RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I Problemas · Determine as componentes do tensor das deformações no ... também submetida a uma variação de temperatura. ... Os cilindros interior e

SECÇÃO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I

Problemas 1. Complementos de Estática 2. Cabos 3. Cálculo Tensorial 4. Tensões e Deformações em Meios Contínuos 5. Relações Tensão-Deformação: Lei de Hooke 6. Cascas Finas Axissimétricas 7. Esforço Axial em Peças Lineares 8. Flexão em Peças Lineares

João Carlos Gomes Rocha de Almeida

1. Complementos de Estática

1. Classifique as seguintes estruturas planas quanto às estatias exterior, interior e global, justificando. Identifique também os casos em que as ligações interiores ou exteriores se encontram mal distribuídas.

Figura 1-1

Figura 1-2

Figura 1-3

Figura 1-4

2

Figura 1-5

Figura 1-6

Figura 1-7

Figura 1-8

3

2. Considere as estruturas esquematizadas.

a. Determine todas as reacções de apoio. b. Trace os diagramas de esforços da estrutura, indicando todos os valores

necessários à sua perfeita definição.

Figura 1-9

Figura 1-10

Figura 1-11

[m]

15 kN/m 40 kN

A B C D E

2,0 2,0 2,0 2,0

Figura 1-12

[m] A

B

C D E

F

2,0 2,0 4,0 4,0

2,0 kN/m

5,0 kNm

3,0 kN 3,0

[m]

4,0

A

B C

D

4,0

30,0 kN

20,0 kN/m 10 kN/m

a

0M E

A B C

D F G

a a a

4a

4

Figura 1-13

Figura 1-14

[m]

R

q

C

B

D

A B

C D

E

2,0 kN/m

2,0

2,0

2,0 2,0 2,0 2,0

R

P

A

B C P

A

Figura 1-15

Figura 1-16

B A

2 kN/m 3,0

D 4 kN C [m]

3,0

5

3 kN/m 3 kN/m

D C 3 kN/m

3 kN/m 5 kN B E Planta

2,0

C D 4,0

[m] 2,0

E 5 kN A≡B A

Figura 1-17

3. Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a n cargas concentradas igualmente

espaçadas. A carga total aplicada é P, logo a intensidade de cada carga é P n . O comprimento da viga é L, logo o espaçamento entre as cargas é ( )1L n + .

A B

Pn

Pn

Pn

L 1

Ln +

1

Ln +

1

Ln +

...

...

Figura 1-18

a. Determine o momento flector máximo na viga. b. Compare o resultado anterior com o valor obtido para a mesma viga sujeita

a uma carga uniformemente distribuída com intensidade q tal que . qL P=

6

2. Cabos 4. O cabo ABCD está sujeito a duas cargas concentradas, como se representa na

figura. Determine: a. as reacções nos apoios;

b. a distância h; c. a força de tracção máxima no cabo.

P

A D

B

2 m

10 kN

5 m 4 m 9 m

C

h

8 kN

Figura 2-1

5. O cabo representado na figura encontra-se sujeito ao seu peso próprio, o qual é

igual a 60 N/m. Considere que a forma do cabo é uma parábola. a. Determine a força de tracção máxima no cabo; b. Determine o comprimento do cabo.

A B

f = 4 m

20 m

Figura 2-2

6. Considere de novo o cabo do Problema 5, mas admita agora que o cabo tem a

forma de uma catenária. a. Determine a força de tracção máxima no cabo; b. Determine o comprimento do cabo c. Admitindo que a flecha f pode variar, determine o valor de f para o qual a

tracção máxima no cabo é a menor possível.

