AULA POLITÈCNICA 15 Resistencia de materiales Problemas resueltos
AULA POLITCNICA 15
Resistencia de materialesProblemas resueltos
AULA POLITCNICA / ETSEIB
EDICIONS UPC
Miquel Ferrer BallesterJos Luis Macas SerraFrederic Marimn CarvajalM. Magdalena Pastor ArtiguesFrancesc Roure FernndezLlus Vilaseca Vilanova
Resistencia de materialesProblemas resueltos
La presente obra fue galardonada en el quinto concurso"Ajuts a l'elaboraci de material docent" convocado por la UPC.
Primera edicin: septiembre de 1999Reimpresin: febrero de 2001Segunda edicin: septeimbre de 2002
Diseo de la cubierta: Manuel Andreu
los autores, 1999
Edicions UPC, 1999Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: [email protected]
Produccin: CPDAAv. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona
Depsito legal: B-30564-2002ISBN: 84-8301-621-4
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares deella mediante alquiler o prstamo pblicos.
Prlogo 7
Prlogo
El presente libro es una coleccin de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de laResistencia de Materiales a travs de su aplicacin a la resolucin de ejemplos concretos. Ha sidoelaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniera y de Arquitectura, como textocomplementario a un libro de teora de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque ynomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimn yX. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascculos.
Se supone que antes de abordar los problemas de cada captulo, el lector habr adquirido losconocimientos de teora correspondientes, y por ello no se repasan de forma explcita en el presentelibro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecnica de medioscontinuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se hanincluido en la Bibliografa textos de teora sobre ambos aspectos.
Los temas que cubre este libro son los clsicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: lostemas bsicos relativos a la pieza prismtica. Una rpida ojeada al ndice ilustra perfectamente elalcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas bsicos para adaptarloprecisamente al desarrollo de un curso de duracin cuatrimestral; aunque al final de algunos captulosse han introducido tambin problemas ms complejos (van marcados con un asterisco), para aquelloslectores que deseen profundizar en dichos temas.
Los casos ms sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas,porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teora, y no se haconsiderado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una coleccin exhaustiva deproblemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas.
A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresin,estamos seguros de que algunos errores y erratas habrn conseguido colarse (confiamos en que seanslo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector.
Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que,como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confeccin del texto, las frmulas ylos dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu.
Los autores
Barcelona, junio de 1999
ndice 9
ndice
1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................11
2 Esfuerzo normal...................................................................................................................25
3 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................35
4 Caractersticas de secciones.................................................................................................45
5 Dimensionado de secciones a flexin..................................................................................53
6 Flexin desviada y flexin compuesta.................................................................................75
7 Torsin y esfuerzos combinados..........................................................................................89
8 Corrimientos en piezas prismticas....................................................................................131
9 Piezas y sistemas hiperestticos.........................................................................................139
10 Inestabilidad elstica...........................................................................................................161
Bibliografia................................................................................................................................185
Bibliografa 185
Bibliografa
COURBON, J. Resistencia de materiales (I y II). Madrid, Aguilar, 1968.
LAROZE, S. Resistance des materiaux et Structures (I,II,III y IV). Pars, Eyrolles-Masson & Cia, 1974.
LOVE, A.E.H. A treatise on the mathematical Theory of Elasticity. New York, Dover, 1944.
NEUBER, H. Mecnica tcnica (II). Madrid, Dossat, 1977.
ORTIZ, L. Elasticidad. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998.
ORTIZ, L. Resistencia de materiales. Madrid, Mc Graw-Hill, 1991.
ROURE, F.; MARIMN, F.; AYNETO, X., Resistencia de materiales (Fascculos). Barcelona, CPDA-ETSEIB, 1998
TIMOSHENKO, S.P., Resistencia de materiales. Madrid, Espasa-Calpe, 1967.
UGURAL, A.C.; FENSTER, S.K. Advanced Strength and applied Elasticity. New York, Elsevier, 1987.
1 Diagramas de esfuerzos 11
1 Diagramas de esfuerzos
12 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.1
Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura.
Resolucin:
a) Descomposicin de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.
b) Clculo de las reacciones.
Tomamos momentos respecto al punto C:
0cM N3,33-=N31000800260036006
AVAV RR
Suma de fuerzas verticales y horizontales:
N3
19006003
10006000 CVCVAVV RRRFN6000 AHH RF
N600222600
N600222600
V
H
F
F
Ejes globales
A
B
C
E
D
6 0 0 2 N45o
3 m 3 m 2 m
2 m800 Nm
A
B
C
E
D
600 N600 N
RAVRAH RCV
800 Nm
1 Diagramas de esfuerzos 13
c) Clculo de momentos en los tramos AB y BC.
TramoAB: Nm10003
100)( BAAV MMxxRxM
Tramo BC:
Diagramas.
Equilibrio del nudo B.
Nm8002600360063
100
Nm11001200033
1002600)3(600)(
C
B
AV
M
M
xxRxM
600 N
600 N
600 N
31900 N
B
100/3 N
B
E
A B C D+
600 N
600 N
A B C DB
E
- -
+1200 Nm
-100 Nm
-800 Nm
A B C D
B
E
+
600 N
19003
N
-N
T
M
1100 Nm
-
-
N3100
14 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.2
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida auna carga repartida triangular.
Resolucin:
a) Clculo de la reacciones.
Resultante de la carga N48002
61600 Q .
N1600
N32006
44800
4480060
4800
A
B
BA
BA
R
R
RM
RR
A B
6 m
4 m 2 m
4800 N
RBRA
6 m
A B
x
mN1600
T
6
1 Diagramas de esfuerzos 15
b) Clculo de los esfuerzos de seccin.
Seccin situada a una distancia x del apoyo A:
T:
2
0
2
00
1216001600
2616001600
6160016001600
xT
ddqT
x
xx
[
[[[
M:
6616001600
32616001600
32616001600
6160016001600
333
0
32
00
xxxxxM
xxM
dxxdxqxM
x
xx
[[
[[[[[
L = 6 m
A B
x
mN1600
1600 N 3200 N
[ x-[
d[
16 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
c) Diagramas.
d) Punto de Mmx
Nm369546,312
160046,31600
m46,31212
160016000
0
2mx
2
o
ww
M
xxT
TTx
M
1600 N
3695 Nm
3200 N
A T-
M
+
+
1 Diagramas de esfuerzos 17
Problema 1.3
Determinar los diagramas de esfuerzos del prtico inclinado de la figura.
Resolucin:
Para el clculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la esttica.
N23000222002240040
N24000
022000
CCA
AHH
CAVV
RRM
RF
RRF
N2200
N2400
2 m
2 m 2 m
45q C
B
A
2200
2400
C
B
A
RAV RC
RAH
18 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
por tanto, NRAV 2100 y descomponiendo cada reaccin en las direcciones de las barras,
Diagrama
Diagrama
Diagrama
2400
400
400
400
400
2400
100100
100100
2100
2100
300300
300 300
2300
2300
N
+ -
CA
B
500 N
-300 N
T
+ -
CA
B
300 N
300 N
M
1 Diagramas de esfuerzos 19
M = 300 xNm2600
0
B
A
M
MM = 300 x
Nm2600
0
B
C
M
M
Mtodo alternativo para hallar las reacciones: resolucin grfica.
Para que las tres fuerzas estn en equilibrio, sus lneas de accin deben cruzarse en punto O (ya que
00 M ). A partir de la lnea de accin vertical de RC, se obtiene O.
A
B
x + C
B
300 N
x+
2200
2400
C
B
RA
RC
FG
FG RC
RA// OA
// OC
20 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.4
Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura.
Resolucin:
Clculo de las reacciones:
N6133
N44678300063660024000:
0300066004000:
B
CCB
CBV
R
RRM
RRF
Diagrama de momentos flectores:
Tramo AB:
Nm800004000
BA MMxM
Tramo BC:
Nm6000Nm800022600261334000
2
CB MM
xxxM
Tramo CD:
0Nm60008446756600261334000
DC MMxxxxM
Diagrama de esfuerzos cortantes.
Tramo AB:
N4000N4000N4000
BA TTT
4000 N 3000 N
P1
A
P2B C D
p = 600 mlN
a = 2 m L = 6 m b = 2 m
1 Diagramas de esfuerzos 21
Tramo BC:
N1467N2133260061334000
CB TTxxT
Tramo CD:
N3000N30004467360061334000
DC TTT
El diagrama de momentos flectores pasa por un mnimo relativo en el punto E, donde la tangente eshorizontal, o sea:
m35,50260061334000:0 ww
EE xxTxM
ME = -4208 Nm
D
-8000
-6000
2133
-4000 -4000
3000 3000
-1467
M
( Nm )
( N )
T
-
--
++
E
xE
A
B C
a = 2 m L = 6 m b = 2 m
22 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 1.5
En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar losdiagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga.
