Adriano Alberto 1 ENG285 Adriano Alberto Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom- areas-circ.htm TORÇÃO = G . (material linear-elástico) = . á = . á máx = . máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa. T = torque interno resultante que atua na seção transversal. J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm 4 ou pol 4 ] c = raio externo do eixo
Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.;
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Adriano Alberto
1 ENG285
Adriano Alberto
Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-
areas-circ.htm
TORÇÃO
� = G . � (material linear-elástico)
� = �� . ��á�
� = �� . ��á�
�máx = �.��
�máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa.
T = torque interno resultante que atua na seção transversal.
J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm4 ou pol4]
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal circular maciça, logo:
�máx = ��
�.��
J = �� . (��� - ���)
J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal tubular (eixo vazado)
dT = . dF
dF = � . dA
dA = 2� . . d
�� =
��á� => � = f( ) =
� . �!á"
=> dT = . {[� . �!á"] . (2� . . d )} =
��á� . 2� . 3 . d
T = ��.��á�
�� � ��. ������
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Transmissão de potência
P = �.#$#% ; & =
#$#% ; P = T . &
[P] = [W] = [N.m/s]
[&] = [rad/s] ; [f] = [Hz]
1 Hz = '���()
* = ��+,#
*
1 rad ≅ 1 raio
& = 2� . f => P = 2� . f . T
�adm = �.��
RESOLUÇÃO DA LISTA 3ª UNIDADE
PROBLEMAS ENVOLVENDO ANÁLISE DE TENSÕES
1 a 3) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão normal e a tensão de cisalhamento que se exercem em um plano paralelo à linha a–a. Adotar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio da parte sombreada do cubo elementar indicada.
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4 a 6) Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento. 4)
.! = /01230
4 = 6,5 MPa
R = 5(41 + 6,5)4 + (36)4 = 59,60075503 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 66,10075503 MPa
.!í> = .! - R = - 53,10075503 MPa
arctg(2?) = @A
012A,3 => $ = 18,57914839° (anti-horário)
?’ = 90º - 18,57914839° = 71,42085161° (horário)
2B = 90° - 2? => C = 26,42085161° (horário)
B’ = 90° - 14,03624347° =
5)
.! = 1@D,E24D,A
4 = 82,75 MPa
R = 5(82,75 I 27,6)4 +.!á" = .! + R = 151,7100065 MPa
7 a 9) Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de tensões, resultante da superposição dos dois estados planos indicados.
*** 7)
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11 8)
Para o primeiro estado de tensão:
.! = MN2K
4 = OP�
R = OP�
Para o estado de tensão resultante:
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12 .! = QRNS 2RN.TUV(SW)S 2RNS /RN.TUV(SW)S
4 = 4MN4 = OP
R = XY@MN4 + MN.Z[\(4])4 I.K^4 + YMN.\_`(4])4 ^4 =
15 10) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando:
a) σy = 14 MPa; b) σy = 98 MPa.
a)
Para o estado plano:
.! = 102EA,3
4 = 55,25 MPa
R = 5(55,2)4 + (55,25 I 14)4 = 68,91010448 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 124,1601045 MPa
.!í> = .! - R = - 13,66010448 MPa
Para os círculos internos:
y1 = K/1@,AAK1K00J
4 = - 6,83005224 MPa
y4 = 140,1AK1K032K
4 = 62,08005225 MPa
b)
Para o estado plano:
.! = EJ2EA,3
4 = 97,25 MPa
R = 5(55,2)4 + (98 I 97.!á" = .! + R = 152,4550949
.!í> = .! - R = 42,04490513
Para os círculos internos:
y1 = K204,K00EK31@
4 = 21,02245256
y4 = 134,033KE0E2K
4 = 76,22754745
MPa
97,25)4 = 55,20509487 MPa = ��á�
152,4550949 MPa
42,04490513 MPa
21,02245256 MPa
76,22754745 MPa = R = ��á�
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11) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: a) σy = +48 MPa; b) σy = – 48 MPa; c) σy = 0.
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Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = 0J2K
4 = 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa
.!á" = .! + R = 64 MPa
.4 = .! - R = - 16 MPa
Para o estado tridimensional:
.! = A0/4K
4 = 22 MPa
R = 64 - 22 = 42 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 64 MPa
O�í{ = - 20 MPa
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Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = /0J2K
4 = - 24 MPa
R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 16 MPa
.4 = .! - R = - 64 MPa = O�í{
Para os círculos internos:
y1 = /4K/A0
4 = - 42 MPa
y4 = 1A/4K
4 = - 2 MPa
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Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
Para o estado plano:
.! = /@42@4
4 = 0 MPa
R = 32 MPa = ��á� = O�á�
O�í{ = - 32 MPa
Para os círculos internos:
y1 = /4K/@4
4 = - 26 MPa
y4 = @4/4K
4 = 6 MPa
12) Determinar, para o estado de tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento.
