Unidade 01 – Flexão Oblíqua Resistência dos Materiais II Elson Toledo Flávia Bastos Leonardo Goliatt Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 13.05 Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34
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Unidade 01 – Flexão OblíquaResistência dos Materiais II
Elson ToledoFlávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34
Flexão Oblíqua
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
Flexão Oblíqua Introdução
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
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Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
O estudo da teoria de flexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-seao caso denominado flexão reta
y
z
Mz
LN
σx
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Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Carregamento situado no plano desolicitação (PS)o PS é um plano que intercepta aseção segundo seu eixos principaisde inércia – dois para o retânguloO eixo de solicitação (ES ou ss) éa interseção entre o PS e o planoda seçãoO momento fletor é perpendicularao eixo de solicitaçãoO plano de ocorre a flexão é oplano de solicitação (PS)A linha neutra (LN ou nn) édefinida como o lugar geométricodas tensões normais nulas
y
z
PS
ES, ssMz
LN, ss
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Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
Mz
PS
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
My
PS
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
Mz z
y
My
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Como último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos desolicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inércia
y z
Mz
y z
My
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Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Os casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-tação as seções estarão submetidas a um tipo de flexão diferente
y
z
M
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Flexão Oblíqua Introdução
Flexão Oblíqua
Introdução
Isso ocorre mesmo em casos deseções com dois eixos de simetria,como as seções retangularesEstá é denominada a flexão nãosimétrica, oblíqua ou desviadaNestes casos, o ES (ss) não é ⊥ aLNÉ necessário determinar aposição da LN, a partir do con-hecimento da posição do eixo desolicitação (ss)
y
z
M
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Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 34
Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Vamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema deeixos em seu centroide C
y
z
M
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π2
C
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Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Caracterização da flexão oblíqua
Casos de ocorrência
1
1http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdfElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 34
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 34
Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Situação na flexão oblíqua
n
ns
s
M
PS
dAdF
z
y
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Na flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutroou Linha Neutra (LN)O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão reta
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Seja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LNdx a distância entre duas seções transversais adjacentesdϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dxρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformaçãoδdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e v
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Temos que
εx =δdxdx=
u tan dϕdx
=udϕdx=
udϕρdϕ
=uρ
Pela lei de Hookeσx = Eεx =
Euρ
⇒Eρ=σx
u
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Outra maneira de chegarmos as mes-mas expressões:
O plano de solicitação PS não con-tém um dos eixos principais de inér-ciaA interseção do PS com o plano daseção define o eixo de solicitação(ES)O momento interno M é ⊥ ao ES e édecomposto segundo a LN
Mn = M cos θ
onde θ é o ângulo entre o ES e a LNAs seções giram em torno de umeixo denominado eixo neutro oulinha neutra (LN, nn)
y
z C
ES
M
α
βθMn
B
LN, nn
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Seja P um ponto genérico da seçãou a distância de P à LNdx a distância entre duas seçõestransversais adjacentesρ o raio de curvatura sofrido pelafibra após a deformaçãodX o comprimento de uma fibra adistância u da LNdϕ o giro relativo entre as duasseções separadas por dx
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u
y
z
C
ES
M
αβ
θMn
P
u
LN