Resolucin:
a) Reacciones en el empotramiento.Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagramade slido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos:
mKN222105,04KN14
E
E
MF
Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.
1 m1 m 2 m0,5m
4 KN5 KN/m
2 m0.5m
4 KN
FE
10 KN
ME
1 m 2 m0.5m
4 KN
FE
ME
5 KN/m
1 Diagramas de esfuerzos 23
b) Diagramas
Tramo AB: M = 0 T = 0
Tramo BC:
KN10
0KN15
0
0mKN215
2
2
C
B
C
B
TTxT
M
MxM
1 m2 m0,5
4 KN 5 KN/m
0,5
-
+
M
T
E D C B A
x
24 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tramo CD:
KN10KN10KN10
mKN15mKN10mKN210
D
C
D
C
TTT
MMxM
Tramo DE:
KN14KN14KN14410
mKN22mKN15mKN5,34210
E
D
E
D
TTT
MMxxM
Estos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque eneste caso, es ms cmodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo dela izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idntico;pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado).
2 Esfuerzo normal 25
2 Esfuerzo normal
26 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.1
Tenemos una barra rgida que est suspendida por dos cables de igual dimetro 4 mm , y cuyosmdulos de elasticidad son: E1=2.1105 MPa y E2=0.7105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mmy la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra estsometida a una carga puntual P=500 N.Calcular la posicin x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso.
Resolucin:
Dibujamos el diagrama de slido libre y obligamos el equilibrio. Adems imponemos la igualdad dedeformaciones.
0)(0
0
xLPLRM
PRRF
AB
BAV
P=500 NA B
600 mm
x
300 mm 4 mm 4 mm
E1
E2
P=500 NA B
RA RB
'LB'LA
2 Esfuerzo normal 27
N375N1254
5005003
370000
210000
:HookedeLey
2
1
21
' '
ABBB
BABB
ABBAA
BA
RRRR
RRRE
ERRESLR
ESLR
LL
De la ecuacin de los momentos obtenemos x:
mm1500)600(500600375
0)(
xx
xLPLRA
28 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.2
En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D estn empotrados. Determinar lastensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .Hallar tambin el diagrama de esfuerzos axiles.
Datos: E=2105 MPa.
Resolucin:
FV 0
RA+ RD = 15 T = 150000 N
Ecuacin de deformacin
El tramo AC est comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresin, y el tramo CD esttraccionado, por lo que RD es un esfuerzo de traccin.
Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variacin total de longitud es 0; y el acortamiento deltramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior:
CDBCAB LLL ' ''
Aplicando la ley de Hooke: 'L F LA E
b
CDD
b
BCA
a
ABA
AELR
AELR
AELR
B
C
1 m
3 m
1 m 15 T
A
Aa=40 cm2
Ab=80 cm2
D
2 Esfuerzo normal 29
252525 10801021000
10801023000
10401021000
DAA RRR
100030002000 DAA RRR
Resolviendo las ecuaciones, tenemos
T512N125000
T52N25000
.R
.R
B
A
Clculo de las tensiones.
Tramo AB: (COMP.)MPa25.6mm1040N25000
22
ABV
Tramo BC: (COMP.)MPa125.3mm1080
N2500022
BCV
Tramo CD: (TRAC.)MPa625.15mm1080
N12500022
CDV
Diagrama de esfuerzos normales:
A
B
C
1 m
3 m
1 m 15 T
D
RA
RD
A
B
C
D
2.5 T
12.5 T
-
+
30 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 2.3
a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de dimetro y de 3.5 mde longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso G del punto C, siendo D=20.Datos: E=2,1105 MPa.
b) Resolver para D=0.
Resolucin:
a) Para D=20:
Del equilibrio del punto C se obtiene
D
D
sen2
2sen
PN
PN
Sea G (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, 'L, ser CC1
pudiendo considerarse el tringulo CCC1 rectngulo en C. Aqu es DG
senL' . Como por otra
parte:EANLL ' , se tiene que:
mm13,134202.01014,3101.22
35005000sen2sen 2252
DD
GEA
PLEA
NL
b) Para D=0:
N
PDN
Equilibrio del punto C
N
N
D P
D
A BC
P
L LE
C1
G
P
L LC
D
CC1
G
A B
2 Esfuerzo normal 31
De acuerdo con la esttica de los sistemas rgidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones delas barras, se encontraran, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamentegrandes. La solucin evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistiran.
A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de lasbarras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta lasdeformaciones en este caso.
Poniendo
EEG # tgL
(para ngulos pequeos)
el alargamiento de las barras vale
21111
ACACAC 22
2221 EEGGH #
LLLL
Esta ltima igualdad proviene de la expresin:
!128
5161
81
21111 43221 rrr r r aaaaaa
Para a
32 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Aplicando los datos numricos del problema:
mm1481014,3101.2
50003500 3 25 G
42,2rad04229,03500148 |
LGE
N5911604229,02
50002
EPN
2N/mm188314
59116 ANV
2 Esfuerzo normal 33
Problema 2.4
Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructurarepresentada en la figura, suponiendo infinitamente rgida la barra horizontal DE, articulada en D.Barra AB: seccin 40 cm2Barra CB: seccin 80 cm2Se considera el mismo mdulo de elasticidad, para todas las barras.
Resolucin:Se trata de un sistema hiperesttico.RBA y RBC siguen la direccin de la barra.
Ecuaciones de la esttica:
T8044020
022
220
04022
220
o
o
o
DDB
BABCDH
BCBADV
VVM
RRHF
RRVF
E D
40 TRBA
RBC VD
HD
4 m2 m
2 m
2 m
B
C
A
E D
40 T
34 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
BBLBBL CBAB ccc 'ccc '
Al ser deformaciones y ngulos pequeos:
BBBB ccc|ccc
BCAB LL ' '
Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC
Aplicamos la ley de Hooke:
BCBABCBA RRE
RE
R
280
2240
22
De la ecuacin 6Fv = 0 tenemos:
040222
2280 BABA RR
con lo que,
T47.113T73.56 BCBA RR
De la otra ecuacin despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto)
Clculo de las tensiones:
2
2
cmKp1418
80113470
cmKp1418
4056730
AB
AB
V
V
B
B
B45
~45
acort.'LBC
'LABalarg.
A
D
C
B E D
B
B
A
C
3 Esfuerzo de cizalladura pural 35
3 Esfuerzo de cizalladura pura
36 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.1
a) Determinar el dimetro mnimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b (Ve=260N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzn tiene una tensin admisible a compresin,Vadm= 500 N/mm2 .b) Qu fuerza mxima se ejercer ?c) Qu Vadm debera tener el punzn para realizar un punzonado de 5 mm ?Nota: Suponer que el extremo del punzn es plano y horizontal.
Resolucin:
a)
ddSF
ddAF
echapa
admpunzon
6.2654526065.0
7,3924
500
max
22
max
SW
SV
mm76,66.26547,392 2 minchapa
maxpunzon
max dddFF
b) N179454
5002
dAF admmax SV
c) 22
mmN6765526065.0
45 adm
punzonadm VSSV
Vadm
We
5 mm
PunznVadm = 500 N/mm2
Chapa de aceroVe = 260 N/mm2
3 Esfuerzo de cizalladura pural 37
Problema 3.2
Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad Js y suponiendo todo el pesodel ciclista sobre uno de los pedales.
P = 800 NR = 200 mm Plato D=200 mmChapa eslabones: Ve=360 Mpa
Pasadores: Ve=260 Mpa
cilindros centradores
Resolucin:
N1600mm100
mm200N800
2 u u
DRPF
R
P
D
F FPID
R
e?
ba
d?
e?
38 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Dimensionado de la garganta a de la chapa atraccin pura:
2mm3,324080022 tud
u admadm
Fea
ea
F
VV
MPa240
5.1MPa360
admV
p.ej : a = 4mm e =1 mm
Dimensionado del pasador a cizalladura:
|
d
2
22
N/mm1385.1
2608.08.0
mm7.24
13842
800
admadm
minadm dddF
VW
SSW
Dimensionado del pasador a aplastamiento:
c
d
2
'
mmN347
5.12602
mm3,213472
800
adm
minadm ddedF
V
V
^ ` mm7,23,2;7,2mx minmin dd
Dimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador
a traccin:
mm0,624017,22
800 d minadm bbedbF V
a desgarro:
mm8.104.521 t minbdt
^ ` mm8,108,10;0,6 minmin bmaxb
El dimensionado final queda as:
F/2
F/2
F/2
F/2
3 Esfuerzo de cizalladura pural 39
mm8,10mm4
mm7,2mm1
bade
d= 2,7 mm
e=1 mm
b=10,8 mma= 4 mm
40 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 3.3
Dimensionar la unin esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y lasuniones son roblonadas.
