M. Cupani Page 1 sur 21 RDM Déformation RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES L p kN/m L/2 pL kN P L/2 Sommaire 1. RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ....................................................................................................................... 2 2. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle):.............................................................. 3 3. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle) ....................................................................... 5 4. Méthode formule des 3 moments(Poutre bi-encastrée avec force ponctuelle). ............................................. 7 5. Poutres hyperstatiques (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ...................................................... 8 6. Flèches associées (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) ............................................................. 10 7. Méthode formule des 3 moments (Poutre bi-encastrée avec chargement uniforme) .................................. 12 8. Poutres hyperstatiques (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme) ............................... 13 9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)............. 15 10. Console avec charge triangulaire: ............................................................................................................... 16 11. Calcul des déformées charge triangulaire ................................................................................................... 17 12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire): ............................................................................ 18
21
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RESOLUTION POUTRES HYPERSTATIQUES P p kN/m pL kN L/2 · Calcul du moment fléchissant quand 0d xdL 2 ² . qx M fz AY x MA AUTRE Méthode WA iso1 WA iso Couple1 WA iso Couple2 By A
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Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis.
Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .
Exemple 3
Une poutre AB de longueur L= 8m
IPE 200 (IGZ = 1943 cm4 ; E = 2.105 MPa)
Encastrée à une extrémité +appui simple.
supporte une charge mNq /.1700−=
Déterminer les actions en A et B
Equations de statique :
2
qLByAy =+ (PAS DE symétrie)
02
²/ =++−= LBYMB
qLAMz
avec 00 = MBetMA (pas de symétrie)
le système est hyperstatique d’ordre 1
Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand Lx 0
2
².
qxxAyM fz −=
Utilisation de l’expression de la déformée
2
².''..
qxxAyyIE GZ −=
1
3
62
².'.. C
qxxAyyIE GZ +−=
21
43
.246
... CxCqxx
AYyIE GZ ++−=
00)(' 1 = CLy (ici il faut trouver C1 )
062
².'.. 1
3
=+−= CqLL
AyyIE GZ
62
².
3
1
qLLAyC +−=
00)0( 2 == Cy donc xCqxx
AyyIE GZ .246
... 1
43
+−=
Conditions aux limites flèche y =0 pour x = L donc
+
−−= L
qLL
LAy
qLLAy
62246.0
3243
−=
−
62426
4433 qLqLLLAy
−=
−
24
3
6
2 43 qLLAydonc
soit
=
83
43 qLLAy donc et avec :
y
1 2 B
A
x
L
mlq /
By
B A C
y
x
Ay
MBmlq /
Hypothèses fondamentales : (Pour les conditions aux limites)
y’=0 pour x = L
y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y
)
y =0 pour x = L (La déformée est nulle)
8
5qLBy =
8
3qLAy = donc
qLByAy
2=+
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Effort tranchant
Lx 0 : )8
3()(
8
3 Lxqxq
qLVy −=
−−=
0=x : NqL
Vy 51008
817003
8
3−=
−=−=
Lx = : NqL
Vy 85008
817005
8
5+=
+=+=
Moment fléchissant
Pour x = L on a:
donc
Flèche maximum pour recherche de la position de xo avec l'équation de la rotation y'
−=−==
2
1
8
3²
2
²
8
3)( qL
qLL
qLMBLM fz
8
²qLMB −=
2
².
8
3)(
qxx
qLxM fz −=2
².)(
qxxAyxM fz −=
−=
−==
642
9
64
9²
8
3
28
3
8
3)
8
3(
2
qLLqLqL
MCL
MC fz128
²9qLMC +=
048616
²3'..
33
=−−=qLqxqLx
yIE GZ
4848
8
48
33
616
3 33
33
1
qLxqL
qLqLCavec −=
+
−=+−=
062
².
8
3'.. 1
3
=+−= CqxxqL
yIE GZ
1
3
62
².'.. C
qxxAyyIE GZ +−=
62
².
3
1
qLLAyC +−=
04848
8
48
²9'..
33
=−−=qLqxqLx
yIE GZ08²9'.. 33 =−−= qLqxqLxyIE GZ
0²98 33 =−+− LLxxrésoudrefautil( )
LL
xsolution o 4215,016
133
+=
xCqxx
AYyIE GZ .246
... 1
43
+−=
482448
3..
343xqLqxqLx
yIE GZ −−=
48
23..
