Resist en CIA de Materiales I

Resistencia de Materiales IResumenes y Problemas de Clase

Departamento de Mecanica Estructural y Construcciones Industriales U.D. de Resistencia de Materiales

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales de Madrid Curso 2006-07

Anotaciones

Presentacion

Estas notas se han concebido como material de apoyo didactico para la asignatura de “Re-sistencia de Materiales I”, asignatura semestral que imparte el Departamento de Mecanica Es-tructural y Construcciones Industriales de la ETS de Ingenieros Industriales de Madrid. Sepretende dar al alumno la posibilidad de contrastar con ellas sus apuntes de clase y, de estamanera, ayudarle a comprender mejor las ideas transmitidas por el profesor.

De acuerdo con los objetivos de la asignatura, se proporciona primero una introduccion ala teorıa de la elasticidad lineal, para luego particularizar los conceptos basicos de esta teorıaen el estudio del solido prismatico, objeto de la resistencia de materiales clasica. La resistenciade materiales se presenta ası como un caso particular de la teorıa de la elasticidad, cuando seasumen determinadas hipotesis cinematicas sobre el movimiento de las secciones transversales delsolido prismatico. Siguiendo el temario de la asignatura, en esta segunda parte, tras introducirel concepto de esfuerzo, se analiza unicamente el estado de traccion-compresion. El analisis dela torsion, la cortadura, la flexion y las solicitaciones combinadas se deja para la asignatura de“Resistencia de Materiales II”.

El contenido de estas notas se ha dividido en 25 lecciones, correspondientes a los puntosincluidos en el temario de la asignatura. Al final de cada leccion se incluyen problemas resueltos,cuyo objeto es ilustrar los conceptos mas importantes.

No se trata de remplazar los muchos libros de texto que, desde diferentes opticas, abordan lateorıa de la elasticidad y la resistencia de materiales. Por el contrario, la idea ha sido componerun resumen introductorio, escrito en un lenguaje asequible, que sirva de punto de partida parala consulta de esos libros. Ası, para facilitar esta labor, en las paginas finales se incluye una listade referencias bibliograficas donde el alumno interesado puede ampliar los conceptos expuestos.

Madrid, septiembre de 2006

I

II

Indice

1. Equilibrio Interno. Vector tension. 11.1. El solido elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Acciones exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Equilibrio estatico y elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Componentes intrınsecas del vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Obtener componentes intrınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Matriz de tensiones 92.1. Tensiones sobre planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Estado tensional en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1. Calculo de matriz de tensiones y vector tension . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Ecuaciones de equilibrio 193.1. Ecuaciones de equilibrio interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio . . . . . 22

4. Tensiones principales 254.1. Tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Invariantes de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. Elipsoide de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5.1. Calculo de tensiones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Cırculos de Mohr 315.1. Cırculos de Mohr en tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Representacion de tensiones en los cırculos de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1. Componentes intrınsecas del vector tension . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2. Calculo de la orientacion del vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III

5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.4. Tensiones maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5. Estados tensionales cilındrico y esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.1. Estado cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.2. Estado esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.6.1. Representacion de un estado tensional en el diagrama de Mohr . . . . . . 445.6.2. Obtencion de tensiones principales con el diagrama de Mohr . . . . . . . . 46

6. Concepto de deformacion 496.1. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2. Matrices de giro y deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3.1. Calculo de la matriz de deformacion y el giro en el entorno de un punto . 53

7. Deformaciones longitudinales y transversales 557.1. Ecuaciones cinematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.2. Significado de los terminos de la matriz de deformacion . . . . . . . . . . . . . . 567.3. Deformacion segun una direccion: galgas extensometricas . . . . . . . . . . . . . 587.4. Distorsion de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.5.1. Calculo de variaciones de longitud y de angulos . . . . . . . . . . . . . . . 60

8. Deformaciones principales. Deformacion volumetrica 658.1. Deformaciones y direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.2. Invariantes de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3. Variacion unitaria de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.4. Deformacion volumetrica y desviadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.5.1. Galgas extensometricas y deformaciones principales . . . . . . . . . . . . 68

9. Comportamiento elastico. Constantes elasticas. 719.1. Ensayo de traccion simple. Ley de Hooke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2. Deformacion en sentido transversal. Coeficiente de Poisson. . . . . . . . . . . . . 759.3. Comportamiento elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

10.Leyes de Hooke generalizadas. Ecuaciones de Lame. 7710.1. Leyes de Hooke generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.1.1. Sistema de referencia principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.1.2. Sistema de referencia general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10.2. Modulo de elasticidad transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.3. Modulo de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.4. Deformaciones y tensiones de origen termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8110.5. Ecuaciones de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

IV

10.6.1. Deformacion con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8310.6.2. Determinacion de constantes elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.El problema elastico. Principio de Saint-Venant. 8711.1. Planteamiento general del problema elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.2. Principio de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.3. Principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11.4.1. Aplicacion del principio de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

12.Estados elasticos planos 9512.1. Estados elasticos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12.1.1. Deformacion plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9512.1.2. Tension plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2. Direcciones y tensiones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

12.3.1. Suma de estados tensionales planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.3.2. Orientacion del corte de una chapa con defectos . . . . . . . . . . . . . . . 10212.3.3. Comparacion entre estados tensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.Trabajo de las fuerzas aplicadas. Energıa elastica 10713.1. Concepto de energıa de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10713.2. Coeficientes de influencia y de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

13.2.1. Coeficientes de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10713.2.2. Coeficientes de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13.3. Calculo de la energıa de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.3.1. Calculo en funcion de las fuerzas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . 10913.3.2. Calculo en funcion de los desplazamientos eficaces . . . . . . . . . . . . . 11013.3.3. Calculo en funcion de las matrices de tension y deformacion . . . . . . . . 11113.3.4. Unicidad de la energıa de deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

13.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.4.1. Matriz de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.4.2. Ciclos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

14.Principio de los trabajos virtuales 11714.1. Tensiones y fuerzas estaticamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11714.2. Desplazamientos cinematicamente admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.3. Ecuacion de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11814.4. Principio de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.5. Principio de las fuerzas virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

V

15.Teoremas energeticos 12315.1. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12315.2. Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12415.3. Teorema de Menabrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12515.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

15.4.1. Calculo de reacciones hiperestaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12615.4.2. Aplicacion del teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

16.Deformacion anelastica y rotura 12916.1. Finalizacion del comportamiento elastico: materiales ductiles y materiales fragiles 12916.2. Tension equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13016.3. Coeficiente de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

17.Criterios de fluencia 13317.1. Criterios de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

17.1.1. Tension tangencial maxima (Tresca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13317.1.2. Energıa de distorsion maxima (von Mises) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13417.1.3. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

17.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13617.2.1. Plastificacion de una placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

18.Criterios de rotura fragil 13918.1. Criterios de rotura fragil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

18.1.1. Tension principal maxima (Rankine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13918.1.2. Criterio simplificado de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

18.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14018.2.1. Coeficientes de seguridad segun el criterio de Mohr . . . . . . . . . . . . . 14018.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeficiente de seguridad dado . . . . 142

19.Hipotesis de la Resistencia de Materiales 14519.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14519.2. Definicion de solido prismatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14519.3. Hipotesis generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

20.Concepto de esfuerzo. Diagramas. 14920.1. Concepto de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14920.2. Esfuerzos normal y cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14920.3. Momentos de flexion y torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15120.4. Diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15320.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

20.5.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . 153

21.Condiciones de sustentacion y enlace 15721.1. Reacciones en las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15721.2. Tipos de apoyos y enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

21.2.1. Tipos de apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15721.2.2. Tipos de enlaces internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

VI

21.3. Sistemas isostaticos e hiperestaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16121.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

21.4.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1) . . . . . . . . . . . . . 16221.4.2. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (2) . . . . . . . . . . . . . 16421.4.3. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (3) . . . . . . . . . . . . . 167

22.Traccion y compresion. Tensiones y desplazamientos. 17522.1. Definicion de estado de traccion-compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17522.2. Estado de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17522.3. Estado de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17722.4. Desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

23.Esfuerzo normal variable. Peso y fuerza centrıfuga. 17923.1. Ecuacion de equilibrio bajo esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17923.2. Esfuerzos normales de peso propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18023.3. Esfuerzos normales por fuerza centrıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18223.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

23.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18423.4.2. Esfuerzos normales en una union roscada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

24.Esfuerzo normal. Sustentacion hiperestatica. 19124.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19124.2. Traccion-compresion hiperestatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

24.2.1. Aplicacion del teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19224.2.2. Aplicacion de la compatibilidad de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . 193

24.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios de temperatura . . . . 19424.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

24.4.1. Barra rıgida sujeta mediante tirantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Bibliografıa 199

VII

A

Leccion 1

Equilibrio Interno. Vector tension.

1.1. El solido elastico

La Mecanica del Solido Rıgido se ocupa de describir y predecir las condiciones de reposo omovimiento de los solidos rıgidos bajo la accion de fuerzas exteriores. Un solido rıgido es aquelen el que las distancias entre sus puntos no sufren variacion durante la aplicacion de las fuerzasexteriores.

En las aplicaciones de la ingenierıa mecanica y estructural se requiere verificar la seguridad delos componentes mediante la comparacion de las fuerzas internas a que se ven sometidos durentesu trabajo con las propiedades resistentes de los materiales de construccion. La determinacionde dichas fuerzas internas no puede hacerse, en un caso general, si se mantiene la hipotesis deque los componentes se comportan como solidos rıgidos. Debe suponerse que los componentesson solidos deformables, es decir, que las distancias entre sus puntos no permanecen constantesal aplicar un sistema de fuerzas exteriores.

La Teorıa de la Elasticidad es una primera aproximacion al estudio de los solidos deformables.Esta teorıa se ocupa de calcular el estado de deformacion, o desplazamiento relativo, dentro decuerpos solidos sometidos a sistemas de fuerzas en equilibrio. El estado de deformacion permite,a traves de las propiedades del material, obtener las fuerzas internas a que se ve sometido elsolido.

La Teorıa de la Elasticidad trabaja sobre una idealizacion de los cuerpos solidos reales quellamaremos solido elastico. El solido elastico es un solido deformable que recupera su formainicial al retirar las fuerzas aplicadas.

En los capıtulos que siguen supondremos que el solido elastico ocupa un volumen V delespacio tridimensionalR3 y que tiene una superficie exterior S (figura 1.1). Supondremos ademasque el solido elastico esta constituido por un material:

Homogeneo: El material tiene las mismas propiedades en todos sus puntos.

Isotropo: En cada punto, las propiedades del material son las mismas en cualquier direccion.

Continuo: En el material no existen distancias intersticiales, es decir, no existen “huecos”en el material por pequeno que sea el volumen del mismo que se tome.

Las hipotesis anteriores, aunque son unicamente una aproximacion a los materiales reales,simplifican mucho el tratamiento matematico y en la mayorıa de los casos proporcionan resul-tados suficientemente aproximados desde el punto de vista ingenieril.

1

2 LECCION 1. EQUILIBRIO INTERNO. VECTOR TENSION.

V

Z

X

Y

S

Figura 1.1: Solido elastico

1.2. Acciones exteriores

Consideraremos dos clases de acciones sobre el solido elastico:

1. Fuerzas de superficie: Son fuerzas por unidad de superficie aplicadas sobre la superficie Sdel solido. Constituyen un campo vectorial definido en S:

~fs =

XY

Z

Un ejemplo tıpico de esta clase de fuerzas es la presion de un fluido actuando sobre lasuperficie del solido.

2. Fuerzas de volumen: Son fuerzas por unidad de volumen aplicadas sobre la materia queforma el solido. Constituyen un campo vectorial definido en V :

~fv =

X

YZ

Ejemplos de esta clase de fuerzas son las fuerzas gravitatorias (peso) y las fuerzas deinercia.

1.3. EQUILIBRIO ESTATICO Y ELASTICO 3

Las fuerzas puntuales, esto es, actuando sobre puntos del solido, son idealizaciones que cor-responden a fuerzas de superficie o de volumen actuando sobre una superficie o un volumen muypequeno, respectivamente. Se trata entonces de fuerzas concentradas, que pueden considerarsecomo casos particulares de los dos tipos de acciones anteriores. En efecto, una fuerza puntual~F aplicada en el punto P del solido se puede entender como un campo ~fv definido en V de laforma siguiente:

~fv = ~F δP

donde δP es la distribucion de Dirac en el punto P . De este modo, la resultante del campo ~fvactuando sobre el solido es la fuerza concentrada ~F aplicada en P :

∫

V

~fv dV = ~F

∫

VδP dV = ~F en P

1.3. Equilibrio estatico y elastico

Cuando sobre el solido elastico actuan las acciones exteriores ~fs y ~fv , el equilibrio estaticodel solido exige que se cumplan las condiciones:

1. Resultante nula de fuerzas: La resultante de las fuerzas aplicadas debe ser nula:∫

S

~fs dS +∫

V

~fv dV = 0

2. Resultante nula de momentos: La resultante de los momentos de las fuerzas aplicadas conrespecto a cualquier punto del espacio (por ejemplo, el origen de coordenadas) debe sernula: ∫

S~r × ~fs dS +

∫

V~r × ~fv dV = 0

donde ~r es el vector de posicion (figura 1.2).

Si no se cumplen las condiciones de equilibrio estatico, la aplicacion de las acciones accionesexteriores da lugar al movimiento del solido. Dicho movimiento puede estudiarse con bastanteaproximacion mediante las ecuaciones de la Mecanica del Solido Rıgido.

Sin embargo, nosotros estaremos interesados en estudiar la deformacion del solido elastico enlos casos en que se cumplen las condiciones de equilibrio estatico y, por tanto, no hay movimientode solido rıgido.

Al aplicar al solido elastico un sistema de acciones exteriores, aparecen fuerzas interioresdentro del volumen del solido. Como se ha dicho, obtener y caracterizar estas fuerzas interioreses imprescindible si se quiere evaluar la capacidad del solido para resistir con seguridad el sistemade acciones exteriores.

Para analizar estas fuerzas interiores se puede dar un corte imaginario al solido elasticomediante una superficie Σ que lo divida en dos partes A y B (figura 1.3). El equilibrio de cadauna de estas dos partes implica que, a traves de la superficie de corte, una parte ejerce sobre laotra fuerzas que equilibran las acciones exteriores aplicadas sobre ella.

Es importante darse cuenta de que, por el principio de accion-reaccion, las fuerzas de A sobreB a traves de la superficie de corte son iguales y de signo contrario a las fuerzas que ejerce Bsobre A a traves de la misma superficie.


Z

X

Y

r

Figura 1.2: Vector de posicion en el equilibrio estatico

Cualquiera que sea la superficie imaginaria Σ que se utilice, las dos partes en que quedadividido el solido elastico deben estar en equilibrio, con las acciones exteriores aplicadas sobreellas y las fuerzas internas que le transmite la otra parte a traves de la superficie de corte. Estoes lo que se conoce como equilibrio elastico: las acciones exteriores estan en equilibrio con lasfuerzas internas que aparecen en el solido por aplicacion de las mismas. Es decir, cualquier partedel solido, por pequena que sea esta, debe estar en equilibrio estatico si se tienen en cuenta lasacciones externas y las fuerzas internas.

1.4. Vector tension

Sobre una fraccion ∆Ω de la superficie de corte Σ alrededor del punto P , la parte B delsolido ejerce una fuerza ∆~f (fuerza interna) sobre la parte A (figura 1.4).

Se define el vector tension ~σ en el punto P asociado a la superficie de corte Σ como:

~σ = lım∆Ω→0

∆~f

∆Ω=d~f

dΩ

1.4. VECTOR TENSION 5

Σ

Corte imaginario

B

A

A través de esta superficie

la parte B está actuando sobre

la parte A

Figura 1.3: Equilibrio elastico


A

∆Ω∆f

P

Figura 1.4: Fuerza interna ejercida en el entorno del punto P

Se trata de una magnitud vectorial cuyas componentes tienen dimensiones de fuerza porunidad de superficie. Hay que tener en cuenta los puntos siguientes:

El vector tension ~σ esta asociado al punto P . Para una misma superficie de corte Σ, elvector tension cambia de un punto a otro de la superficie.

En cada punto P , el vector tension ~σ esta asociado a la superficie de corte Σ; para otrasuperficie de corte el vector tension en P adoptarıa otro valor.

Al tomar lımites, el vector tension ~σ esta asociado realmente a la orientacion del planotangente a la superficie de corte Σ en el punto P .

Haciendo abstraccion, en cada punto P del solido elastico, se tiene un vector tension ~σ

para cada orientacion ~n= ( α, β, γ) de los planos π que pasan por P , siendo α, β y γ loscosenos directores de la direccion normal al plano ~n:

~σ = ~σ(P,~n) = ~σ(P, α, β, γ)

La direccion normal al plano ~n se entiende que tiene el sentido hacia afuera del material,es decir, apuntando hacia la parte del solido que ha sido eliminada por el corte imaginario(parte B en las figuras 1.3 y 1.4) y que, por tanto, ejerce la fuerza ∆~f sobre la parte quepermanece (parte A en las figuras 1.3 y 1.4).

En el Sistema Internacional, la unidad de tension es el Pascal (Pa):

1Pa =1N1m2

En la practica se trabaja con tensiones mucho mas grandes que 1 Pa y se utiliza el megapascal(MPa), unidad un millon de veces superior al Pascal. Un megapascal equivale a una fuerza de 1N distribuida sobre una superficie de 1 mm2.

1.5. COMPONENTES INTRINSECAS DEL VECTOR TENSION 7

π

P

n

σσ

n

τ

Figura 1.5: Componentes intrınsecas del vector tension

1.5. Componentes intrınsecas del vector tension

El vector tension ~σ asociado a un punto P y al plano π, puede proyectarse en la direccion de lanormal al plano ~n y sobre el plano (figura 1.5). Estas dos proyecciones, σn y τ , respectivamente,son conocidas como componentes intrınsecas del vector tension.

Las componentes intrınsecas del vector tension se obtienen de la manera siguiente:

1. Componente normal:

~n ≡ (α, β, γ) (vector unitario, sentido hacia afuera del material)σn = ~σ · ~n (producto escalar)~σn = σn ~n

2. Componente tangencial:

~τ = ~σ − ~σn

1.6. Ejercicios resueltos

1.6.1. Obtener componentes intrınsecas

Obtener las componentes intrınsecas del vector tension:

~σ=

123

MPa

definido en un punto P , con respecto al plano π dado por la ecuacion x− y = 0.

Solucion:


X

Y

Z

n

Figura 1.6: Ejercicio resuelto: sentido elegido de la normal al plano π

El plano π es el plano bisector del primer octante (figura 1.6). Se puede tomar:

~n =

1√2

− 1√2

0

o ~n =

− 1√2

1√2

0

Tomamos el primero de estos dos vectores, asumiendo entonces que el vector tension dadoactua sobre el material situado en x− y < 0. Las componentes intrınsecas seran:

σn = ~σ · ~n =1√2− 2√

2= − 1√

2MPa

y

τ =√σ2 − σ2

n =

√12 + 22 + 32 − (

1√2)2 =

√13, 5 MPa

Leccion 2

Matriz de tensiones

2.1. Tensiones sobre planos coordenados

Cuando se utiliza un sistema de referencia cartesiano, las componentes intrınsecas del vectortension sobre planos paralelos a los planos coordenados, esto es, planos con normales ~n iguales a(1,0,0), (0,1,0) o (0,0,1), se designan segun se indica en la figura 2.1. Los sentidos positivos sonlos que se dan en la figura.

2.2. Reciprocidad de tensiones tangenciales

En un punto P del solido elastico consideremos planos paralelos a los planos coordenadosque delimiten un volumen infinitesimal alrededor del punto (figura 2.2).

Notese que las normales en planos paralelos opuestos son iguales y de signo contrario. Silos planos paralelos opuestos se “confundieran” en el punto P (figura 2.3), por el principio deaccion-reaccion, las componentes intrınsecas del vector tension a cada lado de cada plano serıaniguales y de signo contrario. La forma convencional de representar este hecho es dibujando lascomponentes intrınsecas en P sobre las caras del cubo infinitesimal centrado en el punto P(figuras 2.4 y 2.5).

La representacion de las figuras 2.4 y 2.5 no debe inducir a confusion. Las acciones repre-sentadas en forma de tensiones son las acciones de primer orden sobre el volumen infinitesimalalrededor de P . Como se vera mas adelante, existen otras acciones de segundo orden, tales comolas derivadas de fuerzas de volumen ~fv y las variaciones de las componentes intrınsecas de unacara a otra del cubo infinitesimal. Sin embargo, el equilibrio del cubo exige que las acciones deprimer orden esten equilibradas, ya que ninguna accion de segundo orden podrıa equilibrar unaaccion de primer orden desequilibrada.

El equilibrio de fuerzas de primer orden actuando sobre el volumen infinitesimal es inmediato,ya que las fuerzas actuando sobre caras paralelas opuestas son iguales y de signo contrario. Elequlibrio de fuerzas de segundo orden dara lugar a las ecuaciones de equilibrio interno del solidoelastico (leccion 3).

En cuanto al equilibrio de momentos de primer orden, si se toman momentos respecto alcentro del cubo infinitesimal, se tiene:

Eje X: 2 (τyz dx dz dy2 ) − 2 (τzy dx dy dz2 ) = 0

9

10 LECCION 2. MATRIZ DE TENSIONES

Z

X

Y

n (1,0,0)

n (0,0,1)

n (0,1,0)

P

PP

σnz

σnx

σny

τzy

τzx

τxz

τxy

τyx

τyz

Figura 2.1: Componentes intrınsecas del vector tension segun planos coordenados

Eje Y: 2 (τzx dy dx dz2 ) − 2 (τxz dy dz dx2 ) = 0

Eje Z: 2 (τxy dz dy dx2 ) − 2 (τyx dz dxdy2 ) = 0

de donde se deduce:τyz = τzy τzx = τxz τxy = τyx

Las tres igualdades anteriores se conocen con el nombre de teorema de reciprocidad de ten-siones tangenciales. El teorema implica que son iguales las componentes de las tensiones tangen-ciales correspondientes a dos planos perpendiculares entre sı en la direccion normal a la arista de

Z

X

Y

nz

P

nx

ny

-ny

-nz

dy

dx

dz

Figura 2.2: Entorno del punto P

2.2. RECIPROCIDAD DE TENSIONES TANGENCIALES 11

Z

X

Y

nz

P

nx

ny

-ny

-nz

-nx

Figura 2.3: Entorno del punto P . Planos paralelos a los planos coordenados

su diedro. Notese que, por el convenio de signos utilizado, el sentido de las tensiones tangencialeses tal que ambas componentes se dirigen hacia la arista o ambas se separan (figuras 2.6 y 2.7).

Z

X

Y

σnz

σnx

σny

τzy

τzx

τxz

τxy τyx

τyz

σnz

σny

σnx

Figura 2.4: Entorno del punto P . Tensiones sobre volumen elemental (1)


Z

XY

σnz

τzyτzx

τxz

τxyτyx

τyz

σnz

σnyσnx

Figura 2.5: Entorno del punto P . Tensiones sobre volumen elemental (2)

2.3. Estado tensional en el entorno de un punto

El estado tensional en un punto P se conocera cuando sea conocido el vector tension seguncualquier plano que pase por el punto. A continuacion veremos que esto puede conseguirse apartir de las componentes intrınsecas de los vectores de tension segun planos paralelos a losplanos coordenados.

Sea en el entorno de P un plano π con normal ~n igual a (α,β,γ). Se busca el vector tension ~σque actua sobre el plano (figura 2.8). Para ello, se plantea el equilibrio de un tetraedro delimitadopor el plano π y tres planos paralelos a los planos coordenados que pasan por P . La distanciade P al plano π es la altura h del tetraedro.

Segun se representa en la figura 2.8, las areas de las caras del tetraedro son: Ω, Ωx, Ωy y Ωz ,con Ωx = Ωα, Ωy = Ωα y Ωz = Ωα. Las fuerzas de volumen son ~fv = (X, Y, Z).

El equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:

Eje X: X 13 Ω h + σxΩ − σnxΩα − τyx Ω β − τzx Ω γ = 0

Eje Y: Y 13 Ω h + σy Ω − τxy Ωα − σny Ω β − τzy Ω γ = 0

Eje Z: Z 13 Ω h + σz Ω − τxz Ωα − τyz Ω β − σnz Ω γ = 0

Si se hace tender a cero el volumen del tetraedro (esto es, si h −→ 0), el plano π tendera apasar por P y, ademas, los terminos relativos a las fuerzas de volumen se anularan. En este caso,simplificando, se obtienen las tres igualdades siguientes:

σx = σnx α + τyx β + τzx γ

2.3. ESTADO TENSIONAL EN EL ENTORNO DE UN PUNTO 13

X

Y

σny

σny

σnx

σnx

τxy

τxy

τyx

τyx

σny

σny

σnx

σnx

τxy

τxy

τxy

τxy

Teorema dereciprocidad

Figura 2.6: Reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares

σy = τxy α + σny β + τzy γ

σz = τxz α + τyz β + σnz γ

o en forma matricial:

~σ =

σxσyσz

=

σnx τyx τzxτxy σny τzyτxz τyz σnz

α

βγ

y en notacion vectorial:~σ = [T ]~n

La matriz [T ] se conoce con el nombre de matriz de tensiones. De acuerdo con el teoremade reciprocidad de tensiones tangenciales, la matriz de tensiones es una matriz simetrica, que

τ

τ

τ

τ

Tensiones tangenciales posibles en esquinas a 90º

Figura 2.7: Implicacion de la reciprocidad de tensiones tangenciales en planos perpendiculares


n( )α,β,γ

σ (σ ,σ ,σ )x y z

Z

X

Y

Ωy

Ωz

Ωx

Ω

Z

X

Y

σnz

σnx

σny

τzy

τzx

τxz

τxyτyx

τyz

P

Figura 2.8: Tension sobre un plano arbitrario en el punto P

2.4. EJERCICIOS RESUELTOS 15

puede escribirse:

[T ] =

σnx τxy τxzτxy σny τyzτxz τyz σnz

En relacion con la matriz de tensiones, es importante darse cuenta de los puntos siguientes:

Si se conoce la matriz de tensiones en el punto P entonces se conoce el estado tensionalen P , ya que a partir de la matriz de tensiones se puede obtener el vector tension ~σ paracualquier orientacion de plano ~n.

La matriz de tensiones representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literaturase conoce normalmente con el nombre de tensor de tensiones. Dentro del solido elastico, lamatriz de tensiones [T ] es una funcion de punto, se trata por tanto de un campo tensorialde orden 2.

La expresion de la matriz de tensiones depende del sistema de referencia utilizado. Alcambiar de sistema de referecnia sus componentes cambian como las de un tensor desegundo orden. El cambio de ejes se escribe en forma matricial del modo siguiente:

[T ]b = [Rab]t [T ]a [Rab]

donde [T ]a es la matriz de tensiones en el sistema de referencia a, [T ]b es la matriz detensiones en el sistema de referencia b y [Rab] es la matriz de cambio de base del sistemaa al sistema b.