7

3. Cálculo Tensorial

7. Efectue os seguintes desenvolvimentos no espaço tridimensional: a. Cj = AiBBij

b. δijxixj

8. Efectue o seguinte desenvolvimento no espaço bidimensional:

a. Bj = δikAijk+Akkj

9. Considere os referenciais (x1, x2, x3) e (x’1, x’2, x’3) indicados na figura.

x1

x'1x'2

x2

30º

x3=x'3

Figura 3-1

a. Escreva a matriz A dos cosenos directores que traduz a transformação de coordenadas xi→x’j.

b. Dado o vector 321 e4e3e2V rrrr−+= , calcule as respectivas componentes no

referencial (x’1, x’2, x’3). c. Dado o tensor T cujas componentes no referencial (x1, x2, x3) são

450513031

, calcule as respectivas componentes no referencial (x’1, x’2, x’3).

d. Determine os valores principais e as direcções principais do tensor T. e. Decomponha o tensor T nas suas parcelas isotrópica e tangencial.

10. Considere os referenciais (x1, x2, x3) e (x’1, x’2, x’3) indicados no Problema 9. a. Dado o tensor T cujas componentes no referencial (x1, x2, x3) são

204030401

, determine através da circunferência de Mohr as respectivas

componentes no referencial (x’1, x’2, x’3).

b. Determine através da circunferência de Mohr os valores principais e as direcções principais do tensor T.

8

4. Tensões e Deformações em Meios Contínuos 11. Na figura, representam-se as tensões actuantes num cubo elementar.

8025

40

90

x1

x2

x3

O

G

FE

D

C

BA

Nota: tensões em MPa

Figura 4-1 a. Escreva o tensor das tensões correspondente ao estado de tensão indicado. b. Determine a tensão normal e a tensão tangencial existentes numa faceta cuja

normal tem a direcção da diagonal BD. c. Determine os valores e as direcções principais de tensão. d. Determine a tensão tangencial máxima existente no cubo e a orientação

da(s) faceta(s) onde actua. 12. A placa da figura está sujeita ao seguinte campo plano de tensões: σ11= −40 x2 σ12= 20 x1 σ22= −80 x2 (xi em m, σij em MPa)

3

1

Figura 4-2 a. Mostre que na placa actuam as forças de massa X = 60 e2 (MPa/m). b. Determine os valores e direcções principais de tensão existentes no ponto P

de coordenadas (x1 = 0.5 m, x2 = 0.25 m).

9

13. O cubo representado na figura foi submetido a um estado de deformação

homogéneo que provocou as seguintes variações de comprimento das arestas: ΔAB = −0.06 mm ΔAD = 0.1 mm ΔAE = 0.04 mm

Sabe-se ainda que o ângulo ADH sofreu um aumento de 0.05º e que a direcção 2 é uma direcção principal de deformação.

Figura 4-3

a. Determine as componentes do tensor das deformações no referencial (1,2,3). b. Determine as extensões principais. c. Determine a distorção máxima existente no cubo e a orientação das fibras

entre as quais tal distorção ocorre.

14. Num ponto P de uma estrutura submetida a um estado plano de deformação colocou-se a roseta de extensómetros representada na figura, tendo-se medido os seguintes valores: εa = −10−3 εb = −2x10−3 εc = −4x10−3

b. Admitindo que as leituras de todos os extensómetros são exactas, determine a extensão indicada pelo extensómetro d.

Figura 4-4

a. Determine as componentes do tensor das deformações no referencial (1,2,3).

10

5. 15. placa de alumínio com

espessura de 6 mm. Submeteu-se depois a placa a um estado plano de tensão

metro CD;

6. A placa triangular representada na figura está sujeita a um estado plano de

deformação, conhecendo-se os deslocamentos indicados.

a e módulo de distorção igual a 80 GPa, determine o tensor

c. Sabendo que o

Relações Tensão-Deformação: Lei de Hooke

Desenhou-se um círculo com 10 cm de diâmetro numa

caracterizado pelas componentes normais σx = 80 MPa e σz = 140 MPa. Sabendo que E = 70 GPa e ν = 0,3, determine:

a. a variação de comprimento do diâmetro AB; b. a variação de comprimento do diâc. a variação de espessura da placa; d. a variação de volume da placa.

cm cm

Figura 5-1

1

a. Determine, no referencial indicado, as componentes do tensor das deformações.

b. Sabendo que o material é isotrópico e elástico linear, com módulo de Young igual a 200 GPdas tensões na placa referido ao sistema de eixos (1,2,3). Considere agora que, para além das deformações indicadas, a placa é também submetida a uma variação de temperatura.coeficiente de dilatação térmica do material é igual a 10−5/ºC, determine o valor da variação de temperatura para a qual o volume da placa deformada é igual ao seu volume inicial.