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Para o estado plano:
.! = DK2K
4 = 35 MPa
R = 5(120)4 + (70 I 35)4 = 125 MPa = ��á�
.!á" = .! + R = 160 MPa
.!í> = .! - R = - 90 MPa
Para os círculos internos:
y1 = /EK210K
4 = 25 MPa
y4 = 1AK210K
4 = 150 MPa
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PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO
13) Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze. Determinar: a) A máxima tensão de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento no ponto D que fica numa circunferência de 15 mm de raio desenhada na seção extrema do cilindro; c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio.
T = 3 kN.m
a) ce = 30 mm = 0,03 m
J = |4 . (0,03)4 = 1,272 . 10-6 m4
�máx = @KKK.K,K@1,4D4.1K}~ = 70,755 MPa
b) � = @KKK.K,K131,4D4.1K}~ = 35,377 MPa
c) T = 4|.��á�
� � @. d � � => T’ = 4|.DK,D33.1K~
K,K@ � @. d K,K13K
= 4|.DK,D33.1K~
K,K@ . K,K13�
0 = 187,552 N.m
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��� . 100 =
1JD,334@KKK . 100 = 6,25 %
14) T = 2,4 kN.m
a) �máx (AB) = ?
TAB = TA = 2 400 N . m
J = |4 . (0,027)4 = 8,348 . 10-7 m4
�máx = 40KK.K,K4DJ,@0J.1K}� = 77,623 MPa
b) �máx (BC) = ?
TBC = TA + TB = (2 400 – 1 200) N . m = 1 200 N . m
***19) Os binários, aplicados, como mostrado, ao eixo de aço (G = 80 GPa) da figura, produzem uma tensão tangencial máxima de 80 MPa e torcem o extremo livre de 0,014 rad. Determine os momentos torques T1 e T2.
G = 80 . 109 Pa ; �máx = 80 . 106 Pa ; c = 0,050 m
Fazendo ce2 = a = 2r ; ce1 = b = r ; ci2 = c = r ; ci1 = d =
�4
∅ = ��
�.| (1
(1A·�/·�) + 1
(·�/¸��~) ) =
���.| (
113·� +
1�¢¸��~
) = ��
�.| (1
13·� + 1A
13�� ) =
= ��
�.| ( 1D
13��) = '¤��
' .�.�.+� (confere com o resultado anterior)
Fazendo c= d = 0 e a = b = ce2 = ce1 = ce:
∅ = ��
�.| (1
(®�/K) + 1
(®�/K) ) = ��
�.| . 4®� =
��Y�S^.( �)�.�
=
= ��
Y��^.��.� [cilindro maciço]
Fazendo c= d = ci2 = ci1 = ci e a = b = ce2 = ce1 = ce:
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∅ = ��
�.| (1
(®�/Z�) + 1
(®�/Z�) ) = ��
�.| . 4
(®�/Z�) = ��
Y�S^.a( �S)�–( �S)�e.�
= ��
Y��^.(���–���).� [cilindro vazado]
Resposta da lista: �¹��
� .�.�.+� Obs: Os cálculos efetuados para a determinação da equação geral estão corretos. Logo, a diferença da resposta da lista se deve ao fato dela estar errada ou não interpretei corretamente o desenho para poder atribuir os valores corretos de a, b, c, d em relação a r.
21) ∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→
T(x) = (L – x ) . q
=> ∅ = 4
|.�. � . � a¼L– x½. qeª��K =
4¿|.�. � . � ¼L– x½ª��
K
=> ∅ = 4¿
|.�. � . (Lx - "S4 ) �
�K => ∅ = 4¿
|.�. � . (�4 - �S4 ) => ∅ =
4¿|.�. � .