y
z C
ES
M
α
βθMn
B
LN
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Temos que
εx =dX − dx
dx=
(ρ + u)dϕ − ρdϕρdϕ
=uρ
Pela Lei de Hooke,
σx = Eεx =Euρ
⇒Eρ=σx
u
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Sabemos que o esforço normal naseção é nulo (N = 0)
N =∫
AσxdA =
∫A
Euρ
dA =Eρ
∫A
udA = 0
O que permite escrever
u =∫
AudA = 0
Conclusões:u é a distância da LN ao centroideda seçãoA LN é baricêntrica (passa pelocentroide da seção)
y
z C
ES
M
α
βθMn
B
LN, nn
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
O momento Mn com relação a LN édado por
Mn =
∫A
uσxdA =∫
A
Eu2
ρdA =
EIn
ρ
onde In =∫
A u2dA
Daí temos que
Mn
In=
Eρ=σx
u⇒ σx =
MnuIn
Conclusões:σx é um plano nas coordenadas u ev (ou quaisquer coordenadas comrelação a quaisquer pares de eixos)Comportamento similar ao da flexãoreta
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua
Flexão Oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
O momento Ms com relação ao ES énulo pois M ⊥ ES
Ms =
∫A
vσxdA =Eρ
∫A
uvdA = 0
Daí temos que
Ins =
∫A
uvdA = 0
onde Ins é o produto de inércia emrelação aos eixos oblíquos ES e LNConclusões:
ES e LN fazem parte da elipse cen-tral de inércia da seção
y
z C
ES
M
α
βθMn
B
LN, nn
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Seja P um ponto genérico distante uda LNIn o momento de inércia com relaçãoa LN α indica a posição do eixo desolicitação (ES) em relação ao eixo z
β indica a posição da linha neutra(LN) em relação ao eixo z
Temos que Ins = 0Vamos mostrar que se y e z são eixosprincipais de inércia, então
tanα tan β = −Iz
Iy
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Para a determinação de In, sejamα a posição relativa do ES ao eixo zβ a posição relativa da LN ao eixo zdA um elemento de área com coor-denadas y e z com relação a xCyAs coordenadas dA são u com re-lação a LN e v com relação ao ES
A tranformação de coordenadas fica
v = y cosα − z sinαu = z sin β − y cos β
E então
Ins =∫
A uvdA = 0In =
∫A u2dA
Is =∫
A v2dA
z
y
α
β
α
α
β
β
α
β
u
v
ES
LN
dA
C
Mn
n
s
s
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Sabemos que
Ins =∫
A uvdA=
∫A(z sin β − y cos β)(y cosα − z sinα)dA
=∫
A yz sin β cosα − z2 sin β sinα − cosα cos βy2 + yz cosα cos β= Iyz sin β cosα − Iy sin β sinα − Iz cosα cos β + Iyz cosα cos β= (Iyz − Iy) sin β cosα + (Iyz − Iz) cosα cos β= 0
Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz = 0
Ins = −Iy sin β sinα − Iz cosα cos β
o que nos permite escrever (já que Ins = 0)
sinαcosα
sin βcos β
= −Iz
Iy⇒ tanα tan β = −
Iz
Iy
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Temos também que In =∫
A u2dA, ou
In =∫
A(z sin β − y cos β)2dA= Iy sin2 β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2 β
Se y e z forem os eixos principais deinércia, Iyz = 0
In = Iy sin2 β + Iz cos2 β
E por fim, com Mn = M cos θ, pode-mos calcular
σn =Mn
Inu
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 34
Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
A flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = Mz, então o eixo y é o eixo de solicitação
Cy ≡ ESα = π
2β = 0Cz ≡ LNu = yMn = Mz
In = Iz
Como resultado
σx =Mn
Inu =
Mz
Izy
y ≡ ES
z ≡ LN
C
M
αβ = 0
P
u = yM =Mz
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Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Flexão Oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
A flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = My, então o eixo z é o eixo de solicitação
Cz ≡ ESα = 0β = π
2Cy ≡ LNu = zMn = My
In = Iy
Como resultado
σx =Mn
Inu =
My
Iyz
y ≡ LN
z ≡ ES
C
M
α = 0
β
Pu = z
M =My
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Hipóteses básicasO momento M é decomposto em duas componentes My e Mz
O esforço normal é nulo (N = 0)Regime de pequenas deformaçõesMaterial elástico linear⇒ σx = Eεx
y
z CMz
My
+ –
+–
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Hipóteses básicasPostulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barraantes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação 2
z y
C
u(y, z) = Ay +Bz
2Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora LouisNavier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões emvigas.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Se a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano quepassa pela origem, pode ser escrito
u = Ay + Bz
onde A = A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seção
z y
C
u(y, z) = Ay +Bz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
A representação das tensões normais resulta em um plano que passa pela origem
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
E do equilíbrio das forças internas
Mz =∫
A σxydA = a∫
A y2dA + b∫
A yzdA = aIz + bIyz
My = −∫
A σxzdA = −a∫