Figura 5-2

11

17. O aparelho de apoio OABC encontra-se sujeito a um estado plano de tensão que produz o estado de deformação homogéneo representado na figura, passando o aparelho a ter a forma do paralelogramo O’A’B’C’.

a. Determine as componentes do tensor das deformações no plano x1-x2. b. Determine a extensão que ocorre na direcção perpendicular ao plano da

figura. c. Determine o maior valor absoluto da tensão normal actuante no aparelho de

apoio e indique a direcção em que essa tensão é exercida.

18. A placa representada na figura é de aço e está sujeita a um estado plano de tensão,

admitindo-se que as tensões e as deformações são as mesmas em todos os pontos da placa. Colocou-se uma roseta de extensómetros em forma de triângulo equilátero na superfície da placa, tendo-se registado os seguintes valores: εa=2x10−4 εb=3x10−4 εc=4x10−4

a. Determine as componentes do tensor das deformações no plano x1-x2. b. Determine os valores e as direcções principais de tensão. c. Determine a variação de volume da placa. d. Determine a distorção máxima na placa e indique as direcções das fibras

entre as quais essa distorção ocorre.

Figura 5-4

Figura 5-3

x2

G=2 MPa

ν=0.3

O=O’ A=A’

CCB’ B

x1

100

400

1

4

(mm)

30E=210 GPa

ν=0.3 c b800

x ax3 2

x1

(mm800

12

19. Na figura representa-se a secção transversal de uma barragem, a qual se encontra sujeita a um estado de deformação plano e homogéneo, definido pelas seguintes componentes:

ε −

contínuo e escreva a expressão geral (sem determinar coeficientes)

b. ões de fronteira, determine os deslocamentos u1(x1,x2) e u2(x1,x2).

c. Determine a tensão tangencial máxima actuante na barragem e indique a direcção em que essa tensão é exercida.

11 = 5 x 10−4 ε22 = −8 x 10−4 γ12 = +10−4

a. Mostre que o campo de deslocamentos correspondente às deformações dadas édos deslocamentos u1(x1,x2) e u2(x1,x2). Com base na alínea a) e atendendo ainda às condiç

60ºO

x2

E=25 GPa

ν=0.2

A

C B

x1

3 3

Figura 5-5

13

. Cascas Finas Axissimétricas 6

ica de eixo vertical tapada na base por uapoioreserv de peso específico

20. Um reservatório consiste numa casca cilíndrma casca semiesférica, como indicado. O peso do sistema é suportado por um

contínuo distribuído ao longo do perímetro superior do cilindro. O atório encontra-se cheio com um líquido γ . Determine:

a. As tensões circunferenciais e

Figura 6-1

áximas na região semi-esférica.

21. Dois cilindros de parede fina encontram-se dispostos em paralelo como mostrado

na figura. Os cilindros interior e exterior são de cobre e aço, respectivamente. Determine as tensões circunferenciais em cada material devidas a um aumento de temperatura de 35ºC. Despreze os efeitos introduzidos pela expansão longitudinal dos cilindros.

longitudinais máximas na região cilíndrica.

b. As tensões m

R

6

6

205

12 10 º

90

17 10 º

aço

aço

cobre

cobre

E GPa

C

E GPa

C

α

α

−

−

=

= ⋅

=

= ⋅

Figura 6-2

22. Deduza a expressão da extensão volumétrica de um cilindro delimitado por uma

casca cilíndrica de parede fina submetida a uma pressão uniforme interna p . As extremidades da casca encontram-se limitadas por lajes circulares. Admita que a extensão radial é constante ao longo do comprimento.

