r(f)
Figura 9.1 Múltiples frecuencias.
La Figura 9.1 ilustra una red a la cual ingresan dos señales sinusoidales de frecuencias f1 y
f2. Suponemos que la señal útil es la de frecuencia f1 y que la componente de frecuencia f2 se
ha producido, debido a no linealidades en la red que genera la señal e. Entonces la señal
indeseada puede removerse introduciendo la excitación en una red, denominada filtro en la
Figura 9.1, tal que la ganancia a frecuencia f2 sea mucho menor que la ganancia a frecuencia f1.
Si bien se ha ilustrado el cambio de amplitud, en función de la frecuencia, también interesa
el cambio de fase, en función de la frecuencia, que se produce en las señales que pasan a través
de la red.
Un cambio de fase implica cambios en el tiempo que podrían afectar la información que pasa
por el filtro.
Si todas las frecuencias que pasan por la red, son cambiadas en un ángulo de fase
proporcional a la frecuencia, la salida estará desfasada en tiempo, pero mantendrá la misma
forma de onda de la entrada. Esto considerando que no cambian las amplitudes. Se dará una
breve justificación de lo anterior en 9.9.
2 Teoría de Redes Eléctricas
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Cuando la excitación de una red lineal e invariante en el tiempo es una señal sinusoidal:
( ) ( )e t sen t (9.1)
La respuesta en estado estacionario también será sinusoidal, de igual frecuencia pero tendrá
amplitud y fase diferentes:
( ) ( ) ( ( ))r t A sen t (9.2)
Si la excitación tiene magnitud unitaria y fase cero, las funciones ( )A y ( ) se
denominan respuesta en frecuencia de la red, y dependen de la frecuencia angular.
Estas funciones suelen representarse en diagramas denominados espectros, porque se
representan en función de la frecuencia angular.
Si consideramos la excitación y la respuesta como exponenciales complejas, el cuociente
entre la transformada fasorial de la respuesta y la transformada fasorial de la excitación, puede
expresarse como un cuociente de polinomios en j. Este cuociente se denomina función de
transferencia H(j).
En un caso general, se definen las funciones Ganancia A y Ángulo de fase según:
( ) ( )
180º( ) arg( ( ))
A H j
H j
(9.4)
Para poder representar grandes variaciones de la frecuencia, en un mismo diagrama, se elige
escala logarítmica para la frecuencia.
En diagramas de Bode la cantidad:
20log( ( ))A (9.3)
Se denomina Ganancia y se expresa en decibeles (dB).
Esta elección permite observar grandes cambios de la amplitud en el mismo diagrama.
La función ( ) se denomina Ángulo de fase, y la ordenada se representa en grados en los
diagramas de Bode.
Ejemplo 9.1.
Sea (9.5) la ecuación diferencial que relaciona la excitación e(t) con la respuesta r(t):
Capítulo 9. Respuesta en Frecuencia 3
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22 2
2
( ) ( )2 ( ) ( )n n n
d r t dr ta r t e t
dt dt
(9.5)
Y sean las excitaciones exponenciales complejas:
( )
( )
j t
j t
e t Ee
r t Re
(9.6)
Si se reemplaza (9.6) en (9.5), se obtiene:
2 2( )( ) 2 ( )j t j t j t j t
n n nR j j e a R j e Re Ee (9.7)
Formado el cuociente R/E puede definirse la función de transferencia, según:
2
2 2( )
( ) 2 ( )
n
n n
RH j
E j a j
(9.8)
Si se efectúa el reemplazo s j , con 1j , en (9.8) se obtiene:
2
2 2( )
2
n
n n
H ss a s
(9.9)
La relación (9.9) también se logra aplicando la transformación de Laplace a la ecuación
diferencial (9.5) que relaciona la entrada con la salida. En general las funciones de
transferencias serán cuocientes de polinomios. Se dice que la función de transferencia es de
segundo orden debido a que el polinomio de mayor grado en la función (9.9) es de orden dos.
Las raíces del polinomio del denominador de (9.9):
2
1,2 ( 1) ns a a (9.10)
Si a es menor que uno, se tienen raíces complejas conjugadas, las que se ilustran en la Figura
9.2. Como cos=a, el valor de a, que se denomina amortiguamiento, define la ubicación de las
raíces. Con a=1, se tienen dos raíces reales iguales y se denomina amortiguamiento crítico. Para
amortiguamiento mayor que uno se tienen raíces reales diferentes.