La matriz [Rab] de cambio de base se construye colocando como columnas las componentesde los vectores unitarios en la direccion de los nuevos ejes (sistema b) con respecto al sistemade referencia viejo (sistema a), es decir:

[Rab] =

αb1 αb2 αb3βb1 βb2 βb3γb1 γb2 γb3

=

~ib ·~ia ~jb ·~ia ~kb ·~ia~ib ·~ja ~jb ·~ja ~kb ·~ja~ib · ~ka ~jb · ~ka ~kb · ~ka

donde (αb1, βb1, γb1), (αb2, βb2, γb2) y (αb3, βb3, γb3) son los vectores unitarios en las direc-ciones de los ejes del sistema b, referidos al sistema a.

La matriz [Rab] es una matriz ortonormal, es decir, su traspuesta coincide con la inversa:

[Rba] = [Rab]−1 = [Rab]t


2.4.1. Calculo de matriz de tensiones y vector tension

Del interior de un solido elastico se separa mediante cortes imaginarios un cubo de 10 cm delado. Las acciones que ejerce el resto del solido sobre el cubo son las representadas en la figura2.9. No existen fuerzas exteriores aplicadas sobre el cubo.

Se pide:


Z

X

Y

1 MPa

1 MPa

1 MPa

1 MPa

16 MPa

6 MPa

16 MPa

4 MPa

6 MPa

4 MPa

6 MPa

Figura 2.9: Acciones del resto del solido sobre un cubo de material

1. La matriz de tensiones en el sistema de referencia con ejes paralelos a las aristas del cubo,valida para cualquier punto del cubo.

2. Vector tension en el centro del cubo con respecto a un plano que forme angulos igualescon los planos coordenados (~n = ( 1√

3, 1√

3, 1√

3)).

Solucion:

1. De acuerdo con la figura, tomando como origen del sistema de referencia la esquina de labase mas alejada del punto de vista, se tiene que:

σnx = −6 +z

1012 MPa (z en cm)

τxy = 0τxz = 0

σny = −4 − z

1012 MPa (z en cm)

τyz = 1 MPaσnx = 0


luego:

[T ] =

−6 + z10 12 0 0

0 −4 − z10 12 1

0 1 0

MPa (z en cm)

2. El centro del cubo tiene como coordenadas (5,5,5) cm. En consecuencia, sustituyendo enla expresion de la matriz de tensiones:

~σ = [T ]~n =

0 0 00 −10 10 1 0

1√3

1√3

1√3

=

1√3

0−91

MPa


Leccion 3

Ecuaciones de equilibrio

3.1. Ecuaciones de equilibrio interno

Las ecuaciones de equilibrio interno definen las condiciones que deben cumplir las compo-nentes de la matriz de tensiones [T ] para que un volumen interior del solido elastico se encuentreen equilibrio con los volumenes que le rodean.

Las ecuaciones se obtienen planteando el equilibrio de fuerzas de un elemento diferencialde volumen alrededor de un punto P de un solido elastico sometido a un campo de fuerzas devolumen ~fv = (X, Y, Z).

Sea [T ] la matriz de tensiones en el punto P :

[T ] =


En la figura 3.1 se representan las componentes del vector tension en los centros de las carasde un elemento diferencial de volumen centrado en el punto P . Al tratarse de un elementodiferencial, dichas componentes pueden considerarse que son los valores medios en cada cara.Entonces, el equilibrio de fuerzas proporciona las tres ecuaciones siguientes:

Direccion X:

X dx dy dz + (σnx + ∂σnx∂x

12dx) dy dz − (σnx − ∂σnx

∂x12dx) dy dz

+ (τyx + ∂τyx

∂y12dy) dx dz − (τyx − ∂τyx

∂y12dy) dx dz

+ (τzx + ∂τzx∂z

12dz) dx dy − (τzx − ∂τzx

∂z12dz) dx dy = 0

Direccion Y:

Y dx dy dz + (τxy + ∂τxy

∂x12dx) dy dz − (τxy − ∂τxy

∂x12dx) dy dz

+ (σny + ∂σny

∂y12dy) dx dz − (σny − ∂σny

∂y12dy) dx dz

+ (τzy + ∂τzy

∂z12dz) dx dy − (τzy − ∂τzy

∂z12dz) dx dy = 0

19

20 LECCION 3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Z

X

Y

P

P

dy

dx

dz

σ + ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy

τ + ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy

τ + ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy

σ − ∂σ /∂ny ny y 1/2 dy

τ − ∂τ /∂yx yx y 1/2 dy

τ − ∂τ /∂yz yz y 1/2 dy

σ − ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz

σ + ∂σ /∂nz nz z 1/2 dz

σ + ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx

τ + ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz

τ + ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz

τ − ∂τ /∂zy zy z 1/2 dz

τ − ∂τ /∂zx zx z 1/2 dz

σ − ∂σ /∂nx nx x 1/2 dx

τ + ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx

τ + ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx τ − ∂τ /∂xz xz x 1/2 dx

τ − ∂τ /∂xy xy x 1/2 dx

Figura 3.1: Equilibrio de un elemento diferencial de volumen

3.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 21

Direccion Z:

Z dx dy dz + (τxz + ∂τxz∂x

12dx) dy dz − (τxz − ∂τxz

∂x12dx) dy dz

+ (τyz + ∂τyz

∂y12dy) dx dz − (τyz − ∂τyz

∂y12dy) dx dz

+ (σnz + ∂σnz∂z

12dz) dx dy − (σnz − ∂σnz

∂z12dz) dx dy = 0

Simplificando las ecuaciones anteriores se obtiene :

∂σnx∂x

+∂τyx∂y

+∂τzx∂z

+ X = 0

∂τxy∂x

+∂σny∂y

+∂τzy∂z

+ Y = 0

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σnz∂z

+ Z = 0

Y como, por el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales, se cumple que:

τyx = τxy τzx = τxz τzy = τyz

se tiene finalmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, definidoen el volumen V del solido elastico, para las componentes de la matriz de tensiones [T ]:

∂σnx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

+ X = 0

∂τxy∂x

+∂σny∂y

+∂τyz∂z

+ Y = 0

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σnz∂z

+ Z = 0

El sistema anterior son las ecuaciones de equilibrio interno del solido elastico. En notacionvectorial puede escribirse como:

div [T ] + ~fv = 0 en V

o tambien:

∇[T ] + ~fv = 0 en V

3.2. Ecuaciones de equilibrio en el contorno

En la superficie S del solido elastico, las fuerzas de superficie ~fs deben ser equilibradas porfuerzas internas. En un punto P situado sobre la superficie S, en el que el plano tangente a Stiene un vector normal ~n, debe cumplirse que (figura 3.2):

~fs − [T ]~n = 0


n

P

S

-n n

P fs

[T] (-n)

S

Figura 3.2: Equilibrio en la superficie del solido elastico

Es decir, debe cumplirse que:

~fs = [T ]~n en S

Entonces, si el vector normal exterior a la superficie S es ~n = (α, β, γ) y las fuerzas desuperficie aplicadas en S son ~fs = (X, Y , Z), las ecuaciones de equilibrio en el contorno son:

XY

Z

=


αβ

γ

en S


3.3.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie a partir del equilibrio

En el solido de forma tetraedrica representado en la figura 3.3, existe el estado tensionalsiguiente:

[T ] =

3y z 0z −5x 00 0 2z

MPa (x,y,z en m)

Determinar:

1. Fuerzas de volumen.

2. Fuerzas de superficie en la cara vista ABC, particularizando en el centro de gravedad dela misma.


A

B

C

a

a

2a

X

Y

Z

Figura 3.3: Solido de forma tetraedrica

Solucion:

1. A partir de las ecuaciones de equilibrio interno, se tiene que:

X = −∂σnx∂x − ∂τxy

∂y − ∂τxz∂z = 0

Y = −∂τxy

∂x − ∂σny

∂y − ∂τyz

∂z = 0

Z = −∂τxz∂x − ∂τyz

∂y − ∂σnz∂z = −2

MN

m3

2. El vector normal a la cara vista del solido es:

~n =~AB × ~AC

| ~AB × ~AC |=

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k−a a 0−a 0 2a

∣∣∣∣∣∣∣| ~AB × ~AC |

=2a2~i + 2a2~j + a2 ~k

a2√

4 + 4 + 1=

232313

Utilizando las ecuaciones de equilibrio en el contorno:

~fs = [T ]~n =

3y z 0

z −5x 0

0 0 2z

232313

=

2y + 2z3

2z3 − 10x

32z3

El centro de gravedad de la cara vista tiene como coordenadas (a3 ,a3 ,

2a3 ) (promedio de

coordenadas de los puntos de las esquinas). Particularizando para el centro de gravedadde la cara vista, se tiene:


~fs =

2a3 + 2

32a3

23

2a3 − 10

3a3

23

2a3

= a

109

−69

49

MPa (a en m)

Leccion 4

Tensiones principales

4.1. Tensiones y direcciones principales

En un punto P del solido elastico el estado tensional viene dado por el valor de la matrizde tensiones [T ] en dicho punto. La matriz de tensiones es una matriz simetrica de orden 3 concoeficientes reales. Vamos a ver que esta forma de la matriz de tensiones implica lo siguiente:

En cada punto P del solido elastico existen al menos tres planos ortogonales entre sı demodo que el vector tension ~σ asociado a ellos tiene componente intrınseca tangencial τigual a cero. Es decir, segun esos planos, el vector tension solo tiene componente intrınsecanormal: ~σ= ~σn.

Las direcciones de las normales a dichos planos, ~n1, ~n2 y ~n3 se llaman direcciones principalesde tension en el punto P .

Las componentes intrınsecas normales de los vectores de tension segun esos planos, σ1, σ2

y σ3 se llaman tensiones principales en el punto P . Por convenio, ordenaremos las tensionesprincipales de forma que: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

La deduccion de la existencia de las tensiones y direcciones principales es como sigue. Lascomponentes (α, β, γ) de las direcciones principales en el punto P , si existen, deberan cumplir::

~n =

αβγ

~σ = [T ]~n = σn ~n

(condicion de que la componente intrınseca tangencial τ sea nula)

Es decir, las direcciones principales ~n y las tensiones principales σn, si existen, deben cumplir:

[T ] − σn [I ]~n = 0

donde [I ] es la matriz identidad.La relacion anterior expresa un problema de autovalores para la matriz [T ] en el punto P

del solido elastico.

25

26 LECCION 4. TENSIONES PRINCIPALES

Como [T ] es una matriz simetrica de orden 3 con coeficientes reales, [T ] tiene 3 autoval-ores reales1, que llamaremos σ1, σ2 y σ3. Estos autovalores son las tensiones principales. Enconsecuencia, las tensiones principales existen, tal y como las hemos definido.

Cada autovalor σi, i = 1 . . .3, tiene un autovector asociado ~ni, que se obtiene resolviendo elsistema de ecuaciones:

[T ] − σi [I ]~ni = 0

con la condicion adicional de que si las componentes de ~ni son (αi, βi, γi), debe cumplirse que:

α2i + β2

i + γ2i = 1

Por ser [T ] una matriz simetrica, los autovectores son ortogonales entre sı cuando los auto-valores σ1, σ2 y σ3 son distintos2. Es decir:

~n1 · ~n2 = 0~n1 · ~n3 = 0~n2 · ~n3 = 0

De esta forma, las direcciones principales, tal y como las hemos definido, son ortogonales entresı.

Si hay algun autovalor doble o triple, los autovectores asociados a los mismos definen unespacio vectorial de dimension 2 o 3, respectivamente. En estos casos, mas que una sola di-reccion principal, el autovalor tiene asociado todo un plano, o todo el espacio, de vectores dedireccion principal. De dicho plano o de todo el espacio se pueden extraer dos o tres vectores,respectivamente, que sean ortogonales entre sı.

4.2. Invariantes de tensiones

Desdoblando la ecuacion vectorial:

[T ] − σn [I ]~n = 0

en tres ecuaciones escalares, el problema de autovalores de la matriz [T ] se escribe:σnx − σn τxy τxzτxy σny − σn τyzτxz τyz σnz − σn

α

βγ

= 0

Se trata de un sistema de ecuaciones homogeneo, funcion de un parametro real σn.Para que este sistema tenga solucion distinta de la trivial (α = β = γ = 0), el determinante

de la matriz de coeficientes debe ser nulo, esto es:∣∣∣∣∣∣∣

σnx − σn τxy τxzτxy σny − σn τyzτxz τyz σnz − σn

∣∣∣∣∣∣∣= 0

La ecuacion anterior es una ecuacion de tercer grado en σn, con tres raıces reales3, que son1Desde el punto de vista del Algebra Lineal, la matriz [T ] representa un endomorfismo en R3, que asocia cada

vector de orientacion ~n con un vector tension ~σ. El endomorfismo es simetrico por ser [T ] una matriz simetrica.La teorıa de los endomorfismos simetricos es la que justifica que la matriz [T ] tiene 3 autovalores reales y que losautovectores asociados son ortogonales entre sı.

2Ver la nota anterior.3Por ser [T ] una matriz simetrica.

4.3. SISTEMA DE REFERENCIA PRINCIPAL 27

los valores de las tensiones principales. Dicha ecuacion puede ponerse como:

−σ3n + I1 σ

2n − I2 σn + I3 = 0

con:

I1 = σnx + σny + σnz

I2 = σnxσny + σnxσnz + σnyσnz − τ2xy − τ2

xz − τ2yz

I3 = det[T ]

La solucion de esta ecuacion de tercer grado son las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 en elpunto P .

Las tensiones principales son una caracterıstica intrınseca del estado tensional en el punto Py, por tanto, independiente del sistema de referencia seleccionado para la matriz de tensiones [T ].En consecuencia, los coeficientes I1, I2 e I3 deben ser independientes del sistema de referencia.Estos coeficientes se conocen con el nombre de invariantes de tensiones, primero, segundo ytercero, respectivamente.

El valor de los invariantes en cada punto P no cambia al cambiar el sistema de referenciautilizado para definir [T ].

4.3. Sistema de referencia principal

En cada punto P del solido elastico tenemos pues tres direcciones principales ~n1, ~n2 y ~n3

ortogonales entre sı. De este modo, se puede definir en el punto P un sistema de referenciasegun estas tres direcciones (figura 4.1). En dicho sistema de referencia la matriz de tensionessera diagonal:

[T ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

Para un estado tensional dado, el sistema de referencia anterior se conoce con el nombre desistema de referencia principal en el punto P . Es importante darse cuenta de que el sistema dereferencia principal esta asociado a un estado tensional concreto y que, ademas, cambia de unpunto a otro del solido elastico.

4.4. Elipsoide de tensiones

En un punto P del solido elastico, bajo un estado tensional dado, el elipsoide de tensioneses el lugar geometrico de los extremos del vector tension ~σ, con origen en P , correspondiente atodas las orientaciones ~n de plano posibles en el punto.

Se trata de un elipsoide con centro en P y con semiejes iguales a las tensiones principales.En efecto, utilizando el sistema de referencia principal en el punto P , correspondiente al estadotensional dado, el vector tension ~σ para la direccion ~n es:

~σ = [T ]~n=

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

αβ

γ

=

ασ1

β σ2

γ σ3


Z

X

Y

n2

n3

n1

P

Figura 4.1: Sistema de referencia principal

Y las coordenadas del extremo del vector tension ~σ con respecto a P seran:

x = ασ1

y = β σ2

z = γ σ3

en el sistema de referencia principal

y como se cumple que:

α2 + β2 + γ2 = 1

se tendra entonces:(x

σ1

)2

+(y

σ2

)2

+(z

σ3

)2

= 1

que en el sistema de referencia principal es la ecuacion de un elipsoide con semiejes iguales a lastensiones principales.



4.5.1. Calculo de tensiones y direcciones principales

La matriz de tensiones en un punto P de un solido elastico, para un determinado estadotensional, viene dada por:

[T ] =

5 1 21 0 12 1 0

MPa

con respecto a un sistema de referencia cartesiano ortogonal.Determinar las tensiones principales y sus direcciones principales asociadas.

Solucion:

1. Tensiones principales.

Igualando a cero el determinante:∣∣∣∣∣∣∣

5 − σ 1 21 −σ 12 1 −σ

∣∣∣∣∣∣∣= 0

se obtiene la ecuacion cubica:

F (σ) ≡ −σ3 + 5 σ2 + 6 σ − 1 = 0

La ecuacion se puede resolver por tanteos, buscando los ceros de F (σ) a partir de suscambios de signo. Resulta lo siguiente: σ1 = 5,97 MPa , σ2 = 0,149 MPa y σ3 = -1,12MPa.

2. Direcciones principales

La direccion principal asociada a σ1, ~n1 = (α1, β1, γ1), se obtiene a partir del sistema deecuaciones:

5 − 5, 97 1 2

1 −5, 97 12 1 −5, 97

α1

β1

γ1

= 0

Al ser las tensiones principales diferentes (no hay raıces dobles ni triples en la ecuacion detercer grado que hemos resuelto en el punto anterior), solo hay dos ecuaciones independi-entes en el sistema. Tomando las dos primeras:

−0, 97α1 + β1 + 2 γ1 = 0α1 − 5, 97 β1 + γ1 = 0

y sabiendo que:α2

1 + β21 + γ2

1 = 1

resulta: α1 = 0,92, β1 = 0,21 y γ1 = 0,34.


La direccion principal asociada a σ2, ~n2 = (α2, β2, γ2), se obtiene a partir del sistema deecuaciones:

5 − 0, 149 1 2

1 −0, 149 12 1 −0, 149

α2

β2

γ2

= 0

Tomando las dos primeras ecuaciones:

4, 851α2 + β2 + 2 γ2 = 0α2 − 0, 149 β2 + γ2 = 0

y sabiendo que:α2

2 + β22 + γ2

2 = 1

resulta: α2 = -0,362, β2 = 0,798 y γ2 = 0,482.

La direccion principal asociada a σ3, ~n3 = (α3, β3, γ3), se obtiene a partir de la condicionde que sea ortogonal a ~n1 y a ~n2:

~n3 = ~n1 × ~n2 =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

0, 92 0, 21 0, 34−0, 362 0, 798 0, 482

∣∣∣∣∣∣∣=

−0, 170−0, 5670, 810

Leccion 5

Cırculos de Mohr

5.1. Cırculos de Mohr en tensiones

Los cırculos de Mohr1 en tensiones proporcionan una representacion grafica plana de losinfinitos vectores tension ~σ asociados a un punto P de un solido elastico sometido a un sistemade acciones exteriores. Para la obtencion de esta representacion grafica se parte de lo siguiente:

Se utiliza el sistema de referencia principal en el punto P .

Las tensiones principales en P se ordenan, sin perdida de generalidad, de mayor a menor:

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

En el sistema de referencia principal, cualquier vector tension ~σen el punto P se puedeobtener como:

~σ =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

α

βγ

=

ασ1

β σ2

γ σ3

donde ~n = (α, β, γ) es el vector normal correspondiente al plano sobre el que actua el vector~σ. Entonces, se tiene que:

|~σ|2 = σ2 = σ21α

2 + σ22β

2 + σ23γ

2

Y, por la definicion de componentes intrınsecas τ y σn de ~σ, se tiene:

σ2 = σ2n + τ2

Combinando las dos expresiones anteriores, se cumple que:

σ2n + τ2 = σ2

1α2 + σ2

2β2 + σ2

3γ2

Por otro lado, la componente normal σn del vector ~σ es:

σn = ~σ · ~n = (ασ1, β σ2, γ σ3)

αβγ

= σ1α

2 + σ2β2 + σ3γ

2

1Otto Mohr (1835-1918), ingeniero estructural aleman pionero en la aplicacion de metodos graficos para laresolucion de problemas de la teorıa de la estructuras.

31

32 LECCION 5. CIRCULOS DE MOHR

Y tambien sabemos que:α2 + β2 + γ2 = 1

Las tres ecuaciones anteriores proporcionan una relacion entre las tensiones principales σ1,σ2 y σ3 en el punto P , las componentes del vector unitario (α, β, γ) normal a un plano y lascomponentes intrınsecas del vector tension en el punto P segun ese plano, σn y τ :

σ21α

2 + σ22β

2 + σ23γ

2 = σ2n + τ2

σ1α2 + σ2β

2 + σ3γ2 = σn

α2 + β2 + γ2 = 1

De donde se obtiene:

γ2 =(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2

(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)

β2 =(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2

(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)

α2 =(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2

(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)

Los cocientes anteriores deben ser positivos, ya que corresponden a numeros reales α, β, γelevados al cuadrado. Analicemos uno por uno los tres cocientes.

1. Cociente de α2.

α2 =(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2

(σ1 − σ2) (σ1 − σ3)≥ 0

El denominador del cociente es un numero positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, segun nuestroconvenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn − σ2) (σn − σ3) + τ2 ≥ 0

o lo que es lo mismo:

(σn −σ2 + σ3

2)2 − (

σ2 − σ3

2)2 + τ2 ≥ 0

y la condicion de que α2 sea positivo se traduce en que:

(σn −σ2 + σ3

2)2 + τ2 ≥ (

σ2 − σ3

2)2

En el plano (σn, τ) la ecuacion de la circunferencia de centro (σ2+σ32 , 0) y radio σ2−σ3

2 es:

(σn −σ2 + σ3

2)2 + τ2 = (

σ2 − σ3

2)2

Luego la condicion que debe cumplirse, derivada de que α2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ)que representan los vectores tension en el punto P , han de encontrarse fuera del cırculo deradio σ2−σ3

2 centrado en el punto (σ2+σ32 , 0) (primer cırculo de Mohr, figura 5.1).

5.1. CIRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 33

σn

σ2

σ3

τZona posible: exterior del círculo

Figura 5.1: Primer cırculo de Mohr C1

2. Cociente de β2.

β2 =(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2

(σ2 − σ1) (σ2 − σ3)≥ 0

El denominador del cociente es un numero negativo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, segun nuestroconvenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn − σ1) (σn − σ3) + τ2 ≤ 0


(σn −σ1 + σ3

2)2 − (

σ1 − σ3

2)2 + τ2 ≤ 0

y la condicion de que β2 sea positivo se traduce en que:

(σn −σ1 + σ3

2)2 + τ2 ≤ (

σ1 − σ3

2)2


2 es:

(σn −σ1 + σ3

2)2 + τ2 = (

σ1 − σ3

2)2


Luego la condicion que debe cumplirse, derivada de que β2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ)que representan los vectores tension en el punto P , han de encontrarse dentro del cırculode radio σ1−σ3

2 centrado en el punto (σ1+σ32 , 0) (segundo cırculo de Mohr, figura 5.2).

3. Cociente de γ2.

γ2 =(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2

(σ3 − σ1) (σ3 − σ2)≥ 0

El denominador del cociente es un numero positivo, por ser σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, segun nuestroconvenio. En consecuencia, debe cumplirse:

(σn − σ1) (σn − σ2) + τ2 ≥ 0


(σn −σ1 + σ2

2)2 − (

σ1 − σ2

2)2 + τ2 ≥ 0

y la condicion de que γ2 sea positivo se traduce en que:

(σn −σ1 + σ2

2)2 + τ2 ≥ (

σ1 − σ2

2)2


2 es:

(σn −σ1 + σ2

2)2 + τ2 = (

σ1 − σ2

2)2

σn

σ1

σ3

τZona posible: interior del círculo

Figura 5.2: Segundo cırculo de Mohr C2

5.1. CIRCULOS DE MOHR EN TENSIONES 35

σn

σ1

τ Zona posible: exterior del círculo

σ2

Figura 5.3: Tercer cırculo de Mohr C3

Luego la condicion que debe cumplirse, derivada de que γ2 ≥ 0, es que los puntos (σn, τ)que representan los vectores tension en el punto P , han de encontrarse fuera del cırculo deradio σ1−σ2

2 centrado en el punto (σ1+σ22 , 0) (tercer cırculo de Mohr, figura 5.3).

Si combinamos en una sola representacion las tres condiciones obtenidas para la posicion delos puntos (σn, τ) que representan los vectores tension en el punto P , se tiene la representacionde la figura 5.4, en la que se ve que la zona de puntos de tension posibles en la comprendidaentre los tres cırculos de Mohr.

Cuando dos tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre de estadocilındrico. Notese que en ese caso uno de los cırculos de Mohr tiene radio nulo y los dos otroscırculos se superponen. En ese caso los puntos de tension posibles estan sobre una circunferencia.

Cuando las tres tensiones principales son iguales, el estado tensional recibe el nombre deestado esferico o estado hidrostatico. En este caso los tres cırculos de Mohr coinciden en unpunto situado sobre el eje de σn, que es el unico punto de tension posible.


σn

σ1

σ3

τ

Zona posible

σ2

Figura 5.4: Representacion de Mohr de las componentes de tension posibles en el punto P

5.2. Representacion de tensiones en los cırculos de Mohr

5.2.1. Componentes intrınsecas del vector tension

Dado un estado tensional en el punto P del solido elastico, a cada orientacion ~n ≡ (α, β, γ)definida en P con respecto al sistema de referencia principal, le corresponde un punto A ≡(σn, τ) dentro de la representacion de Mohr, dado por:

σn = σ1α2 + σ2β

2 + σ3γ2

y

~τ = ~σ − ~σn =

ασ1

β σ2

γ σ3

− σn

αβ

γ

=

α (σ1 − σn)β (σ2 − σn)γ (σ3 − σn)

luego,τ = ±

√α2 (σ1 − σn)2 + β2 (σ2 − σn)2 + γ2 (σ3 − σn)2

Normalmente se elige un signo positivo para τ y, de esta forma, se trabaja con el semiplanosuperior del plano (σn, τ). De este modo, a cada orientacion ~n ≡ (α, β, γ) definida en P lecorresponde un solo punto A ≡ (σn, τ) de tension en la representacion de Mohr.

5.2.2. Calculo de la orientacion del vector normal

Recıprocamente, la posicion de un punto A = (σn, τ) en la representacion de Mohr puedeutilizarse para conocer la orientacion del vector normal ~n= ( α, β, γ) que da lugar a las com-ponentes intrınsecas (σn, τ).

5.2. REPRESENTACION DE TENSIONES EN LOS CIRCULOS DE MOHR 37

σn

σ1

σ3

τ

σ2

A’

A

C1

C2

C3

α γ

circunferencia

concéntrica a C3

circunferencia

concéntrica a C1

Figura 5.5: Construccion para la determinacion de los parametros α, β, γ

Se emplea la construccion geometrica siguiente (figura 5.5):

1. Trazar circunferencias concentricas con C1 y C3 que pasen por el punto A, hasta que cortena C2.

2. Se unen estos puntos de corte con los extremos del diametro del cırculo C2, obteniendoselos angulos α y γ. Como se vera a continuacion, se cumple que:

α2 = cos2 αγ2 = cos2 γ

3. Se obtiene β2 utilizando la relacion:

β2 = 1 − α2 − γ2

Notese que de esta forma se obtienen los cuadrados de los parametros α, β, γ y, por tanto,quedan determinados los modulos de las componentes del vector normal ~n, pero no su signo:

α = ± cos αβ = ± cos βγ = ± cos γ


Ası, a cada punto A ≡ (σn, τ) dentro de la representacion de Mohr le corresponden hastaocho orientaciones del vector normal ~n, obtenidas permutando los signos positivos y negativos:(α, β, γ), (α, −β, −γ), (α, −β, γ), (α, β, −γ), (−α, β, γ), . . ..

La construccion geometrica definida mas arriba se basa en lo siguiente:

En todos los puntos de una circunferencia concentrica a C1 se tiene el mismo valor de α2.

En todos los puntos de una circunferencia concentrica a C3 se tiene el mismo valor de γ2.

En los puntos de la circunferencia C2 se tiene que β = 0.