R

H t

0,52 0,51

0,50

[m]

Aço

Cobre

Resistência de Materiais I

15

res

7. Esforço Axial em Peças Linea 23. Uma barra longa com a forma de um cone de revolução de comprimento L e

diâmetro d na base encontra-se suspensa na vertical sob acção do seu peso próprio (ver figura a). A barra tem peso próprio γ e módulo de elasticidade E.

d

Figura 7-1

24. Determine a forma que o pilar representado na figura deve ter tal que a tensão seja

igual em todas as secções transversais. Considere que o pilar está sujeito à força P e que o seu peso próprio por unidade de volume é γ.

L L

b a

a. Determine o deslocamento do vértice da barra cónica. b. Se a mesma quantidade de material for utilizada numa barra prismática de

secção circular e comprimento L (ver figura b), determine o correspondente deslocamento na extremidade livre.

L

P

Figura 7-2


25. ita à acção do seu peso próprio. Considere a barra encastrada no topo e suje

A

l2

l1 γ1=80 kN/m3

E1=200 GPa A1=30 mm2

l1=6 m

1

2

γ2=60 kN/m3

E2=100 GPa A2=30 mm2

l2=8 m B

CFigura 7-3

a. Determine o deslocamento vertical na secção B. b. Determine o deslocamento vertical máximo na barra.

26. Calcule as tensões normais na sec tão armado da figura quando esta se

encontra submetida a um esforço axial de 250 kN. Admita que os materiais têm c e o betão é perfeita e q

ção de be

omportamento elástico linear, que a aderência entre o aço ue as secções se mantêm planas após deformação.

8φ12

0,3

0,3

[m]

Eaço=210 GPa Ebetão=14 GPa

Figura 7-4

16


27. Considere a barra representada na figura, constituída por dois materiais perfeitamente aderentes.

0,3

0,5

[m] Eaço=210 GPa Ebetão=30 GPa

0,2

10,0

N N

aço

betão

a. Determine o ponto onde os elementos de redução das tensões são

nos dois materiais.

28. A barra representada na figura, de secção transversal uniforme, possui uma placa na sua extremidade inferior. Um peso P é libertado do topo da barra e cai livremente ao longo da barra até atingir a placa. Determine o alongamento máximo e a tensão axial máxima na barra devidos ao impacto do peso na placa.

Figura 7-5

equivalentes apenas a N. b. Supondo que o aço é substituído por betão, determine a área de betão

necessária para se terem as mesmas características de deformabilidade. c. Determine as extensões e as tensões instaladas

L

P

Figura 7-6

17


29. A barra prismática AB de comprimento L possui a meio vão (ponto C) um apoio elástico de rigidez k. Um bloco de massa m é largado sobre o ponto B à altura h.

m

k

A C B h

2L

2L

Figura 7-7 Admitindo que a barra AB é rígida e de peso desprezável, determine o deslocamento

áximo no ponto B, Bδm , devido ao impacto do objecto.

30. Ud ete u 1 2 são os declives das duas partes do diagram

m tirante comprido apoiado na sua extremidade superior é introduzido num poço e p tróleo e suporta uma carga P na extremidade oposta. O material do tirante

e Em ma relação constitutiva bilinear, como mostrado na figura, onde Ea.

σ A

L 100 MPa

P

E2=12 GPa

E1=75 GPa

B 0 ε

Figura 7-8

Determine o alongamento da barra devido ao seu peso próprio e à força P, sendo o peso específico 328 /kN mγ = , a área da secção transversal 2960A mm= , o comprimento

360L m= 92P kN .

e a carga =

18


31. Considere o sistema indicado na figura, constituído por cinco barras biarticuladas.

C

Figura 7-9

a. Determine os esforços nas barras. b. Calcule o deslocamento relativo entre os pontos A e B devido à deformação

axial elástica das barras utilizando: 1. princípio da conservação de energia; 2. princípio dos trabalhos virtuais;

32. m todos os movimentos. O sistema

encontra-se submetido a uma carga concentrada no ponto C e a uma diminuição uniforme de temperatura na barra CB.