Datos:
e1 = 5 mm e2=e3
Chapas: Roblones: Tomar: Jse=1,5
Acero A37b Acero A37bVe=240 N/mm2 Ve=240 N/mm2
Resolucin:
a) Unin 1
d1
t1 e1
F F/2 e2
e2 F/2
t1 t1
b
t1
d1d2
N?
e1 t1t1e2 t1
I d1 I d2
e3
e3
3 Esfuerzo de cizalladura pural 41
Cizalladura:
maxseg
eadm Fdd
dddFT d 212
1
21
21
21 1.20155,100
45.12408.0
442SS
JV
ES
W
Aplastamiento:
maxmax
adm
max
adm
max FddFFF
ed d
c
t 1111 20005
5.12405.2VDV
De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultneas obtenemos:
d1,optimo = 9.95 mm 10 mm = d1 Fmax = 20000 N
( fallar por aplastamiento de la chapa )
- Desgarramiento
mm202 111 t tdt
Clculo de la seccin neta
260/1.5 = 160 N/mm2
mm35=mm10mm5
mmN160
N20000mm
N160
2
2
d bAF
neta
max
Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismasdimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto:
mm5,22
2 1212 eeee
10 mm
t1=2d=20 mm
bFmax
20000 N
42 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Unin 2
Atencin: es un problema hiperesttico. Aqu se presenta la solucin concreta para el caso e e2 1 2 , ycon la hiptesis de robln rgido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre lastres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4.
Cizalladura:
22
22
22 74.49
45.12408.0
420000
444 d
Nd
Nd
NF
N
FT adm d
d
d
SSW
Aplastamiento:
2222105.2
5.12405.2
220000
22 d
Nd
Ned
NF
N
Fadm ddcd V
De las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemos
2mm5mm97.4 22 o Ndd
con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento.
Desgarramiento:
mm1021 tc dt
Traccin:
Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor.
e2
t1
e1
F/4
F/2 F/2
F/2
e2 e3
F/4
N ?
d2
F F
e3
3 Esfuerzo de cizalladura pural 43
Problema 3.4
Hallar el coeficiente de seguridad Jseg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles deestantera metlica representados en la figura.
Acero A-42b
2cmKp2600 Ve20 mm
10 mm
Js ?
L = 50 cm
h = 20 cm
p = 100N/cmA
44 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolucin:
2
2pLM (momento a transmitir en la seccin
de empotramiento)
N312520450100
422
22
H
HH
FhLp
hMFMhF
N1250N5000501004 vv FLpF
N366612503125 2222 VH FFT
W FST (suponiendo una distribucin constante de W en la seccin)
2N/cm8,161020
3366
W
28,98,162606.06,0
mxmx
WV
WW
J eeS
FH
FV
p
L
h h
2Fh
2Fh 2Fv
2Fv
FH
FV
T
4 Caractersticas de secciones 45
4 Caractersticas de secciones
46 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.1
Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b yh genricas.
Resolucin:
De las tablas: Iz = Iy= 7,84 cm4
A = 4,3 cm2
c = 1,28 cm
2
' 2
c chAII zz (momento de inercia de una L, respecto al eje z)
2
' 2
c cbAII yy (momento de inercia de una L, respecto al eje y)
y
z
y
zc
c
h
y
z z
y
b
z z
c h/2
y
y
c
b/2
4 Caractersticas de secciones 47
hhchAIII zzz
c 12,530,454,59
2444 2
2
' (momento de inercia de las
cuatro L)
2
' 2444
c cbAIII yyy ( momento de inercia de las cuatro L)
54,592230,4 2 hhI z
54,592230,4 2 bbI y
48 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.2
Dado un perfil doble T, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la vigaaligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial.
Resolucin:
eaA
aeIZ
22
2121
2
3
zz a/2a/2
a
IZ
A
IZ/2
A/2
IZ/2
eaAA 222
'
z h 2a
?
hz
y
e
IZA
y
a
IZ
IZ = 4 IZ
4 Caractersticas de secciones 49
2
888121
22
2222121
2
32
323
' eaaAae
IaeaAaeI
I ZZZ
aeAaIaAaeI ZZ 12
1344412
13 223
aeAaII ZZ 12
134
2
'
Ha de ser :
aeAaIII ZZZ 12
134
42
'
aIaAae Z
03
44813 23
si suponemos que (ea) es
50 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 4.3
Determinar las siguientes caractersticas de la seccin monosimtrica de la figura respecto del ejeprincipal z:
a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz .b) El momento resistente elstico, Mel. z , para un acero Ve=235 N/mm2.
Resolucin:
a) El rea de la seccin total ser la suma de las reas de las pletinas:
2mm25000202501080030400iAA
Por simetra el centro de gravedad, G, est situado sobre el eje y (z = 0).
ysup
yinf
Mel.z
Ve= 235 N/mm2
800
30
20
10yG
400
250
# 40030
# 80010
# 25020
G
y
z
4 Caractersticas de secciones 51
Para determinar la posicin y del centro de gravedad de la seccin, G, es cmodo calcular el momentoesttico de cada elemento respecto de la fibra inferior. As:
c c iiG yAyA
mm53725000
10202504201080083530400 c
c A
yAy iiG
Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la seccin total respecto del ejey-y:
cc 23121
Giiiiz yyAhbI
23 5378353040030400121
zI
23 5374201080080010121
4423 mm10299154537102025020250121
El mdulo resistente respecto de la fibra superior, ysup:
33
4
supsup, mm109558537850
10299154
yI
W zz
El mdulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf:
334
infinf, mm105571537
10299154 yI
W zz
El radio de giro de la seccin respecto del eje z, iz:
mm34625000
10299154 4 AIi zz
b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensin de lmite elstico del material y delmdulo resistente mnimo de la seccin:
mkN1309mmN101309105571235 63,. minzezel WM V
5 Dimensionado de secciones o flexin 53
5 Dimensionado de secciones o flexin
54 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.1
Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como mximo ychapa de 10 mm de grosor.
P = 9500 Kp
L = 6 m
Acero A 42b
Jse = 1,5
Resolucin:
22
cmKp1733
5,12600
1,5cm
Kp2600b42AAcero
adm
s
e
e
VJ
V
Momentos flectores xxPxM 47502
)(
cmKp1014254
3 LPMC
Tramo A-E :
cmKp10561WMcm324W
cm3890I240IPE 3max3
4
admV
561 103 = 4750x x = 118,2 cm L1=115 cm
P
==
L
A BC
E D C
L1
L2
x
+
ADE
C
E D C
5 Dimensionado de secciones o flexin 55
Tramo E-D: es necesario reforzar
42323 cm1876187515.1212112121
121 c debebI
32
42 cm58813
7642cm7642)1876(23890 WI
cmkp1010191733588 3 admM
1019 103 = 4750x x = 214,6 cm
L1 = 210 cm
Tramo D-C:
4223 cm21885,13121121 cc debebI
33
423 cm85814
12018cm12018)2188(2 WII
cmkp1014871733858 3 admM
1019 103 = 4750x x = 313 cm > 300 cm
no es necesario reforzar ms
b=120 mm
e =10
d
ee
d
300 cm
210 cm
115P
M (mKp)
T (Kp)
142505460
9970561010180
14872
9500/2 = 4750 Kp
4250 Kp
Solicitacin
Capacidad resistente
+
-
+
56 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.2
Dimensionar un segmento de pistn de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro unapresin uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de Vmax= 261,5 N/mm2 (Ve =340 N/mm2 , Jse = 1,3) (Fundicin de grafito nodular).
Nota: Usar la simplificacin de simetra,
suponiendo que Rh es suficientemente
pequeo.
R = 40 mm
Resolucin:
Por razones de simetra consideramos:
Diagrama de momentos flectores :
Momento producido por dp en el punto genrico C
MMMMMM dRbpRdRpbdM ccc sensen 2
(dp = p R dM)
Momento total para el punto genrico C:
C
RdM
MMC
AOB
dp
p
R
hb
Rvoladizo
5 Dimensionado de secciones o flexin 57
> @ cccc RbpRbpdRbpM cc MMMMMM MM cos1cossen 2020 2
Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es :
cc RbpM Mcos12
tendremos el mximo: Mc = 180 q
Mmax = 2 p b R2
bdedependeNohmm7,3093,0
mmN5,26112
2121
22 22
2
3
2
t
d
Rh
hRph
hb
RbphI
Madmmax VV
M
M = 180q
M
M = 180qMmax M = 0q
58 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.3
Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado unojunto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir acomprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabecul escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que est haciendo 3er curso de Ingeniera Industrial yle expone el problema:He decidido instalar un estante para libros, segn el croquis de la figura:
Kg/cm6,0cm20cm15cm100 apuntesylibrospbaA
En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes caractersticasmecnicas:
22 N/mm00010N/mm4 EadmV
La cuestin es:
a) De qu espesor h mnimo debo colocar el estante?b) Los dos apoyos los he colocado, simtricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por
razones puramente estticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, culsera la distancia ptima de los apoyos a los extremos, que podra minimizar el espesor h delestante?
c) Finalmente, me preocupa saber cul ser la flecha que tendr el estante, una vez cargado, en supunto central (con la distancia a inicial).
a a
A
bh
5 Dimensionado de secciones o flexin 59
Resolucin:
a) Determinacin de h mnima.
2ApRR CB
Tramo AB:
20
22
2
apMM
xpM
BA
apTTxpT
BA
0
Tramo BC:
282482
2
22222
222
2
222
appapppMx
apMM
apaapapMaxpxpM
EE
BC
B
AAAAAA
AA
p
a a
A
bhA B C D
+
- -
vE
T
M
- -
+ +
x
60 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
22
22AAA
AA
pappapT
papTpxpT
C
B
Tramo CD:
2
222
222
22222222
22
apapapMxpxpM
axaxpxpaxpaxpxpM
C
AAAAAA
AAAAA
0222
2
AAAA ppM D
A pxpT appapTC AA0 AA ppTD
Con A = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados:
cmKg5,675,112 pMM CB
cmKg300500 pM E
677.40Kg/cm77,40
2
mn,2mx
mxhbMW
WM
WM E
zadmz
E
z
d VV
cm49,1
2077,406
mnmn20
hMh Eb
b) Determinacin de la distancia a ptima.
ptimo resistente:
mxmx MM
EB MM
282
22 AA appap
5 Dimensionado de secciones o flexin 61
04
22 AA aa
422
22 AAA
r a
r r AA
AAAA207,1
207,022
242
2
2
aa
As pues, la distancia a ptima es: cm7,20 ptimaa
Y se tiene, un momento mximo: cmKg7,128mx M
c) Clculo de la flecha en el punto central, por el mtodo de la fuerza unitaria.
Tramo BE:
axM c21
Tramo EC:
c
axaxM A1
21
c
ww 2
21
22101 2
22
dxaxaxpxpEI
dxaxp
EIdxM
EIM
FW a
o a
A AG
22
223
22222222 A AAAA
adxapxapxapxapxpxp
EIG
La segunda solucin nointeresa, porque cae fueradel intervalo analizado
a a
A
A B
E
F=1
C D
+M
x
62 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
2223234
246468
A
AAAA
a
xaxaxaxaxxEIP
G
328,65,5625,9375,3125,937208325,781(6,0 EI
G
cm265,0513,5000100
247246,010)75,168375,84437,8375,8425,56 3
4
33
cm513,512
49,12012bhI
5 Dimensionado de secciones o flexin 63
Problema 5.4
Sea una viga de seccin transversal en doble T, formada por 3 platabandas soldadas de dimensioneslas de la figura. Hallar el paso l de los cordones de soldadura a tramos de unin entre el alma y lasalas, si la garganta de soldadura es a= 5mm y la longitud de cada tramo de cordn es de ls = 10 cm. Elesfuerzo cortante mximo que soporta la viga es Ty= 40000 kg. La tensin cortante admisible en lasoldadura es Wadms = 1000 kg/cm2.
Resolucin:
Esfuerzo cortante por unidad de longitud en la superficie de contacto entre alma y platabanda
z
12 mm
z
6 mm
600 x x
220
y
G
A
sA
A
sA
:1Azm momento esttico del alaZ
AZ
ImTf
1
4323
31
cm14,246608001014,44649606,01216,302,1222,122
1212
cm84,8076,302,122
Z
AZ
I
m
kg/cm35,536614,2466084,80700040
f
64 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo cortante admitido por el cordn de soldadura,
aF sadmsadms AW2
Igualando esfuerzos
A fFadms
cm19cm64,1835,536
5.01010002
35,5365,01010002
21
|
A
A
AAz
Az
sadms ImTaW
5 Dimensionado de secciones o flexin 65
Problema 5.5
Se ha construido una viga roblonando cuatro angulares 120*120*12 en los extremos de unaplatabanda de 400*20 mm. Hallar el dimetro mnimo de los roblones si la viga est biapoyada en susextremos, tiene una longitud de 6 m, y soporta una carga puntual centrada P. Datos: separacin entreroblones e= 120 mm; tensin normal admisible de la platabanda y los angulares: Vadmisible=173 Mpa;tensin cortante admisible de los roblones Wadm robln= 42 MPa.
Resolucin:
N244796103200
2103,42450173
mm103,42450cm3,424509,794547,10666
4,3205,273684402121
20010
23
173
3
3
43
4
23
,,
3
P
I
IIII
P
yIM
z
angularzalmazz
z
mxz
admV
60
e e
400
120 120
20z
y
P
6 m
M
T
+
-
+
2P
2P
2P
23 P
2P
66 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones por unidad de longitud
Esfuerzo cortante que ha de ser soportado por cada roblon
Dimetro mnimo de los roblones : d = 21,9 mm
333
4
3
mm10913cm9136,165,272
N3981222
N/mm25,263103,42450
10913398122
z
Z
Z
m
PT
ImT
f
mm9,21422
431590
N31590424
2
N3159012025,2632
S
S
d
dF
efF
adm
5 Dimensionado de secciones o flexin 67
Problema 5.6
Una viga armada tiene una seccin compuesta por un alma rectangular de 80012 mm, y cada alacompuesta por una platabanda de 19010 mm y 2 perfiles angulares 908 mm. Calcular el dimetromnimo de los roblones, sabiendo que el paso de remachado de los angulares con el alma es e1= 18cm y el de la platabanda y angulares es e2= 40 cm. Esfuerzo cortante mximo que ha de soportar laviga: T = 40 kN. Tensin de cortadura admisible en los roblones Wadm = 42 MPa.
Resolucin:
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones alma-angulares, por unidad de longitud
(A1 = rea angulares + rea platabanda)
800(total)
12
190
e1=18
10
e2=40
z
d2
d1
( simtrico ) ( simtrico )
4
2323
)()()(
cm9,1351923,3116628,19650451200
5,04011911912125,2409,131044802,1
121
Z
splatabandaZangularesZalmaZZ
I
IIII
Z
AZ
ImTf
1
1
N/mm72,37N/cm2,3779,135192
181240000cm1812)5,240(9,132)5,040(119
1
31
f
m AZ
68 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Esfuerzo a transmitir por cada roblon:
Esfuerzo cortante a transmitir por los roblones angulares-ala, por unidad de longitud:
(A2 = rea ala)
Esfuerzo que debe transmitir cada robln:
mm15,10
9,102421416,32
18072,374
424
1416,321802,377
42
1
21
21
21
11
d
d
d
def admW
S
Z
AZ
ImTf
2
2
mm86,9
424
1416,32
40002,1642
2
22
2222
d
d
defadmW
S
N/mm02,16N/cm2,1609,135192
5,76940000cm5,769)5.040(119
2
32
f
m AZ
5 Dimensionado de secciones o flexin 69
Problema 5.7 *
Se construye una viga cajn compuesta de dos tipos de madera:- ALMA: tablero contrachapado e = 25 mm E2 = 8000 N/mm2
- ALAS : seccin cuadrada 200 200 mm E1 = 10000 N/mm2
a) Calcular la distribucin de tensiones en la seccin central.b) Calcular la tensin tangencial media en el adhesivo de
contacto ( Wadm = 1 N/mm2 ).c) Calcular la flecha central
Resolucin:
a) Se trata de una seccin compuesta de dos materiales.Se decide homogeneizar la seccin de madera maciza y, por tanto, trabajar con un espesorequivalente, e*, del tablero contrachapado. As, la relacin de equivalencia:
25,18000
10000
2
1 EEn
El espesor equivalente
mm2025,1mm25*
nee
La posicin del baricentro de la seccin es inmediata por razn de simetra. El momento deinercia de la seccin homognea es:
48323 mm1023610002012125002002002200200
1212 ZI
500
500
200 200
25
=
=
10 m
p =10 KN/ m
200 200
1000e* = 20
Steiner
70 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensin en la madera maciza:
yI
MyZ
Zx )(1V
Tensiones reales en el tablero:
ny
IMy
Z
Zx
1)(2V
As:
2481
2481
N/mm1,2mm400mm10236
mmN10001000125)mm400(
N/mm2,3mm600mm10236
mmN10001000125)mm600(
y
y
x
x
V
V
En el tablero contrachapado n = 1,25
248
6
2 N/mm1,2mm500mm10236mmN10125
25,11)mm500(
yxV
400
500
e* =20
Vx1Hx
G
e*
3,2
2,1
3,2
2,1
Vx2
2,1
2,1
Mmx = mKN12581 2 pL
Tmx = KN5021 pL
T
M
5 Dimensionado de secciones o flexin 71
b) Tensin media en el adhesivo
Frmula de Collignon:
bImT
Z
AZy
med
W
Ty: esfuerzo cortante en la seccinIZ: momento de inercia total respecto ZmZA: momento esttico de la seccin A respecto al eje Zb: linea AB
248
2
N/mm2,0mm1002mm10236
mm500mm200200N50000
medW
Este valor es inferior a la tensin tangencial admisible en el adhesivo = 1 N/mm2
c)
mm5,51023610000
1000010384
5384
58
4
ZIELPf
Valor aceptable, ya que mm10100010000
1000 L
G
y
x
z
d
A
100 mm
Wmed
72 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.8 *
La figura representa una seccin armada doblemente simtrica. Calcular Mel.z , Mpl.z y el coeficiente \para los dos casos.
a) Material alas: Fe E 235 Material alma: Fe E 235
b) Material alas: Fe E 35 Material alma: Fe E 235
(Puede comprobarse que la seccin se plastificacon la ausencia de abolladuras elsticas oelastoplsticas. No se consideran inestabilidadesglobales : pandeo, vuelco lateral)
Resolucin:
a) Mismo acero.
Al tratarse de una seccin doblemente simtrica el eje neutro plstico pasa por el baricentro G.
Caso elstico:
44233 mm104843065,122530025300121212800
121
ZI
3344
mm107210mm5,12
mm10484306 max
ZZ y
IW ( = Wel.z )
Gz
y
== 800 12
== 300 25
== 300 25
25
Ve = 235 Ve = 235
Ve = 235 Ve = 235
Eje neutroplstico
Mel.z Mpl.z
A1 Ve
A2 Ve
d1
y
z
12,5
GEje neutroelstico
G
d2
5 Dimensionado de secciones o flexin 73
mKN1694mm
N235mm107210 233
.. ezelzel WM V
Caso plstico:
> @ mKN19052
400235124005,122352530022 2211.
# dAdAM eezpl VV
Coeficiente \:
12,116941905
.
. zel
zpl
MM
\
b) Diferente acero.
Caso elstico
Tiene las mismas constantes mecnicas IZ, WZ, pero la tensin en la fibra extrema
355250400425235 maxV
mKN1802250107210 3.. maxzelzel WM V
Caso plstico
mKN2648mm
N235mm
N3552 222211.
# dAdAM zpl
Coeficiente \:
47,118022648
.
. zel
zpl
MM
\
Vmax Ve = 355
Ve = 235 Ve = 235
Eje neutroplstico
Mel.z Mpl.z
A1 Ve
A2 Ve
d1d2
Ve = 235 400
425
6 Flexin desviada y flexin compuesta 75
6 Flexin desviada y flexin compuesta
76 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 6.1 *
Hallar el punto de la seccin con mayor tensin normal, y el valor de esta tensin.
Resolucin:
a) Determinacin del momento flector mximo
( en la seccin central x = 2 m )
30q
oq
1,5
y
z
1,57,5
1,5
18
kgm40008
420008
22
qlM max
q = 2000 kg/ml
4 m
6 Flexin desviada y flexin compuesta 77
oM es perpendicular a
oq y forma 30q
con el eje z. Los ejes y-z no son losejes principales de inercia. Vamos adeterminarlos.
b) Determinacin de los momentos de inercia principales Iy, Iz
Primero hallaremos el tensor de inercia en ejes y-z (no principales) y a continuacin lodiagonalizaremos, para hallar los momentos de inercia principales y sus direcciones (ejes principales)
42
3'2'1
43'3
43'3
cm8,76725,195,15,75,15,19
121
cm06,55,118121
cm729185,1121
zz
y
z
II
I
Iz
2
3
1
y
y
z
M= 4000 mkg
30q
30q
oq
78 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
I3yz=0 por tener eje de simetra.
Tensor de inercia
Los momentos principales de inercia son los valores propios.
4'
4'
42
3'2'1
cm14,56654,280206,5
cm6,22648,7672729
cm54,28025,7
25,15,15,75,75,1
121
y
z
yy
I
I
II
4
''
4''2''1
cm3,835265,417
cm65,41725,775,075,095,15,70
zy
zyzy
I
II
14.5663,8533,8536,2264
'
''
''
'
yzy
zy
z
II
II
055,35458474,2830
03,83514,5666,226414,5666,2264
03,83514,5666,2264014,5663,835
3,8356,2264
2
22
2
OOOOO
OOO
O
r
4
42
cm19,2242
36,238274,2830
cm55,26062
36,238274,2830
255,354584474,283074,2830
O
4
4
cm19,224cm55,2606
y
z
IIMomentos de inercia
principales
( cm4 )
6 Flexin desviada y flexin compuesta 79
Los vectores propios sern las direcciones principales.El vector propio correspondiente al valor propio 2606,55 cm4.
041,20403,83503,83595,314
11
11
yz
yz
nnnn
D24,22409,0arctg
409,03,835
95,341tg 11
D
Dz
y
nn
Ecuacin del eje neutro.
67,5758,1tg EEzy
kgm36,396324,2230cos4000kgm54076,7sen4000
24,2230sen4000
D
D
D
z
y
M
M
zy
zy
zI
My
IM
x
x
y
y
z
zx
86,24005,152
19,22410540
55,26061036,3963 22
V
V
V
zy
zy
zy
58,1
05,15286,240
86,24005,1520
Angulo que forma el eje neutro conel eje principal z:
y
z
y
z
22,24q
A(-8.25,9)
B(8.25,-9)
Eje neutro
22,24q
E
y
z
y
z
My
Mz
22,24q30q
7,76q
M
00
55,260614,5663,8353,83555,26066,2264
1
1
y
z
nn
80 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Relacin entre coordenadas de ambas referencias.
'9256,0'3784,0'3784,0'9256,0yzy
yzz
Las tensiones mximas aparecen en los puntos ms alejados del eje neutro ( A y B )
Para A
Tensin en A:
Tensin en B:
9'25,8'
B
B
yz
2kg/cm11,2760)230,4(86,240452,1105,152 AV
9'
25.8'
A
A
yz
452,1199256,0)25.8(3784,0230,493784,0)25.8(9256,0
A
A
yz
2kg/cm11,2760230,486,240)452,11(05,152
452,11)9(9256,0)25,8(3784,0230,4)9(3784,0)25,8(9256,0
B
yz
V
''
24,22cos24,22sen24,22sen24,22cos
''
cossensencos
yz
yz
yz
yz
DD
DD
TTTT
6 Flexin desviada y flexin compuesta 81
Problema 6.2
Una columna tiene la seccin en cruz indicada en la figura. La fuerza resultante es de compresin (50Tn) y pasa por el punto A. Hallar la tensin normal en B y dibujar el eje neutro.
Resolucin:Trasladando la fuerza al centro de gravedad Gde la seccin, los esfuerzos equivalentes son:
z
y
z
x
50 Tn
10
15
10
1015 15
B
A
( cm )
My=-875 cmTn
z
y
-50 Tn
Mz= 250 cm Tn
A
B
yMy= -875 cmTn
B
-50 Tn
Mz= 250 cmTn
A
G
z
Tncm250cm2
10Tn50
Tncm875cm2
1510Tn50
Tn50
z
y
M
M
N
82 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
a) Tensin normal en B
b) Eje neutro
zI
My
IM
AN
y
y
z
zx V
2cm800151523510
00087500025000050
A
zI
yIA yz
xV
433
433
cm167441515121210151010
121
cm816671010121215101515
121
y
z
I
I
zyx 16744000875
66781000250
80000050V 2kg/cm81,1906,35,62 zyx V
cm5,17cm5
zy
Coordenadas de B
2kp/cm47,299)5,17(81,19)5(06,35,62 BxV
42,2047,606,3
5,6206,381,19
81,1906,35,620
zyzy
zy
42,200
15,347,6
42,200
o
o
yz
zypara
para
42,200
yz
y
z B
eje neutro
zonatraccionadazona
comprimida
0
15,3yz
6 Flexin desviada y flexin compuesta 83
Problema 6.3
Sobre una columna de seccin rectangular ( 4035 cm), se aplican dos fuerzas excntricas: 30 Tn en elpunto P(y = 3, z = 4 cm) y 50 Tn en el punto Q (y = 0, z = -5 cm). Dibujar el eje neutro y hallar elpunto de mxima tensin normal.
Resolucin:
Trasladando las dos fuerzas al centro de gravedad G de la seccin obtenemos:
Tn805030
mTn9,003,030
mTn3,15.22,105,05004,030
N
M
M
z
y
5
z
y
3540
3 4
50 Tn30 Tn
P
Q
Mz= 0,9 mTn
80 Tn
C
D
A
B
y
z
My= 1,3 mTn
G
84 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Eje neutro:
zI
My
IM
AN
y
y
z
zx V
)kg/cm(7,666186
1300007,916142
90000140080000
cm7,6661864035121
cm7,9161423540121
cm14003540
2
43
43
2
zy
I
I
A
x
y
z
V
)mm,()cm,()N/mm(0696,00630,071,5)kg/cm(696,0630,014,57 22
enzyenzyzyzy xx VV
70,901,1630,014,57
630,0696,0
696.0630,014,570
o
zyzy
zy
70,90046,820
o o
yzzy
y
C
A B
D
eje neutro
(-90,70 ; 0)
(0 ; 82,46)
z
6 Flexin desviada y flexin compuesta 85
22
22
22
22
N/mm208,8kg/cm08,82)20(696,05,17630,014,57
N/mm424,5kg/cm24,5420696,05,17630,014,57
N/mm004,6kg/cm04,60)20(696,0)5,17(630,014,57
N/mm219,3kg/cm19,3220696,0)5,17(630,014,57
D
C
B
A
V
V
V
V
86 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 6.4
Se ha proyectado una sencilla estructura para soportar el tablero y la canasta de una pista debaloncesto. Se trata de un tubo de acero embebido en un bloque de hormign a 45 de la horizontalsegn se indica en la figura.Se supone que el estado de carga ms desfavorable es el que se produce cuando un jugador permaneceunos instantes sujeto al aro de la canasta, transmitiendo as todo su peso a la estructura en la formaindicada en la figura.Una vez estudiados los efectos dinmicos de esta accin, se estima que el esfuerzo mximo que eljugador puede llegar a transmitir al aro es de F = 2000 N y M = 106 Nmm.La estructura se quiere construir en tubo redondo de acero con espesor de pared de 4 mm.
Calcular el dimetro necesario, segn la tabla de perfiles normalizados, para que el descenso verticaldel punto P no exceda los 80 mm.
Notas importantes:- Considerar todos los esfuerzos de seccin para calcular el descenso de P.- Trabajar con la carga trasladada al punto P, como se indica en la figura.
P
45
L1
L0L
F
M
xy
z
L=4000 mmL0=1000 mmF=2000 NM=106 NmmA1=0,5 A
Tubo de acero.Espesor de pared:4mmE=2,1105 MPaG=8104 MPA
6 Flexin desviada y flexin compuesta 87
Resolucin:
Aplicamos el teorema de Castigliano al punto P en la direccin F:
x = L
x = L0
x = 0
F
M
x
dxd 2A
dxd A P
G
M
x
FM
xFMxM
ww
M
-
-
T T=F
1 wwFT
2FT
21
wwFT
-
-
88 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
ww
ww
ww AAA d
FN
EANd
FT
GATd
FM
EIMG
0 00 000 0
22
1222
1
2
22
2
L L L
L
L
L
L
Ldx
EA
F
dxAG
F
dxxEI
xFMdxAG
FdxxEI
xFMG
EALLF
GALLF
EILLF
EILLM
GAFL
EIFL
EIML
222
32
22
3200
30
320
20
30
20
AI3,17610389,3 8 G
Buscamos en las tablas de perfiles tubulares circulares:
Tubo A I G ( Dext x e) ( cm2 ) (cm4 ) (mm)
135 x 4 16,46 353,4 96 ( >80 ) 150 x 4 18,34 489,2 69,4 (
7 Torsin y esfuerzos combinados 89
7 Torsin y esfuerzos combinados
90 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.1
Una viga biempotrada est sometida a un momento torsor producido por una torsin uniformementerepartida. Hallar el MT mx y el ngulo de torsin mximo.
Resolucin:
Por ser una viga simtrica los momentos de empotramiento han de ser iguales.
2AP BA MM
022
,2
)(
AAA TT MxenxxM P
P
Diagrama de
momentos torsores: 2AP
2AP
x
A
MB
MA
P kgm/ml
B
A h
b
( b
7 Torsin y esfuerzos combinados 91
El ngulo de torsin mximo se tiene para la seccin central,2A x :
2
0
2
33
2
0
2
033
332
221
21)(
AA A
AAA
xxhbGK
dxxhbGK
dxhbGK
xM T PP
PP
T
84
1 223
32
AAA
PPT
hbGK
81 2
332
AA
PThbGK
G: mdulo de rigidez a torsin del material del eje
)1(2 Q
EG
K3 : coeficiente para secciones rectangulares, que depende de la relacin bh (ver tabla 5.87 del
captulo 5. Torsin)
92 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.2
Hallar los momentos en los empotramientos MA y MD. Dibujar el diagrama de momentos torsores.
Resolucin:
Es un problema hiperesttico.
Considerando por tramos:
a=30 cmb=50 cm
c=40 cm
AB
C
D
MD
MB=30000 Ncm MC=20000 NcmMA
cmkg500002000030000 DA MM
00 DCBAT MMMMM
0
300
IGM
IGaM A
o
AABBA
A
TTT
TTB-MAMA
AB
7 Torsin y esfuerzos combinados 93
0
40IG
M DCDDC
TTT
0 DT
Diagrama de momentos torsores:
1500000408050000
DA
DA
MMMM
cmN6,29166120
35000001500000408020000004040
ADA
DA MMMMM
cmN4,208336,2916650000 DM
29166,6
-833,4
-20833,4-20833,4
( Ncm )
A CB D
+
- -
50
o
BABCCB IG
MMTTT
0 DCCBBAD TTTT
0504030
o
BA
o
D
o
A
IGMM
IGM
IGM
15000004080
04015000005030
040503000030
DA
DAA
DAA
MM
MMM
MMM
MD
-MD = MA-MB-MC
CD
-(MA-MB)MA-MB
BC
94 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.3
Calcular para cada una de las secciones abierta y cerrada de la figura adjunta, sometidas a unmomento torsor Mx = 1000 Nm :
a) el valor y la posicin de la tensin tangencial mxima, Wmax .b) el momento de inercia a torsin, It .
Resolucin:
Seccin cerrada :Am: rea limitada por la curva media
a)
2
3
mx mmN77,5
mm530cosmm200mm200212
10Nmm10002
DeAM
m
xW
c) 44
2
22
mm101000mm52003
30cos200200214
44
D
esA
edsA
I m
s
mt
d)Seccin abierta:
x
y
z
5200 mm
Mx60q
60q
60q
G
Mx
x
y
zG
e
Wmax
7 Torsin y esfuerzos combinados 95
a)
2
3
3
3mx mm
N200mm5mm5mm200
313
10Nmm1000
31
eeb
M
ii
xW
b)
443 mm105,231
iit ebI
e
Wmax
96 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.4
Un panel est sujeto por un mstil horizontal, segn el esquema de la figura. Teniendo en cuenta elpeso propio del panel, el peso propio del mstil y la accin del viento, hallar las tensiones mximas enel empotramiento del mstil a la pared.Datos: Peso propio del panel P1= 90 kp Dimensiones 80200 cm Dimetro del mstil D =15 cm Empuje del viento f = 80 kg/m2
(Peso propio del mstil de acero: P2 = kp832415,0m6kp/m7850
23 S )
Resolucin:
kp12828,0mkg80 2 F
Seccin en el empotramiento. Esfuerzos:
kp128
kp922832900
z
y
x
TTN
520
F
P1
40
z
y
150
50
D=15 cmx
P2
40
My= 716,8 kpm
Tz =-128 kp
Mx= 64 kpmMz= -3000 kpm
Ty= -922 kp
x
z
y
7 Torsin y esfuerzos combinados 97
mkp30003832m)4,02,5(kp90
mkp8,716m)2,54,0(kp128mkp64m5,0kp128
z
y
x
MMM
Tensiones normales debidas a los momentos flectores:
mkp4,30848.7163000 22 FM
D4,133000
8,716 arctanD
24
2
kp/cm9,9302
15
6415
104,30842
SV D
IM
z
Fxmax
Tensiones tangenciales debidas al momento torsor:
24 kp/cm66,9
3215
2156400
SW
o
maxxmax I
rM
3000 kpmz
y716,8 kpm
D
MF = 3084,4 kpm
Wmax
y
zA
y
zV (+)
V (-)
BD
D
98 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensiones tangenciales debidas a los esfuerzos cortantes:
22
2222
kp/cm0,7
415
8,93034
34
kp8,930922128
SW
AT
TTT
max
yz
y
-922
-128
T
z
A
7 Torsin y esfuerzos combinados 99
Problema 7.5
Hallar las tensiones mximas en el empotramiento A y el giro, alrededor del eje x, de la seccin E. Elmomento torsor de 8 Tnm est aplicado en la seccin B.
Resolucin:
a) Tensiones mximas en el empotramiento A
Seccin A
mTn30310
mTn222534mTn122108
Tn4
Tn10Tn5
z
y
x
z
y
x
MMMTTN
z
y
x
Mt=Mx=12 Tnm
Mz=30 Tnm
My=22 Tnm
Ty=10 Tn
Tz=4 Tn Nx=5 Tn
z
y
x
10 Tn5 Tn
4 Tn
M= 8 Tnm
2 m
1 m1 m
1 m1 m C
B
D
A
Tx
E
F Tramo AC: = 40 cmTramo CE: = 10 cmTramo DF: = 10 cmMaterial: aceroG = 8,4105 kgf/cm2
100 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tensin normal debida al esfuerzo axil:
22 kp/cm97,3
440
5000
S
V x
Tensin normal debida a los momentos flectores:
D25,363022
mTn20,373022 22
arctan
M F
D
24 kp/cm59220
6440
3720000
S
V maxmaxx yIM
Tensin normal mxima total:2kp/cm59697,3592 maxV
z
y
V
30
MF
z
y
22
D
y
z
MF = 37,20 mTn
V (+)
V (-)
PD
D
7 Torsin y esfuerzos combinados 101
Tensin tangencial debida a los esfuerzos cortantes:
D2,684
10Tn77,10104 22
arctan
T
E
Distribucin parablica de W con una Wmax
22 kp/cm43,11
440
1077034
34
SW
AT
max
Tensin tangencial debida al momento torsor
24 kp/cm49,95
3240
201200000
S
Wo
maxxmax I
rM
La tensin tangencial mxima total
2kp/cm92,10649,9543,11 Amax WW
Aplicacin del criterio de Von Mises en el punto P
222
2
2
kp/cm5,6183)1(kp/cm49,95,
kp/cm596,
WVV
W
V
equiv
x
max
TM
MN
(1) En el punto P la tensin cortante debida al esfuerzo cortante T no es exactamente 0, pues es 0 en el punto Q, pero Q y P nocoinciden, ya que los ngulos D y E no son complementarios. Pero como estn muy prximos, y por tanto W debido a T ser muy pequeo,puede despreciarse frente a la W debida a Mx.
10
4
T
Q
y
z
E
E
Wmax
y
zA
B
102 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
b) Giro de la seccin C (alrededor del eje x)
Dibujamos el diagrama de momentos torsores
El giro alrededor del eje x enla seccin E ser el mismoque el de la seccin D.
10400 40
m1mT20m1mT20m1mT12
GIGIGIdxGI
ML
o
xxT
D98,13rad244,0
3210840000
1002000000
3240840000
1002000000
3240840000
1001200000444
SSST x
12 mT
A B DC
20 mT
1 m 1 m 1 m 1 m
20 mT
E
7 Torsin y esfuerzos combinados 103
Problema 7.6
Un rbol, de acero, debe de transmitir 120 CV a 600rpm desde la polea A a la B. La tensin cortanteadmisible para el material del rbol es Wadm = 420 Kg/cm2 y la tensin normal admisible es Vadm=728kp/cm2. Calcular el dimetro del rbol. Datos: F=2F , Q=2Q , rA=15 cm , rB=22 cm. (radios de laspoleas).
Resolucin:
Z xMP o ZPM x
srad602rpm1
W736CV1S
Nm1405
602600
736120
Sx
M
cmKg14324Nm1405 xM
Mx= FrA FrA = (2F F)rA = FrA
cmKg1432415 cF o Kg95515
14324 | cF
Kg19102 c FF
tambin Mx= QrB QrB
cmKg1432422 cQ Kg7,119312
14324 cQ
Kg4,23877,11932 Q
y
z
x
D
C
50 cm
50 cm
40 cm
A
B
Q
Q
F
FrBrB
rA
rA
104 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Diagrama de momentos en el plano xy :
Diagrama de momentos en el plano xz :
Kg28653 cF
D C
B
x
y 3Q= Kg3581
Mz
cm50cm50
x
23581 DR 2
3581 CR
cmKg89525502
3582, BzM
+
cmKg114600 cM
Myx
Kg1146 DR Kg4011 CR
cm100 cm40
57300501146
1146
BMxxM
DCBx
z
A
+
7 Torsin y esfuerzos combinados 105
Determinacin del momento flector en B ( combinando Mz y My):
cmKg12,1062925730089525 22 BM
El mximo est en C: cmKg114600 fM
Diagrama de momentos torsores:
cmKg14324,, AxBx MM
Determinacin del dimetro mnimo del eje.Aplicando el criterio de Von Mises:
223 3416 xfadm
min MMd
VS
223 1432431146004728
16
Smin
d
cm7.11 mind
Kg401111462865
Kg1146100
286540286540100
02865
C
D
D
DC
R
R
RRR
DC
Bx
y
A
-14324 cmKg
Mx
+14324 cmKg
106 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 7.7
En la figura se ha esquematizado la pieza desmontable de un enganche tipo cuello de cisne para elarrastre de caravanas de camping por parte de vehculos de turismo convencionales. La solicitacinsobre la bola corresponde a una hiptesis de carga de arrastre con fuerte pendiente.
a) Determinar para la seccin circular 6A los esfuerzos de seccin: normal, cortante, flector y torsor.
b) Dibujar para la misma seccin 6A la distribucin de tensiones normal y tangencial que provocaindependientemente cada esfuerzo de seccin. Indicar sobre el dibujo la posicin de la tensionesmximas para cada una de dichas distribuciones y calcular numricamente sus valores.
c) Como resumen del estudio, indicar la tensin normal mxima total y la tensin tangencial mximatotal.
Seccin 6A
I 40 mm
G
75 Kp50 Kp
400 Kp6A
150 mm
250 mm
O
yz
x
7 Torsin y esfuerzos combinados 107
Resolucin:
a) Esfuerzos de seccin
Kp50
Kp75Kp400
z
y
TTN
mmKp7875025075150400
mmKp1250025050mmKp750015050
z
y
x
MMM
Nota: El signo del valor numrico y el sentido del vector en el dibujo son redundantes.
b) Determinacin de las tensiones
x Esfuerzo normal Kp400 N
Distribucin uniforme de tensiones xV :
22mx, Kp/mm32,0
440
Kp400
SV
AN
x
x Esfuerzo cortante zy TTTGGG
Kp905075 2222 zy TTT
Distribucin parablica de W:
22mx Kp/mm1,0
44090
34
34
SW
AT
y
MzTz
MxN
z
x
G
Ty
My
Vx
G
GTz
TyT Wmx
108 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
x Momento torsor mmKp7500 xM
Distribucin de tensin W con una ley lineal radial:
24
0
mxmx Kp/mm6,0
3240
207500
S
WI
rM x
x Momento flector zy MMMGGG
mmKp797377875012500 2222 zy MMM
Distribucin lineal de tensin xV respecto al eje degiro:
24
mxmx, Kp/mm69,12
6440
24079737
c
S
VIyM
x
c) La tensin normal mxima total vale:
2mx, Kp/mm01,1369,1232,0 xV
La tensin tangencial mxima total vale:
2Kp/mm7,01,06,0 mxW
WmxWmx
Vx,mx
Mz
My M
Vx,mx
7 Torsin y esfuerzos combinados 109
Problema 7.8
Un tubo de acero I200 mm y de bajo espesor, e, constituye el soporte para el arrollamientomotorizado de una persiana segn muestra la figura adjunta.El peso propio de la persiana y el rozamiento de arrastre equivalen a una carga de q = 50 Kp/m, lacual se aplica excntricamente respecto de la directriz del tubo. La luz efectiva es L = 5 m, y sesupone simplemente apoyado en A y C.
a) Representar grficamente los diagramas de esfuerzos y calcular sus valores mximos.
b) Determinar el espesor mnimo del tubo para que se cumplan los siguientes requisitos:
- La tensin equivalente de von Mises en las secciones crticas 6A y 6B sea inferior aVadm=500 Kp/cm2.