Entonces, en el punto A′ de la figura 5.5 se tiene el mismo valor de α2 que en el punto A y,ademas, β es nulo. En el punto A′ se tiene:

1 − α2

α2=

γ2

α2por ser β nulo

Sustituyendo los valores de α y γ en el punto A′ se obtiene:

1− α2

α2=

(σ′n−σ1) (σ′n−σ2) + τ ′2

(σ3−σ1) (σ3−σ2)

(σ′n−σ2) (σ′n−σ3) + τ ′2

(σ1−σ2) (σ1−σ3)

=(σ1 − σ2) [(σ′n − σ1) (σ′n − σ2) + τ ′2](σ2 − σ3) [(σ′n − σ2) (σ′n − σ3) + τ ′2]

donde (σ′n, τ′) son las coordenadas del punto A′. Ademas, como β es nulo en el punto A′, resulta

que:(σ′n − σ1) (σ′n − σ3) + τ ′2 = 0 −→ τ ′2 = −(σ′n − σ1) (σ′n − σ3)

y sustituyendo:

1− α2

α2=

(σ′n − σ1) (σ3 − σ2)(σ2 − σ3) (σ′n − σ3)

= −(σ′n − σ1)(σ′n − σ3)

= −(σ′n − σ1)(σ′n − σ3)(σ′n − σ3)2

=τ ′2

(σ′n − σ3)2= tan2 α

De donde se deduce que α = ± cos α.

5.3. Casos particulares

5.3.1. Planos que contienen al primer eje principal

Tratamos de ver ahora en que zona de la representacion de Mohr se situan los puntos detension correspondientes a planos que contienen al primer eje principal, es decir, planos cuyovector normal ~n tiene su primera componente nula: α = 0 (figura 5.6).

El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actuan sobre la cuna de material alrededordel punto P representada en la figura 5.6 nos da las ecuaciones siguientes:

σ2 s cos θ = σn s cos θ + τ s sin θσ3 s sin θ = σn s sin θ − τ s cos θ

siendo θ el angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal II . De las dosecuaciones anteriores se deduce que:

τ =σ2 − σ3

2sin 2θ

σn =σ2 + σ3

2+σ2 − σ3

2cos 2θ

5.3. CASOS PARTICULARES 39

III

I

IIP

P

n

τ

σn

III

II II

θ

n

III

II

n

τ

σn

θθ

σ3

σ2

S

Figura 5.6: Planos que contienen al eje principal I

Estas ultimas relaciones son las ecuaciones parametricas de la circunferencia correspondienteal primer cırculo de Mohr C1 (figura 5.7). Lo que indica que los puntos de tension correspon-dientes a planos que contienen al primer eje principal se encuentran sobre la circunferencia C1,

σn

σ2

σ3

τ

C1

2θ

(σ , τ)nPunto que define el vector tensión parala normal n

Doble del ángulo que forma la normal con el eje IIn

Figura 5.7: Planos que contienen al eje principal I. Puntos de tension sobre la circunferencia C1


III

I

IIP

P

n

τ

σn

III

II I

θ

n

III

I

n

τ

σn

θθ

σ3

σ1

S

Figura 5.8: Planos que contienen al eje principal II

de modo que el angulo del radio vector asociado a cada punto de tension con el eje de σn es eldoble del angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal II de tensiones.

5.3.2. Planos que contienen al segundo eje principal

Analogamente, veamos ahora en que zona de la representacion de Mohr se situan los puntosde tension correspondientes a planos que contienen al segundo eje principal, es decir, planoscuyo vector normal ~n tiene su segunda componente nula: β = 0 (figura 5.8).

El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actuan sobre la cuna de material alrededor delpunto P representada en la figura 5.8 nos proporciona, como antes, las ecuaciones parametricassiguientes:

τ =σ1 − σ3

2sin 2θ

σn =σ1 + σ3

2+σ1 − σ3

2cos 2θ

siendo θ el angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal I .Estas ultimas relaciones son las ecuaciones parametricas de la circunferencia correspondiente

al segundo cırculo de Mohr C2 (figura 5.9). Lo que indica que los puntos de tension correspondi-entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C2,de modo que el angulo del radio vector asociado a cada punto de tension con el eje de σn es eldoble del angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal I de tensiones.

5.4. TENSIONES MAXIMAS 41

σn

σ1

σ3

τ

C2

2θ


Doble del ángulo que forma la normal con el eje In

Figura 5.9: Planos que contienen al eje principal II. Puntos de tension sobre la circunferencia C2

5.3.3. Planos que contienen al tercer eje principal

Por ultimo, veamos en que zona de la representacion de Mohr se situan los puntos de tensioncorrespondientes a planos que contienen al tercer eje principal, es decir, planos cuyo vectornormal ~n tiene su tercera componente nula: γ = 0 (figura 5.10).

El equilibrio de las fuerzas de primer orden que actuan sobre la cuna de material alrededor delpunto P representada en la figura 5.10 nos proporciona, como antes, las ecuaciones parametricassiguientes:

τ =σ1 − σ2

2sin 2θ

σn =σ1 + σ2

2+σ1 − σ2

2cos 2θ

siendo θ el angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal I .Estas ultimas relaciones son las ecuaciones parametricas de la circunferencia correspondiente

al tercer cırculo de Mohr C3 (figura 5.11). Lo que indica que los puntos de tension correspondi-entes a planos que contienen al segundo eje principal se encuentran sobre la circunferencia C3,de modo que el angulo del radio vector asociado a cada punto de tension con el eje de σn es eldoble del angulo que forma el vector normal al plano ~n con el eje principal I de tensiones.

5.4. Tensiones maximas

De los cırculos de Mohr correspondientes al estado tensional en un punto P se pueden obtenerlas tensiones maximas que actuan en el punto P .

Con respecto a las tensiones normales, las maximas vienen dadas por las tensiones princi-pales, σ1 o σ3, que son los puntos extremos de la representacion de Mohr sobre el eje σn.


III

I

IIPP

n

τ

σn

II

II I

θ

n

II

I

n

τ

σn

θθ

σ2

σ1

S

Figura 5.10: Planos que contienen al eje principal III

Con respecto a las tensiones tangenciales, la maxima viene dada por el radio del cırculo C2:

τmax =σ1 − σ3

2

σn

σ1

σ2

τ

C3

2θ



Figura 5.11: Planos que contienen al eje principal III. Puntos de tension sobre circunferencia C3

5.5. ESTADOS TENSIONALES CILINDRICO Y ESFERICO 43

σn

σ =σ1 2

σ3

τ

C = C1 2

Figura 5.12: Cırculos de Mohr en estado de tension cilındrico

Esta tension se da sobre un plano que contiene al eje principal intermedio (II), a ± 45o con losejes principales I y III.

5.5. Estados tensionales cilındrico y esferico

5.5.1. Estado cilındrico

Si son iguales dos tensiones principales, σ1 = σ2 o σ2 = σ3, el estado tensional se conoce conel nombre de estado cilındrico.

Si σ1 = σ2, la circunferencia C3 se reduce a un punto y la circunferencia C1 coincide con C2.Es decir, el area sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferencia C1 ≡ C2 (figura 5.12). Eneste caso solamente esta determinada la direccion principal correspondiente a la tension principalσ3. Cualquier direccion contenida en un plano normal a la direccion principal correspondiente aσ3 es una direccion principal.

Igualmente, si σ2 = σ3, la circunferencia C1 se reduce a un punto y la circunferencia C2

coincide con C3. Es decir, el area sombreada de la figura 5.4 se reduce a la circunferenciaC2 ≡ C3. En este caso solamente esta determinada la direccion principal correspondiente a latension principal σ1. Cualquier direccion contenida en un plano normal a la direccion principalcorrespondiente a σ1 es una direccion principal.

Cuando dos tensiones principales son iguales, puede verse que los estados tensionales corre-spondientes presentan simetrıa cilındrica en torno a la unica direccion principal que esta deter-minada. De ahı que un estado tensional de estas caracterısticas se denomine estado cilındrico.

Por ejemplo, en un estado cilındrico con σ1 = σ2 los vectores tension correspondientes acualquier plano π cuya normal forme un angulo γ con la direccion principal correspondientea σ3 tienen las mismas componentes intrınsecas. En efecto, utilizando el sistema de referenciaprincipal:


~σ=

σxσyσz

=

σ 0 00 σ 00 0 σ3

αβ

γ

=

ασβ σ

γ σ3

cuyas componentes intrınsecas son:

σn = ~σ · ~n = σ(α2 + β2) + σ3γ2 = σ(1− γ2) + σ3γ

2 (independiente de α y β)

τ =√σ2(α2 + β2) + σ2

3γ2 − σ2

n =√σ2(1 − γ2) + σ2

3γ2 − σ2

n (independiente de α y β)

5.5.2. Estado esferico

Si en vez de ser iguales dos, son iguales las tres tensiones principales, el elipsoide de tensioneses una esfera y todas las direcciones son principales. Los cırculos de Mohr se reducen a un punto:para cualquier plano π el vector tension correspondiente es normal al plano y carece, por tanto,de componente tangencial. Ademas, su modulo es constante.

Este estado tensional presenta simetrıa en torno al punto P en el que se considera el estadotensional y, por ello, recibe el nombre de estado esferico. Por analogıa con el estado tensional queexiste en un cuerpo sumergido en un lıquido, se le denomina tambien a veces estado hidrostatico.

Desde el punto de vista de la respuesta del material, a veces tiene interes descomponer lamatriz de tensiones en suma de la correspondiente a un estado hidrostatico [T0] y otra corre-spondiente a un estado desviador [Td]:

[T ] =


=

p 0 00 p 00 0 p

+

σnx − p τxy τxzτxy σny − p τyzτxz τyz σnz − p

= [T0] + [Td]

donde 3 p = σnx+σny +σnz . La matriz [T0] es la matriz volumetrica y la matriz [Td] es la matrizdesviadora.


5.6.1. Representacion de un estado tensional en el diagrama de Mohr

Las tensiones principales en un punto de un solido son: σ1 = 4 MPa, σ2 = 2 MPa y σ3 = −1MPa. Determinar analıtica y graficamente el punto que corresponde en el diagrama de Mohr alvector tension del plano cuya normal forma angulos de 45o y 120o con las direcciones principales2 y 3, respectivamente.

Solucion:

1. Solucion analıtica


La matriz de tensiones con respecto al sistema de referencia principal es:

[T ] =

4 0 00 2 00 0 −1

MPa

El vector normal al plano que se da en el enunciado es ~n = (α, β, γ), con:

β = cos(45o) =1√2

γ = cos(120o) = − cos(60o) = −12

α =√

1 − β2 − γ2 = ±12

−→ α =12

(se toma la raız positiva)

El vector tension asociado al plano sera entonces:

~σ =

4 0 00 2 00 0 −1

0, 500, 7071−0, 50

=

2, 001, 41420, 50

Las componentes intrınsecas de este vector son:

σn = ~σ · ~n = (2, 00, 1, 4142, 0, 50)

0, 500, 7071−0, 50

= 1, 75 MPa

y

τ =√|~σ|2 − σ2

n =√

22 + 1, 41422 + 0, 502 − 1, 752 = 1, 785 MPa

La representacion de este punto en el diagrama de Mohr se da en la figura 5.13. Noteseque se ha tomado la raız positiva de τ y que, por tanto, el punto se situa en el semiplanosuperior.

2. Solucion grafica

Para representar el punto se requieren el angulo α y el angulo γ:

α = arc cosα = arc cos (0, 50) = 60o

γ = 120o (dato)

Como el angulo γ = 120o es mayor que 90o, se toma el angulo suplementario, 60o, paraobtener la representacion de Mohr del punto dado.

En la figura 5.13 se da la construccion geometrica. Tras dibujar los tres cırculos de Mohra partir de los valores de las tensiones principales, desde los extremos del diametro delcırculo C2 se trazan rectas que forman angulos de α = 60o y 180 − γ = 60o con el eje deabcisas. Las rectas cortan a la circunferencia C2 en los puntos A y B.

A continuacion se trazan las circunferencias concentricas con C1 y C3 que pasan por A yB, respectivamente. La interseccion de ambas circunferencias nos da el punto buscado.


τ ( )MPa

σn

-1

(MPa)4

2

(1,75, 1,785)

α = 60º

C1

C3

C2

γ = 120º180−120 = 60º

A

B

Figura 5.13: Representacion del punto en el diagrama de Mohr

5.6.2. Obtencion de tensiones principales con el diagrama de Mohr

Las tensiones principales extremas en un punto de un solido son: 100 y 50 MPa. El vectortension correspondiente a un plano π, cuya normal forma un angulo de 45o con la direccionprincipal 1, tiene un modulo de σ = 85 MPa y forma con la normal al plano un angulo θ = 12, 5o.Se pide determinar graficamente el valor de la tension principal intermedia σ2.

Solucion:La construccion geometrica se da en la figura 5.14. Los datos del problema permiten dibujar

el cırculo C2. Trazando desde el extremo izquierdo (tension principal menor σ3) una recta a 45o

con el eje horizontal se obtiene el punto A.Por otro lado, las componentes intrınsecas del vector tension ~σ dado son:

σn = 85 cos(12, 5o) = 82, 99MPa

y

τ =√|~σ|2 − σ2

n =√

852 − 82, 992 = 18, 4 MPa

La representacion de este punto (σn, τ) en el diagrama de Mohr es el punto B de la figura5.14. El centro del cırculo C1 se encuentra en la mediatriz de AB. La interseccion de la mediatriz


Figura 5.14: Determinacion del centro del cırculo C1

con el eje de abcisas se produce para σn = 61, 6 MPa. En consecuencia, la tension principal σ2

es:

σ2 = 50 + (61, 6 − 50) × 2 = 73, 2MPa


Leccion 6

Concepto de deformacion

6.1. Vector desplazamiento

Sea un punto P dentro de un solido elastico. Sea ~r0 ≡ (x0, y0, z0) el vector de posicion delpunto P antes de aplicar ninguna accion sobre el solido (figura 6.1).

Al aplicar al solido un sistema de fuerzas ~fv, ~fs, el punto P sufre un desplazamiento, deforma que su nuevo vector de posicion es el ~r1 ≡ (x1, y1, z1).

Se define como vector desplazamiento del punto P , ~δp, la diferencia:

~δp = ~r1 − ~r0 =

x1 − x0

y1 − y0z1 − z0

=

uv

w

Dentro del solido elastico, el vector desplazamiento ~δp es una funcion de punto. Se trata portanto de un campo vectorial, el campo de desplazamientos, definido dentro del solido elastico yasociado a cada sistema de fuerzas que actue sobre el mismo.

Cabe senalar los puntos siguientes:

Aunque la definicion del vector desplazamiento tiene mucha mas generalidad, nosotrosestamos unicamente interesados en el desplazamiento de los puntos del solido elastico enlos casos en que los vınculos exteriores del solido son suficientes para impedir su movimientode solido rıgido1.

La teorıa de la elasticidad lineal postula que la diferencia entre las coordenadas de P antesde la aplicacion del sistema de fuerzas, (x0, y0, z0), y despues de la aplicacion del mismo,(x1, y1, z1), es muy pequena, despreciable con respecto a las dimensiones del solido. Enconsecuencia, se definen las componentes del vector ~δp como funciones de las coordenadas(x, y, z) del punto P , sin distinguir entre el estado anterior o posterior a la aplicacionde las fuerzas. En lo sucesivo, nosotros asumiremos este postulado, que se conoce con elnombre de hipotesis de pequenos desplazamientos y que resulta valido en la mayorıa de lasaplicaciones practicas.

Supondremos que no hay desgarros en el material durante la aplicacion del sistema defuerzas exteriores. Por lo tanto, las componentes u ≡ u(x, y, z), v ≡ v(x, y, z), w ≡

1Ver seccion 1.3.

49

50 LECCION 6. CONCEPTO DE DEFORMACION

Z

X

Y

r0

P

P

r1

δp

Figura 6.1: Definicion del vector desplazamiento ~δp

w(x, y, z) del vector desplazamiento ~δp, por el fenomeno fısico que representan, deben serfunciones continuas, ya que un mismo punto del solido no puede desplazarse a dos sitiosdiferentes.

6.2. Matrices de giro y deformacion

SeaQ otro punto del solido elastico infinitamente proximo a P . Si se analiza el desplazamientode estos dos puntos al aplicar un sistema de fuerzas exteriores se tiene (figura 6.2):

~PQ′ = d~r0 + ~δp + d~δp y tambien

~PQ′ = ~δp + d~r1

luego:

d~r1 = d~r0 + d~δp

y ademas:

6.2. MATRICES DE GIRO Y DEFORMACION 51

P(x,y,z)

P’

Q’Q(x+dx, y+dy, z+dz)

dr0

dr1

δp

δ δp p+ d

Posición inicial

Posición deformada

Figura 6.2: Desplazamientos en el entorno del punto P

d~δp =

dudv

dw

=

∂u∂x

∂u∂y

∂u∂z

∂v∂x

∂v∂y

∂v∂z

∂w∂x

∂w∂y

∂w∂z

dxdy

dz

= [M ] d~r0

Entonces tenemos que:

d~r1 = d~r0 + [M ] d~r0

Es decir, la separacion d~r1 entre los puntos P y Q en el estado que resulta tras aplicar el sistemade fuerzas es igual a la separacion inicial ~r0 mas una transformacion lineal de la separacioninicial dada por la matriz [M ].

La matriz [M ] puede descomponerse en suma de una matriz simetrica y otra matriz anti-simetrica:

[M ] =12[M ] + [M ]t

︸︷︷︸simetrica

+12[M ] − [M ]t

︸︷︷︸antisimetrica

= [D] + [H ]

La matriz simetrica [D] se conoce con el nombre de matriz de deformacion y la matrizantisimetrica [H ] se llama matriz de giro.

Entonces podemos escribir que la posicion relativa de los puntos P y Q durante la aplicacionde fuerzas exteriores cambia del modo siguiente:

d~r1 = d~r0 + [D] d~r0 + [H ] d~r0

Se debe recordar que la transformacion lineal de un vector dada por una matriz antisimetricaes equivalente a un producto vectorial de un vector ~ω formado a partir de las componentes dela matriz por el vector sobre el que se aplica la transformacion. Si las componentes de la matriz


son infinitesimales, la transformacion puede interpretarse como un giro infinitesimal de solidorıgido alrededor del eje definido por el vector d~ω (figura 6.3).

d~ω × d~r =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kdωx dωy dωzdx dy dz

∣∣∣∣∣∣∣=

dωy dz − dωz dy

dωz dx − dωx dzdωx dy − dωy dx

=

0 −dωz dωydωz 0 −dωx−dωy dωx 0

︸︷︷︸componentes de d~ω

dx

dydz

Es decir, durante la aplicacion de un sistema de fuerzas, dos puntos proximos P y Q delsolido elastico se mueven uno con respecto al otro:

Girando uno con respecto al otro: giro de solido rıgido dado por la matriz [H ]. Estatransformacion no produce tensiones (fuerzas internas) en el material, ya que la distanciaentre los dos puntos no cambia.

Distorsionando o estirando el material: el movimiento relativo distinto del giro, dado porla matriz de deformacion [D]. Esta transformacion produce tensiones (fuerzas internas) enel material.

La matriz [H ] representa un giro puro, esto es, sin deformacion, unicamente cuando el entornodel punto P sufre un giro pequeno o infinitesimal. Esto es, cuando las componentes de [H ] sonpequenas, tal como estamos suponiendo. En este caso se cumple lo anterior y la matriz [D] reunetoda la deformacion del entorno del punto. Se dice que se trabaja en la hipotesis de pequenosgiros.

Si los giros no son pequenos, entonces la matriz [H ] construida segun se indica mas arriba,no representa una transformacion de giro puro, sino que incorpora parte de la deformaciondel entorno del punto P . En estos casos la deformacion se define mediante otras matrices mascomplicadas que la matriz [D].

dω

P

Q

dr0

[H] dr0

Figura 6.3: Interpretacion geometrica de la matriz de giro


Como hemos senalado mas arriba, nosotros asumimos la hipotesis de pequenos desplaza-mientos de la elasticidad lineal, que implica que tanto los giros (componentes de la matriz [H ])como las deformaciones (componentes de la matriz [D]) son pequenos.

A partir de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz de giro es:

[H ] =

0 12(∂u∂y −

∂v∂x) 1

2(∂u∂z −∂w∂x )

−12(∂u∂y −

∂v∂x) 0 1

2(∂v∂z −∂w∂y )

−12(∂u∂z −

∂w∂x ) −1

2(∂v∂z −∂w∂y ) 0

=

0 −az ayaz 0 −ax−ay ax 0

y la matriz de deformacion:

[D] =

∂u∂x

12(∂u∂y + ∂v

∂x)12(∂u∂z + ∂w

∂x )12(∂u∂y + ∂v

∂x)∂v∂y

12(∂v∂z + ∂w

∂y )12(∂u∂z + ∂w

∂x ) 12(∂v∂z + ∂w

∂y ) ∂w∂z

=

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

La matriz de deformacion representa una magnitud tensorial de orden 2 que en la literaturase conoce con el nombre de tensor de pequenas deformaciones. Dentro del solido elastico, lamatriz de deformacion [D] es una funcion de punto, se trata por tanto de un campo tensorialde orden 2.


6.3.1. Calculo de la matriz de deformacion y el giro en el entorno de un punto

Sobre un solido elastico se ha provocado un estado de deformacion tal que las componentesdel vector desplazamiento en un sistema cartesiano ortogonal OXY Z son:

u = 4 a x2

v = 8 a z2

w = −2 a y2

con a = 10−6 cm−1.Determinar en el punto P = (1, 1, 1) cm, la matriz de deformacion y la direccion del eje de

giro experimentado por el entorno del punto P .

Solucion:

1. Matriz de deformacion

A partir de las derivadas de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz dedeformacion es:

[D] =

∂u∂x

12(∂u∂y + ∂v

∂x) 12(∂u∂z + ∂w

∂x )12(∂u∂y + ∂v

∂x)∂v∂y

12(∂v∂z + ∂w

∂y )12(∂u∂z + ∂w

∂x ) 12(∂v∂z + ∂w

∂y ) ∂w∂z

=

8 ax 0 0

0 0 8 az − 2 ay

0 8 az − 2 ay 0


Y en el punto P :

[D] =

8 0 00 0 60 6 0

10−6

2. Direccion del eje de giro del entorno del punto P

A partir de las derivadas de las componentes del campo de desplazamientos, la matriz degiro es:

[H ] =

0 12(∂u∂y −

∂v∂x) 1

2(∂u∂z −∂w∂x )

−12(∂u∂y −

∂v∂x) 0 1

2(∂v∂z −∂w∂y )

−12(∂u∂z −

∂w∂x ) −1

2(∂v∂z −∂w∂y ) 0

=

0 0 00 0 2 ay + 8 az0 −2 ay − 8 az 0

Y en el punto P :

[H ] =

0 0 00 0 100 −10 0

10−6

A partir de las componentes de la matriz [H ], las componentes del vector de giro infinites-imal son:

d~ω =

−1000

10−6

Se trata por tanto de un giro con eje paralelo al eje OX del sistema de referencia.

Leccion 7

Deformaciones longitudinales ytransversales

7.1. Ecuaciones cinematicas

Las componentes de la matriz de deformacion [D] se relacionan con las componentes (u, v, w)del campo de desplazamientos ~δp mediante las ecuaciones:

εx =∂u

∂x

εy =∂v

∂y

εz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x

γyz =∂w

∂y+∂v

∂z

Las ecuaciones anteriores constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadasparciales definido en el volumen V del solido elastico. Relacionan las derivadas del campo dedesplazamientos con las componentes del campo de deformacion, en la hipotesis de pequenosdesplazamientos. Son ecuaciones cinematicas en el sentido de que definen la deformacion sintener en cuenta la causa que la produce, esto es, las fuerzas internas en el solido. A veces estasecuaciones se llaman ecuaciones de compatibilidad del campo de deformaciones con el campo dedesplazamientos.

Las ecuaciones cinematicas constituyen el segundo grupo de ecuaciones de la Teorıa de laElasticidad, tras las ecuaciones de equilibrio que vimos en la leccion 3. Notese que, como en elcaso de las ecuaciones de equilibrio, se trata de ecuaciones lineales.

55

56 LECCION 7. DEFORMACIONES LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES

P

A

B

C

dx

dy

dz dr0

Estado inicial

P

A

B

C

(1+ )dxεx

(1+ )dyεy

(1+ )dzεz

dr1

Estado deformado

P

A

B

C

dx

dy

dz dr0

Estado inicial

Figura 7.1: Significado fısico de las deformaciones longitudinales

7.2. Significado de los terminos de la matriz de deformacion

Los terminos εx, εy y εz de la matriz de deformacion se conocen con el nombre de de-formaciones longitudinales. Los otros tres terminos, γxy, γxz y γyz , se llaman deformacionestransversales. A continuacion veremos el significado fısico de estas dos clases de deformacion.

1. Deformaciones longitudinales

Sea el vector d~r0 = (dx, dy, dz) en el punto P .

Supongamos que para un determinado estado tensional la matriz de deformacion vale:

[D] =

εx 0 00 εy 00 0 εz

y que la matriz de giro [H ] es nula.

De acuerdo con esto, la transformacion del vector d~r0 durante el proceso de aplicacion delas acciones exteriores sera:

d~r1 = d~r0 + [D] d~r0 =

dx

dydz

+

εx dx

εy dyεz dz

=

(1 + εx) dx(1 + εy) dy(1 + εz) dz

Es decir, las componentes de la diagonal principal de [D] producen el estiramiento de laslongitudes segun los ejes X , Y y Z, respectivamente. Una longitud inicial dx pasa a ser, tras

7.2. SIGNIFICADO DE LOS TERMINOS DE LA MATRIZ DE DEFORMACION 57

la deformacion, de (1 + εx) dx. En consecuencia, εx tiene el sentido fısico de alargamientopor unidad de longitud en el punto P en la direccion X . Notese que εx es una magnitudadimensional, como el resto de las componentes de [D].

El sentido fısico de εy y εz es el mismo, referido a los otros dos ejes del sistema de refer-encia principal. De esta forma, las deformaciones longitudinales producen una dilatacionhomotetica del entorno del punto P , sin distorsion de angulos (figura 7.1).

2. Deformaciones transversales

Sea ahora un estado tensional en el que la matriz de deformacion vale:

[D] =

0 12γxy 0

12γxy 0 0

0 0 0

y en el que la matriz de giro [H ] es nula.

En este caso, la transformacion del vector d~r0 durante el proceso de aplicacion de lasacciones exteriores sera:

d~r1 = d~r0 + [D] d~r0 =

dx

dydz

+

12γxy dy12γxy dx

0

Es decir, el vector (dx, 0, 0) se transforma en el vector (dx, 12γxy dx, 0); y el vector (0, dy, 0)

se transforma en el vector (12γxy dy, , dy, 0) (figura 7.2). Notese que si las deformaciones

son pequenas se cumple que:

tan(α) =12γxy dx

dx=

12γxy ≈ α

tan(β) =12γxy dy

dy=

12γxy ≈ β

luego,

γxy ≈ α + β = distorsion del angulo APB

Como las deformaciones son pequenas, el angulo α es muy pequeno y, en consecuencia, lalongitud del vector (dx, 0, 0) es practicamente la misma que la del vector (dx, 1

2γxy dx, 0)(figura 7.2). Por lo tanto, la componente γxy no produce acortamiento o estiramiento enel material, unicamente produce distorsion angular.


