En esta clase, trataremos la resolución mixta simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no lineales acopladas. El método de rasgadura brinda también una solución eficiente para el tratamiento de sistemas de ecuaciones no lineales. - PowerPoint PPT Presentation
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La sustitución simbólica de expresiones casi nunca es provechosa. Es mucho mejor iterar sobre todas las ecuaciones y derivar cada ecuación en forma separada para determinar las derivadas parciales.
Iteración de Newton : Ejemplo IIIq1 = Valor inicialdx = 1while dx > dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q1
2 / k12
q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0
pp1 = - 2|q1| / k12
pq2 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
pq3 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1
f = q1 - q2 - q3
h = 1 - pq2 - pq3
dx = h \ f q1 = q1 – dxend
La iteración se produce sobre todas las ecua-ciones. Sin embargo, el sistema lineal de ecuaciones interno sólo se resuelve para las variables de rasgadura.
Conclusiones• El método de rasgadura es igualmente apto para el uso con sistemas
lineales y no lineales.• La iteración de Newton en un sistema de ecuaciones no lineales
conduce internamente a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La matriz Hessiana de este sistema de ecuaciones lineales sólo necesita ser determinada para las variables de rasgadura.
• La iteración de Newton puede también utilizarse muy eficientemente para la resolución de sistemas lineales en muchas variables ya que converge en un sólo paso (con el cálculo correcto de la matriz H(x)).
• En la práctica, la matriz H(x) generalmente se aproxima de manera numérica en lugar de calcularse analíticamente.
• De todas maneras, las técnicas de manipulación simbólica de fórmulas pueden usarse para obtener expresiones simbólicas de los elementos de la matriz Hessiana.