343 xqLqxqLxyIE GZ
−−=
B A
f(x)
x
Lxo 421,0=
GZIE
qLyLxpour
.185421.0
4
max
−=
maxflècheladeCalcul
y
8
3qL−
8
5qL
B A
C
x 128
²9qL
8
²qL−
B
A C x
8
3L
0'.. = yIE GZ
Exemple 3: Poutre AB en IPE 200 q= 1700 N/m de longueur L= 8m
IGZ = 1943 cm4 ; E = 2.105 MPa)
mmymLxpour 68,9101943200000185
800010170037,3421.0
4
43
max −=
−=
+
−
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9. Méthode formule des 3 moments. (Poutre Encastrée + appui simple avec chargement uniforme)
On remplace l'encastrement en B par un appui fictif Bo
Avec une Longueur Lo y 0.00 très petite, ainsi que Wdi y 0.00 On choisit le point B
On choisit le point B comme référence avec Mo = 0; Lo=0; MA=0; et Wd=0
)(6.).(2. gdEIMBoLMBLLoMAL −=+++
)0(60).0(20 gEIMBLdonc −=+++
)(6..3 gEIMBLet −=EI
qLgquesaiton
24
3
+=
)24
(6..23
EI
qLEIMBLsoit −=
8242
6 22 qLqLMB −=
−=
8
2LqMBdonc −=
MéthodeAUTRE
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10. Console avec charge triangulaire:
Réactions d'appuis au Pt (A):
A
qo(Chargement Triangulaire)
B
L
x
q1
x
q1x/3
MAz
Ay
( )0
3
1)( =
+
x
L
xqxmf
L
xqqavec
=
10
( )L
xqxmf
−=
6
0)(
3
−=
==
6
²0
2
00
LqMAzet
LqAyetAx
A
(Diagramme Mf(x))
B
Mf(x)
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11. Calcul des déformées charge triangulaire
Equation des Moments:
Pour l'équation de la déformée de Rotation W(x) :
(Conditions aux limites avec W(L) = 0 donc K1 ==>)
Pour l'équation de la déformée de la flèche f(x) :
(Conditions aux limites avec f(L) = 0 donc K2 ==> )
2524
0)( 3
5
KxLL
x
EI
qxf +
−
−=→
124
01.
)()(
4
KL
xq
EIdx
EI
xmfx +
−==→
A
qo(Chargement Triangulaire)
L
B
Encastrement
Libre MAz
B
Ay
( )L
xqxmf
−=
6
0)(
3
dxxxf .)()( =→
24
0
24
01
34 Lq
L
LqK
=
=→
+
−=→
24
0
24
01)(
34 Lq
L
xq
EIx
−
−=→ 3
4
24
0)( L
L
x
EI
qx
02524
0)( 4
5
=+
−
−=→ KL
L
L
EI
qLf
EI
LqxL
L
x
EI
qxf
30
0
524
0)(
43
5 −
−
−=→
EI
Lqf
30
0max
4−=→
EI
LqLL
EI
qK
30
0
5
5
524
02
444 −=
−=→
( )
+−
−=→ 43
5
45120
0)( LxL
L
x
EI
qxf
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12. Méthode des intégrales de Mohr (Charge Triangulaire):
Démonstration du calcul de la surface et du centre de gravité
(surface négative! c'est normal)
Calcul du centre de gravité:
A
(Diagramme Mf)
B
Mf
L
G
L/54*L/5
( charge triangulaire)
-qo * L
6
3
−=→
L
xqxf
6
0)(
3
−=→
L
odx
L
xqxfSurface .
6
0)(
3
−=
−=
−=→
240
24
0
24
0)(
344
0
Lq
L
Lq
L
xqxfSurface
L
−=→
24
0)(
3LqxfSurfaceSoit
)( StatiqueMomentMAvec stat =→
( )
24
0 3Lq
M
Surf
MCdg statstat
=
=→
dxxL
xqMAvec
L
stat ..6
00
3
−=→
−=
−=
−=→ L
Lq
L
xqdx
L
xqMAvec
LL
stat30
030
0.6
055
00
4
30
0 4LqM stat
−=→
5
4
30
24
24
0
30
0
3
4
3
4
L
L
L
Lq
Lq
Cdg
=
=
−
−
=→
5)(
5
4)(
24
0 3 LdCdGet
LgCdGet
LqSurfaceRésumé ==
=→
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L
a
méthode de VERECHTCHAGUINE est une astuce mathématique qui permet de calculer la valeur d'une
intégrale de MOHR qui est le produit de 2 fonctions, en sachant que la deuxième est linéaire.
Cette méthode n'est qu'un calcul graphique de l'intégrale à partir des graphes Mp et M1:(*)
*Mp (Graphe du système iso) *M1(Graphe du système unitaire)
Démonstration:
Le calcul nécessite donc de connaître la surface S, et le centre de gravité G.
Dans le problème de l'intégrale de MOHR: - Les fonctions dues à l'effort unité sont linéaires, si il n'y a pas continuité on décomposera l'étude sur des segments continus. - Si la section est constante le long d'un intervalle (en général une barre), on peut sortir le dénominateur de l'intégrale. - Dans ces conditions il ne reste plus que le produit de 2 fonctions sous l'intégrale dont une linéaire, on peut essayer l'astuce. Il est facile de retenir les valeurs de ce formulaire qui font l'objet d'une série logique:
Calcul des intégrales de MOHR par la méthode de VERECHTCHAGUINE:
Soit l'intégrale: +== xfavecdxffIb
a.2.2.1
En remplaçant f2 par sa valeur on trouve:
+=+=b
a
b
a
b
adxfdxxfdxxfI .1..1).(1
• La deuxième intégrale représente l'aire de la surface sous f1 elle est donc égale à S.
• La première intégrale représente le moment statique de la surface S par rapport à l'axe Y.
• Elle a pour valeur : S.XG
)(2.).(...' GGG XfSXSSXSIouD =+=+=
Formulaire
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Application de la méthode avec une force unitaire, pour le calcul de la déformée: