Resolventen und Generatoren von Feller-Prozessen, Yosida-Approximation und Kolmogorov-Gleichungen Bachelorarbeit im Rahmen des Seminars Wahrscheinlichkeitstheorie Sommersemester 2013 Veranstalter: Prof. Dr. F. G¨ otze, Dr. M. Venker Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Universit¨ at Bielefeld vorgelegt von: Sascha Schleef XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXX Matrikelnummer: XXXXXXX
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Resolventen und Generatoren von Feller-Prozessen, Yosida …sschleef/uni/Bachelor... · 2015-10-04 · Resolventen und Generatoren von Feller-Prozessen, Yosida-Approximation und...
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Resolventen und Generatorenvon Feller-Prozessen,
Yosida-Approximation undKolmogorov-Gleichungen
Bachelorarbeit im Rahmen des Seminars
Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2013
Veranstalter: Prof. Dr. F. Gotze, Dr. M. Venker
Fakultat fur Mathematik
Universitat Bielefeld
vorgelegt von:
Sascha Schleef
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXX Matrikelnummer: XXXXXXX
Vorwort
Diese Arbeit entstand im Rahmen des Bachelor-Seminars Wahrscheinlichkeits-
theorie von Prof. Dr. F. Gotze und Dr. M. Venker im Sommersemester 2013 und
beruht zum großten Teil auf dem 19. Kapitel des Buches Foundations of Mo-
dern Probability [Kal02, S. 370-373] von Olaf Kallenberg. Alle daruber hinaus
verwendeten Quellen sind dementsprechend markiert.
In dieser Arbeit geht es um eine indirektere Herangehensweise an zeitstetige
Markov-Prozesse (Xt)t≥0 als uber deren Ubergangskerne µt. Im Allgemeinen wer-
den bei Markov-Prozessen deren Ubergangskerne µt beziehungsweise Erwartungs-
werte und Varianzen direkt betrachtet um bestimmte Aussagen uber das Ver-
halten zu treffen. Hier werden jedoch die mit den Ubergangskernen korrespon-
dierenden Ubergangsoperatoren Tt, welche, operierend auf bestimmten Funktio-
nenraumen dem Erwartungswert des Prozesses entsprechen, betrachtet.
Speziell wird die Darstellung des sogenannten Generators untersucht, welcher
die infinitesimale Anderung des Ubergangsoperators Tt beschreibt und damit auch
eine Aussage uber die Anderungsrate des zugrundeliegenden Prozesses (Xt)t≥0
enthalt. Fur bestimmte Funktionen f , die man unter dem Prozess X betrachten
mochte, lasst sich diese Anderung also umformen zu der Differentialgleichung∂∂tTtf = ATtf . Hierdurch und durch die Halbgruppeneigenschaft, welche noch
eingefuhrt wird, liegt eine formale Beschreibung der Operatoren durch Tt = etA =∑∞
n=0tn
n!An nahe, da diese gerade obige Differentialgleichung lost.
Das Problem besteht folglich darin, dass fur diese explizite Darstellung der
Generator A beschrankt sein muss. Ein Beispiel dafur ist der pseudo-Poisson-
Prozess (siehe Definition 1.6), welcher einen beschrankten Generator besitzt.
Daher geht es in dieser Arbeit darum unter welchen Bedingungen obige Dif-
ferentialgleichung erfullt ist und wie der im Allgemeinen unbeschrankte Genera-
tor A dann aussieht. Dafur wird eine bestimmte Art von Prozessen - die Feller-
Prozesse - betrachtet, welche der sogenannten Feller-Halbgruppe (siehe Definition
1.5) zugrunde liegen.
Letztendlich fuhren diese Generatoren zu der sogenannten Ruckwartsgleichung
von Kolmogorov, welche die anfangs erwahnte Differentialgleichung explizit be-
handelt.
1
1 Vorwissen
Zunachst sollen einige Definitionen erwahnt werden, auf denen diese Arbeit be-
ruht. Sie enthalten zum Teil auch Aussagen fur deren Beweis, wenn nicht anders
gekennzeichnet, auf den Kallenberg [Kal02] verwiesen wird.
Definition 1.1 (Ubergangsoperator, Halbgruppe)
1. Sei µ ein Ubergangskern auf einem messbaren Raum (S,S), wobei S =
B(S). Der zu µ zugehorige Ubergangsoperator T ist fur beschrankte
und messbare Funktionen f : S → R gegeben durch:
Tf(x) = (Tf) (x) =
∫
µ(x, dy)f(y) ∀x ∈ S
Dieser ist fur alle messbaren Funktionen linear und beschrankt.
Des weiteren bewirkt T eine positive Kontraktion in dem Sinne, dass
aus 0 ≤ f(x) ≤ 1 auch 0 ≤ Tf(x) ≤ 1 fur alle x folgt.