P

A

B

C

dx

dy

dz dr0

Estado inicial Estado deformado

P

A

B

C

dx

dy

dz dr0

Estado inicial

P B

C

P

A

B

C

dy

dr1

1/2 dyγxy

1/2 dxγxy

dx

dz

α β

Figura 7.2: Significado fısico de las deformaciones transversales

7.3. Deformacion segun una direccion: galgas extensometricas

En un punto P del solido elastico, la transformacion del vector d~r0 = (dx, dy, dz) debida alo que hemos llamado deformacion viene dada por:

[D] d~r0 = [D]~n dr0 = ~εn dr0

donde dr0 es el modulo de d~r0 y ~εn = [D]~n es el vector deformacion unitaria asociada a ladireccion ~n = (α, β, γ) de d~r0.

Muchas veces interesa conocer como cambia el modulo del vector d~r0 al transformarse en d~r1durante la aplicacion de las acciones exteriores. Para ello se parte de:

d~r1 = d~r0 + [D] d~r0 + [H ] d~r0 = ~n0 + [D]~n + [H ]~n dr0

El cuadrado del modulo de d~r1 viene dado por el producto escalar del vector por sı mismo:

dr21 = d~r1 · d~r1 = d~rt1 d~r1 = ~n + [D]~n + [H ]~nt ~n + [D]~n + [H ]~n dr20

y

dr21 = ~nt + ~nt [D] − ~nt [H ] ~n + [D]~n + [H ]~n dr20


7.3. DEFORMACION SEGUN UNA DIRECCION: GALGAS EXTENSOMETRICAS 59

dr21 = dr20 ~nt ~n + ~nt [D]~n + ~nt [H ]~n + ~nt [D]~n + ~nt [D] [D]~n

+~nt [D] [H ]~n − ~nt [H ]~n − ~nt [H ] [D]~n − ~nt [H ] [H ]~n

= dr20 1 + 2~nt [D]~n + ~nt [D] [D]~n

+~nt [D] [H ]~n − ~nt [H ] [D]~n − ~nt [H ] [H ]~n

ya que, por ser [H ] una matriz antisimetrica, se cumple que ~nt [H ]~n = 0 .Si las deformaciones y giros son pequenos (elementos de las matrices [D] y [H ] son 1)

entonces los terminos de orden superior se podran despreciar y quedara:

dr21 ≈ dr20 1 + 2~nt [D]~n

Y por ser ~nt [D]~n 1 , quedara finalmente:

dr21 ≈ dr20 1 + d~nt [D] d~n2

Es decir, se tendra que:

dr1 ≈ dr0 1 + ~nt [D]~n = dr0 1 + εn

De este modo, el cambio de modulo del vector d~r0 se obtiene multiplicando por (1 + εn) elmodulo inicial. El escalar εn se conoce con el nombre de deformacion longitudinal unitaria y dael tanto por uno de aumento del modulo de d~r0.

La deformacion longitudinal unitaria en el punto P y en la direccion ~n = (α, β, γ) se calculacomo:

εn =(α β γ

)

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

αβγ

= εx α2 + εy β

2 + εz γ2 + γxy αβ + γyz β γ + γxz α γ

La deformancion unitaria εn es la deformacion que medira una galga extensometrica colocadaen el punto P segun la direccion ~n = (α, β, γ).

Una galga extensometrica es una resistencia electrica cuyo valor de resistencia varıa con ladeformacion longitudinal. La galga se adhiere al solido y este, al deformarse, hace variar suresistencia. Conocida la resistencia inicial de la galga, la variacion de la resistencia, medidamediante un puente de resistencias, proporciona el valor de la deformacion longitudinal unitariaen la direccion en la que se ha colocado la galga.


ϕ12

n1

n2

Estado inicial

P

ϕ12’

n1

n2

Estado deformado

P

Figura 7.3: Distorsion de angulos

7.4. Distorsion de angulos

En un punto P de un solido elastico se tienen dos direcciones definidas por los vectoresunitarios ~n1 y ~n2. Dichas direcciones forman inicialmente (antes de la deformacion) un anguloϕ12. Tras la deformacion el angulo es ϕ′

12 (figura 7.3).Puede demostrarse que el incremento de dicho angulo viene dado por:

∆ϕ12 = ϕ′12 − ϕ12 =

(εn1 + εn2) cosϕ12 − 2~nt1 [D]~n2

sinϕ12

donde:

εn1 = ~nt1 [D]~n1 = deformacion longitudinal unitaria en direccion 1εn2 = ~nt2 [D]~n2 = deformacion longitudinal unitaria en direccion 2[D] = matriz de deformacion


7.5.1. Calculo de variaciones de longitud y de angulos

La matriz de deformacion de la placa indicada en la figura 7.4, referida a un sistema cartesianoOXY Z es:

[D] =

y (y−x)2 0

(y−x)2 x 0

0 0 0

10−4 (x e y en metros)

Calcular la variacion de longitud de los lados y la variacion de los angulos interiores de losvertices, indicando con signo positivo los aumentos y con negativo las disminuciones.

Solucion:


Y

XO

A

BC

D

1 m1 m

1 m

Figura 7.4: Placa

1. Variacion de longitud de los lados

En el lado AB se tiene que x = 1 m, y entonces la matriz de deformacion vale:

[D] =

y (y−1)2 0

(y−1)2 1 0

0 0 0

10−4 (y en metros)

El vector que da la direccion del lado es ~nt = (0, 1, 0). Por lo tanto, la deformacionlongitudinal unitaria a lo largo del lado vale:

εn =(

0 1 0)

y (y−1)2 0

(y−1)2 1 0

0 0 0

010

10−4 = 10−4

El alargamiento del lado sera por tanto:

∆l =∫ 1

0εn dy = 10−4 [y]10 = 10−4 m

Analogamente, en el lado BC se tiene y = 1 m, y la matriz de deformacion vale:

[D] =

1 (1−x)2 0

(1−x)2 1 0

0 0 0

10−4 (x en metros)



εn =(

1 0 0)

1 (1−x)2 0

(1−x)2 1 0

0 0 0

100

10−4 = 10−4

El alargamiento del lado BC sera por tanto:

∆l =∫ 1

−1εn dx = 10−4 [x]1−1 = 2 × 10−4 m

En el lado CD se tiene x = −1 m, y la matriz de deformacion vale:

[D] =

y (y+1)2 0

(y+1)2 −1 0

0 0 0

10−4 (y en metros)


εn =(

0 1 0)

y (y+1)2 0

(y+1)2 −1 0

0 0 0

010

10−4 = −10−4

El alargamiento del lado CD resulta por tanto:

∆l =∫ 1

0εn dx = −10−4 [y]10 = −10−4 m

En el lado DA se tiene y = 0 m, y la matriz de deformacion vale:

[D] =

0 −x2 0

−x2 x 0

0 0 0

10−4 (x en metros)


εn =(

1 0 0)

0 −x2 0

−x2 x 0

0 0 0

100

10−4 = 0

El alargamiento del lado CD resulta por tanto:

∆l =∫ 1

−1εn dx = 0


2. Variacion de angulos interiores

La variacion viene dada por la componente:

γxy = 2y − x

210−4

en las esquinas de la placa. Un valor positivo de γxy significa que un angulo de ladosparalelos a los ejes XY se cierra.

En la esquina A, se tiene x = 1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = −10−4. Elvalor negativo indica que un angulo de vertice en A y lados paralelos a los ejes +X y +Yse abre. Como consecuencia, el angulo interior en A se cierra en 10−4 rad.

Otra forma de ver este resultado es aplicar la formula:

∆ϕ12 = −2~nt1 [D]~n2

= −2(

1 0 0)

0 −12 10−4 0

−12 10−4 1 00 0 0

010

= −10−4

En la esquina B, se tiene x = 1 m e y = 1, con lo que: γxy = (y−x) 10−4 = 0. El angulointerior en B permanece recto, sin variacion.

En la esquina C, se tiene x = −1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = 2 10−4.El valor positivo indica que un angulo de vertice en C y lados paralelos a los ejes +X y+Y se cierra. Como consecuencia, el angulo interior en C se abre en 2 10−4 rad.

En la esquina D, se tiene x = −1 m e y = 0, con lo que: γxy = (y − x) 10−4 = 10−4. Elvalor positivo indica que un angulo de vertice en D y lados paralelos a los ejes +X y +Yse abre. Como consecuencia, el angulo interior en D se cierra en 10−4 rad.


Leccion 8

Deformaciones principales.Deformacion volumetrica

8.1. Deformaciones y direcciones principales

Dado un estado de deformacion en el entorno del punto P de un solido elastico, representadopor la matriz de deformacion [D], cabe hacerse la pregunta de si existira alguna direccion ~n =(α, β, γ) para la cual se produzca unicamente una deformacion longitudinal y no distorsionangular o deformacion transversal.

Si dicha direccion existe, debera verificar que:

[D]~n = ε~n donde ε es un parametro ε ∈ R

o

[D] − ε [I ]~n = 0 donde [I ] es la matriz identidad

La ecuacion anterior es la expresion de un problema de autovalores para la matriz [D] en elpunto P .

Como sucedıa en el caso de la matriz de tensiones [T ], la matriz de deformaciones [D] esuna matriz simetrica de orden 3 con componentes reales. En consecuencia, la matriz [D] tienetres autovalores reales ε1, ε2 y ε3. Estos autovalores se conocen con el nombre de deformacionesprincipales.

Cada autovalor εi tiene un autovector ~ni asociado, que se obtiene resolviendo el sistema:

[D] − εi [I ]~n = 0

con la condicion adicional de que si ~ni = (αi, βi, γi), se cumple que:

α2i + β2

i + γ2i = 1

Por ser [D] una matriz simetrica, los autovectores son ortogonales entre sı cuando los auto-valores son distintos. Es decir:

~n1 · ~n2 = 0~n1 · ~n3 = 0~n2 · ~n3 = 0

65

66 LECCION 8. DEFORMACIONES PRINCIPALES. DEFORMACION VOLUMETRICA

Si hay algun autovalor doble o triple, los autovectores asociados definen un espacio vectorialde dimension dos o tres, respectivamente.

De esta forma, tal y como sucedıa con la matriz de tensiones [T ]:

1. La simetrıa de la matriz de deformacion [D] implica la existencia en cada punto P delsolido elastico de tres direcciones ortogonales entre sı segun las cuales la deformacion solotiene componente longitudinal, esto es, no hay distorsion angular. Estas tres direccionesson las direcciones principales de deformacion. Cuando el solido elastico es isotropo, lasdirecciones principales de tension y deformacion coinciden.

2. Se puede definir en el punto P un sistema de referencia con ejes paralelos a las direccionesprincipales de deformacion. En este sistema de referencia la matriz de deformacion esdiagonal:

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

donde ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 son las deformaciones principales en el punto P .

8.2. Invariantes de deformacion

Desdoblando la ecuacion vectorial:

[D] − ε [I ]~n = 0

en tres ecuaciones escalares, el problema de autovalores de la matriz [D] se escribe:

εx − εn12γxy

12γxz

12γxy εy − εn

12γyz

12γxz

12γyz εz − εn

αβ

γ

= 0

Se trata de un sistema de ecuaciones homogeneo, funcion del parametro εn ∈ R.Para que el sistema tenga solucion distinta de la trivial α = β = γ = 0, el determinante de

la matriz de coeficientes debe ser nulo, esto es:∣∣∣∣∣∣∣∣

εx − εn12γxy

12γxz

12γxy εy − εn

12γyz

12γxz

12γyz εz − εn

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

La ecuacion anterior es una ecuacion de tercer grado en εn, con tres raıces reales1, que sonlos valores de las tres deformaciones principales.

Dicha ecuacion puede escribirse como:

−ε3n + I1 ε2n − I2 εn + I3 = 0

1Por ser [D] una matriz simetrica

8.3. VARIACION UNITARIA DE VOLUMEN 67

con:

I1 = εx + εy + εz

I2 = εxεy + εxεz + εyεz −γ2xy

4− γ2

xz

4−γ2yz

4I3 = det[D]

La solucion de esta ecuacion de tercer grado son las deformaciones principales ε1, ε2 y ε3 enel punto P a que corresponda la matriz [D].

Las deformaciones principales son una caracterıstica intrınseca del estado de deformacion enel punto P y, por tanto, independiente del sistema de referencia seleccionado para la matriz dedeformacion [D]. En consecuencia, los coeficientes I1, I2 e I3 deben ser independientes del sistemade referencia. Estos coeficientes se conocen con el nombre de invariantes de deformaciones,primero, segundo y tercero, respectivamente.

El valor de los invariantes en cada punto P no cambia al cambiar el sistema de referenciautilizado para definir [D].

8.3. Variacion unitaria de volumen

El primer invariante de deformacion representa la variacion unitaria de volumen en el entornodel punto P a que corresponda la matriz [D].

En efecto, tomando como sistema de referencia el sistema de referencia principal en P , lamatriz de deformacion en P sera:

[D] =

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

Un cubo elemental de aristas dx, dy y dz se transformara en otro cubo, con aristas paralelasa los ejes del sistema de referencia y con longitudes (1 + ε1) dx, (1 + ε2) dy y (1 + ε3) dz,respectivamente. El cambio de volumen del cubo elemental sera entonces:

∆V = (1 + ε1) (1 + ε2) (1 + ε3) dx dy dz − dx dy dz = [(1 + ε1) (1 + ε2) (1 + ε3) − 1] dx dy dz

y despreciando los terminos de orden superior:

∆V ≈ (ε1 + ε2 + ε3) dx dy dz

Luego la variacion unitaria de volumen es:

∆VV

= ε1 + ε2 + ε3 = I1 ≡ e

8.4. Deformacion volumetrica y desviadora

La matriz de deformacion [D] puede descomponerse en suma de dos:

[D] =

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

=

e3 0 0

0 e3 0

0 0 e3

+

εx − e3

12γxy

12γxz

12γxy εy − e

312γyz

12γxz

12γyz εz

e3

=

e

3[I ] + [D′]


X

Y

Z

c

f

e

b

d

a45º

45º

45º

Figura 8.1: Posicion de las galgas extensometricas

El primer sumando mantiene la suma de los terminos de la diagonal principal de [D] y al sernulos los terminos de fuera de la diagonal, no hay distorsion. Es decir, en la deformacion querepresenta unicamente se produce cambio de volumen. Este primer sumando se conoce con elnombre de deformacion volumetrica.

En el segundo sumando, la suma de los terminos de la diagonal principal es nula, por loque la deformacion que representa se produce sin cambio de volumen. Este segundo sumando seconoce con el nombre de deformacion desviadora.


8.5.1. Galgas extensometricas y deformaciones principales

En el entorno de un punto de un solido elastico se han colocado seis galgas extensometricas,tal y como se indica en la figura 8.1. Las galgas miden las deformaciones siguientes:

εa = 200 10−6 εd = 180 10−6

εb = 200 10−6 εe = 200 10−6

εc = 160 10−6 εf = 280 10−6

Calcular la matriz de deformaciones en el punto considerado, ası como las deformacionesprincipales y direcciones asociadas.


Solucion:

1. Matriz de deformaciones

Las galgas extensometricas miden la deformacion longitudinal unitaria εn en la direccionen la que estan colocadas:

εn = εx α2 + εy β

2 + εz γ2 + γxy αβ + γyz β γ + γxz α γ

donde ~n = (α, β, γ) es el vector unitario en la direccion de la galga.

Entonces tenemos:

Galga a ~na = (1, 0, 0)εa = εx α

2 = εx = 200 10−6

Galga b ~nb = (0, 1, 0)εb = εy β

2 = εy = 200 10−6

Galga c ~nc = (0, 0, 1)εc = εz γ

2 = εz = 160 10−6

Galga d ~nd = (1√2, 0,

1√2)

εd = εx α2 + εz γ

2 + γxz α γ = 200 10−6 12

+ 160 10−6 12

+ γxz12

= 180 10−6

γxz = 0

Galga e ~ne = (1√2,

1√2, 0)

εe = εx α2 + εy β

2 + γxy αβ = 200 10−6 12

+ 200 10−6 12

+ γxy12

= 200 10−6

γxy = 0

Galga f ~nf = (0,1√2,

1√2)

εf = εy β2 + εz γ

2 + γyz β γ = 200 10−6 12

+ 160 10−6 12

+ γyz12

= 280 10−6

γyz = 200 10−6

Por lo tanto, la matriz de deformacion es:

[D] =

200 0 00 200 1000 100 160

10−6

2. Deformaciones y direcciones principales

Para el calculo de las deformaciones principales se plantea la ecuacion caracterıstica:∣∣∣∣∣∣∣∣

εx − εn12γxy

12γxz

12γxy εy − εn

12γyz

12γxz

12γyz εz − εn

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0


Es decir: ∣∣∣∣∣∣∣

200 − εn 0 00 200 − εn 1000 100 160− εn

∣∣∣∣∣∣∣= 0

donde εn esta dada en microdeformaciones.

Calculando el determinante, la ecuacion caracterıstica queda:

0 = −ε3n + 560 ε2n − 94000 εn + 4400000

Como γxy = γxz = 0, resulta que εx = 200 es una raız de la ecuacion caracterıstica. Lasotras dos raıces las obtenemos por tanteos. De esta forma, resulta:

ε1 = 282 10−6

ε2 = 200 10−6

ε3 = 78 10−6

En cuanto a las direcciones principales, se tiene que ~n2 = (1, 0, 0) (por ser γxy = γxz = 0).

La direccion principal ~n1 se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones:

[D] − ε1 [I ]~n = 0

Es decir:

200 10−6 − 282 10−6 0 00 200 10−6 − 282 10−6 100 10−6

0 100 10−6 160 10−6 − 282 10−6

α1

β1

γ1

=

000

Ademas se tiene la condicion de que α21 + β2

1 + γ21 = 1.

Entonces se obtiene:

α1 = 0β1 = 0, 7733γ1 = 0, 6340

La direccion principal ~n3 se obtiene por producto vectorial:

~n3 = ~n1 × ~n2 =

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k

0 0, 7733 0, 63401 0 0

∣∣∣∣∣∣∣=

00, 6340−0, 7733

Leccion 9

Comportamiento elastico.Constantes elasticas.

9.1. Ensayo de traccion simple. Ley de Hooke.

El ensayo de traccion simple es el mas sencillo de los que se emplean para la caracterizacionmecanica de los materiales. En la figura 9.1 se da una representacion esquematica de este ensayo.

Se utiliza una probeta mecanizada de forma que en una longitud L0 de la misma se tiene unarea de la seccion transversal Ω0 constante. La probeta se sujeta por sus extremos a la maquinade ensayo y esta aplica una fuerza F creciente, que estira la probeta de forma que la longitudL0 pasa a ser L = L0 + ∆L. En la parte central de la probeta se obtiene un estado uniaxial detension durante el proceso de carga.

En el ensayo se aumenta la fuerza F a una velocidad normalizada, hasta llegar a producirla rotura de la probeta. El resultado fundamental del ensayo es la curva F − ∆L representadaen la parte superior de la figura 9.2. Notese que el pico de fuerza tiene lugar antes de la rotura.Esto se debe a la estriccion o disminucion de la seccion transversal Ω0 inicial de la probeta alproducirse el estiramiento final de la misma.

Si se divide la fuerza F medida por la maquina de ensayo por el area de la seccion transversalinicial Ω0, se tiene la tension nominal en la probeta.

Del mismo modo, si se divide el incremento de longitud ∆L medido por la maquina de ensayopor la longitud inicial L0 de la probeta, se tiene la deformacion nominal en la probeta.

Las dos magnitudes anteriores se representan en la parte inferior de la figura 9.2. En estarepresentacion se distinguen las magnitudes siguientes:

Lımite de proporcionalidad σpEs el valor de la tension a partir de la cual deja de haber una relacion lineal entre tensiony deformacion.

Lımite elastico σeEs el valor de la tension a partir de la cual la deformacion de la probeta deja de serrecuperable. Es decir, si se supera esta tension, al descargar la probeta esta no recuperasu longitud inicial, sino que queda una deformacion residual.

Lımite elastico convencional σ0,2

71

72 LECCION 9. COMPORTAMIENTO ELASTICO. CONSTANTES ELASTICAS.

F F

L

Ω0

(Estado uniaxial de tensión)

Figura 9.1: Ensayo de traccion simple

En la practica, tanto el lımite de proporcionalidad como el lımite elastico pueden serdifıciles de determinar a partir de la curva resultado del ensayo. Por ello se trabaja con ellımite elastico convencional. El lımite elastico convencional es el valor de la tension parael que se produce un alargamiento remanente de la probeta del 0, 2 % (figura 9.3)1.

Lımite de fluencia σyEl lımite elastico se asimila tambien en el practica al llamado lımite de fluencia, quees la tension a partir de la cual los alargamientos de la probeta aumentan de maneraconsiderable, sin apenas incremento de fuerza.

Resistencia a la traccion σuEs la tension nominal maxima soportada por la probeta durante el ensayo. Se conoce aveces tambien como tension de rotura o tension ultima del material.

Deformacion de rotura εuEs el cociente Lu−L0

L0, donde Lu es la longitud final de la probeta, despues de reconstruir

la misma una vez producida la rotura. Notese que la deformacion de rotura no incluye ladeformacion recuperable en el momento de la rotura, ya que Lu se mide sobre la probetarota, una vez se ha sacado de la maquina de ensayo.

La relacion:σ = E ε (9.1)

que se verifica hasta alcanzar el lımite de proporcionalidad σp, se conoce con el nombre de Leyde Hooke, en honor a Robert Hooke, cientıfico ingles del siglo XVII que, trabajando con muelles,fue el primero en senalar que la tension responde siempre a una deformacion.

La constante de proporcionalidad E recibe el nombre de modulo de elasticidad o, tambien,modulo de Young del material. Valores caracterısticos de esta constante para diferentes materialesa temperatura ambiente se dan en la tabla al final de la seccion.

1No es habitual, pero el lımite elastico convencional puede definirse para otros alargamientos remanentes, comoel 0, 1%.

9.1. ENSAYO DE TRACCION SIMPLE. LEY DE HOOKE. 73

F

∆L

rotura

F/Ω0

∆L/L0

σnominal = F/Ω0

εnominal = ∆L/L0

σp

σe

σ ε= E (tensión proporcional a deformación)

Límite de proporcionalidad

Límite elástico

σu

Figura 9.2: Resultados del ensayo de traccion simple

La ductilidad es la propiedad de un material que le permite sufrir grandes deformaciones sinrotura y sin disminucion importante del nivel de tensiones.

La deformacion de rotura obtenida en el ensayo de traccion simple es un ındice de la duc-tilidad del material. El material sera tanto mas ductil cuanto mayor sea la diferencia entre ladeformacion correspondiente al lımite elastico y la deformacion de rotura.

La fragilidad es la propiedad contraria a la ductilidad. Los materiales fragiles son aquellos


σ

ε

σ0,2

0,002

Línea de descarga, paralela a la rectade carga inicial

Figura 9.3: Lımite elastico convencional

que tienen una deformacion de rotura pequena, comparable a la deformacion correspondienteal lımite elastico. Ejemplo de estos materiales son el vidrio y la fundicion gris. Estos materialestienen muy poca capacidad de redistribucion de fuerzas internas y, por lo tanto, son proclivesa sufrir roturas con niveles muy bajos de deformacion (roturas fragiles). Este tipo de roturaspueden ser peligrosas, ya que la estructura o componente mecanico no muestra signos visiblesde deterioro hasta el mismo momento del fallo 2.

Material E(GPa ≡ 109 Pa)

Aceros 190 a 210Aleaciones de aluminio 70 a 72Aleaciones de titanio 110 a 120Hormigon 20 a 30Fundicion gris 70 a 150Madera 11 a 14Fibra de poliester 3,5Resina epoxi 2,8Caucho natural 0,006 a 0,010

2Los ingenieros estructurales suelen decir que las estructuras construidas con materiales fragiles no “avisan”de que se se van a romper.

9.2. DEFORMACION EN SENTIDO TRANSVERSAL. COEFICIENTE DE POISSON. 75

FF

y

x

Figura 9.4: Deformacion transversal producida por la traccion

9.2. Deformacion en sentido transversal. Coeficiente de Poisson.

Al realizar el ensayo de traccion simple descrito en la seccion anterior, no solamente aumentala longitud de la probeta en sentido longitudinal, tambien se produce una disminucion de lasdimensiones transversales de la probeta (figura 9.4).

Cuando se somete un material isotropo a un estado de carga uniaxial, se producen alargamien-tos o acortamientos en la direccion la carga, segun sea la carga de traccion o de compresion,respectivamente. Pero ademas de estas deformaciones longitudinales, se producen tambien de-formaciones en sentido transversal, que son siempre de signo contrario a la deformacion quetiene lugar segun la direccion de la carga.

Simeon Poisson, el matematico frances de principios del siglo XIX, establecio que en unmaterial isotropo las deformaciones en sentido transversal son iguales en cualquier direccion yproporcionales a la deformacion longitudinal a traves de un coeficiente µ caracterıstico de cadamaterial. Este coeficiente µ se conoce hoy en dıa con el nombre de coeficiente de Poisson.

Es decir, si x es la direccion en la que actua la carga longitudinal (figura 9.4), las deforma-ciones en las direcciones transversales y y z vendran dadas por:

εy = −µ εx = −µ σnxE

εz = −µ εx = −µ σnxE

Si se introduce este resultado en la expresion de la variacion unitaria de volumen e para elensayo uniaxial se obtiene:

e = εx + εy + εz = εx − µ εx − µεx = (1 − 2µ) εx

De donde se deduce que la deformacion volumetrica unitaria e se anula para un valor de µ =0, 50. Con valores superiores del coeficiente de Poisson se obtendrıa una disminucion de volumenen el ensayo de traccion uniaxial, lo que no tiene sentido fısico para un material isotropo. De


este modo, el valor de 0, 50 es un lımite superior para el coeficiente de Poisson en esta clase demateriales.

Valores caracterısticos del coeficiente de Poisson para diferentes materiales a temperaturaambiente se dan en la tabla siguiente:

Material µ

Acero al carbono 0,30Acero inoxidable 0,28Aleaciones de aluminio 0,31Aleacion de titanio 0,31Hormigon 0,20Fundicion gris 0,23 a 0,27Caucho natural 0,47

9.3. Comportamiento elastico

Las ecuaciones que relacionan tensiones y deformaciones constituyen el ultimo grupo deecuaciones que hace falta para plantear el problema elastico desde el punto de vista matematico.

Las deformaciones pueden entenderse como la respuesta del material ante las fuerzas internasque se desarrollan en el mismo, de modo que a cada estado tensional le corresponde siempre unestado de deformaciones.

La relacion entre tensiones y deformaciones es caracterıstica de cada material. Por estemotivo, a las ecuaciones que vinculan tensiones y deformaciones se les llama a veces ecuacionesconstitutivas del material. En la teorıa de la elasticidad que estamos desarrollando se suponeque:

1. Existe una relacion lineal entre tensiones y deformaciones, es decir, hay proporcion entretensiones y deformaciones (por ejemplo, a doble tension le corresponde doble deformacion).

2. Las deformaciones son recuperables, es decir, las deformaciones desaparecen al desaparecerlas tensiones que las han ocasionado, volviendo el material al estado que tenıa antes de laaplicacion de las acciones exteriores.

Estas dos hipotesis caracterizan lo que se conoce como comportamiento elastico lineal delmaterial.

Leccion 10

Leyes de Hooke generalizadas.Ecuaciones de Lame.