3. considerações geométricas. As barras AC e CB possuem secção transversal constante, como indicado na figura. Os apoios nas extremidades impede

Fi

es deb. a de esforço axial nas barras; c. o deslocamento do ponto C;

L

P P A

D

B

50 kN

3 m 3 m

E1 = 200 GPa Ω1 = 40 mm2

gura 7-10 Determine:

a. as reacçõ apoio em A e C; o diagram

α1 = 10−5/ºC A B C

ΔT = −30ºC

E2 = 100 GPa Ω2 = 60 mm2

α2 = 2x10−5/ºC

EΩ = const.

19


33. Considere a treliça representada na figura seguinte.

L L

L

P

A B

C

( )ABEΩ

( )BCEΩ

( )ACEΩ

( ) ( ) ( )AC AB BCE E E EΩ = Ω = Ω = Ω

Figura 7-11

Calcule os deslocamentos vertical e horizontal do ponto C, C

vδ e Chδ , respectivamente.

ize: Para tal utila. equ tos; b. pri

34. onsidere a treliça representada na figura. Todas as barras têm rigidez axial

ações de compatibilidade de deslocamenncípio dos trabalhos virtuais.

C e EΩcoeficiente de dilatação térmica linear α. Para além das cargas concentradas P aplicadas nos pontos B e C, ocorre também um aumento uniforme de temperatura na barra EF de valor ΔT=P/α EΩ . Nestas condições, calcule:

Figura 7-12

utura;

F

L L L

L

E constΩ =

TE Δ

.

A B C D

P P

a. o grau de indeterminação estática da estr

b. os esforços axiais nas barras;. o deslocamento vertical em B. c

20


35. A treliça representada está sujeita a um aumento de temperatura de 40ºC na barra AC, a um assentamento vertical δ = L/100 nos apoios B e a uma carga vertical de 20 kN actuante no ponto C. Determine os correspondentes esforços normais nas barras, sabendo que todas elas têm módulo de elasticidade E = 200 GPa e coeficiente de dilatação térmica linear α = 12 x 10−6/ºC.

Figura 7-13

36. Admite-se que os cabos da estrutura seguinte têm comportamento elasto-plástico

perfeito, com E = 200 GPa e σc = 200 MPa. A deformabilidade da barra ADE pode ser desprezada face à das restantes barras. Nestas condições, determine:

Figura 7-14

a. a carga de cedência da estrutura;

b. o deslocamento vertical no ponto F para P=Pc;

so.

37. U a por dois materiais A e B, ambos com c c ar α = 12 x 10−6/ºC. O material da barra A

20 kN

A B B

C

L 2ΩΩ Ω L = 3 m

Ω = 4 cm2

Ω Ω

L L

A

B C

E, Ω

4 m 2 m

D E

E, Ω

F

P

2 m

3 m

c. a carga última e os esforços no instante do colap

ma barra heterogénea é constituídoefi iente de dilatação térmica line

21


pode considerar-se rígido-plástico e o da barra B elasto-plástico com endurecimento linear, como representado na figura.

Figura 7-15

Trace os diagramas de variação de te o e das deformaç s com a variação de temperatura em ambas as barras. Despreze os efeitos tridimensionais admitindo

nsã õe0ν = .

38. No poste representado na figura, os tirantes AB e CD são de aço macio com

comportamento elasto-plástico perfeito.

a. Determine a carga máxima P que pode actuar na estrutura sem provocar

estrutura.