2. Die Familie (Tt)t≥0 von Operatoren zu den Kernen µt, t ≥ 0 nennt man
auch Halbgruppe, wenn T0 = I gilt, wobei I der Identitatsoperator ist,
und sie die Halbgruppeneigenschaft erfullt:
Tt+s = Ts ◦ Tt =: TsTt (1.1)
Bemerkung 1.2
Die Ubergangsoperatoren Tt erfullen genau dann die Halbgruppeneigenschaft
(1.1), wenn die dazu korrespondierenden Ubergangskerne die Chapman-Kol-
mogorov Relation µs+t = µsµt erfullen.
2
1. Vorwissen 3
Definition 1.3
Sei S ein lokal kompakter, separabler, metrischer Raum. Dann ist C0 = C0(S)
die Klasse der stetigen Funktionen auf S, die im unendlichen verschwinden
das heißt, fur die Funktionen f : S → R gilt f(x) −−−→x→∞
0.
Insbesondere sind deswegen alle f ∈ C0 beschrankt, da stetige Funktionen auf
kompakten Mengen beschrankt sind. Man kann nun C0 zu einem Banachraum
erweitern indem man die Supremums-Norm ‖f‖ = supx |f(x)| einfuhrt.
Lemma 1.4 (Operatornorm)
Durch ‖T‖ = sup‖f‖≤1 ‖Tf‖ , f ∈ C0 ist eine Norm auf dem Raum L(C0, C0)
der linearen beschrankten Operatoren gegeben, insbesondere also auch auf
den Ubergangsoperatoren aus Definition 1.1. Bei ‖f‖ handelt es sich um die
Supremums-Norm aus Definition 1.3.
Ohne Beweis gilt folgende Ungleichung fur Operatoren T, S und Funktionen
f ∈ C0:
‖TSf‖ ≤ ‖T‖ ‖S‖ ‖f‖
Beweis : Der Beweis ist im Buch Funktionalanalysis [Wer07, S. 46 ff.] von Dirk
Werner zu finden.�
Definition 1.5 (Feller-Halbgruppe)
Eine Halbgruppe von positiven Kontraktionsoperatoren Tt auf C0 wird Feller
Halbgruppe genannt, wenn sie die folgenden zwei Eigenschaften erfullt:
(F1) TtC0 ⊂ C0, t ≥ 0
(F2) Ttf(x) −−→t→0
f(x), f ∈ C0, x ∈ S
In Satz 4.1 wird gezeigt, dass die Eigenschaft der starken Stetigkeit
(F3) Ttf −−→t→0
f, f ∈ C0
aus (F1) und (F2), mit Hilfe der Halbgruppeneigenschaft folgt.
Gilt zusatzlich die starkere Bedingung der Norm-Stetigkeit (vergleiche [Wer07,
S. 358])
(F′3) ‖Tt − I‖ −−→
t→00, f ∈ C0
so nennt man die Halbgruppe normstetig.
1. Vorwissen 4
Wie schon in der Einleitung erwahnt, existieren bestimmte Prozesse, welche einen
beschrankten Operator besitzen. Einer dieser Prozesse ist der, im Folgenden de-
finierte, pseudo-Poisson-Prozess, auf den spater noch einmal eingegangen wird:
Definition 1.6 (pseudo-Poisson-Prozess)
Sei X = (Xt)t≥0 ein Prozess auf einem messbaren Raum (S,B(S)). X heißt
pseudo-Poisson genau dann, wenn es einen zeitdiskreten Markov-Prozess Y
auf (S,B(S)) und einen davon unabhangigen Poisson-Prozess P gibt, sodass
X = Y ◦ P fast sicher.
Bemerkung 1.7
Ohne Beweis sei bemerkt, dass die Halbgruppe eines pseudo-Poisson-Prozesses
die Form Tt = eλt(T−I) := etA besitzt [Kal02, S. 369]. Dabei ist T der
beschrankte Ubergangsoperator des zeitdiskreten Markov-Prozesses Y der
zu dem Ubergangskern µ korrespondiert und λ die Intensitat des Poisson-
Prozesses P . Offensichtlich ist dadurch auch der Generator A beschrankt.
Des Weiteren ist diese Halbgruppe normstetig:
‖Tt − I‖ =∥
∥etA − I∥
∥ =
∥
∥
∥
∥
∥
∞∑
n=0
(tA)n
n!− I
∥
∥
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
∥
∥
∞∑
n=1
(tA)n
n!
∥
∥
∥
∥
∥
≤∞∑
n=0
‖tA‖n
n!− 1 = e‖tA‖ − 1 −−→
t→00
2 Resolventen und Generatoren von
Feller-Halbgruppen
Wie Eingangs erwahnt ist das Ziel nun, den infinitesimalen Generator A einer
beliebigen Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 auf C0 zu konstruieren. Im Allgemeinen muss
es keinen beschrankten linearen Operator A geben, der Tt = etA erfullt. Deshalb
wird fur einen solchen Generator eine passende Charakterisierung benotigt.