10.1. Leyes de Hooke generalizadas

10.1.1. Sistema de referencia principal

Sea P un punto de un solido elastico sometido a un determinado estado tensional. Si el solidoes isotropo, las direcciones principales de tension y de deformacion coinciden y definen el sistemade referencia principal en P . En el sistema de referencia principal las matrices de tensiones y dedeformaciones son diagonales:

[Tp] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

[Dp] =

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

Una de las hipotesis del comportamiento elastico lineal del material es que existe una relacionlineal entre las componentes de las matrices [Tp] y [Dp]. Es decir:

ε1 = C11 σ1 + C12 σ2 + C13σ3

ε2 = C21 σ1 + C22 σ2 + C23σ3

ε3 = C31 σ1 + C32 σ2 + C33σ3

donde los coeficientes Cij son constantes reales, Cij ∈ R.Por la isotropıa del material, debe obtenerse la misma relacion entre tensiones y deforma-

ciones si se permuta el eje 1 por el eje 2. Es decir:

ε2 = C11 σ2 + C12 σ1 + C13σ3

ε1 = C21 σ2 + C22 σ1 + C23σ3

ε3 = C31 σ2 + C32 σ1 + C33σ3

Por lo que, identificando coeficientes en ambas relaciones, debe cumplirse que:

C11 = C21 C22 = C12 C13 = C23 C31 = C32

77

78 LECCION 10. LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS. ECUACIONES DE LAME.

De la misma forma, permutando los ejes 2 y 3 y los ejes 1 y 3, se obtiene que en conjuntodebe cumplirse:

C11 = C22 = C33 = A

C12 = C21 = C13 = C31 = C23 = C32 = B

donde A y B son dos constantes, A, B ∈ R.Si se particulariza para el caso de un estado uniaxial, esto es, para σ2 = σ3 = 0, se tiene

que:

ε1 = Aσ1

ε2 = ε3 = B σ1

de donde se deduce, identificando con las relaciones tension-deformacion en el estado uniaxial(leccion 9):

A =1E

B = − µ

E

Las relaciones entre tensiones y deformaciones principales quedan entonces:

ε1 =1E

[σ1 − µ (σ2 + σ3)]

ε2 =1E

[σ2 − µ (σ1 + σ3)]

ε3 =1E

[σ3 − µ (σ1 + σ2)]

Las tres ecuaciones anteriores son las leyes de Hooke generalizadas en el sistema de referenciaprincipal.

10.1.2. Sistema de referencia general

La matriz de tensiones [T ] en un sistema de referencia general puede obtenerse a partir de lamatriz de tensiones [Tp] en el sistema de referencia principal mediante la matriz [R] de cambiode base:

[T ] =


= [R]t [Tp] [R] = [R]t

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

[R]

Del mismo modo, la matriz de deformaciones [D] en un sistema de referencia general sera:

[D] =

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

= [R]t [Dp] [R] = [R]t

ε1 0 0

0 ε2 0

0 0 ε3

[R]

10.1. LEYES DE HOOKE GENERALIZADAS 79

Sustituyendo ε1, ε2 y ε3 por su expresion en funcion de σ1, σ2 y σ3 e introduciendo los compo-nentes de la matriz [R]:

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

=

r11 r21 r31

r12 r22 r32

r13 r23 r33

1E [σ1 − µ(σ2 + σ3)] 0 0

0 1E [σ2 − µ(σ1 + σ3)] 0

0 0 1E [σ3 − µ(σ1 + σ2)]

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

Identificando los terminos diagonales, por ejemplo εx, en la expresion anterior se obtiene:

εx = r211

1E

[σ1 − µ(σ2 + σ3)] + r221

1E

[σ2 − µ(σ1 + σ3)] + r231

1E

[σ3 − µ(σ1 + σ2)] =

=1Er211σ1 + r221σ2 + r231σ3 − µ[r211(σ2 + σ3) + r221(σ1 + σ3) + r231(σ1 + σ2)]

Por otro lado, de la relacion entre las matrices [Tp] y [T ] a traves de la matriz de cambio debase, se deduce de la misma forma que:

σnx = r211σ1 + r221σ2 + r231σ3

Por lo tanto:

εx =1Eσnx − µ[r211(σ2 + σ3) + r221(σ1 + σ3) + r231(σ1 + σ2)] =

=1Eσnx − µ[r211(σ1 + σ2 + σ3) + r221(σ1 + σ2 + σ3) + r231(σ1 + σ2 + σ3) −

−r211σ1 − r221σ2 − r231σ3] =

=1Eσnx − µ(σ1 + σ2 + σ3)(r211 + r221 + r231) + µσnx

Y como [R] es una matriz ortogonal (su inversa coincide con su traspuesta), resulta que:

r211 + r221 + r231 = 1

Con lo que, finalmente:

εx =1Eσnx − µ(σ1 + σ2 + σ3) + µσnx =

=1Eσnx − µ(σnx + σny + σnz) + µσnx =

=1E

[σnx − µ(σny + σnz)]

por ser σ1 + σ2 + σ3 = σnx + σny + σnz (primer invariante de tensiones).


De este modo, procediendo analogamente con εy y εz , resulta que

εx =1E

[σnx − µ(σny + σnz)] (10.1)

εy =1E

[σny − µ(σnx + σnz)] (10.2)

εz =1E

[σnz − µ(σnx + σny)] (10.3)

Identificando ahora en la misma ecuacion matricial los terminos de fuera de la diagonal, porejemplo 1

2γxy, se tiene:

12γxy = r11r12

1E

[σ1 − µ(σ2 + σ3)] + r21r221E

[σ2 − µ(σ1 + σ3)] + r31r321E

[σ3 − µ(σ1 + σ2)] =

=1Er11r12σ1 + r21r22σ2 + r31r32σ3 − µ[r11r12(σ2 + σ3) + r21r22(σ1 + σ3) + r31r32(σ1 + σ2)]

Por otro lado, de la relacion entre las matrices [Tp] y [T ] a traves de la matriz de cambio debase, se deduce de la misma forma que:

τxy = r11r12 σ1 + r21r22 σ2 + r31r32 σ3

Por lo tanto:12γxy =

1Eτxy − µ[r11r12(σ2 + σ3) + r21r22(σ1 + σ3) + r31r32(σ1 + σ2)] =

=1Eσnx − µ[r11r12(σ1 + σ2 + σ3) + r21r22(σ1 + σ2 + σ3) + r31r32(σ1 + σ2 + σ3) −

−r11r12σ1 − r21r22σ2 − r31r32σ3] =

=1Eτxy − µ(σ1 + σ2 + σ3)(r11r12 + r21r22 + r31r32) + µτxy

Y como [R] es una matriz ortogonal (su inversa coincide con su traspuesta), resulta que:

r11r12 + r21r22 + r31r32 = 0

Con lo que, finalmente:12γxy =

1Eτxy + µτxy =

=1 + µ

Eτxy

De este modo, procediendo analogamente con 12γxz y 1

2γyz , resulta que

12γxy =

1 + µ

Eτxy (10.4)

12γxz =

1 + µ

Eτxz (10.5)

12γyz =

1 + µ

Eτyz (10.6)

Las ecuaciones 10.1 a 10.6 reciben el nombre de leyes de Hooke generalizadas en un sistemade referencia general. Constituyen la generalizacion de la Ley de Hooke (9.1) para un estadotensional multiaxial.

10.2. MODULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL 81

10.2. Modulo de elasticidad transversal

La constante:G =

E

2(1 + µ)

recibe el nombre de modulo de elasticidad transversal. De acuerdo con las leyes de Hooke gen-eralizadas, G es la constante de proporcionalidad entre las tensiones de cortadura τ y las defor-maciones transversales (distorsiones angulares) γ:

τxy = Gγxy

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

10.3. Modulo de compresibilidad

Sumando miembro a miembro las ecuaciones 10.1 a 10.3 se tiene:

εx + εy + εz =1E

[σnx + σny + σnz − 2µ(σnx + σny + σnz)]

y si llamamos e al primer invariante de deformacion y 3p al primer invariante de tension resulta:

e =3(1− 2µ)

Ep

o tambien:p =

E

3(1 − 2µ)e = K e

donde la constante K recibe el nombre de modulo de compresibilidad. Dicho modulo es la con-stante de proporcionalidad entre la tension normal media p y la deformacion volumetrica unitariae.

10.4. Deformaciones y tensiones de origen termico

En un solido elastico, supuesto este homogeneo e isotropo, un incremento de temperatura∆T da lugar a deformaciones longitudinales de valor:

εx = α∆Tεy = α∆Tεz = α∆T

cuando la dilatacion termica no esta restringida. En las expresiones anteriores α es el coeficientede dilatacion lineal del material y ∆T = T−T0, donde T es la temperatura y T0 es la temperaturade referencia. El incremento de temperatura no da lugar a deformaciones transversales.

Entonces, si la dilatacion termica no esta restringida se pueden tener deformaciones sinque haya fuerzas internas (tensiones). Recıprocamente, si la dilatacion esta restringida por lascondiciones de contorno, apareceran tensiones que se opondran a la dilatacion y, en un casoextremo, se pueden tener tensiones sin que hayan deformaciones.


Para tener en cuenta las tensiones y deformaciones de origen termico, las leyes de Hookegeneralizadas se modifican de la manera siguiente:

εx − α∆T =1E


εy − α∆T =1E

[σny − µ(σnx + σnz)]

εz − α∆T =1E

[σnz − µ(σnx + σny)]

γxy =1Gτxy

γxz =1Gτxz

γyz =1Gτyz

Notese que en el primer miembro de las tres primeras ecuaciones se ha sustraido la parte termicade la deformacion, para dejar unicamente la parte de la deformacion longitudinal asociada a lastensiones.

10.5. Ecuaciones de Lame

Las leyes de Hooke generalizadas permiten obtener el estado de deformacion en el entornode un punto P de un solido elastico en funcion de su estado tensional. Las ecuaciones inversas,es decir, aquellas que permiten obtener el estado de tensiones a partir del estado de deforma-ciones, son las ecuaciones de Lame1. Estas ecuaciones se obtienen invirtiendo las leyes de Hookegeneralizadas y son las siguientes:

σnx = λ e + 2Gεx

σny = λ e + 2Gεy

σnz = λ e + 2Gεz

τxy = Gγxy

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

Donde λ es el modulo o constante de Lame y viene dada por:

λ =µE

(1 + µ) (1− 2µ)

1Gabriel Lame (1795-1870), ingeniero frances continuador del trabajo de Cauchy y de Navier en el desarrollode la teorıa de la elasticidad. Colaboro con el ingeniero espanol Agustın de Betancourt (1758-1825) en la fundacionde la Escuela de Vıas de Comunicacion de San Petersburgo, en 1809.


Z

X

Y

Ly

Lx

Lz

Z

X

∆

Figura 10.1: Definicion geometrica del solido y sus holguras


10.6.1. Deformacion con restricciones

El paralelepıpedo representado en la figura 10.1 puede deformarse con las restricciones sigu-ientes:

Movimiento libre en la direccion Y .

Movimiento impedido en la direccion X .

Holgura de valor ∆ en la direccion Z.

Calcular la tension de compresion σ que puede aplicarse en la direccion longitudinal Y paraque la deformacion del elemento cubra exactamente la holgura que se presenta en la direccionZ. (Datos: Lx, Ly, Lz , E y µ)

Solucion:Por el conjunto de restricciones y la forma de aplicar la carga, se tiene:

εx = 0 (no puede deformarse en direccion X)

εz =∆Lz

(se quiere que el solido llene el hueco)

σnz = 0 (se quiere que justo toque la pared del hueco, sin apretarse contra ella)

σny = σ (incognita)

Utilizando las leyes de Hooke generalizadas obtenemos lo siguiente:

εx = 0 =1E

[σnx − µ(σny + σnz)] −→ σnx = µ σ

εz =∆Lz

=1E

[σnz − µ (σnx + σny)] −→ ∆Lz

= − 1Eµ(1 + µ) σ


de donde resulta la tension de compresion pedida:

σ = −E∆Lz

1µ(1 + µ)

10.6.2. Determinacion de constantes elasticas

Un solido elastico macizo, de forma arbitraria, volumen 1000 cm3 y modulo de elasticidadE de 20 GPa, se introduce en un deposito cerrado lleno de aceite. Al aumentar la presion en elaceite hasta 1 MPa, el solido experimenta una disminucion de volumen de 0,05 cm3.

Determinar los valores del coeficiente de Poisson µ y del modulo de elasticidad transversalG.

Solucion:Los fluidos en reposo no resisten tensiones tangenciales: sus fuerzas internas son siempre

normales al plano de corte. En consecuencia, la matriz de tensiones en un punto P de un fluidoen reposo sera diagonal, con todos los terminos de la diagonal iguales entre sı:

[T ] =

−p 0 00 −p 00 0 −p

siendo p la presion en el punto P del fluido. El estado tensional dado por una matriz [T ] de estaclase se conoce con el nombre de estado esferico o estado hidrostatico.

La presion de 1 MPa es lo suficientemente grande como para despreciar los cambios depresion de un punto a otro de la superficie del solido sumergido causadas por las diferencias deprofundidad en el campo gravitatorio:

presion hidrostatica = peso especıfico del fluido × profundidad 1 MPa

Entonces, despreciando tambien las acciones gravitatorias sobre el volumen del solido, porequilibrio del solido sumergido, la matriz de tensiones sera constante en el solido y de valor:

[T ] =

−p 0 00 −p 00 0 −p

con p igual a 1 MPa.Tenemos entonces, por la definicion de modulo de compresibilidad:

e =∆VV

=3(1− 2µ)

E(−p)

Despejando y sustituyendo:

(1− 2µ) =∆VV

E

−3p=

−0, 051000

20000−3

=13

µ =13

G =E

2(1 + µ)=

202(1 + 0, 33)

= 7, 5 GPa


10.6.3. Tensiones debidas a deformaciones impuestas

Una barra de acero de 100 mm2 de seccion tiene adherido a su superficie un recubrimientode espesor despreciable. Cuando la barra se somete a una fuerza de traccion de 20 kN, elrecubrimiento se deforma solidariamente con ella. Se pide determinar el estado tensional en elrecubrimiento.

Datos de los materiales:

Acero Ea = 200 GPa µa = 0,30Recubrimiento Er = 10 GPa µr = 0,25

Solucion:El acero impone sus deformaciones al recubrimiento. Las deformaciones del acero se obtienen

a partir de su estado tensional, que es el mismo en toda la barra. Suponiendo que el ejeX coincidecon el eje longitudinal de la barra:

σnx =20000N100mm2

= 200 MPa

yσny = σnz = τxy = τxz = τyz = 0

Utilizando las leyes de Hooke generalizadas, se obtienen las deformaciones en el acero:

εx =σnxEa

=200 MPa200 GPa

= 0, 001

yεy = εz = −µ εx = −0, 0003

En la superficie de la barra el recubrimiento esta sometido a un estado tensional bidimen-sional, ya que la tension normal a la superficie es nula. El estado tensional esta definido por unatension normal segun el eje de la barra y una tension normal transversal al eje de la barra.

Por simetrıa, el estado tensional del recubrimiento es el mismo en toda la superficie dela barra. Si nos fijamos en un elemento de superficie con plano tangente paralelo al planocoordenado XOY , las leyes de Hooke generalizadas se escriben:

εx =1Er

(σnx − µr σny)

εy =1Er

(σny − µr σnx)

Donde εx y εy son las deformaciones impuestas por el acero y σnx y σny son las tensionesnormales en el recubrimiento, en las direcciones longitudinal y transversal al eje de la barra.Sustituyendo valores se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

0, 001 =1

10000(σnx − 0, 25 σny)

−0, 0003 =1

10000(σny − 0, 25 σnx)

cuya solucion es el resultado pedido:

σnx = 9, 87 MPaσny = −0, 53 MPa


10.6.4. Tensiones debidas a aumento de temperatura

Una vıa de ferrocarril se ha proyectado para que los raıles, de longitud igual a 28 m, no estensometidos a tension alguna a una temperatura T0 de 23,6 oC.

Calcular la tension en los raıles cuando la temperatura baja a -2 oC en los siguientes casos:

1. Cuando los extremos de los raıles estan fijos.

2. Cuando existe una tolerancia de acortamiento de 6,72 mm en cada raıl.

Datos: E=200 GPa, α= 11,72× 10−6 oC−1.

Solucion:El estado tensional de cada raıl puede suponerse que es uniaxial. Si X es la direccion longi-

tudinal del raıl:σny = σnz = 0

y, por las leyes de Hooke generalizadas:

εx − α∆T =σnxE

1. Extremos fijos

Si los extremos de los raıles estan fijos, sera εx = 0 y tendremos que:

σnx = −E α∆T = −200 × 109 11, 72× 10−6 (−2 − 23, 6) = 60 MPa (traccion)

2. Tolerancia (holgura) de acortamiento de 6,72 mm

Si los extremos de los raıles estan fijos, sera εx = 6,7228000 = −0, 24× 10−3 y tendremos que:

σnx = E (εx−α∆T ) = 200×109 [−0, 24×10−3−11, 72×10−6 (−2−23, 6)] = 12 MPa (traccion)

Leccion 11

El problema elastico. Principio deSaint-Venant.

11.1. Planteamiento general del problema elastico

Se tiene un solido elastico que ocupa un volumen V ⊂ R3 y que esta limitado por unasuperficie S = Sd ∪St de modo que Sd ∩St = ∅ (figura 11.1). La superficie S tiene una normal~n que varıa de un punto a otro de la misma.

Sobre la parte Sd de la superficie S se imponen desplazamientos:

~δ∗p =

uv

w

mientras que sobre la parte St actuan fuerzas de superficie:

~fs =

X

YZ

Ademas, en el volumen V actua un campo fuerzas por unidad de volumen:

~fv =

X

YZ

Las incognitas del problema ası planteado son:

Campo vectorial de desplazamientos definido en el volumen V del solido:

~δp =

uvw

Campo tensorial de tensiones definido en el volumen V del solido:

[T ] =

σnx τxy τxzτxy σny τyzτxz τyz σnx

87

88 LECCION 11. EL PROBLEMA ELASTICO. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT.

V

Z

X

Y

S

n

Figura 11.1: Solido elastico

Campo tensorial de deformaciones definido en el volumen V del solido:

[D] =

εx12γxy

12γxz

12γxy εy

12γyz

12γxz

12γyz εz

Las ecuaciones que permiten resolver el problema planteado son:

1. Ecuaciones cinematicas en el volumen V :

εx =∂u

∂x

εy =∂v

∂y

εz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x

11.1. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA ELASTICO 89

γyz =∂w

∂y+∂v

∂z

2. Ecuaciones cinematicas en el contorno Sd:

~δp =

u

vw

=

u

vw

= ~δ∗p

3. Ecuaciones constitutivas o de respuesta del material1 en el volumen V :

εx =1E


εy =1E

[σny − µ(σnx + σnz)]

εz =1E

[σnz − µ(σnx + σny)]

τxy = Gγxy

τxz = Gγxz

τyz = Gγyz

4. Ecuaciones de equilibrio en el volumen V :

∂σnx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

+ X = 0

∂τxy∂x

+∂σny∂y

+∂τyz∂z

+ Y = 0

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σnz∂z

+ Z = 0

5. Ecuaciones de equilibrio en el contorno St:

~fs = [T ]~n

Estos cinco grupos de relaciones proporcionan las ecuaciones necesarias para resolver elproblema elastico.

En un caso general, se necesita utilizar procedimientos de calculo numerico para obtenerla solucion del problema. El procedimiento mas extendido en problemas de elasticidad es elmetodo de los elementos finitos. Tambien se emplean el metodo de los elementos de contorno ylos procedimientos de diferencias finitas.

1En el caso del problema elastico en un material isotropo, estas ecuaciones corresponden a la Ley de Hookegeneralizada.


St

f1

s

A

Figura 11.2: Distribucion de fuerzas sobre la superficie A

11.2. Principio de superposicion

Las ecuaciones de la seccion anterior responden a las hipotesis de la teorıa de la elasticidadlineal, que son las siguientes:

1. El solido elastico es continuo y permanece continuo bajo las acciones exteriores (ver leccion1).

2. Las acciones exteriores producen en el solido elastico pequenos desplazamientos, deforma-ciones y giros. Esto se conoce a veces como principio de rigidez relativa: se desprecia elcambio de geometrıa del solido durante la deformacion (ver lecciones 6 y 7).

3. Existe una relacion lineal entre tensiones y deformaciones (ver leccion 9).

4. Las deformaciones son recuperables. Existe un estado de referencia del solido, normalmenteel estado original sin deformar, al cual vuelve el solido al retirar las acciones exteriores(ver leccion 9).

Cuando se se cumplen estas cuatro hipotesis, el problema elastico es un problema lineal desdeel punto de vista matematico y, en consecuencia, aplica el llamado principio de superposicion: lasolucion de tensiones, deformaciones y desplazamientos debida a la aplicacion de varias accionesexteriores es igual a la suma de las soluciones que corresponden a la aplicacion de las accionesexteriores por separado. Notese la linealidad de las ecuaciones planteadas en la seccion anterior.

Una consecuencia inmediata del principio de superposicion es que el estado final del solidoelastico no depende del orden en que se aplican las acciones exteriores.

11.3. Principio de Saint-Venant

Sea ~f1s la distribucion de fuerzas de superficie que actua sobre una superficie A dentro de la

superficie exterior S del solido elastico, A ⊂ St ⊂ S (figura 11.2).

11.3. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT 91

f (N/m )2

A (m )2

equivale a la idealización:

salvo en la zona alrededor del puntode aplicación de F

La situación real

F = A f

Figura 11.3: Consecuencia del principio de Saint-Venant

El principio de Saint-Venant2 dice que si ~f1s se sustituye por otra distribucion ~f2

s , estatica-mente equivalente a ~f1

s , entonces el estado de tensiones y deformaciones en el solido elastico solocambia en el entorno de la zona A de aplicacion de las fuerzas y no en zonas suficientementealejadas de la misma.

Recuerdese que dos sistemas de fuerzas son estaticamente equivalentes si tienen la mismaresultante y, ademas, dan el mismo momento resultante respecto a cualquier punto del espacio.

Una consecuencia del principio de Saint-Venant es que las fuerzas distribuidas en zonas desuperficie pequena se pueden sustituir por fuerzas puntuales estaticamente equivalentes a lasfuerzas distribuidas sin que se altere el campo de tensiones en el solido, salvo en una zona localalrededor del punto de aplicacion (figura 11.3).

2Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797-1886), ingeniero y cientıfico frances del siglo XIX, pionero en eldesarrollo de la teorıa de la elasticidad y la resistencia de materiales.



11.4.1. Aplicacion del principio de Saint-Venant

Un solido prismatico “largo”, de seccion rectangular 2a× 2b, esta sometido en su extremo auna distribucion de fuerzas de superficie dada por:

~fs =

XY

Z

=

0

0

q[1 − (xa)2]

respecto al sistema OXY Z de la figura 11.4.Se pide determinar una distribucion de fuerzas mas simple, que aplicada en el extremo origine

un estado tensional identico en puntos suficientemente alejados de el.

b

b

a

a

O

Z

X

Y

Figura 11.4: Extremo del solido prismatico

Solucion:Segun el principio de Saint-Venant, el estado tensional sera identico en puntos suficientemente

alejados si la distribucion de fuerzas es estaticamente equivalente a la dada.La fuerza resultante de la distribucion dada es:

~R =

RxRyRz

=

∫ a

−a

∫ b

−b~fs dx dy =

0

0∫ a−a∫ b−b Z dx dy

Es decir,

Rz =∫ a

−a

∫ b

−bq[1− (

x

a)2] dx dy = 2 b q [x− x3

3a2]a−a

= 2 b q (2a− 2a3

) = 4 bq2a3

=83ab q

Y el momento resultante respecto al origen de la seccion:

d ~M = ~r × ~fs dx dy =

y Z dx dy−x Z dx dy

0


Luego,

~M =

Mx

My

Mz

=

∫ a

−a

∫ b

−bd ~M dx dy =

∫ a−a∫ b−b y Z dx dy

∫ a−a∫ b−b −x Z dx dy

0

=

000

En consecuencia, un sistema estaticamente equivalente a la distribucion de fuerzas dada esuna fuerza puntual F = 8

3abq, en la direccion del eje Z y aplicada en el origen O de la seccionextrema del solido.

Segun el principio de Saint-Venant, esta fuerza puntual dara lugar a un estado tensionalidentico en puntos suficientemente alejados del punto de aplicacion.


Leccion 12

Estados elasticos planos

12.1. Estados elasticos bidimensionales

Hay muchos problemas de interes practico en los que la geometrıa del solido elastico, susustentacion y el sistema de fuerzas exteriores a que esta sometido hacen que tanto la matriz detensiones como la matriz de deformacion no varıen en los puntos del solido pertenecientes a unamisma recta perpendicular a un plano dado.

Esto quiere decir que existe un plano, que llamaremos plano director, tal que los estadosde tensiones y deformaciones en los planos paralelos a el son identicos. De ahı que sea posibleestudiar los estados de tensiones y deformaciones en el plano director. Por este motivo, dichosestados de tensiones reciben el nombre de estados elasticos bidimensionales.

Lo anterior es ası sin perjuicio de que a estos estados les sea aplicable la teorıa general quehemos visto en las lecciones anteriores.

De entre los estados elasticos bidimensionales distinguiremos el estado de deformacion planay el estado de tension plana, segun se trata en las secciones siguientes.

12.1.1. Deformacion plana

Consideremos un solido cilındrico infinito, cuyas generatrices son paralelas al eje OZ de unsistema trirrectangular de referencia (figura 12.1). Todas las secciones del solido elastico porplanos perpendiculares al eje OZ son identicas entre sı. Notese que, debido a la longitud infinitadel solido, cualquier plano perpendicular al eje OZ es un plano de simetrıa del solido.

Al solido elastico anterior se le somete a un sistema de fuerzas de superficie y de volumentales que:

No tienen componente en Z.

Son independientes de la coordenada Z, es decir, tienen el mismo valor a lo largo de rectasparalelas al eje Z.

Por las condiciones de geometrıa del solido y por las condiciones en que se aplican las fuerzasse cumple lo siguiente:

1. Cualquier plano perpendicular al eje OZ es un plano de simetrıa geometrica y de carga.En consecuencia, puntos del solido que estan en un plano perpendicular al eje OZ antes

95

96 LECCION 12. ESTADOS ELASTICOS PLANOS

Y

X

Z

O

Figura 12.1: Estado de deformacion plana

de la deformacion estaran en un plano perpendicular a OZ despues de la deformacion:

∂w

∂x=∂w

∂y= 0

(todos los puntos de la seccion se mueven lo mismo en direccion Z)

2. Todos los puntos a lo largo de una recta paralela al eje OZ tienen el mismo desplazamientoen direccion X e Y :

∂u

∂z=∂v

∂z= 0

12.1. ESTADOS ELASTICOS BIDIMENSIONALES 97

3. La deformacion segun el eje OZ, εz , no puede depender de las coordenadas x o y, ya quelos puntos del solido se mueven permaneciendo en planos paralelos, normales al eje OZ:

εz =∂w

∂z= constante = εz0

De lo anterior se deduce que:

γxz =∂u

∂z+∂w

∂x= 0

γyz =∂v

∂z+∂w

∂y= 0

εz =1E

[σnz − µ(σnx + σny)] = εz0

y, por tanto:

τxz = Gγxz = 0

τyz = Gγyz = 0

σnz = E εz0 + µ(σnx + σny)

En consecuencia, la matriz de tensiones tiene la forma:

[T ] =

σnx τxy 0τxy σny 00 0 σnz

A partir de esta matriz de tensiones, las ecuaciones de equilibrio interno pueden escribirsecomo:

∂σnx∂x

+∂τxy∂y

+ X = 0

∂τxy∂x

+∂σny∂y

+ Y = 0

∂σnz∂z

+ Z = 0

y como, segun nuestras hipotesis, la componente Z de las fuerzas de volumen es nula, resultaque:

∂σnz∂z

= 0

Es decir, la tension σnz es constante a lo largo de rectas paralelas al eje OZ.Finalmente, la matriz de deformaciones sera:

[D] =

εx12γxy 0

12γxy εy 0

0 0 εz0


Y

X

X

Z

t

O

Figura 12.2: Estado de tension plana

en donde εz0 es una constante. En la practica esta constante se supone que es nula, salvo queexistan datos que permitan calcularla.

Vemos pues que, en el caso de que se cumplan las hipotesis de deformacion plana, resultaposible trabajar sobre el plano XY , seccion transversal del solido elastico, y que las ecuacionesse simplifican mucho.

12.1.2. Tension plana

Consideremos un solido elastico en forma de placa con un espesor t muy pequeno (figura12.2). Al solido elastico anterior se le somete a un sistema de fuerzas de superficie y de volumentales que:

No actuan fuerzas de superficie en las caras superior e inferior, de aquı que las tensionesen estas caras sean nulas.

Las fuerzas de superficie que actuan en el contorno lateral no tienen componente en Z.

Las fuerzas de volumen no tienen componente en Z.

12.2. DIRECCIONES Y TENSIONES PRINCIPALES 99

De acuerdo con las condiciones anteriores, la matriz de tensiones tiene la forma:

[T ] =

σnx τxy 0τxy σny 00 0 0

Si el espesor es pequeno con respecto a las otras dimensiones de la placa, las componentes dela matriz de tensiones adoptaran aproximadamente el mismo valor en todos los puntos de cadasegmento paralelo al eje OZ contenido en la placa, es decir, seran funcion exclusivamente de lascoordenadas X e Y .

Las componentes de la matriz de deformacion seran:

εx =1E

(σnx − µσny)

εy =1E

(σny − µσnx)

εz = − µ

E(σnx + σny)

γxy =τxzG

γxz =τxzG

= 0

γyz =τyzG

= 0

Vemos pues como las componentes de la matriz de deformacion son tambien funcion exclu-sivamente de las coordenadas X e Y y, en consecuencia, resulta posible trabajar sobre el planoXY , como en el caso de deformacion plana.

12.2. Direcciones y tensiones principales

En los estados elasticos bidimensionales que hemos analizado en la seccion anterior hay unadireccion principal que es conocida a priori: la direccion principal del eje OZ (la perpendicular alplano director del problema). Ademas, en el caso del estado de tension plana, la tension principalasociada a dicha direccion es nula.

En el estudio de los estados tensionales planos estaremos normalmente interesados en lastensiones segun planos que contengan al eje OZ. Como el eje OZ es paralelo a una de lasdirecciones principales, nos encontraremos entonces sobre uno de los tres cırculos de Mohr queveıamos en la leccion 5. Es decir, seran planos definidos por vectores ~n = (α, β, γ) en el sistemade referencia principal, con α = 0, β = 0 o γ = 0. Si σnz = σ3, entonces γ = 0 y el cırculo deMohr es el representado en las figuras 12.3 y 12.4.


III

I

IIPP

n

τ

σn

II

II I

θ

n

II

I

n

τ

σn

θθ

σ2

σ1

S

Figura 12.3: Planos que contienen al eje principal III

σn

σ1

σ2

τ

C3

2θ



Figura 12.4: Planos que contienen al eje principal III. Puntos de tension sobre circunferencia C3

Conocida ya una de las tres tensiones principales, σnz , nos puede interesar representar elcırculo de Mohr anterior a partir de las componentes del estado plano referidas al sistema dereferencia general OXYZ. Para ello, se tiene lo siguiente:


Centro del cırculo:σn =

σnx + σny2

Radio del cırculo: √τ2xy + (

σnx − σny2

)2

Tensiones principales:

σI =σnx + σny

2+√τ2xy + (

σnx − σny2

)2

σII =σnx + σny

2−√τ2xy + (

σnx − σny2

)2

Angulo desde el eje I al eje de tension normal mayor:

tan(2θp) =−2τxy

|σnx − σny |

Angulo desde el eje de tension normal mayor al eje I :

tan(−2θp) =2τxy

|σnx − σny |


12.3.1. Suma de estados tensionales planos

En el punto P de un solido elastico se consideran los estados tensionales 1 y 2 debidos a laaplicacion de dos sistemas de fuerzas diferentes y definidos por los diagramas de la figura 12.5.Se pide dibujar el cırculo de Mohr correspondiente al estado tensional suma de los dos.

Solucion:Se trata de dos estados planos de tension:

1. Matriz de tensiones en el estado 1:

[T1] =

[3 −2−2 −3

]MPa

2. Matriz de tensiones en el estado 2:

[T ′2] =

[0 55 0

]MPa

que hay que poner en los mismos ejes que [T1].


(1)

X

Y

.3 MPa

2

2

3

3

22

3 P

(2)

X

Y

.

55

55

P MPa

45º

Figura 12.5: Estados de tension 1 y 2

La matriz de cambio de ejes es:

[R] =

[cos(45o) sin(45o)− sin(45o) cos(45o)

]

Luego,

[T2] = [R]t[T ′2][R] =

[cos(45o) − sin(45o)sin(45o) cos(45o)

] [0 55 0

][cos(45o) sin(45o)− sin(45o) cos(45o)

]=

[−5 00 5

]MPa

Lo que da un estado tensional suma de:

[T ] = [T1] + [T2] =

[−2 −2−2 2

]MPa

y el cırculo de Mohr tiene como centro y radio (figura 12.6):

σn =−2 + 2

2= 0 (centro)

√τ2xy + (

σx − σy2

)2 =√

22 + (−42

)2 = 2√

2 MPa (radio)

12.3.2. Orientacion del corte de una chapa con defectos

Para cortar una placa que ha de estar sometida a un estado tensional dado por la matriz:

[T ] =

[2 −3−3 1

]MPa

se dispone de una chapa de material con pequenas fisuras paralelas (figura 12.7). Indıquese laforma mas conveniente de cortar la placa desde el punto de vista de la resistencia de la misma.


σn

τ

2 (2)1/ 2

2 (2)1/ 2

Figura 12.6: Cırculo de Mohr suma de los estados 1 y 2

(Dar el angulo θ de la direccion de las fisuras con respecto al eje OX del sistema de referenciaOXY con respecto al cual se da la matriz de tensiones [T ]).

Solucion:Las fisuras solo resisten bien un esfuerzo de compresion. Como no hay restricciones en el corte

de la placa, buscaremos que haya una tension principal de compresion apretando las fisuras.El cırculo de Mohr correspondiente al estado tensional dado es:

Centro del cırculo:σn =

σnx + σny2

=2 + 1

2= 1, 5 MPa

Radio del cırculo:√τ2xy + (

σnx − σny2

)2 =√

32 + (2 − 1

2)2 = 3, 04 MPa

Tensiones principales:

σI =σnx + σny

2+√τ2xy + (

σnx − σny2

)2 =2 + 1

2+√

32 + (2− 1

2)2 = 4, 54 MPa

σII =σnx + σny

2−√τ2xy + (

σnx − σny2

)2 =2 + 1

2−√

32 + (2− 1

2)2 = −1, 54 MPa

Angulo desde el eje I al eje OX :

tan(2θp) =−2τxy

(σnx − σny)=

−2 (−3)(2− 1)

= 6 −→ θp = 40, 27o


X

Y

θ

Figura 12.7: Orientacion del corte de la chapa

Por lo tanto, como se trata de que las fisuras queden apretadas por la tension principal decompresion, la orientacion de las mismas ha de ser paralela a la direccion principal I . El anguloθ entre el eje X y la orientacion de las fisuras ha de ser de 40,27o.

12.3.3. Comparacion entre estados tensionales

En un punto P de un solido elastico se consideran dos estados planos de tensiones. Elprimero es el indicado en la figura 12.8, que representa un elemento diferencial referido a unsistema OXY . El segundo corresponde a la matriz [T ′], referida a otro sistema OX ′Y ′.

[T ′] =

[50 4040 −10

]MPa

Se pide comprobar si ambos estados pueden ser identicos, obteniendo en caso afirmativo el anguloα que para ello deben formar sus sistemas de referencia.

Solucion:Los dos estados seran identicos si dan lugar al mismo cırculo de Mohr.


X

Y

.60 MPa

30

30

20

20

30

30

60 P

Figura 12.8: Estado tensional 1

1. Estado 1.

[T ] =

[60 −30−30 −20

]MPa

Centro del cırculo:

σn =σnx + σny

2=

60− 202

= 20 MPa


σnx − σny2

)2 =√

302 + (40)2 = 50 MPa

2. Estado 2.

[T ′] =

[50 4040 −10

]MPa

Centro del cırculo:

σn =σnx + σny

2=

50− 102

= 20 MPa


σnx − σny2

)2 =√

402 + (30)2 = 50 MPa

El cırculo de Mohr es el mismo en ambos casos, luego el estado tensional es identico en amboscasos. El angulo α entre el eje OX ′ y el OX vale:

2α = arctan30

60− 20+ arctan

4050− 20

= 36, 87o + 53, 13o = 90o −→ α = 45o


Leccion 13

Trabajo de las fuerzas aplicadas.Energıa elastica

13.1. Concepto de energıa de deformacion

Sea un solido elastico en un estado inicial indeformado, es decir, con las componentes de lasmatrices de tensiones y de deformacion identicamente nulas en todos sus puntos. Al aplicar sobreel solido un sistema de fuerzas exteriores, el solido se deforma y el sistema de fuerzas realiza untrabajo que llamaremos We.

Si se supone que el paso del estado inicial indeformado al estado final deformado del solidoelastico se realiza de manera reversible, es decir, con una velocidad de deformacion infinitamentepequena y con un trabajo despreciable de las fuerzas de rozamiento interno y de rozamiento enlos enlaces, entonces el trabajo We de las fuerzas exteriores queda almacenado en el solido enforma de potencial interno o energıa de deformacion U :

U = We

Esta es una forma del primer principio de la Termodinamica (conservacion de la energıa).La energıa de deformacion es la energıa que adquiere el solido elastico al pasar de un estadoindeformado a un estado deformado. Si se asume que el proceso de deformacion es reversible, esposible recuperar esta energıa al regresar el solido a su estado inicial indeformado.

13.2. Coeficientes de influencia y de rigidez

13.2.1. Coeficientes de influencia

Consideremos un solido con comportamiento elastico lineal. Segun lo visto en lecciones an-teriores, esto implica lo siguiente:

Se verifica el principio de superposicion, es decir, el efecto producido por la accion si-multanea de un conjunto de fuerzas es la suma de los efectos producidos por cada una delas fuerzas del sistema actuando por separado.

En particular, las deformaciones del solido son tan pequenas que la aplicacion de cualquierade las fuerzas no modifica las lıneas de accion de las restantes fuerzas aplicadas al solido.

107

108 LECCION 13. TRABAJO DE LAS FUERZAS APLICADAS. ENERGIA ELASTICA

i

j

Fi

Fj

ij

Fi

Fj

1

Dijdij

Figura 13.1: Sistema de fuerzas y desplazamientos asociados

En cualquier punto del solido elastico, cada fuerza aplicada produce un movimiento (giro,desplazamiento) que es proporcional a la fuerza aplicada.

Sea ~F1, ~F2... ~Fn un sistema de fuerzas aplicadas en los puntos 1, 2 . . .n del solido y sea δij laproyeccion del desplazamiento del punto i sobre la lınea de accion de la fuerza ~Fi aplicada sobreel, cuando solamente se aplica sobre el solido una fuerza unidad en el punto j segun la lınea deaccion de ~Fj (figura 13.1).

El coeficiente δij se conoce con el nombre de coeficiente de influencia del punto j en el puntoi. Por tratarse de un solido elastico lineal, si en vez de aplicarse una fuerza unidad en j se aplicauna fuerza ~Fj , el desplazamiento del punto i en la direccion de la fuerza ~Fi serıa δij Fj .

Por el principio de superposicion, la proyeccion δi del desplazamiento del punto i en ladireccion de la fuerza ~Fi (desplazamiento eficaz de i) cuando actuan simultaneamente todas lasfuerzas del sistema sera:

δi =n∑

k=1

δik Fk (13.1)

Es decir, el desplazamiento eficaz es una combinacion lineal de los modulos de las fuerzas apli-cadas. Los coeficientes de la combinacion lineal son los coeficientes de influencia.

El razonamiento es similar si ~Fi representa un par aplicado en el punto i. En este caso δirepresenta el giro alrededor de eje del par, y δij representa el giro en i alrededor del eje del parocasionado por la aplicacion de una fuerza o par unidad en el punto j.

13.2.2. Coeficientes de rigidez

De modo analogo a como se han definido los coeficientes de influencia δij pueden definirselos coeficientes de rigidez kij .

Sea ~∆1, ~∆2...~∆n un sistema de movimientos (desplazamientos, giros) impuestos en los puntos1, 2 . . .n del solido. El coeficiente de rigidez kij es la fuerza (momento) que aparece sobre el solidoen el punto i en la direccion del movimiento ~∆i impuesto en este punto, cuando unicamente seimpone un movimiento unidad en el punto j segun la direccion de ~∆j , siendo nulo el movimientode los restantes puntos 1, 2 . . .n distintos de j (figura 13.2).

13.3. CALCULO DE LA ENERGIA DE DEFORMACION 109

i

j

Di

Dj ij

Di

Dj

1

Fijkij

movimiento impuesto unidad

movimiento nulo

fuerza para anular el movimiento de i

Figura 13.2: Sistema de movimientos y fuerzas asociadas

De esta forma, se obtiene la relacion inversa de 13.1:

Fi =n∑

k=1

kik δk

13.3. Calculo de la energıa de deformacion

Se considera un solido elastico lineal al que solamente aplicamos fuerzas o momentos con-centrados ~Fi en numero finito. Las fuerzas se aplican de forma lenta, progresiva y lineal, desdesu valor inicial (nulo) hasta su valor total final.

El proceso se supone que es reversible, de forma que todo el trabajo desarrollado por lasfuerzas exteriores durante su aplicacion queda almacenado en el solido en forma de potencialinterno o energıa de deformacion U .

13.3.1. Calculo en funcion de las fuerzas exteriores

Al aplicar las fuerzas de forma progresivamente creciente se puede suponer que cada una deellas toma el valor ρFi, siendo ρ un parametro de carga que varıa de forma continua de 0 a 1(figura 13.3).

Si δi es la proyeccion del desplazamiento del punto i sobre la lınea de accion de ~Fi, el trabajodel sistema de fuerzas exteriores en un incremento dρ del parametro de carga sera:

dWe =n∑

i=1

ρFi δidρ

y en consecuencia, el trabajo total sera:

We =∫ 1

ρ=0dWe =

∫ 1

0

n∑

i=1

ρFi δidρ =n∑

i=1

Fi δi

[ρ2

2

]1

0

=12

n∑

i=1

Fi δi


Y como la energıa de deformacion es el trabajo realizado por las fuerzas exteriores, se tienefinalmente que:

U = We =12

n∑

i=1

Fi δi (formula de Clapeyron)

Por otro lado, como los desplazamientos eficaces δi se pueden poner como:

δi =n∑

k=1

δik Fk

resulta que la energıa de deformacion es una funcion homogenea de segundo grado (formacuadratica) de los modulos de las fuerzas aplicadas:

U =12

n∑

i=1

n∑

k=1

δik Fk Fi

13.3.2. Calculo en funcion de los desplazamientos eficaces

A partir de la formula de Clapeyron:

U =12

n∑

i=1

Fi δi

como se tiene que:

Fi =n∑

k=1

kik δk

d

di

rdi

rFi

Fi

F

Figura 13.3: Aplicacion lineal progresiva de la fuerza

13.3. CALCULO DE LA ENERGIA DE DEFORMACION 111

Z

X

Y σnx

σnx

dx

dz

dy

Figura 13.4: Tension normal σnx sobre el elemento de volumen

resulta:

U =12

n∑

i=1

n∑

k=1

kik δk δi

Es decir, la energıa de deformacion es tambien una funcion homogenea de segundo grado (formacuadratica) de los desplazamientos eficaces experimentados por los puntos de aplicacion de lasfuerzas.

En un solido con comportamiento elastico lineal, se puede demostrar que la energıa dedeformacion es una forma cuadratica definida positiva, esto es, que U ≥ 0 y que U = 0 implicaque F1 = F2 = . . .= Fn = 0 o que δ1 = δ2 = . . . = δn = 0.

13.3.3. Calculo en funcion de las matrices de tension y deformacion

Si se considera un elemento diferencial de volumen en el interior del solido elastico, durante elproceso de deformacion las tensiones (fuerzas internas) realizan un trabajo sobre el mismo. Otramanera de calcular la energıa de deformacion es obtener la energıa acumulada en cada elementode volumen por las fuerzas internas y sumar (integrar) para todo el volumen del solido.

Trabajo realizado por las tensiones normales

Consideremos la tension normal σnx (figura 13.4). Durante el proceso de deformacion σnxvale ρσnx, con 0 ≤ ρ ≤ 1. La variacion de σnx dentro del elemento diferencial de volumen(debida a las fuerzas de volumen) se desprecia, ya que da lugar a infinitesimos de ordensuperior.

En un incremento dρ del parametro de carga, el trabajo sobre el elemento de volumen sera:

dW = ρσnx dy dz (u+∂u

∂xdx) dρ− ρσnxdy dz u dρ = ρσnx

∂u

∂xdx dy dz dρ = ρσnx εx dV dρ


E integrando a lo largo del proceso de carga:

dW =12σnx εx dV

De la misma forma, se puede ver para las otras tensiones normales que:

dW =12σny εy dV

dW =12σnz εz dV

Trabajo realizado por las tensiones tangenciales

Consideremos la tension tangencial τxy (figura 13.5). Durante el proceso de deformacionτxy vale ρτxy, con 0 ≤ ρ ≤ 1. Despreciando tambien la variacion de τxy dentro del elementodiferencial de volumen, se tiene:

dW = ρτxy dx dz (u+∂u

∂ydy) dρ + ρτxy dy dz (v +

∂v

∂xdx) dρ − ρτxy dx dz u dρ − ρτxy dy dz v dρ

= ρτxy (∂u

∂y+∂v

∂x) dx dy dz dρ = ρτxyγxy dV

De la misma forma, se puede ver para las otras tensiones tangenciales que:

dW =12τxz γxz dV

dW =12τyz γyz dV

Z

X

Y

τxy

τyx

dy

dx

dz

Figura 13.5: Tension tangencial τxy sobre el elemento de volumen


Ası, aplicando el principio de superposicion, la energıa de deformacion se puede poner enfuncion de las componentes de la matriz de tensiones y de deformaciones como:

U =∫

VdW =

12

∫

V(σnxεx + σnyεy + σnzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) dV

Si en la expresion anterior se sustituyen las tensiones en funcion de las deformaciones segunlas ecuaciones de Lame, se tiene:

U =12

∫

V[λe2 + 2G(ε2x + ε2y + ε2z) +G(γ2

xy + γ2xz + γ2

yz)] dV

De la relacion anterior se deduce que la energıa de deformacion U de un solido elastico queresponde a la Ley de Hooke generalizada (ecuaciones de Lame), es U ≥ 0 y U = 0 unicamentecuando la matriz de deformacion sea nula en todos los puntos del solido.

De este modo, la energıa de deformacion U en un solido elastico lineal es una funcion definidapositiva.

13.3.4. Unicidad de la energıa de deformacion

Todas las expresiones de la energıa de deformacion U vistas en los parrafos anteriores serefieren a la misma magnitud. Es decir, se cumple:

U =12

n∑

i=1

Fi δi =12

∫

S(Xu+ Y v + Zw) dS +

12

∫

V(Xu+ Y v + Zw) dV

=12

∫

V(σnxεx + σnyεy + σnzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) dV


13.4.1. Matriz de influencia

Sobre dos puntos 1 y 2 de la superficie de un solido elastico hay aplicadas fuerzas F1 = 7000N y F2 = 12000 N, siendo los desplazamientos eficaces respectivos: δ1 = 0, 1 mm y δ2 = 0, 5 mm.

Si aplicando solamente F1 el punto 1 se desplaza 0, 08 mm en la direccion de F1, determinarcual sera el desplazamiento del punto 2 en la direccion de F2 cuando solo actue F2.

Solucion:Las fuerzas aplicadas y los desplazamientos eficaces estan relacionados por los coeficientes

de influencia (formula 13.1):(δ1δ2

)=

[δ11 δ12

δ21 δ22

]=

(F1

F2

)

Por el teorema de reciprocidad (leccion 15), se cumple que δ21 = δ12. Tenemos entonces lasecuaciones siguientes para determinar los coeficientes de influencia:

0, 1 = δ11 7000 + δ12 120000, 5 = δ12 7000 + δ22 12000

0, 08 = δ11 7000


con δij en mmN .

De estas ecuaciones se deduce que:

δ11 =0, 087000

= 1, 14 × 10−5 mm

N

δ12 =0, 1− 1, 14× 10−5 7000

12000= 1, 68 × 10−6 mm

N

δ22 =0, 5− 1, 68× 10−6 7000

12000= 4, 07 × 10−5 mm

N

El desplazamiento del punto 2 cuando solo actua F2 sera:

δ2 = δ22 F2 = 4, 07× 10−5 12000 = 0, 49mm

13.4.2. Ciclos de carga

La matriz de coeficientes de influencia para dos puntos de carga 1 y 2 de un solido elasticoes:

[δ] =

[2 11 1

]mm

kN

Se ha realizado un ciclo de carga del que se conoce la evolucion de la fuerza F2 respecto a sudesplazamiento eficaz δ2, tal como se indica en el diagrama OABO de la figura 13.6. Se deseaconocer graficamente la evolucion experimentada por la fuerza F1 respecto a su desplazamientoeficaz δ1, ası como el significado fısico de las areas encerradas por dichos diagramas.

O

A B

1 2

F (kN)2

δ2 (mm)

1

Figura 13.6: Ciclo de la fuerza F2 y su desplazamiento eficaz δ2

Solucion:Las fuerzas aplicadas y los desplazamientos eficaces estan relacionados por los coeficientes

de influencia (formula 13.1):(δ1δ2

)=

[δ11 δ12

δ12 δ22

]=

(F1

F2

)


Si recorremos punto a punto el ciclo de carga:

Punto O

F2 = 0 −→ δ2 = δ12 F1 −→ F1 = 0δ2 = 0 −→ δ1 = 0

Punto A

F2 = 1 −→ δ1 = 2F1 + 1 1 −→ F1 = 0δ2 = 1 −→ 1 = 1F1 + 1 1 −→ δ1 = 1 mm

Punto B

F2 = 1 −→ δ1 = 2F1 + 1 1 −→ F1 = 1 kNδ2 = 2 −→ 2 = 1F1 + 1 1 −→ δ1 = 3 mm

O

A

B

1 2

F (kN)1

δ1 (mm)

1

3

Figura 13.7: Ciclo de la fuerza F1 y su desplazamiento eficaz δ1

De este modo, el ciclo δ1-F1 es el indicado en la figura 13.7. El area rayada representa la diferenciaentre el trabajo realizado por F1 en el proceso de carga y en el proceso de descarga. En estecaso:

∆W1 =∫ B

0F1 dδ1 +

∫ 0

BF1 dδ1 =

12

2 1 − 12

3 1 = −0, 5 kN mm

En este punto el solido elastico devuelve mas energıa de la que se le ha comunicado durante lacarga.

En el punto 2 sucede al reves, el solido devuelve menos energıa de la comunicada en la carga:

∆W2 =∫ B

0F2 dδ2 +

∫ 0

BF2 dδ2 =

12

1 1 + 1 1 − 12

2 1 = 0, 5 kN mm

de modo que:∆W1 + ∆W2 = ∆U = 0

Es decir, se conserva la energıa: no se genera ni disipa energıa durante el ciclo de carga.


Leccion 14

Principio de los trabajos virtuales

14.1. Tensiones y fuerzas estaticamente admisibles

Recordemos las ecuaciones que gobiernan el problema elastico (leccion 11):

1. Ecuaciones cinematicas en el volumen V del solido elastico:

εx =∂u

∂xγxy =

∂u

∂y+∂v

∂x

εy =∂v

∂yγxz =

∂u

∂z+∂w

∂x

εz =∂w

∂zγyz =

∂w

∂y+∂v

∂z

2. Ecuaciones cinematicas en la parte Sd del contorno del solido, en la que se imponen de-splazamientos ~δ∗p :

~δp =

u

vw

=

u

vw

= ~δ∗p

3. Ecuaciones constitutivas o de respuesta del material en el volumen V :

εx =1E

[σnx − µ(σny + σnz)] τxy = Gγxy

εy =1E

[σny − µ(σnx + σnz)] τxz = Gγxz

εz =1E

[σnz − µ(σnx + σny)] τyz = Gγyz

4. Ecuaciones de equilibrio en el volumen V , en el que se aplican fuerzas ~fv :

∂σnx∂x

+∂τxy∂y

+∂τxz∂z

+ X = 0

∂τxy∂x

+∂σny∂y

+∂τyz∂z

+ Y = 0

117

118 LECCION 14. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

∂τxz∂x

+∂τyz∂y

+∂σnz∂z

+ Z = 0

que escritas en forma vectorial son: ~fv + div [T ] = 0, donde [T ] es la matriz de tensiones.

5. Ecuaciones de equilibrio en la parte St del contorno del solido, de normal ~n, en el que seaplican fuerzas ~fs:

~fs = [T ]~n

Con el problema elastico planteado de esta forma, llamaremos sistema estaticamente admis-ible a cualquier distribucion de tensiones [T e], fuerzas de volumen ~f ev y fuerzas de superficie ~f esque cumpla las condiciones de equilibrio en el volumen V (ecuaciones 4) y en el contorno St(ecuaciones 5). Es decir, a cualquier conjunto de campo de tensiones [T e], fuerzas de volumen~f ev y fuerzas de superficie ~f es que cumpla:

~f ev + div [T e] = 0 en V~f es = [T e]~n en S

Es importante darse cuenta de que, en general, existen muchas distribuciones de tensionesestaticamente admisibles y que solo una de ellas es la solucion [T ] del problema elastico.

14.2. Desplazamientos cinematicamente admisibles

Llamaremos campo de desplazamientos cinematicamente admisible a cualquier campo dedesplazamientos ~δcp, continuo en el volumen V del solido elastico y que cumpla las ecuacionescinematicas en el contorno Sd (ecuaciones 2 de la seccion anterior).

Es importante darse cuenta de que, para cada problema elastico, existen muchos camposde desplazamientos cinematicamente admisibles y que solo uno de ellos es la solucion ~δp delproblema.