�S4 => ∅ =
À.���.�.��
22)
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∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→
¿� =
¿(")" => q(x) =
¿."�
T(x) = (L - x) a¿2¿(")e
4 = (L - x) a¿2Á.� e
4 = a¿(�/")2Á(Â}�).� e
4 =
ÁÂ(Â}�)ÃÁ�(Â}�)Â4
=
ÁÂS}ÁÂ�ÃÁÂ�}Á�SÂ4 =
ÁÂS}Á�SÂ4 =
À(��/��)��
∅ = 4
|.�. � . � Ä(�2I�2)2� ª��K =
¿�|.�. � . � (�4 I �4)ª��
K
=> ∅ = ¿
�|.�. � . (L².x - "Q@ ) �
�K => ∅ = ¿
�|.�. � . (L².L - �Q@ ) => ∅ =
¿�|.�. � . (
4�Q@ )
=> ∅ = �À��
��.�.��
Obs: Na lista a resposta é ∅ = À��
��.�.�� . Acredito que minha resposta está correta.
___ _____ ______
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Cálculo para o caso de uma distribuição invertida, com zero na região engastada e q na outra extremidade:
∅ = � �(")�"�.�
�K =
4|.�. � . � º(�)ª��
K
T(x) = ?
�→ T(x) =
(�/").¿(")4
¿� =
¿(")�/" => q(x) =
¿(�/")�
=> T(x) = (�/").Á(Â}�)
Â4 => T(x) = ¿(�S/4�"2"S)
4�
∅ = 4
|.�. � . � Ä(�2I2��+�2)2� ª��K => ∅ =
¿�|.�. � . � (�4 I 2�� +�4)ª��
K
=> ∅ = ¿
�|.�. � . (L².x – Lx² + "Q@ ) �
�K => ∅ = ¿
�|.�. � . (L².L – L.L² + �Q@ ) =>
=> ∅ = ¿
�|.�. � . �Q@ => ∅ =
À����.�.�� (resposta igual a da lista)
PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO – TENSÕES EM PLANOS INCLINADOS
Adriano Alberto
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23) Determine o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa.
.¥�!= 70 MPa ; �¥�!= 75 MPa
Dint = 25 mm ; Dext = 50 mm
Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
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37 �máx =
��� =
�.��Y��^.(���–���)
�máx = �. �
Y�S^.( ��– ��) => T =
�Åá�.Y�S^.( ��– ��) � =
DK.1K~.Y�S^.Æ(K,K43)�–(K,K143)�ÇK,K43 =>
=> Tmáx = 1 610,679827 N.m
*** 24) Para o eixo mostrado, determine: a) As tensões correntes no ponto A (na superfície da haste) sobre o plano B-B (o qual é normal à superfície da peça no ponto A e faz um ângulo de 40º com o eixo da mesma). Mostre essas tensões sobre um esboço ampliado da área elementar representando o ponto A; b) As máximas tensões normais ocorrentes no ponto A. Mostre essas tensões sobre um esboço representando a área elementar em torno de A.
Obs: Na resposta da lista, os sinais estão invertidos. Acredito que minha resposta está certa. ***25) Um cilindro maciço de aço (G = 80 GPa) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa, determine: a) O diâmetro permissível máximo para a peça; b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa.
a)
60. 10A = �
K,3|.( )Q => T = £P. 'P£ . 0,5 . �.(�)� (I)
0,03 = AK.1K~.K,3.|.( )Q.1K,3.|.( )�.JK.1K� => c = 0,025 m => D = 0,050 m = 50 mm
Obs: o torque de 75 N.m é distribuído para os dois eixos. Porém, faz-se o somatório dos torques apenas para o eixo CD. Acredito que não se possam somar diretamente torques de dois eixos diferentes. A parcela do torque que é transferida para a engrenagem maior, causa uma reação na engrenagem menor, porém não significa que a reação seja com um torque igual, devido às engrenagens serem de diâmetros diferentes. Como a força exercida é igual para as duas engrenagens, essa reação é igual a F . R(Eng. menor) (não o raio da engrenagem maior). A soma dessa reação com a parcela do torque que foi distribuída para o eixo CD (TCD) é igual ao torque de 75 N.m.
T = 13 069,02544 N.m + 3 920,707632 N.m => T = 16 989,73307 N.m
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36) A máxima tensão ocorre quando o acoplamento se dá ao mesmo tempo da aplicação de T0. Se a retirada de T0 for no mesmo instante do acoplamento, a tensão em BC será zero. Se o segmento AB girou antes do acoplamento, é necessário saber o ângulo de giro.
GBC = 80 . 109 Pa ; GAB = 40 . 109 Pa ; cAB = 0,050 m ; cBC = 0,025 m ; LAB = 2,0 m ;
LAD = 1,2 m ; LDB = 0,8 m ; LBC = 1,0 m ; T0 = 15 000 N.m