4 Teoría de Redes Eléctricas
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n
-an
s1
s2
Figura 9.2 Ubicación de las raíces en plano complejo.
Para la función de transferencia (9.8), resultan, luego de un trabajo algebraico:
4
4 2 2 4 2 2 2( )
2 4
n
n n n
Aa
(9.11)
2 2
2180º( ) ( )n
n
aarctg
(9.12)
Para a = 0,2 y n = 1 se tiene:
Figura 9.3 Diagrama de Bode de la amplitud.
El diagrama de Bode para la Ganancia muestra que la amplitud tiene un máximo en
frecuencias angulares cercanas a n. La frecuencia para la cual se produce la máxima amplitud
se denomina frecuencia de resonancia.
Para bajas frecuencias no hay atenuación y la salida tiene igual amplitud que la entrada, ya
que el logaritmo de la unidad es cero. En altas frecuencias la amplitud de la respuesta tiende a
disminuir rápidamente.
Capítulo 9. Respuesta en Frecuencia 5
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Figura 9.4 Diagrama de Bode para el ángulo.
La Figura 9.4 muestra la variación del ángulo respecto de la frecuencia. En frecuencias
elevadas el desfase es cercano a menos 180 grados. En la frecuencia de resonancia el desfase es
de menos 90º; en bajas frecuencias es cercano a cero grados.
9.2. Decibeles, décadas, puntos de media potencia
En un eje logarítmico el intervalo entre 0.1 y 1.0 es el mismo que entre 1.0 y 10.0, ya que las
potencias de 10 se representan en el eje logarítmico como enteros.
El intervalo entre dos potencias consecutivas de 10 representadas en un eje logarítmico se
denomina década.
Así también el intervalo en el eje logarítmico entre el doble de un número y el número es una
octava. El concepto se tomó de la teoría musical, ya que las mismas notas en escalas adyacentes
difieren en una octava.
En el eje de frecuencias angulares de la gráfica anterior entre 1 y 2 se tiene una octava;
también entre 0,5 y 1. Y también entre 4 y 8.
Para una señal sinusoidal ( ) ( )s t S sen t la potencia promedio disipada en un período, en
una resistencia de 1 ohm puede calcularse según:
2 2
2 2
0 0
1( ) ( )
2
T TS S
P s d sen dT T
(9.13)
Se define el Bell como una medida comparativa entre la magnitud de dos potencias según:
10log ( )ref
PB
P
(9.14)
Si la potencia P es diez veces mayor que la potencia de referencia se tiene 1 Bell. Sin
embargo, tradicionalmente se ha usado el decibel [dB] como la unidad de medida de
comparación entre dos potencias. Se define según:
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1010 log ( ) [ ]ref
PdB dB
P
(9.15)
Si la potencia P es mayor en 100 veces que la potencia de referencia, y ésta es de 1 Watt,
puede decirse que P es 20 dB. Para indicar que es una medida de potencia, y no una
comparación, se anota la unidad en dBm, que indica que son decibeles respecto a 1 mili Watt.
Si la potencia es el doble de la potencia de referencia se tiene que ésta tiene una medida de 3
dB; y si es la mitad de la referencia se mide como - 3dB.
El número anterior es una aproximación, el valor exacto es muy cercano a tres, como
muestra la relación (9.16).
10
210 log ( ) = 3,010299957 [ ]
PdB
P
(9.16)
Es tradicional caracterizar la ganancia o atenuación de la función de transferencia de una red
en decibeles.
Si las señales son sinusoidales puede expresarse el cuociente entre potencias, como cuociente
entre los cuadrados de los valores máximos, o efectivos de las señales. Esto debido a (9.13).
2
10 10210 log ( ) =20 log ( ) [ ]
ref ref
S SGanancia dB
S S
(9.17)
Entonces si la amplitud de la salida es igual a la de la entrada, la ganancia será 0 dB.
Si la amplitud de la salida es un décimo de la amplitud de entrada, la atenuación es de 20 dB,
la ganancia será - 20 dB.
Si la amplitud de la entrada es 2 refS la ganancia será de 3 dB aproximadamente; el cálculo
exacto se muestra en (9.18).