Un campo de desplazamientos cinematicamente admisible ~δcp da lugar a un campo de defor-maciones [Dc] cinematicamente admisible a partir de las ecuaciones cinematicas (ecuaciones 1de la seccion anterior). A partir de las deformaciones [Dc] se obtienen, mediante las ecuacionesconstitutivas (ecuaciones 3 de la seccion anterior), las tensiones [T c], que no son necesariamenteestaticamente admisibles:

~δcp −→ [Dc] −→ [T c](ecuaciones cinematicas 1) (ecuaciones constitutivas 3)

14.3. Ecuacion de los trabajos virtuales

Los sistemas estaticamente admisibles se relacionan con los sistemas cinematicamente ad-misibles a traves del trabajo virtual. El trabajo virtual se define como el trabajo de las fuerzasestaticamente admisibles con los desplazamientos cinematicamente admisibles:

Trabajo virtual =∫

V

~f ev · ~δcp dV +∫

S

~f es · ~δcp dS

Notese que el trabajo virtual no es un trabajo real ya que:

14.3. ECUACION DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 119

Los desplazamientos de los puntos de aplicacion de las fuerzas no son los desplazamientosreales.

Las fuerzas y tensiones del sistema estaticamente admisible no son las reales y, ademas,no se aplican de forma progresiva.

El trabajo virtual puede escribirse de la forma siguiente:


V


S

~f es · ~δcp dS =∫

V(~f ev )

t~δcp dV +∫

S~nt [T e]~δcp dS

La integral del segundo sumando representa el flujo del vector [T e]~δcp a traves de la superficieexterior S del solido elastico. Esta integral se puede transformar en una integral de volumen sise aplica el teorema de la divergencia:


V(~f ev )

t~δcp dV +∫

Vdiv([T e]~δcp) dV

y, por tanto:


V(~f ev )

t~δcp dV +∫

V(~δcp)

tdiv([T e]) dV +∫

Vgrad(~δcp) : [T e] dV

El integrando de la ultima integral representa el producto contraıdo de dos matrices. Noteseque:

grad(~δcp) =

∂u∂x

c ∂u∂y

c ∂u∂z

c

∂v∂x

c ∂v∂y

c ∂v∂z

c

∂w∂x

c ∂w∂y

c ∂w∂z

c

= [Dc] + [Hc]

Es decir, la matriz grad(~δcp) es la suma de la matriz de deformacion [Dc] asociada al campo dedesplazamientos cinematicamente admisible ~δcp y de la matriz de giro [Hc] asociada al mismocampo de desplazamientos. El trabajo virtual se puede ası escribir como:


V(~δcp)

t (~f ev + div[T e]) dV +∫

V[T e] : [Dc] dV +

∫

V[T e] : [Hc] dV

Y como ~f ev y [T e] forman parte de un sistema estaticamente admisible, resulta que ~f ev + div[T e] =0. Ademas, por ser [T e] una matriz simetrica y [Hc] una matriz antimetrica, se cumple que[T e] : [Hc] = 0. De este modo, resulta finalmente:


V[T e] : [Dc] dV =

∫

V(σenxε

cx + σenyε

cy + σenzε

cz + τ exyγ

cxy + τ exzγ

cxz + τ eyzγ

cyz) dV

Es decir: ∫

V


S

~f es · ~δcp dS =∫

V[T e] : [Dc] dV ∀~δcp , ∀ [T e]

La relacion anterior se conoce con el nombre de ecuacion de los trabajos virtuales y se cumplepara cualquier sistema estaticamente admisible de fuerzas interiores y exteriores dado por [T e],~f ev y ~f es y para cualquier sistema cinematicamente admisible de desplazamientos y deformacionesdado por [Dc] y ~δcp.


14.4. Principio de los desplazamientos virtuales

La ecuacion de los trabajos virtuales es muy general. Se puede particularizar de la formasiguiente:

Se toma como distribucion de tensiones estaticamente admisible la distribucion real detensiones [T ], solucion del problema elastico.

Las fuerzas exteriores estaticamente admisibles son en este caso las fuerzas realmenteaplicadas al solido:

~fv = −div [T ] en V~fs = [T ]~n en S

Se toma como campo de desplazamientos cinematicamente admisible la suma del campode desplazamientos real y una perturbacion ~ψ tal que ~ψ = 0 en la parte Sd del contornodel solido:

~δcp = ~δp + ~ψ con ~ψ = 0 en Sd

La perturbacion ~ψ se conoce con el nombre de campo de desplazamientos virtuales o,simplemente, desplazamientos virtuales.

Entonces, como los campos de tensiones reales [T ] y los campos de desplazamientos reales~δp satisfacen identicamente la ecuacion de los trabajos virtuales, por ser [T ], ~fv y ~fs un sistemaestaticamente admisible y ser ~δp cinematicamente admisible, resulta que la ecuacion de lostrabajos virtuales queda:

∫

V

~fv · ~ψ dV +∫

St

~fs · ~ψ dS =∫

V[T ] : [Dψ] dV ∀ ~ψ / ~ψ = 0 en Sd (14.1)

donde [Dψ] es la deformacion virtual asociada al campo de desplazamientos virtual ~ψ.La ecuacion anterior expresa el principio de los desplazamientos virtuales, que puede enun-

ciarse de la forma siguiente:

En todo desplazamiento virtual ~ψ a que se someta un solido que se encuentra en equilibrioestatico, el trabajo virtual realizado por las fuerzas exteriores es igual al trabajo realizadopor las fuerzas internas (tensiones).

En lo anterior se ha mostrado que el principio de los desplazamientos virtuales 14.1 sealcanza de forma logica se se admite que el estado tensional dado por [T ] cumple las ecuacionesde equilibrio interno y equilibrio en el contorno.

El recıproco es cierto cuando se imponen condiciones de derivabilidad sobre el campo dedesplazamientos virtuales ~ψ. Es decir, si el estado tensional [T ] cumple la ecuacion de los de-splazamientos virtuales 14.1, entonces cumple las ecuaciones de equilibrio interno y equilibrioen el contorno y, por tanto, el solido se encuentra en equilibrio estatico.

Por este motivo, el principio de los desplazamientos virtuales puede considerarse una formaalternativa, mas general, de plantear las condiciones de equilibrio1. Esta forma de plantear el

1Es una forma mas general, ya que se pueden tratar campos de tension integrables pero no derivables, cosaque queda vetada por las condiciones de equilibrio clasicas dadas por los grupos de ecuaciones 4 y 5 de la seccion14.1.

14.5. PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES 121

equilibrio se conoce a veces como forma debil de las condiciones de equilibrio y constituye elpunto de partida de los procedimientos de elementos finitos para la resolucion numerica de losproblemas de elasticidad.

14.5. Principio de las fuerzas virtuales

Otra forma de particularizar la ecuacion de los trabajos virtuales es la siguiente:

Se toma como campo de desplazamientos cinematicamente admisible el campo real dedesplazamientos ~δp, solucion del problema elastico.

Los desplazamientos en la parte Sd del contorno del solido son, por tanto, los desplaza-mientos impuestos ~δ∗p .

Las deformaciones derivadas de ~δp son el campo de deformaciones reales [D].

Se toma como distribucion de tensiones estaticamente admisible la suma de la distribucionde tensiones real [T ] y una perturbacion [δT ] tal que [δT ]~n = 0 en la parte St del contornodel solido y div[δT ] = 0 en el volumen V del solido:

[T e] = [T ] + [δT ] con [δT ]~n = 0 en Sty div[δT ] = 0 en V

La perturbacion [δT ] se conoce con el nombre de campo de tensiones virtuales o, simple-mente, tensiones virtuales.

Entonces, como el campo de tensiones reales [T ] y el campo de desplazamientos reales ~δpsatisfacen identicamente la ecuacion de los trabajos virtuales, por ser [T ], ~fv y ~fs un sistemaestaticamente admisible y ser ~δp cinematicamente admisible, resulta que la ecuacion de lostrabajos virtuales queda:∫

Sd

([δT ]~n) · ~δ∗p dS =∫

V[δT ] : [D] dV ∀ [δT ] / [δT ]~n = 0 en St y div[δT ] = 0 en V

La ecuacion anterior expresa el principio de las fuerzas virtuales, que puede enunciarse de laforma siguiente:

En toda variacion virtual [δT ] del campo de tensiones dentro de un solido cuyas deforma-ciones sean compatibles con el campo de desplazamientos, el trabajo virtual realizado porlas fuerzas exteriores es igual al trabajo realizado por las fuerzas internas (tensiones).

De la misma forma que en el principio de los desplazamientos virtuales, el principio de lasfuerzas virtuales puede entenderse como una forma debil de las ecuaciones cinematicas (ecua-ciones del grupo 1 y del grupo 2 de la seccion 14.1).


Leccion 15

Teoremas energeticos

15.1. Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti

Sea un solido elastico sometido a dos sistemas de fuerzas ~Pi, i = 1 . . .n y ~Qj , j = 1 . . .m.El primer sistema se aplica en los puntos Ai y el segundo, en los puntos Bj (figura 15.1).

Sean δPi y δ′Qj los desplazamientos de los puntos Ai y Bj en la direccion de las lıneas de accionde las respectivas fuerzas (desplazamientos eficaces), cuando sobre el solido actua unicamente elprimer sistema de fuerzas ~Pi.

Analogamente, sean δ′Pi y δQj los desplazamientos de los puntos Ai y Bj en la direccion de laslıneas de accion de las respectivas fuerzas, cuando sobre el solido actua unicamente el segundosistema de fuerzas ~Qj .

Calculemos la energıa de deformacion del solido de dos formas diferentes:

Se aplica primero el sistema Pi y luego el sistema Qj

U =12

∑

i

Pi δPi +12

∑

j

Qj δQj +∑

i

Pi δ′Pi

Los dos primeros sumandos responden a la formula de Clapeyron. Notese que el ultimosumando representa el trabajo de las fuerzas Pi durante la aplicacion de las fuerzas Qj .

Se aplica primero el sistema Qj y luego el sistema Pi

U =12

∑

j

Qj δQj +12

∑

i

Pi δPi +∑

j

Qj δ′Qj

Notese que ahora el ultimo sumando representa el trabajo de las fuerzas Qj durante laaplicacion de las fuerzas Pi.

En un solido elastico lineal, el valor de la energıa de deformacion final no puede dependerde la historia de carga. En consecuencia, igualando el valor de U obtenido de las dos formasanteriores: ∑

i

Pi δ′Pi =

∑

j

Qj δ′Qj

La igualdad anterior expresa el teorema de reciprocidad o de Maxwell-Betti: En un solidoelastico lineal, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas Pi al aplicarse otro sistema defuerzas Qj es igual al trabajo que realizan las fuerzas Qj al aplicarse el sistema Pi.

123

124 LECCION 15. TEOREMAS ENERGETICOS

P1

Q1

P2

Qm

Pn

A1

B1

An

A2

Bm

Figura 15.1: Sistemas de fuerzas P y Q sobre el solido elastico

El teorema es igualmente valido cuando los sistemas Pi y Qj , ademas de fuerzas, incluyenmomentos. En este caso cada momento, en vez de desplazamientos eficaces tiene asociados giroseficaces.

En el caso particular de que solo haya una fuerza Pi y una fuerza Qj , el teorema senala que:

Pi δ′Pi = Qj δ

′Qj

Sustituyendo en esta igualdad los desplazamientos eficaces por su expresion en funcion de loscoeficientes de influencia:

Pi δij Qj = Qj δji Pi

De donde se deduce que δij = δji. Es decir, los coeficientes de influencia recıprocos son iguales:la matriz de coeficientes de influencia es simetrica.

15.2. Teorema de Castigliano

Consideremos la expresion del potencial interno o energıa de deformacion U en funcionunicamente de las fuerzas aplicadas Fi, i = 1 . . .n:

U =12

∑

i

Fi δi

15.3. TEOREMA DE MENABREA 125

Si se deriva U con respecto a la fuerza Fi se obtiene:

∂U

∂Fi=

12δi +

12

∑

j

Fj∂δj∂Fi

Y como se tiene que:

δj =∑

k

δjk Fk

∂δj∂Fi

=∑

k

δjk∂Fk∂Fi

= δji

resulta finalmente:

∂U

∂Fi=

12

∑

j

δij Fj +12

∑

j

Fj δji =∑

j

Fj δij = δi

por ser δij = δji.La igualdad:

∂U

∂Fi= δi

es expresion del teorema de Castigliano: En un solido elastico lineal, si se expresa la energıa dedeformacion en funcion de las fuerzas aplicadas y se deriva respecto de una de ellas, se obtieneel desplazamiento del punto de aplicacion de esta fuerza sobre su lınea de accion.

Como en el caso del teorema de reciprocidad, las fuerzas deben entenderse en sentido gener-alizado. El teorema es aplicable al calculo del giro φi producido por un par Mi:

∂U

∂Mi= φi

El vector rotacion del par Mi, proyectado sobre el eje de este par (giro eficaz), es igual a laderivada parcial de la energıa de deformacion con respecto a Mi.

15.3. Teorema de Menabrea

En la practica, la principal aplicacion del teorema de Castigliano es el calculo de reaccionesen sistemas hiperestaticos. Un sistema hiperestatico es aquel en el que las ecuaciones de equilibriono permiten calcular todas las reacciones en las ligaduras externas (leccion 21).

Por ejemplo, la viga representada en la figura 15.2 es un sistema hiperestatico ya que elequilibrio de la viga solo proporciona dos ecuaciones (suma de fuerzas verticales igual a cero ysuma de momentos respecto a un punto igual a cero), mientras que existen tres componentes dereaccion en los apoyos, M , RA y RB. Falta una ecuacion.

La ecuacion que falta la proporciona el teorema de Castigliano, por ejemplo:

El desplazamiento vertical del punto B ha de ser nulo:

∂U

∂RB= 0


A B

RA R

B

M

Figura 15.2: Sistema hiperestatico

O tambien, el desplazamiento vertical del punto A ha de ser nulo:

∂U

∂RA= 0

O el giro en el punto A ha de ser nulo:

∂U

∂M= 0

Basta con una de estas tres ecuaciones, junto con las dos ecuaciones de equilibrio, pararesolver el problema de encontrar las reacciones en la viga.

Las tres ecuaciones que proporciona el teorema de Castigliano indican que los valores de lasreacciones hacen estacionaria la energıa de deformacion U . Esto es lo que expresa el teoremade Menabrea: En un solido elastico lineal los valores que toman las reacciones hiperestaticas,correspondientes a los enlaces superabundantes, hacen estacionaria la energıa de deformaciondel solido.

Si el equilibrio es estable, la energıa de deformacion ha de ser un mınimo. Por eso a veces elteorema de Menabrea se conoce tambien con el nombre de teorema del trabajo mınimo.


15.4.1. Calculo de reacciones hiperestaticas

La barra de la figura 15.3 tiene su desplazamiento impedido en los extremos. Cuando seaplica la fuerza F , se sabe que la energıa de deformacion o potencial interno de la barra vale:

U =L

8EΩ(3R2

B + R2A)

Donde E es el modulo de elasticidad del material, Ω es el area de la seccion transversal de labarra y RA, RB son las reacciones en los puntos de fijacion de la barra.

Se pide calcular RA y RB.

Solucion:


B

A

LF

RA

RB

L/4

Figura 15.3: Barra sujeta por los extremos

El equilibrio de la barra nos da una unica ecuacion para determinar RA y RB:

RA + RB = F

Se trata entonces de un sistema hiperestatico, ya que las ecuaciones de equilibrio no sonsuficientes para obtener las reacciones en los puntos de sujecion.

Si sustituimos RA = F − RB en la expresion de la energıa de deformacion, queda:

U =L

8EΩ(3R2

B + F 2 − 2F RB + R2B) =

L

8EΩ(4R2

B + F 2 − 2F RB)

Es decir, dejamos U en funcion de la incognita hiperestatica RB. Como el desplazamiento de Bes nulo, el teorema de Castigliano nos da:

∂U

∂RB= 0 −→ 8RB − 2F = 0

donde obtenemos que: RB = F/4 y RA = 3F/4.Notese que en el enunciado del ejercicio se da U en funcion de las dos reacciones, la estatica

y la hiperestatica. Como ambas reacciones estan vinculadas por la ecuacion de equilibrio, laexpresion de U no se puede derivar directamente con respecto a RB sin sustituir RA por suexpresion en funcion de F y RB.

Lo anterior ilustra una tecnica general para el calculo de reacciones hiperestaticas:


1. Sustituir los vınculos hiperestaticos por las fuerzas o momentos (reacciones) que estosvınculos ejercen sobre el solido.

2. Obtener las reacciones en los vınculos restantes en funcion de las fuerzas o momentosaplicados y las reacciones hiperestaticas, empleando las ecuaciones de equilibrio.

3. Calcular la energıa de deformacion U en funcion de las reacciones hiperestaticas.

4. Aplicar el teorema de Castigliano para cada reaccion hiperestatica Ri:

∂U

∂Ri= 0

Esto proporciona una ecuacion por cada incognita hiperestatica, lo que permite determinartodas ellas.

15.4.2. Aplicacion del teorema de reciprocidad

Se sabe que al aplicar una carga P de 4000 N en el punto B del sistema representado enla figura 15.4 se producen en los puntos A y C desplazamientos horizontales de 0,3 y 0,6 mm,respectivamente.

A B C

P

Figura 15.4: Esquema de carga

Calcular el desplazamiento horizontal que experimentara el punto B cuando sobre dichosistema actuen las cargas 2P y P aplicadas en los puntos A y C, respectivamente.

Solucion:Por el teorema de reciprocidad, el trabajo realizado por la fuerza aplicada en B durante la

aplicacion de las fuerzas en A y C debe ser el mismo que el realizado por las fuerzas en A y Cdurante la aplicacion de la fuerza en B. Es decir,

P δACB = 2P 0, 3 + P 0, 6

Luego:

δACB =2P 0, 3 + P 0, 6

P= 1, 2mm

Leccion 16

Deformacion anelastica y rotura

16.1. Finalizacion del comportamiento elastico:materiales ductiles

y materiales fragiles

Como hemos visto en la leccion 9, la respuesta tension-deformacion de los materiales dependedel nivel tensional o magnitud de las tensiones que soportan:

La mayorıa de los materiales tiene una respuesta elastica, tensiones proporcionales a lasdeformaciones, cuando las cargas exteriores son pequenas (estado elastico).

En el caso de que aumenten las cargas, pueden aparecer deformaciones no recuperables,dejando de existir proporcionalidad entre tensiones y deformaciones (estado plastico).

Finalmente, si las cargas siguen aumentando, en el material aparecen grietas y se producela rotura (estado de rotura).

Los tres estados anteriores se representan esquematicamente en el diagrama de tension-deformacion uniaxial de la figura 16.1.

En los materiales ductiles el estado plastico tiene un rango de deformaciones grande. Esdecir:

εu σeE

= deformacion correspondiente al lımite elastico

Ademas, en ese rango de deformacion no hay un descenso significativo del nivel tensional.El diagrama tension-deformacion de los materiales ductiles podrıa idealizarse como se indica

en la figura 16.2. En esta clase de materiales estaremos interesados en caracterizar el final delcomportamiento elastico, pero sabemos que desde que finaliza el comportamiento elastico hastala rotura hay un margen de deformacion importante: el material avisa de que se puede romper.

En los materiales fragiles el estado plastico tiene un rango de deformaciones pequeno. Esdecir:

εu ≈ σeE

= deformacion correspondiente al lımite elastico

De modo que la finalizacion del comportamiento elastico coincide practicamente con la rotura.El diagrama de tension-deformacion de los materiales fragiles podrıa idealizarse como en lafigura 16.3. Cuando el material alcanza su lımite elastico, se produce la rotura. De este modo,la deformacion de lımite elastico y la deformacion de rotura coinciden. El material no avisa deque se va a romper: no hay margen entre el final del comportamiento elastico y la rotura. En elensayo de traccion simple, el lımite elastico σe coincide con la tension de rotura a traccion σrt.

129

130 LECCION 16. DEFORMACION ANELASTICA Y ROTURA

σ

ε

σe

1

E

1

E

1

E

RoturaEstado plástico

Esta

do

elá

stico

Deformación no recuperable

εu

descarg

a

Figura 16.1: Estados tensionales en un ensayo de tension uniaxial

16.2. Tension equivalente

En estados de tension uniaxiales resulta sencillo identificar el final del comportamiento elasti-co: el final del comportamiento elastico tiene lugar cuando la tension alcanza el lımite elastico

σ

ε

σe

1

E1

E

Rotura

εu

Final del comportamiento elástico

Comportamiento plástico perfecto

(grandes deformaciones sin cambio de tensión)

Figura 16.2: Diagrama idealizado de tension-deformacion en un material ductil

16.2. TENSION EQUIVALENTE 131

σ

ε

σe

1

E

Roturaσ

rt

Figura 16.3: Diagrama idealizado de tension-deformacion en un material fragil

σe. En estado de tension multiaxiales, la identificacion no es tan sencilla y se recurre al conceptode tension equivalente o tension de comparacion.

Dado un estado tensional multiaxial se llama tension equivalente σeq a la tension que debeaplicarse en un ensayo de traccion simple para que el material se encuentre en las mismascondiciones con respecto al final del comportamiento elastico o la rotura (figura 16.4).

σ3

σ2

σ1

σ3

σ1

σ2

A. Estado multiaxial de tensiones(sistema de referencia principal)

σeqσeq

B. Estado uniaxial equivalente

Figura 16.4: Concepto de tension equivalente

132 LECCION 16. DEFORMACION ANELASTICA Y ROTURA

El concepto de tension equivalente permite generalizar los resultados del ensayo de traccionsimple al estudio de estados tensionales multiaxiales. Se utiliza muchısimo en la practica y sebasa en el postulado de que el paso del material de un estado a otro (elastico-plastico-rotura)puede caracterizarse mediante un solo parametro. Dicho postulado es una buena aproximacional comportamiento real, salvo quiza en los casos de traccion o compresion triaxial.

Naturalmente, la definicion concreta de la tension equivalente σeq a partir de los parametrosque definen el estado multiaxial (por ejemplo, las tensiones principales σ1, σ2 y σ3) depende delcriterio que se utilice para senalar el final del comportamiento elastico o la rotura.

16.3. Coeficiente de seguridad

Dado un cierto estado tensional [T ] en un punto del solido elastico, aumentando propor-cionalmente todas las componentes de este estado tensional, es decir, variandolo de manera quepermanezca semejante a [T ]: λ[T ], se llega tarde o temprano al estado tensional lımite (lımiteelastico en materiales ductiles; lımite de rotura en materiales fragiles).

Entendemos por coeficiente de seguridad del estado tensional [T ], el factor n por el que hayque multiplicar el estado tensional [T ] para que dicho estado tensional se convierta en estadotensional lımite.

Cuando dos estados tensionales tienen el mismo coeficiente de seguridad n, se consideranigualmente peligrosos para el material.

Leccion 17

Criterios de fluencia

17.1. Criterios de fluencia

Los criterios de fluencia se emplean en materiales ductiles, para senalar el estado tensionallımite elastico del material. Los mas comunes se indican a continuacion.

17.1.1. Tension tangencial maxima (Tresca)

Segun el criterio de la tension tangencial maxima o criterio de Tresca1, el estado tensionallımite elastico se alcanza cuando las tensiones tangenciales maximas llegan a un cierto valorlımite caracterıstico del material. Recordemos que la tension tangencial maxima viene dada por:

τmax =σ1 − σ3

2

En el ensayo de traccion uniaxial se cumple que:

τmax =σeq2

Luego, segun este criterio, la tension uniaxial equivalente es:

σeq = σ1 − σ3

Y como en el ensayo uniaxial se pasa al regimen plastico cuando σeq = σe, resulta que segun elcriterio de Tresca se pasa al regimen plastico cuando:

σeq = σ1 − σ3 = σe

Es decir, segun el criterio de Tresca:

1. Regimen elasticoσ1 − σ3 < σe

2. Lımite elasticoσ1 − σ3 = σe

1Henry Edouard Tresca (1814-1885), ingeniero mecanico frances a quien se considera iniciador de la teorıa dela plasticidad por los experimentos que empezo a realizar en 1864.

133

134 LECCION 17. CRITERIOS DE FLUENCIA

3. Regimen plastico (fluencia)σ1 − σ3 ≥ σe

El coeficiente de seguridad frente a la finalizacion del comportamiento elastico es, segun estecriterio:

n =σeσeq

=σe

σ1 − σ3

17.1.2. Energıa de distorsion maxima (von Mises)

Segun el criterio de la energıa de distorsion maxima o criterio de von Mises2, el estadotensional lımite elastico se alcanza cuando la energıa de distorsion elastica llega a un cierto valorlımite caracterıstico del material.

La energıa de distorsion es la energıa de deformacion asociada a la parte desviadora de lasmatrices de tension y de deformacion. Si se trabaja en el sistema de referencia principal, la partedesviadora de la matriz de tensiones es (ver seccion 5.5.2):

[Td] =

2σ1−σ2−σ33 0 0

0 2σ2−σ1−σ33 0

0 0 2σ3−σ1−σ23

La parte desviadora de la deformacion sera, a partir de [Td], por la ley de Hooke generalizada:

[D′] =

ε′1 0 00 ε′2 00 0 ε′3

con:

ε′1 =1E

(2σ1 − σ2 − σ3 − 2µσ2 + µσ1 + µσ3 − 2µσ3 + µσ1 + µσ2)3

=1 + µ

3E(2σ1 − σ2 − σ3)

ε′2 =1 + µ

3E(2σ2 − σ1 − σ3)

ε′1 =1 + µ

3E(2σ3 − σ1 − σ2)

Entonces, la energıa de distorsion por unidad de volumen asociada a [Td] y [D′] sera:

U ′ =12

∑

i

ε′iσ′i =

1 + µ

18E[(2σ1 − σ2 − σ3)2 + (2σ2 − σ1 − σ3)2 + (2σ3 − σ1 − σ2)2]

=1 + µ

6E[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2]

2Richard von Mises (1883-1953), ingeniero austriaco, profesor de universidad en Alemania, Turquıa y EstadosUnidos, con importantes contribuciones en el campo de la aerodinamica y la matematica aplicada.

17.1. CRITERIOS DE FLUENCIA 135

En el ensayo de traccion uniaxial se cumple que:

U ′ =1 + µ

6E2 σ2

eq

Luego, segun este criterio de von Mises, la tension equivalente es:

σeq =1√2

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2

Y en terminos de las componentes de una matriz de tensiones [T ] general:

σeq =1√2

√(σnx − σny)2 + (σny − σnz)2 + (σnz − σnx)2 + 6 (τ2

xy + τ2xz + τ2

yz)

Como en el ensayo uniaxial se pasa al regimen plastico cuando σeq = σe, segun el criterio de vonMises se alcanza el estado lımite elastico cuando se cumple que:

σeq =1√2

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2 = σe

El coeficiente de seguridad frente a la finalizacion del comportamiento elastico es, segun estecriterio:

n =σeσeq

=σe

1√2

√(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2

17.1.3. Criterio simplificado de Mohr

El criterio simplificado de Mohr es un criterio fenomenologico que se emplea cuando elcomportamiento es diferente a traccion y a compresion.

Sea σet el lımite elastico a traccion y sea σec el lımite elastico a compresion. Estos dosvalores determinan una curva intrınseca del material (figura 17.1). Segun este criterio, se alcanzael estado lımite elastico cuando el cırculo de Mohr C2 toca la curva intrınseca (figura 17.1).Recuerdese que el cırculo C2 es el que se construye a partir de las tensiones principales σ1 y σ3.