A yzdA − b∫
A z2dA = −aIyz − bIy
y
z
σx
τxz
τxydA
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Rearranjando os termos{Mz = aIz + bIyz
My = −aIyz − bIy→
[Iz Iyz
−Iyz −Iy
] [ab
]=
[Mz
My
]Daí [
ab
]=
1IzIy − I2
yz
[−Iy −Iyz
Iyz Iz
] [Mz
My
]e os coeficientes ficam
a =MzIy + MyIyz
IzIy − I2yz
b = −MyIz + MzIyz
IzIy − I2yz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Retornando emσx = ay + bz
Temos para o caso de y ou z serem eixos quaisquer
σx =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2yz
y − MyIz + MzIyz
IzIy − I2yz
z
ou
σx =(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z
IzIy − I2yz
O método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,Iyz e Iz podem ser determinados.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 34
Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Flexão Oblíqua
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Agora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inérciaSe tal condição é válida temos Iyz = 0 e a expressão acima se reescreve como
σx =
(Mz
Iz
)y −
(My
Iy
)z
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 34
Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Flexão Oblíqua
Verificação da estabilidade
A verificação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveisσc é a tensão máxima de compressão e σt é a tensão máxima de traçãoVamos definir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uA euB as respectivas distâncias
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
Pu
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade
Flexão Oblíqua
Verificação da estabilidade
As seguintes têm que ser satisfeitas
σA =MnuA
In≤ σc
σB =MnuB
In≤ σt
Nas expressões acima não usamos nenhum sinalOs sinais dependem da identificação prévia dos pontos onde ocorre tração oucompressão
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 28 / 34
Flexão Oblíqua Momento fletor máximo
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 29 / 34
Flexão Oblíqua Momento fletor máximo
Flexão Oblíqua
Momento fletor máximo
A partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadaspodemos calcular a capacidade portanteSupondo Mmax o momento máximo que a seção pode estar submetida, temos
Mmax =σtIn
uPara o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitados
Mmax ≤ min{σtIn
uB,
σcIn
uA
}
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
Pu
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 29 / 34
Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
My = M cosα; Mz = M sinα; tanα = My
Mz
σx =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2yz
y − MyIz + MzIyz
IzIy − I2yz
z
tanα tan β = −IzIy
(Eixos principais de inércia)
σx =
(Mz
Iz
)y −
(My
Iy
)z (Eixos principais de inércia)
σn =Mn
Inu, In = Iy sin2 β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2 β
σA =MnuA
In≤ σc, σB =
MnuB
In≤ σt
Mmax ≤ min{σtIn
uB,
σcIn
uA
}
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π2
C
y
z C
ES
M
α
βθMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
Pu
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 30 / 34
Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
Se mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-ores se alteram
σx =
MzIy − MyIyz
IzIy − I2yz
y − MyIz − MzIyz
IzIy − I2yz
z
tanα tan β = +IzIy
(Eixos principais de inércia)
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π2
C
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Flexão Oblíqua Exemplo 1
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
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Flexão Oblíqua Exemplo 1
Flexão Oblíqua
Exemplo 1
Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular astensões nos vértices do retângulo, determinar a linhaneutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensõesreferenciado à LN.Dados: M = 150 kNm; α = 70o
ES
y
z 60 cm
20 cm
C
M
70o
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Flexão Oblíqua Exemplo 2
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
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Flexão Oblíqua Exemplo 2
Flexão Oblíqua
Exemplo 2
Para o perfil L (dimensõesem mm), pede-se determinara posição de nn e as tensõesmáximas. Dados: M = 50 kNm.
ES
C
M
600
50
50
400
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Flexão Oblíqua Exemplo 3
Programa
1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3
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Flexão Oblíqua Exemplo 3
Flexão Oblíqua
Exemplo 3
um momento M age na viga engastada de acordo com a figura. Determine a tensãonormal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M = 1, 5(106) Nmm.
y
z
12
12
12
100
80
CM
A
M
A
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