10
220 log ( ) 3,01029996 [ ]
ref
ref
SGanancia dB
S
(9.18)
También se observa en el diagrama de Bode de la Ganancia, de la Figura 9.3, que para
frecuencias mayores que n se tiene una atenuación bastante fuerte de 40 dB por década o de 12
dB por octava. Éstos son valores aproximados, los exactos se calculan a continuación en (9.19)
y (9.20); efectuando la resta de dos ordenadas separadas en una década y en una octava, en la
RESPUESTA EN FRECUENCIA ........................................................................................... 1
9.1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ........................................................................................ 1 Ejemplo 9.1. ...................................................................................................................... 2
9.2. DECIBELES, DÉCADAS, PUNTOS DE MEDIA POTENCIA .................................................... 5 9.3. VARIACIONES DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ......................................................... 7 9.4. FILTROS PASA BAJOS RC DE PRIMER ORDEN ................................................................. 9 9.5. FILTROS PASA BAJOS LR DE PRIMER ORDEN ............................................................... 11 9.6. FILTRO PASA ALTOS DE PRIMER ORDEN ....................................................................... 13 9.7. FILTROS PASA BANDA. SEGUNDO ORDEN .................................................................... 14 9.8. ELIMINA BANDA. SEGUNDO ORDEN ............................................................................. 17 9.9. PASA TODO. DESPLAZADOR DE FASE ........................................................................... 19 9.10. CARACTERÍSTICAS DE FILTROS .................................................................................. 21
ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. 28 ÍNDICE DE FIGURAS. ............................................................................................................ 28
Índice de figuras.
Figura 9.1 Múltiples frecuencias. .................................................................................................. 1 Figura 9.2 Ubicación de las raíces en plano complejo. ................................................................. 4 Figura 9.3 Diagrama de Bode de la amplitud. ............................................................................... 4 Figura 9.4 Diagrama de Bode para el ángulo. ............................................................................... 5 Figura 9.5 Variación de amplitud con el amortiguamiento. .......................................................... 7 Figura 9.6 Variación de la fase con el amortiguamiento. .............................................................. 7 Figura 9.7 Variación de la ganancia con n. ................................................................................. 8 Figura 9.8 Variación de la fase con n. ......................................................................................... 8 Figura 9.9 Filtro pasa bajos con resistencia de carga. ................................................................... 9 Figura 9.10 Ganancia Filtro pasa bajos. ...................................................................................... 10 Figura 9.11 Ángulo Filtro pasa bajos. ......................................................................................... 11 Figura 9.12 Filtro pasa bajos LR. ................................................................................................ 11 Figura 9.13 Ganancia Filtro pasa bajos LR. ................................................................................ 12
Capítulo 9. Respuesta en Frecuencia 29
Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008
Figura 9.14 Filtro pasa altos. ....................................................................................................... 13 Figura 9.15 Ganancia Filtro pasa altos. ....................................................................................... 14 Figura 9.16 Ángulo Filtro pasa altos. .......................................................................................... 14 Figura 9.17 Filtro pasa banda. ..................................................................................................... 15 Figura 9.18 Frecuencias de corte. Pasa banda. ............................................................................ 16 Figura 9.19 Filtro elimina banda. ................................................................................................ 17 Figura 9.20 Filtro elimina banda. ................................................................................................ 18 Figura 9.21 Ángulo filtro elimina banda. .................................................................................... 19 Figura 9.22 Ángulo filtro pasa todo. ........................................................................................... 20 Figura 9.23 Parámetros de aproximación. ................................................................................... 21 Figura 9.24 Características de aproximación. ............................................................................. 21 Figura 9.25 Polos Butterworth pasa bajos. .................................................................................. 22 Figura 9.26 Ganancia Filtro Butterworth pasa bajos. .................................................................. 22 Figura 9.27 Polos en Chebyshev pasa bajos. ............................................................................... 23 Figura 9.28 Ganancia Chebyshev pasa bajos. ............................................................................. 23 Figura 9.29 Pasa bajos activo. Sallen-Key. ................................................................................. 24 Figura 9.30 Pasa bajos activo. Múltiples realimentaciones. ........................................................ 24 Figura E9.1 Pasa Bajos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26 Figura E9.2 Pasa Bajos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26 Figura E9.3 Pasa Altos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26