Motivation
Im Allgemeinen ist die zu untersuchende Abbildung, durch den Wertebereich von
f , eine Funktion in mehreren Variablen, also Ttf : R+ × S → R. Zur Motivation
wird jedoch zunachst eine reellwertige Funktion p auf R+ mit der Reprasentation
pt = eta betrachtet. Dann kann man a aus p durch Differentiation oder Integration
zuruckgewinnen:
eta − e0·a
t=
pt − 1
t−−→t→0
(
∂
∂teta)
(0) = a
∫ ∞
0
e−λtptdt =
∫ ∞
0
e(a−λ)tdt = (λ− a)−1 , λ > 0
Die Darstellung durch Differentiation wird in Kapitel 4.2 noch einmal aufgegriffen.
Durch die Integraldarstellung motiviert wird nun folgende Definition eingefuhrt:
5
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen 6
2.1 Die Resolvente
Definition 2.1 (Resolvente)
Fur eine Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 auf C0 und ein beliebiges λ > 0 wird Rλ,
definiert als die Laplace-Transformierte:
Rλf =
∫ ∞
0
e−λt (Ttf) dt, f ∈ C0.
Rλ wird Resolvente von (Tt)t≥0 genannt.
Man beachte, dass das Integral nur existiert, wenn Ttf(x) beschrankt und
rechtsstetig in t ≥ 0 fur festes x ∈ S ist.
An dieser Stelle wird eine wichtige Gleichung eingefuhrt, die Resolventenglei-
chung. Diese stellt den Zusammenhang zweier Resolventen mit verschiedenen Pa-
rametern µ und λ bezuglich der selben Feller-Halbgruppe (Tt)t≥0 dar. Benotigt
wird sie immer wieder in den nachfolgenden Abschnitten.
Lemma 2.2 (Resolventengleichung)
Seien Rλ, Rµ zwei Resolventen von (Tt)t≥0 zu den Parametern λ, µ > 0. Dann
gilt die Resolventengleichung:
Rλ −Rµ = (µ− λ)RµRλ = (µ− λ)RλRµ, λ, µ > 0 (2.1)
Die letzte Gleichung besagt, dass die Resolventen kommutieren.
Die grobe Idee des Beweises ist [Fel71, XIII.8 S. 453] entnommen.
Beweis : Es wird im Folgenden die Halbgruppeneigenschaft (1.1) benutzt um
durch eine Variablentransformation die Integraldarstellung der Resolvente
umzuformen.
Dazu sei zunachst angemerkt, dass die Resolvente eine Abbildung Rλ : C0 →
C0 ist, da die erste Fellereigenschaft (F1) fur f ∈ C0 impliziert, dass auch
Ttf ∈ C0 fur jedes t ist. Mit majorisierter Konvergenz folgt dann auch Rλf ∈
C0. Des Weiteren sei daran erinnert, dass f ∈ C0 und somit messbar und
beschrankt ist, womit nach Definition 1.1 Ttf messbar und beschrankt ist.
Deshalb kann im Folgenden der Satz von Fubini angewendet werden um die
Integrationsreihenfolge zu andern:
RλRµf = Rλ (Rµ(f)) =
∫ ∞
0
e−λt (Tt) (Rµf) dt
=
∫ ∞
0
e−λt (Tt)
∫ ∞
0
e−µs (Tsf) ds dt
2. Resolventen und Generatoren von Feller-Halbgruppen 7
=
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−λte−µs (Tt) (Tsf) ds dt
(1.1)=
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−λt−µs (Tt+sf) ds dt
(∗)= −
1
2
∫ ∞
0
∫ x
−x
e−1
2(λ+µ)x− 1
2(λ−µ)y (Txf) dx dy
= −1
2
∫ ∞
0
e−1
2(λ+µ)x
∫ x
−x
e−1
2(λ−µ)ydy (Txf) dx
= −1
2
∫ ∞
0
e−1
2(λ+µ)x
[
−2e−1
2(λ−µ)y
λ− µ
]x
−x
(Txf) dx
= −−2
2(λ− µ)
∫ ∞
0
e−1
2(λ+µ)x
(
e−1
2(λ−µ)x − e
1
2(λ−µ)x
)
(Txf) dx
=1
λ− µ
(∫ ∞
0
e−1
2(λ+µ)x− 1
2(λ−µ)x (Txf) dx−
∫ ∞
0
e1
2(λ+µ)x+ 1
2(λ−µ)x (Txf) dx
)
=1
λ− µ
(∫ ∞
0
eλx (Txf) dx−
∫ ∞
0
eµx (Txf) dx
)
=1
µ− λ(Rµ −Rλ)
Die Variablentransformation, die in (*) betrachtet wird ist f(x, y) = 12