M´ etodos Directos Resoluci ´ on de SEL(Metodos Directos) Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingenier´ ıa Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos M´ etodos Computacionales Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 41
Metodos Directos
Resolucion de SEL(Metodos Directos)
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingenierıa IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos
Metodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 41
Metodos Directos
CONTENIDO
Metodos DirectosGeneralidades sobre Metodos DirectosEliminacion GaussianaPivoteoFactorizacion LU
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Metodos Directos
GENERALIDADES SOBRE METODOS DIRECTOS
I Encuentra una solucion en un numero finito deoperaciones(en ausencia de errores de redondeo)transformando el sistema en un sistema equivalente quesea ”mas facil” de solucionar.
I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .
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GENERALIDADES SOBRE METODOS DIRECTOS
I Encuentra una solucion en un numero finito deoperaciones(en ausencia de errores de redondeo)transformando el sistema en un sistema equivalente quesea ”mas facil” de solucionar.
I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .
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ELIMINACION GAUSSIANA
I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).
I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior
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ELIMINACION GAUSSIANA
I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).
I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior
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ELIMINACION GAUSSIANA
I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangularsuperior (todos los elementos debajo de la diagonal soncero).
I Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistematriangular superior
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ELIMINACION GAUSSIANA
Primer Paso de Eliminacion
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ELIMINACION GAUSSIANA
Segundo Paso de Eliminacion
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ELIMINACION GAUSSIANA
Sustitucion Regresiva
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EJEMPLO
EjemploUtilizando Eliminacion Gaussiana resolver:
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2
4x1 + 3x2 − 2x3 = 3
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EJEMPLO
Método de Eliminación Gaussiana
• Sistema equivalente:
Solución:
08
3/53/21/3
14 2 3
3
32
321
x
xx
xxx
0
5
3
*x
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PIVOTEO
I Computadoras usan precision aritmetica finita.
I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.
I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.
I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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PIVOTEO
I Computadoras usan precision aritmetica finita.
I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.
I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.
I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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PIVOTEO
I Computadoras usan precision aritmetica finita.
I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.
I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.
I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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PIVOTEO
I Computadoras usan precision aritmetica finita.
I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.
I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.
I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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PIVOTEO
I Computadoras usan precision aritmetica finita.
I Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
I Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podrıan ser muy grandes.
I La adicion de numeros de magnitud diferente puedeconducir a la perdida de significacion.
I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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PIVOTEO
Ejemplo (Sin Pivoteo)
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PIVOTEO
Ejemplo (Con Pivoteo)
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PROCEDIMIENTO CON PIVOTEO
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PIVOTEO POR FILAS
I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.
I Busque la columna pivotal.
I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
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PIVOTEO POR FILAS
I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.
I Busque la columna pivotal.
I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
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PIVOTEO POR FILAS
I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.
I Busque la columna pivotal.
I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
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PIVOTEO POR FILAS
I Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteoparcial.
I Busque la columna pivotal.
I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
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PIVOTEO POR FILAS
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EJEMPLO DE PIVOTEO POR FILAS
15
7
6
5
0
7
3
1-
4
5-
0
1
2
3-
1
2
0
0
0
3
| )1()1( bA
15
6
7
5
0
3
7
1-
4
0
5-
1
2
1
3-
2
0
0
0
3
| )1()1( bA
3
3||max4
32
22
apivote
ani
i
tenemos 2,k , Para
En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayormódulo entre aik, i=k,k+1,...,n;
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PIVOTEO COMPLETO
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EJEMPLO DE PIVOTEO COMPLETO
Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4:
15
7
6
5
0
7
3
1-
4
5-
0
1
2
3-
1
2
0
0
0
3
| )1()1( bA
15
6
7
5
2
1
3-
2
4
0
5-
1
0
3
7
1-
0
0
0
3
| )1()1( bA
77||max4 34
2,
apivoanji
ij tenemos 2,ke Para
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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU
Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y
TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).
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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU
Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y
TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).
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ALGORITMO DE LA FACTORIZACION LU
Descomposicion de una matriz como producto de dostriangularesSupongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b,⇔ Ly = b, Ux = y
TeoremaUna matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmode Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que seaequivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operacioneselementales ( de filas).
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DIFERENTES FORMAS DE FACTORIZACION
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FORMA DE CROUT
I Calculo de la primera columna de L li1 = ai1
I Calculo de la primera fila de U u1j =a1j
l11I Calculo alternado de las columnas de L y filas de U
lij = aij −∑
aj−1k=1likukj j ≤ i, i = 1, 2, . . . , n
uij =aij −
∑ai−1
k=1likukj
liii ≤ j, j = 2, 3, . . . , n
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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY
Descomposicion de Cholesky. Sea A una matriz simetica ydefinida positiva, existe una unica matriz triangular inferior Lcon lii > 0 tal que
A = LLT
Esto esa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
=
l11 0 0 0l21 l22 . . . 0...
.... . .
...ln1 ln2 . . . lnn
l11 l12 . . . l1n0 l22 . . . l2n...
.... . .
...0 0 . . . lnn
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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY
Note queI
a11 = l211 ⇒ l11 =√
a11
l11 es un numero real positivo ya que a11 > 0 por que A esdefinida positiva.
I
ai1 = li1l11 ⇒ li1 = ai1
l11
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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY
I Como
aij = li1lj1 + li2lj2 + . . . + lijljj; j = 1, 2, . . . , i− 1
luego
lij =aij −
∑aj−1
k=1likljkljj
; j = 1, 2, . . . , i− 1
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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY
I Ademasaii = l2i1 + . . . + l2ii
lo que implica
lii =
aii −i−1∑k=1
l2ik
12
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DESCOMPOSICION DE CHOLESKY-MATLAB
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EJEMPLO:
EjemploDada la matriz A
A =
6 15 5515 55 22555 225 979
Factorizar utilizando descomposicion de Cholesky.
Solucion:A es simetrica y definida positiva, en efecto:det(6) > 0;
det
(6 1515 55
)= 105 > 0
det(A) = 3920 > 0
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