- El corrimiento vertical GB d 1/1000 L.
NOTAS:
- Resolucin suponiendo el peso propio del tubo incluido en q.- Tubo de acero E = 2100000 Kp/cm2.- Valores aproximados para la seccin tubular de bajo espesor:
4
3
0ISeI |
8
3ISeI z | ISeA |
e
q
I200
6B 6C
A B C Motor
q=50 Kp/m
L= 5m
110 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolucin:
a) Determinacin de los diagramas de esfuerzos.
b) Caractersticas mecnicas de la seccin.
ISIS
ISI
IS
ISI
ISIS
eeA
eIWeI
II
eIWee
I
zzzy
m
#|
22
42
82
22
44
230
20
0
33
0
mKp25,15655081
81
2
2mx,
LqM yz
Kp1252mx, LqT yy
mKp25mx, xM
Mz
Ty
Mx
qy=50 Kp/m
25 mKp
125 Kp125 Kpmx=500,1= 5 mKp/m
+
+
-
+
qy=50 Kp/m
z
y
I/2 = 0,1 m
7 Torsin y esfuerzos combinados 111
c) Comprobacin de tensiones en la seccin central 6B.
z
zx
z
WM
M
mx,
mKp25,156
V
^ 0 yT
0mx
mKp5,12
WM
M
x
x
W
Aplicando el criterio de falla de von Mises:
mm1cm1,0500
8,112474
Kp/cm500
220
12503
420
15625
Kp/cm5003
22
2
2
22mx
2mx,
t
d
d
ee
eeequiv
xequiv
SSV
WVV
Comprobacin de tensiones en la seccin extrema 6C
^ 0 zM
AT
T
yT
y
2
Kp125
mxW
0mx
mKp25
WM
M
x
x
W
z
Wmx
Wmx
WmxWmx
Ty
zVmx
Vmx
112 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Apliando el criterio de falla de von Mises:
mm2,0cm02,0500
5,475,47
Kp/cm500
220
25002021253
Kp/cm50030
2
2
2
22mxmx
t
d
d
ee
eeequiv
Tequiv
SS
V
WWV
Con el espesor anterior de e = 1 mm, las tensiones en la seccin extrema 6C son de Vequiv |100 Kp/cm2.
d) Comprobacin del corrimiento vertical de la seccin central GBd L / 1000 = 5 mm.
mm53845 4 d
zB EI
LqG
cm5,0
8cm20Kp/cm2100000
cm500Kp/cm100
5
3845
32
4
d
eB S
G
Despejando el espesor de la ecuacin e = 0,123 cm o 1,3 mm.
En conclusin, para verificar los requisitos de resistencia y deformacin el espesor e t 1,3 mm.Una solucin comercial sera I200 x 1,5 mm.
q
GB
L
7 Torsin y esfuerzos combinados 113
Problema 7.9 *
Un perfil angular de alas iguales es utilizado como carril de rodadura.
a) Determinar las tensiones normales y tangenciales mximas en la seccin del empotramiento.b) Determinar el movimiento del perfil, calculando el corrimiento total del punto A.c) Comentar el diseo y proponer mejoras.
L = 500 mm
A
A
P = 500 N
Zy
z
yz
x
b = 100
100
e = 5
C
A
G
r
Material: acero
E = 210000 N/mm2 G = 84000 N/mm2
114 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Resolucin:
Por razones de simplicidad se trabaja con la curva media del perfil de espesor constante y acuerdorecto. (*)
- El eje de simetra proporciona las direcciones principales centrales yy zz.- El baricentro G cumple la condicin:
dAy0 dAz0
- El centro de cizalladura C ( de torsin )coincide
con el punto de encuentro de los elementos.
- Los momentos de inercia y mdulos resistentes.
34
mx
32
0
2
mm23574mm7,70
mm1666666
31
222
yIW
ebdsesdAyI
zz
b
z
(*) Tambin, pueden obtenerse estas caractersticas de la tabla de perfiles del fabricante con mayorprecisin ( sin utilizar la simplificacin inicial , v = 0 ).
C
s
ds
y
Gz
70,7
70,7
y
z
C= =
=
=
G
35,35
35,35
7 Torsin y esfuerzos combinados 115
34
mx
32
20
2
mm11786mm35,35mm416666
121
222
zI
W
ebdsesdAzI
yy
b
y
433 mm83333
231 ebebI iit
a)
s
ds
y
Gz
z
bi
ei
GC
Mzy
z
Ty
P
Tz
G
My
Mx
z
P
C
116 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
^
mmN17677722mx
mmN17677722mx
mmN50000
N35322
N35322
LPM
LPM
bPM
PT
PT
z
y
x
z
y
x Tensiones normales Vx debidas a la flexin desviada My , Mz.
- Para My
23mx mmN15
mm11786Nmm176777
y
y
WM
V
- Para Mz
23mx mmN5,7
mm23574Nmm176777
z
z
WM
V
x Tensiones tangenciales debidas a la torsin uniforme o de Saint Venant (ya que IZ | 0 en este tipode secciones).
UNIFORMENOTORSIN
x
UNIFORMETORSIN
xtx dx
dEI
dxd
GIM 33TT
Z
Ty , Tz
Mx
My , Mz
L = 500 mm
Mz
y
z
+7,5 N/mm2
-7,5
+15
G
My
-15
7 Torsin y esfuerzos combinados 117
22mx
24mx
mx
mmN5,22
mmN30
43
43
mmN30
mm8333mm5mmN50000
W
Wt
x
IeM
mmrad1014,7
mm8333mm
N84000
mmN50000 54
2t
xx
GIM
dxdT
x Tensiones tangenciales debidas al cortante Ty , Tz.
Aplicamos superposicin: WTOTAL= W + W
Ty :
ebP
y
yeI
mT
z
Azy
43quedemuestrasetedirectamen
mmN75,0
mm5mm16666662
mm22100
5100N353
.,0Para
segnvariable
mx
24
3
mx
mx
1
W
W
W
W
Mx Wmx = 22,5 N/mm2
Wmx
e
Wmx
Wmx = 30 N/mm2
100
y y
G
A1
C
Ty
0,75
0,75z
118 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Tz :
c
c
c
ebP
z
zeI
mT
y
Ayz
43quedemuestrasetedirectamen
mmN75,0
mm5mm4166662
mm2250
550N353
.,0Para
segnvariable
mx
24
3
mx
mx
1
W
W
W
W
Se demuestra que
2mmN35,1
5100500
2027
2027
Neb
PmaxTOTALW
Obsrvese que en el ala horizontal debe anularse la distribucin de tensiones tangenciales, ya que solotenemos fuerza vertical de 500 N.
Composicin de tensiones:
Punto
)M(mm
N5,22
)MM(mm
N5,7mm
N15
x2
zy22
W
V x
1,35
500 N
C0,75
0,75
3
1
2
1
50y
G
A1
C
Tz
0,75
0,75z
z
WTOTAL
7 Torsin y esfuerzos combinados 119
Punto Punto
)T,T,M(mm
N0,75mm
N30
)M(mm
N15
zyx22
y2
W
V x
)M(mm
N5,22
)MM(mm
N5,7mm
N15
x2
zy22
W
V x
De los puntos estudiados, el es el ms desafavorable.Aplicando Von Mises
22222
mmN455,2235,223 WVV xequiv
Ante la duda que exista un punto con una combinacin ms desfavorable y dada la complejidad delproblema, es posible tomar los valores mximos correspondientes a cada esfuerzo (aunquefsicamente no estn en el mismo punto). As
22222
mmN8,58)35,130(3)5,715(3 WVV xequiv
Esta operativa est contemplada en diferentes normativas.
b)
Se desprecian los corrimientos debidos al esfuerzo cortante Ty , Tz.
2 3
1
Ldx
d xx
TTF
IELF
3
3
G
Tx
Mx
C
120 Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Corrimiento segn el eje y debido a la flexin Mz:
mm04,066666612100003
)500(22500
3
33
zy IE
LFG
Corrimiento segn el eje z debido a la flexin My:
mm17,04166662100003
)500(22500
3
33
zy IE
LFG
Amplificacin del giro debido al torsor Mx:
mm57,31005001014,7100100 5
L
dxd x
xT
TG
G
z
y
A1
C1
GyGz