A B

250 mm 250 mm

0,01

740 1

700 Material B[ ]MPa

σ−

700

Material A

ε

deformações permanentes nos tirantes. b. Determine a carga que provoca o colapso plástico da

39. Considere a estrutura representada na figura, onde todas as barras biarticuladas têm igual rigidez EΩ. A deformabilidade por flexão e por esforço transverso da

[ ]MPaσ

1 E

-235

E=210 GPa Ω=100 mm2

EΩ

Eε

235

Ω

2,0 0,3

3,0

P P

A B

C D

E

F

Figura 7-16

3,0

22


barra horizontal pode ser desprezada face à deformabilidade das barras biarticuladas, as quais têm comportamento elasto-plástico perfeito.

Figura 7-17

a. Determine os esforços nas barras em regime elástico e o deslocamento da

barra rígida em função de P. b. Determine a carga de cedência, Pc , e o deslocamento da barra rígida para

essa situação. c. rm colapso e o desl barra rígida para

essa situação. d. Na iminência do colapso, descarrega-s le o

correspondente deslocamento residual da barra rígida. e. Tendo em conta as alíneas anteriores, trace o diagrama carga-deslocamento

da barra rígida. f. Se a estrutura voltar a ser carregada, os valor s cargas de cedência e de

so di te dos valores determinados ac ? Justifique.

C

D

E F

l

l l P

cσ

σ

Dete ine a carga de , uP , ocamento da

e a estrutura. Calcu

es dacolap serão feren ima

A B

l43

ε

cσ− barra rígida

l = 4 m σc = 235 MPa E = 210 GPa

2Ω = 300 mm

23


40. tem a secção

indicada. Considere a estrutura representada na figura, na qual a barra AB

Figura 7-18

a. Determine as tensões nos materiais que constituem a secção da barra AB

devidas à carga p. b. Calcule o deslocamento vertical no ponto C devido à carga p, utilizando:

1. princípio dos trabalhos virtuais; 2. compatibilidade de deformações.

c. Determine a carga de colapso da estrutura, pu, associada à plastificação da barra AB, utilizando:

1. equilíbrio de forças; 2. princípio dos trabalhos virtuais.

A B

p

C

E D

( )1EΩ ( )1

EΩ

( )EΩ ( )2EΩ

2

2,52,5 2,5 2,5

2,5

( )( )

61

52

10 /10

10

[m]

p kN mE kN

E kN

=

Ω =

Ω =

Material B Material A

GPa

σ σ

2E =

348MPa

00a 3MPaε ε

30bE GPa=

348MPa− 30MPa−

Secção da barra AB

Material A 210a cmΩ =2100b cmΩ =

Material B

24


8 Flexão em Peças Lineares .

41. A viga representada na figura encontra-se submetida a um estado de flexão pura

no tramo BC. A secção transversal da viga é um perfil INP 140 (I = 57 300 cm4).

Figura 8-1

Determine: a. a tensão normal máxima na viga; b. o raio de curvatura no troço central; c. a flecha na secção C; d. o ângulo entre as secções sob os apoios da viga deformada.

42. Considere a estrutura seguinte.

Figura 8-2

a. De modo a tirar o máximo partido da

b. uação da alínea anterior a secção transversal a utilizar na rio de tensões admissíveis (

termine a posição das rótulas CD desecção transversal da viga AF. Dimensione para a sit

viga AF. Utilize um crité 210 MPaadmσ = ).

A B C D

E

P=10 kNP P

INP 140

3.8 [m] 3.8 0.8 0.8

p=60 kN/m

A

[m]

D C B F E

a a b

5.0 5.0 15.0

25


43. Um arame com módulo de elasticidade E, diâmetro t e comprimento L é flectido por momentos 0M originando um arco de circunferência cujo ângulo central é α .

L

A B 0M 0M

t

α

Figura 8-3

a. Trace os diagramas de tensões e deformações longitudinais. b. Se o ângulo central aumentar, a tensão máxima irá aumentar ou diminuir?

uma força concentrada P e tem a secção indicada

na figura. Se a tensão admissível for 120 MPa, determine o valor máximo de P. 44. A viga esquematizada suporta

Figura 8-4

45. Considere uma viga de aço com secção em U, carregada como se indica na figura.

Determine as tensões máximas de tracção e compressão devidas à flexão.

10

P

0,5 1,5 [m]

[mm]

10

30

30

10

30

10

15 15

C B A

20 kN/m 10 kN

3

⋅m

Figura 8-5

1 1 [m]

[mm]

40 225 40

0 40

20

26


46. Uma viga de secção transversal circular tem a geometria indicada na figura e está sujeita a uma força vertical a meio vão. Determine a localização do ponto on e docorre a tensão máxima de flexão e o valor dessa tensão.

Figura 8-6

47. Considere uma viga em consola A cção rectangular de largura bx e altura

h tribuída q. Se a la r

B com sex variáveis. A viga está sujeita a uma carga uniformemente disrgu a variar linearmente em x de acordo com a expressão bx = bB(x/L), determin

expressão de hB e

a a mesma.

x para que a tensão máxima em todas as secções da consola seja

Figura 8-7

48. A viga representada na figura tem secção transversal em L com as características

geométricas indicadas.

P

x 2d

y

d

L2

L2

L

x

Bhxh

q

xh

xb

Bh

Bb

B

A

27


P

Figura 8-8

Determine:

49.

a. a posição da linha neutra; b. o diagrama de tensões normais na secção de encastramento.

Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura.

Figura 8-9

[m]

Secção Transversal

A-A

0,25

p=14 kN/m

0,25

1,25

0,8

N N

[m]

A

A

N

5,0 10,0

A B

P=5kN

2,0 m

200

57,368

57,368

200

20

20

[mm]

G

Ix=Iy=2880, 070 cm4

Pxy= −1705,263 cm4

y

x

a. Desenhe o núcleo central da secção, indicando as coordenadas dos seus

vértices.

28


b. Determine a força N a aplicar ao nível da extremidade inferior do núcleo central para que não ocorram tensões de tracção na secção de momento flector máximo.

c. Trace os diagram ais na secção A-A. 50. sidere o pórtico triar c se

constituída por um perfil HEB 260

as de tensões norm

Con ticulado representado na figura, uja cção transversal é .

Figura 8-10

a. Desenhe o núcleo central da secção, indicando a posição de todos os vértices. b. Localize o centro de pressões da secção C-C. c. Represente o diagrama de ormais na secção C-C, indicando os

100 kN/m

1,5 [m] 1,5 1,5

1,5

1,5

1,5

B-B

[mm]

HEB 260 A=118,40 cm2

Ix=14919 cm4

Iy=5135 cm4 260

260

10

24

y

y

A-A C-C

1,5

x x

17,5

tensões nvalores significativos e a posição da linha neutra.

29


51. Uma viga de aço com secção em T é reforçada por duas vigas de madeira.

Figura 8-11

Sabendo que a secção está sujeita a um momento flector de +50 kNm, determine: a. a tensão máxima na madeira; b. a tensão máxima no aço.

52. Uma laje de betão armado (Ebetão = 30 GPa, Eaço = 210 GPa) tem 12,5 cm de

espessura. Os varões de aço têm 16 mm de diâmetro, 125 mm de afastamento e estão colocados 25 mm acima da face inferior da laje. Sabendo que o betão não resiste à tracção e que na laje actua um momento flector por unidade de comprimento de +12 kNm/m, determine:

a. a tensão máxima no betão; b. a tensão no aço.

53. A placa indicada está assente num solo não resistente à tracção e de

comportamento elástico à compressão, com uma tensão admissível de 400 kPa.

ado à placa.

200

300

[mm]

Emadeira= 12,5 GPa Eaço= 200 GPa

20

75 75 20

Figura 8-12

a. Para M = 80 kNm, trace os diagramas de tensõ es normais no solo. b. Para M = 120 kNm, trace os diagramas de tensões normais no solo.

Determine o maior momento M que pode ser aplicc.

300 kN M

2 m

1 m

30


54. Determine a equação da elástica das seguintes estruturas.

H

A

B C

P

EI = const.

L

Figuras 6-13 e 6-14

55. Numa a de vão L e largura s acumula-se um líquido de

peso específico sequente aumento da deformação da viga faz com que se acumule mais líquido. Suponha que a configuração do eixo da viga antes da

viga simplesmenγ. O con

te apoiad

aplicação do líquido é w1(x) = w0sen(πx/L).

Figura 8-15

a. Determine a equação da elástica da viga. b. Trace os diagramas de esforço transverso e momento flector.

L

x

y

p s wγ=

A B

1w2w

50 kN I I 2 I

1,0 3,0 1,0 [m]

31


56. Determine a força P e o momento M que é necessário aplicar na extremidade de ha na extremidade livre

seja δ e a rotação seja nula. Considere que a rigidez de flexão EI é constante ao longo do eixo longitudinal da peça.


uma viga em consola de comprimento L para que a flec

Figura 8-16

a. Det ne o diagrama de momento flector da estrutura. b. Determine o deslocamento vertical em C devido ao carregamento indicado.


ermi

Figura 8-17

a. Mostre que o momento flector na secção de encastramento pode variar entre e PL− 4PL+ , dependendo do valor da rigidez da mola.

b. ento vertical no ponto C. c. Determine os esforços na estrutura devidos apenas a uma variação

igual a

Calcule o deslocam

diferencial de temperatura na barra AC T+Δ e nas faces

L/2

P/2

A

B C D

L/2

L

P

Barra AB EI EΩ=∞

Barra BD EI

L/2

A B C

L/2

P Barra AC EI h=L/10

T−Δ

D K

inferior e superior da viga, respectivamente.

32


59. Quando descarregada, a face inferior da viga metálica (EI = 8400 kN⋅m2) representada na figura, está a uma distância d=0.3 cm do apoio central B.

Figura 8-18

Determine: a. a reacção vertical no apoio B; b. a rotação no apoio A.

60. Considere a estrutura hiperstática representada na figura. O tirante AC tem

módulo de elasticidade igual a 200 GPa e a área da sua secção transversal é igual a 10 cm2. O módulo de elasticidade da barra ABC é 30 GPa.

Figura 8-19

Considerando deformabilidade axial e de flexão, determa. as coordenadas do centro d a secção S;

3 m

kN/m

B C

[m] 3 m

0,3 cm

4,0

10 kN

A C

[m]

45º

1,0

Secção S

[cm] 30 x2 S

p=6

A

B 50

x1

ine: e pressões n

b. o diagrama de tensões normais na secção S; c. o deslocamento vertical do ponto B.

33


61. Um projéctil P, com 20 g de massa e velocidade de 300 m/s, atinge o ponto B da viga esquematizada, a qual tem secção quadrada. Sabendo que o material da viga tem um módulo de elasticidade de 210 GPa e uma tensão admissível de 160 MPa, dimensione a secção transversal da viga.

Figura 8-2

62. O secção rectangular de 0,6 x 1,0 m.

Figura 8-21

Determine: a. as tensões normais na secção B; b. a flecha no ponto B (despreze a deformabilidade por esforço axial).

63. O anel representado na figura tem um diâmetro médio de 500 mm uma secção

transversal circular com um diâmetro de 80 mm. Para uma tensão ad vel de 40 MPa à tracção e à compressão, calcule a carga máxima admissível P.

P

0,5 1,5

C B A

[m]

0

arco semicircular representado na figura tem

90 kN

e missí

P P

0,6 0,6 3,6 3,6 [m]

E =10 GPa

B

A C

Figura 8-22

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I Problemas · Determine as componentes do tensor das deformações no ... também submetida a uma variação de temperatura. ... Os cilindros interior e

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