A partir de la figura 17.1, cuando el cırculo C2 correspondiente al estado tensional definidopor las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 toca la curva intrınseca, se cumple:

FG

GC=

DE

CDes decir

σ1−σ32 + σec

2σ1+σ3

2 − σec2

=σet2 − σ1−σ3

2σet2 − σ1+σ3

2

De donde se deduce que, en el inicio de la fluencia segun este criterio, se tiene:

σet = σ1 +σetσec

σ3 = σ1 − σet|σec|

σ3

Y como en el ensayo de traccion uniaxial se alcanza el estado lımite elastico cuando σet = σeq,resulta que segun este criterio:

σeq = σ1 − σet|σec|

σ3

y se pasa al regimen plastico cuando:

σeq = σ1 − σet|σec|

σ3 = σet


F

C D

E

G

Ensayo de tracción simple

Ensayo de compresión simpleEstado tensional cualquiera, σ σ σ1 2 3

σn

τ

σetσec

0,5 σec

σ3 σ1

0,5 σet

curva intrínseca

0,5 (σ +σ )1 3

Figura 17.1: Curva intrınseca del material en el criterio simplificado de Mohr

Observese que en la comparacion con la tension equivalente σeq se emplea el lımite elastico detraccion σet, independientemente de que el material este trabajando a traccion o a compresion.El coeficiente de seguridad frente a la finalizacion del comportamiento elastico es, segun estecriterio:

n =σetσeq

=σet

σ1 − σet|σec| σ3


17.2.1. Plastificacion de una placa

La placa de la figura 17.2 esta sometida a un estado plano de tension cuya solucion es:

σnx = k (x2 − y2)σny = k (−x2 + y2)τxy = −2k x y

Siendo k un parametro positivo que modula la aplicacion de las cargas. Se pide determinar elvalor de k para el que se inicia la plastificacion de la placa, segun el criterio de la maxima tensiontangencial (Tresca). Dato: lımite elastico σe.


X

Y

O a

a

Figura 17.2: Placa tensionada

Solucion:Se inicia la plastificacion de la placa cuando:

σeq = σ1 − σ3 = σe

Por lo tanto, resulta necesario obtener primero las tensiones principales. Se tiene que:

σI =σnx + σny

2+√τ2xy + (

σnx − σny2

)2

σII =σnx + σny

2−√τ2xy + (

σnx − σny2

)2

σIII = 0 (por tratarse de un estado de tension plana)

A partir de las relaciones anteriores, se debe determinar cual es la tension principal maximaσ1 y la tension principal mınima σ3. Sustituyendo los valores dados de σnx, σny y τxy :

σI = 0 +

√

4 k2 x2y2 + (2 kx2 − y2

2)2 = k (x2 + y2) ≥ 0

σII = −k (x2 + y2) ≤ 0

σIII = 0

Luego:

σ1 = σI = k (x2 + y2)

σ2 = 0

σ3 = σII = −k (x2 + y2)


Y entonces:σeq = σ1 − σ3 = 2 k (x2 + y2)

En consecuencia, igualando σeq y σe, la plastificacion se inicia en la esquina (a, a) de la placa(punto en el que (x2 + y2) es maximo), para un valor de k de:

k =σe

2 k (x2 + y2)=

σe4 a2

Leccion 18

Criterios de rotura fragil

18.1. Criterios de rotura fragil

Los criterios de rotura fragil se utilizan en materiales fragiles, para senalar el estado tensionallımite de rotura del material. Los mas corrientes se indican a continuacion.

18.1.1. Tension principal maxima (Rankine)

Segun el criterio de la tension principal maxima o criterio de Rankine1, el estado tensionallımite de rotura se alcanza cuando la tension principal maxima σ1 alcanza un valor lımitecaracterıstico del material.

Segun este criterio, la tension uniaxial equivalente es:

σeq = σ1

Y como en el ensayo de traccion uniaxial se produce la rotura cuando σ1 = σrt, resulta que elcoeficiente de seguridad frente a rotura segun este criterio viene dado por:

n =σrtσeq

=σrtσ1

donde σrt es la tension de rotura en el ensayo de traccion uniaxial.

18.1.2. Criterio simplificado de Mohr

El criterio simplificado de Mohr para materiales fragiles es similar al discutido en 17.1.3,pero utilizando las tensiones de rotura a traccion σrt y a compresion σrc en vez de los lımiteselasticos. De este modo, la tension equivalente correspondiente a este criterio es:

σeq = σ1 − σrt|σrc|

σ3

y se produce la rotura cuando:

σeq = σ1 − σrt|σrc|

σ3 = σrt

1William John Macquorn Rankine (1820-1872), ingeniero escoces muy conocido por su trabajo en el campo dela termodinamica y en el calculo de empujes sobre estructuras de retencion de tierras.

139

140 LECCION 18. CRITERIOS DE ROTURA FRAGIL

τ

σn

10 MPa

30 º

30 º

Figura 18.1: Curva intrınseca del material

Observese que en la comparacion con la tension equivalente σeq se emplea la tension de rotura atraccion σrt, independientemente de que el material este trabajando a traccion o a compresion.El coeficiente de seguridad frente a la rotura es, segun este criterio:

n =σrtσeq

=σrt

σ1 − σrt|σrc| σ3


18.2.1. Coeficientes de seguridad segun el criterio de Mohr

La curva intrınseca de un material, segun el criterio simplificado de Mohr, se reduce a lapareja de rectas indicada en la figura 18.1, que forman un angulo de 30o con el eje horizontal.Se pide determinar el coeficiente de seguridad de los tres estados tensionales siguientes:

1. σ1= 0 ; σ2= -10 MPa ; σ3= -15 MPa

2. σ1= σ2= σ3= -20 MPa

3. σ1= σ2= σ3= 15 MPa


B’

B

Ensayo de tracción simple

Ensayo de compresión simple

σn

τ

σrtσrc

0,5 σrc 0,5 σrt

curva intrínseca

10 MPa

C

A’ A

30º

Figura 18.2: Representacion de los ensayos de traccion simple y compresion simple con la curvaintrınseca del material

Solucion:En el criterio simplificado de Mohr, el coeficiente de seguridad viene dado por

n =σrtσeq

=σrt


donde σrt es la tension de rotura a traccion σrc es la tension de rotura a compresion. Se debeentonces obtener los valores de σrt y de σrc a partir de la curva intrınseca dada.

A partir de la figura 18-2, se cumple que:

Triangulo ABC

sin 30o =σrt2

10− σrt2

Triangulo A′B′C

sin 30o =|σrc

2 |10 + |σct|

2

De donde:

12(10− σrt

2) =

σrt2

−→ σrt =203

MPa


12(10 +

|σrc|2

) =|σrc|

2−→ |σrc| = 20 MPa

Se puede calcular ahora el coeficiente de seguridad en los tres estados tensionales dados:

1. σ1= 0 ; σ2= -10 MPa ; σ3= -15 MPa

n =σrt

σ1 − σrt|σrc | σ3

=203

0 −20320 (−15)

=43

El coeficiente n es mayor que 1: el material no ha llegado a rotura.

2. σ1= σ2= σ3= -20 MPa

n =σrt


=203

−20 −20320 (−20)

= −12

El coeficiente n es negativo: la carga tendrıa que cambiar de signo para poder producir larotura.

3. σ1= σ2= σ3= 15 MPa

n =σrt


=203

15 −20320 (15)

=23

El coeficiente n es menor que 1: el material ha llegado a rotura.

18.2.2. Tensiones de rotura requeridas para coeficiente de seguridad dado

Los dos estados tensionales mas crıticos en una pieza son:

1. σ1= 9 ; σ2= 3 MPa ; σ3= -10 MPa

2. σ1= -5 ; σ2= -10 MPa ; σ3= -100 MPa

El material de la pieza es fundicion, con una relacion de 10 entre las tensiones de rotura acompresion y traccion. Determinar el valor mınimo de las tensiones de rotura requeridos paraque el coeficiente de seguridad no sea inferior a 2 segun el criterio simplificado de Mohr.

Solucion:En el criterio simplificado de Mohr, el coeficiente de seguridad viene dado por:

n =σrtσeq

=σrt


En este caso:2 =

σrt

σ1 − 110 σ3


Para el primer estado tensional dado, la ecuacion anterior se convierte en:

2 =σrt

9 + 110 10

−→ σrt = 20 MPa

Mientras que para el segundo estado tensional dado, la ecuacion anterior se convierte en:

2 =σrt

−5 + 110 100

−→ σrt = 10 MPa

Entonces, para que el coeficiente de seguridad no sea inferior a 2, se requiere que la tensionde rotura a traccion sea σrt ≥ 20 MPa y que, por tanto, la tension de rotura a compresion sea|σrc| = 10 σrt ≥ 200 MPa.


Leccion 19

Hipotesis de la Resistencia deMateriales

19.1. Introduccion

La Resistencia de Materiales es una simplificacion de la Teorıa de la Elasticidad que hemosintroducido en las lecciones anteriores. Dicha simplificacion permite abordar los problemas conun nivel de precision suficiente en la mayor parte de los casos practicos.

El origen de la simplificacion es una serie de hipotesis sobre la forma geometrica de los solidoselasticos que se analizan y sobre la cinematica o manera en que tiene lugar la deformacion delos mismos. Los resultados que se obtienen son tanto mas precisos, es decir, mas proximos a losque proporciona la Teorıa de la Elasticidad, cuanto mas proximas a la realidad sean las hipotesisanteriores.

La Resistencia de Materiales es una disciplina con empleo permanente en la practica de laingenierıa desde la segunda mitad del siglo XIX. En consecuencia, sus hipotesis se encuentranmuy sancionadas por la experiencia, ya que han servido de forma generalizada para el dıa adıa del proyecto de estructuras, maquinas, recipientes a presion, vehıculos terrestres, buques yaeronaves.

El objeto de esta leccion es, precisamente, introducir las hipotesis generales en que se basala Resistencia de Materiales.

19.2. Definicion de solido prismatico

El solido prismatico o prisma mecanico es el solido elastico sobre el cual trabaja la Resisten-cia de Materiales. El objeto de la Resistencia de Materiales es obtener el estado de tensiones,deformaciones y movimientos en el solido prismatico cuando este se somete a un conjunto deacciones exteriores.

Llamaremos solido prismatico al solido elastico engendrado por una seccion plana Σ de areaΩ, cuyo centro de gravedad G describe una curva C llamada lınea media o directriz, siendo elplano que contiene a Σ normal a la curva C (figura 19.1).

Si el area Ω es constante (la seccion generatriz Σ no cambia) se dice que el solido prismaticoes de seccion constante.

145

146 LECCION 19. HIPOTESIS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

CC

curva directriz

G1

G

G2

sección generatriz

Σ

X

Y

Z

Figura 19.1: Definicion de solido prismatico

La seccion generatriz Σ se conoce con el nombre de seccion transversal del solido prismatico.

El solido prismatico se dice que es alabeado, plano o, como caso particular de este, recto,cuando es alabeada, plana o recta, respectivamente, la directriz.

Para los calculos se considera un sistema de referencia en cada seccion transversal conorigen en el centro de gravedad G de la seccion:

• El eje GX es tangente a la directriz en el punto G y define el sentido de avance de ladirectriz.

• Los ejes GY y GZ son los ejes principales de inercia de la seccion transversal Σ.Notese que, por ser Σ normal a la directriz, el eje GX es normal a GY y GZ. Lossentidos de GY y GZ son los que hagan que GXYZ sea un triedro directo.

La formulacion general de la Resistencia de Materiales supone que se verifican las condicionesgenerales siguientes en la geometrıa del solido prismatico:

1. La curva directriz C no tiene una curvatura muy pronunciada en relacion con las dimen-siones de la seccion transversal Σ. Se admite que se cumple esta hipotesis cuando el radiode curvatura de la directriz es superior a unas cinco veces la dimension caracterıstica dela seccion transversal.

2. No hay cambios bruscos de la seccion transversal Σ. Los cambios en la seccion transversaltienen lugar de forma progresiva a lo largo de la directriz (figura 19.2).

3. Las dimensiones de la seccion transversal Σ son pequenas en comparacion con la longitudde la directriz. Desde este punto de vista, hay tres clases de solidos prismaticos:

Barra o viga. Las dos dimensiones de la seccion transversal son pequenas con respectoa la longitud de la directriz. La longitud de la directriz es superior a unas cinco vecesla mayor dimension de la seccion transversal.

19.3. HIPOTESIS GENERALES 147

Placa. Es un solido prismatico limitado por dos planos, cuya separacion (espesor de laplaca) es pequena en comparacion con las otras dos dimensiones del solido. El espesores, como maximo, del orden de 1

10 o 18 de las otras dimensiones.

Lamina. Es un solido prismatico limitado por superficies no planas, cuya separacion(espesor de la lamina) es pequena en comparacion con las otras dos dimensiones delsolido. Ejemplos de laminas son los cascos de los buques, los revestimientos de losfuselajes y alas de los aviones, las paredes de tuberıas y recipientes a presion, etc.

En las placas y en las laminas, en vez de la directriz se utiliza el concepto de superficiemedia, que es la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.

Cambio brusco de sección transversal en un eje: la

Resistencia de Materiales no dará resultados precisos en esta zona

Figura 19.2: Cambio brusco de seccion transversal

19.3. Hipotesis generales

En la Resistencia de Materiales aplican, en general, las mismas hipotesis generales utilizadasen la teorıa de la elasticidad lineal, esto es:

1. Pequenos desplazamientos y deformaciones: Las condiciones de equilibrio se expresan co-mo si el solido deformado tuviera la misma forma y las mismas dimensiones que antes deproducirse la deformacion (principio de rigidez relativa).

2. Principio de superposicion de efectos: Las tensiones, deformaciones y movimientos en unpunto del solido elastico sometido a varias acciones exteriores son la suma de las tensiones,deformaciones y movimientos, respectivamente, que se producen en dicho punto por cadaaccion actuando aisladamente.

Como es sabido, este principio aplica si las tensiones son proporcionales a las deforma-ciones (Ley de Hooke) y si, ademas, las acciones que actuan sobre el solido no cambiansignificativamente su geometrıa original.

3. Principio de Saint-Venant: Las tensiones en una zona alejada de los puntos de aplicacionde un sistema de fuerzas solo dependen de la resultante y del momento resultante de

148 LECCION 19. HIPOTESIS DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

este sistema de fuerzas. En particular, dos sistemas de fuerzas estaticamente equivalentesproducen las mismas tensiones en una region alejada de sus puntos de aplicacion.

Segun esta hipotesis, las tensiones sobre la seccion transversal Σ no dependen mas que dela resultante y el momento resultante con respecto al centro de gravedad G de la seccionde las fuerzas aplicadas sobre el solido a uno de los dos lados en que queda este divididopor Σ.

Ademas de estas tres hipotesis generales, se hacen tambien hipotesis cinematicas, que per-miten simplificar el problema elastico general.

4. Hipotesis cinematicas. Son hipotesis sobre los desplazamientos los puntos de la secciontransversal del solido prismatico y sobre la relacion de los mismos con las deformacionesdel material y con el movimiento de la directriz. Dependen de la teorıa concreta de vigas,placas o laminas que se este empleando1.

En Resistencia de Materiales I, para el estudio de la traccion y compresion de solidosprismaticos, solo vamos a utilizar la hipotesis cinematica conocida como hipotesis deNavier-Bernouilli2. Esta es la hipotesis cinematica mas clasica de la resistencia de ma-teriales y puede enunciarse como:

En la deformacion del solido prismatico, las secciones planas normales a la directrizpermanecen planas despues de la deformacion.

Si se postula ademas que las secciones planas normales a la directriz son indeformables ensu plano, esta hipotesis permite obtener los desplazamientos ~δp de cualquier punto de laseccion transversal a partir de unicamente seis grados de libertad (posicion de un planorıgido), que se asocian normalmente a las tres componentes del desplazamiento y a las trescomponentes del giro del centro de gravedad G de la seccion transversal.

Como se vera en Resistencia de Materiales II, cuando se estudia la deformacion de unaseccion bajo la accion del esfuerzo cortante o del momento torsor, la teorıa de la elasticidadmuestra que las secciones transversales no permanecen planas, sino que sufren un alabeo,adelantandose unos puntos con respecto al plano de la seccion, mientras que otros seretrasan.

En estos casos, se sustituye la hipotesis de Navier-Bernouilli por el que se conoce comoprincipio de Navier-Bernouilli generalizado:

Dos secciones transversales del solido prismatico infinitamente proximas, Σ y Σ′, seconvierten despues de la deformacion en dos secciones tambien infinitamente proxi-mas, Σ1 y Σ′

1, en general alabeadas, de forma que las secciones Σ1 y Σ′1 son super-

ponibles por desplazamiento.1Existen diversas teorıas relativas a la flexion de vigas, placas y laminas, cada una de ellas basada en una

hipotesis cinematica. Merecen citarse las teorıas de Euler-Bernouilli y de Timoshenko, para la flexion de vigas, ylas teorıas de Love-Kirchhoff y de Reissner-Mindlin en la flexion de placas. Tambien existen varias teorıas relativasa la torsion, con diferentes hipotesis cinematicas, como la teorıa de Saint-Venant y la de Vlasov. El estudio deestas teorıas queda fuera del alcance de este curso.

2Jacobo Bernouilli (1654-1705), matematico suizo que estudio por primera vez la ecuacion de la deformada enflexion de una viga elastica. Claude Louis Navier (1785-1836), ingeniero frances al que se considera fundador dela Resistencia de Materiales moderna, ya que fue el primero en formular la teorıa de la elasticidad en un manerautilizable en problemas practicos de construccion. Navier determino la ecuacion diferencial de la deformada deuna viga elastica en base a suponer que las secciones planas permanecen planas despues de la deformacion.

Leccion 20

Concepto de esfuerzo. Diagramas.

20.1. Concepto de esfuerzo

Consideremos un solido prismatico en equilibrio estatico bajo la accion de un sistema defuerzas exteriores. Supongamos el solido dividido en dos partes A y B mediante un plano decorte imaginario normal a la directriz (figura 20.1).

A traves del corte imaginario, la parte B debe ejercer sobre la parte A una fuerza ~R y unmomento ~M , referidos al centro de gravedad G de la seccion, equivalentes a la accion exteriorsobre la parte B, ya que en otro caso no se mantendrıa el equilibrio estatico de la parte A.

Obviamente, la parte A ejerce sobre la parte B una fuerza y un momento iguales y de sentidocontrario, −~R y un momento − ~M .

Estas fuerzas internas que se ejercen entre sı las dos mitades del solido elastico a traves dela seccion transversal del mismo, se conocen con el nombre de esfuerzos. Los esfuerzos son lasresultantes de las tensiones sobre una seccion transversal del solido prismatico. Normalmente,se refieren al centro de gravedad G de la seccion transversal.

20.2. Esfuerzos normal y cortante

La resultante de fuerzas ~R tiene tres componentes en el sistema de referencia GXY Z de laseccion transversal (figura 20.2):

~R = N~i + Ty~j + Tz~k

La componente segun el eje X ,N , se conoce con el nombre de esfuerzo normal o de esfuerzoaxil. Su expresion en funcion de las tensiones [T ] que actuan sobre la seccion transversales:

N =∫

Ωσnx dΩ

La componente segun el eje Y , Ty , es un esfuerzo cortante. Su expresion en funcion de lastensiones que actuan sobre la seccion transversal es:

Ty =∫

Ωτxy dΩ

149

150 LECCION 20. CONCEPTO DE ESFUERZO. DIAGRAMAS.

curva directriz

A

B

corte imaginario

A

X

Y

Z

ΩG

R

M

Figura 20.1: Concepto de esfuerzo en el solido prismatico

La componente segun el eje Z, Tz , es el esfuerzo cortante segun el eje Z. Su expresion enfuncion de las tensiones que actuan sobre la seccion transversal es:

Tz =∫

Ωτxz dΩ

20.3. MOMENTOS DE FLEXION Y TORSION 151

X

Y

Z

ΩG

R

N

Tz

Ty

Figura 20.2: Componentes de fuerza sobre la seccion transversal

X

Y

Z

Ω

G

MMT

MFzMFy

Figura 20.3: Componentes de momento sobre la seccion transversal

20.3. Momentos de flexion y torsion

El momento resultante ~M con respecto al centro de gravedad G de la seccion transversal,tiene tres componentes en el sistema de referencia GXYZ de la seccion (figura 20.3). En funcionde las tensiones que actuan sobre la seccion transversal, dichas componentes son:

~M =∫

Ω

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k0 y z

σnx τxy τxz

∣∣∣∣∣∣∣dΩ = ~i

∫

Ω(τxzy − τxyz) dΩ + ~j

∫

Ωσnxz dΩ + ~k

∫

Ω−σnxy dΩ

= MT~i + MFy

~j + MFz~k

La componente segun el eje X , MT , se conoce con el nombre de momento torsor.

La componente segun el eje Y , MFy , es un momento flector.

La componente segun el eje Z, MFz , es el otro momento flector.


Zona de tracción

Zona de compresión

sección dorsal

sección frontal

X

Directriz del sólidoprismático

Esfuerzo normal

Directriz

Esfuerzo cortanteA

Valor del esfuerzo en el punto A

Momento flector

Momento torsor

sólido prismático

Rebanada

Figura 20.4: Representacion de esfuerzos en los diagramas

20.4. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS 153

20.4. Diagramas de esfuerzos

Los diagramas de esfuerzos son la representacion de como varıan los distintos tipos de es-fuerzos a lo largo de la directiz de solidos prismaticos tipo barra o tipo viga.

Se utiliza la directriz como eje de abcisas y la normal a la directriz como eje de ordenadas,en una representacion bidimensional de la variacion del esfuerzo a lo largo de la directriz. Esmuy importante que estas representaciones senalen el sentido del esfuerzo sin lugar a dudas.Nosotros utilizaremos una representacion esquematica del sentido del esfuerzo sobre el area deldiagrama, tal y como se indica en la figura 20.4. Como puede verse en la figura, en cada zonadel diagrama el sentido del esfuerzo se indica sobre una rebanada del solido prismatico.

El calculo de los diagramas de esfuerzos es inmediato a partir de las fuerzas y momentosaplicados y las reacciones en los apoyos. En cada seccion transversal basta con calcular la resul-tante y el momento resultante con respecto al centro de gravedad de la seccion de las fuerzasaplicadas a uno u otro lado de la seccion transversal.

Si se calculan las resultantes de las fuerzas aplicadas en el lado positivo de la seccion (el ladohacia el que apunta el eje X) se dice que se trabaja con la seccion frontal y los esfuerzos obtenidosson los esfuerzos frontales. Por el contrario, si se calculan las resultantes de las fuerzas aplicadasen el lado negativo de la seccion (el lado contrario al que apunta el eje X) se dice que se trabajacon la seccion dorsal y los esfuerzos obtenidos son los esfuerzos dorsales. Evidentemente, por elequilibrio estatico del solido prismatico, los esfuerzos dorsales son iguales y de signo contrario alos esfuerzos frontales en cualquier seccion transversal.


20.5.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos

Para la manivela de seccion circular indicada en la figura 20.5, se pide:

1. Reacciones en el empotramiento.

2. Diagramas de esfuerzos.

Solucion:

1. Reacciones en el empotramiento

Las reacciones han de equilibrar las fuerzas aplicadas. En el empotramiento pueden apare-cer tres componentes de fuerza Rv, Rh1 y Rh2, una en cada direccion del sistema de ref-erencia, y tres componentes de momento Mv , Mh1 y Mh2, tambien una en cada direcciondel sistema de referencia (figura 20.6).

En principio, se asignan a las componentes de la reaccion los sentidos indicados en lafigura 20.6. Si en el calculo que sigue se obtuviera alguna reaccion con signo negativo, elloindicarıa que el sentido asignado no era correcto.

Las ecuaciones de equilibrio de la manivela nos dan, para el sentido supuesto de las reac-ciones:


b

a

P

Q

90º

Figura 20.5: Manivela con fuerzas en el extremo

Suma de fuerzas igual a cero:

P = Rv

Q = Rh1

0 = Rh2

Suma de momentos respecto al empotramiento igual a cero:

P a = Mh2

P b + Mh1 = 0 −→ Mh1 = −P bQ b = Mv

2. Diagramas de esfuerzos

Conocidas las reacciones, el apoyo se sustituye por las acciones del mismo sobre la manivela(figura 20.7). Los diagramas de esfuerzos se dan en la figura 20.8.


Mh2

Mh1

Mv

Rh2

Rh1

Rv

Figura 20.6: Reacciones en el empotramiento

P

Q

P aP b

Q

Q b

P

Figura 20.7: Fuerzas y momentos sobre la manivela


Q

Q

esfuerzo normal

P

P

cortante vertical

P

cortante horizontal

Q

Q

P b

torsor

P b

flector eje horizontalflector eje vertical

P a

P b

Q b

Q b

Q b

Figura 20.8: Diagramas de esfuerzos

Leccion 21

Condiciones de sustentacion y enlace

21.1. Reacciones en las ligaduras

En un solido prismatico, si consideramos valida la hipotesis de Navier-Bernouilli1, cadaseccion transversal Σ tiene seis grados de libertad en movimientos: las tres componentes deldesplazamiento de su centro de gravedad G y las tres componentes del giro de su centro degravedad G.

En un solido prismatico, o en un conjunto de ellos que constituya una estructura, se conocecon el nombre de ligaduras a las condiciones impuestas sobre el movimiento de alguna secciontransversal. Es decir, las restricciones cinematicas sobre uno o varios de los seis grados de libertadde la seccion.

Cuando se considera una estructura formada por un conjunto de solidos prismaticos, aparecendos clases de ligaduras o restricciones cinematicas:

1. Condiciones de sustentacion, que materializan los apoyos de la estructura. Los apoyos sonlas conexiones de la estructura con el mundo exterior.

2. Condiciones de enlace, que materializan los vınculos internos entre los componentes o soli-dos prismaticos que constituyen la estructura.

Las restricciones cinematicas, para cumplirse, dan lugar a:

1. Reacciones, que son las fuerzas o momentos externos sobre la estructura derivadas de lascondiciones de sustentacion.

2. Condiciones que deben cumplir los esfuerzos en la estructura, derivadas de las condicionesde enlace.

21.2. Tipos de apoyos y enlaces internos

21.2.1. Tipos de apoyos

Los apoyos son restricciones cinematicas que definen la conexion de los solidos prismaticoso de las estructuras con el exterior. Normalmente, a efectos de calculo las condiciones reales deapoyo se idealizan en uno de los tipos siguientes:

1Ver leccion 19: la hipotesis es que, durante la deformacion, las secciones transversales del solido permanecenplanas y, ademas, no se deforman en su plano.

157

158 LECCION 21. CONDICIONES DE SUSTENTACION Y ENLACE

Representaciónesquemática del apoyo

Componentes de la reacción en elcentro de gravedad G de la sección transversal

X

Y

Z

Rx

Rz

Ry

MRx

MRy

MRz

Figura 21.1: Representacion esquematica y reacciones en un empotramiento

Empotramiento

Un empotramiento es la restriccion que impide completamente el movimiento de una sec-cion transversal. Es decir, en un empotramiento son nulas las tres componentes del de-splazamiento del centro de gravedad G y las tres componentes del giro del centro degravedad G. Para impedir este movimiento, aparecen seis componentes de reaccion, tresfuerzas y tres momentos, una por cada grado de libertad impedido (figura 21.1).

En un sistema estructural plano, donde las secciones transversales de los solidos prismaticossolo tengan tres grados de libertad, dos desplazamientos y un giro, en un empotramientosolo se tendran tres componentes de reaccion, dos fuerzas y un momento (figura 21.2).

X

Z

Rx

Rz

MRy

sección empotrada

Figura 21.2: Empotramiento en un sistema plano

Apoyo articulado fijo

Un apoyo articulado fijo es la restriccion que impide completamente el desplazamiento deuna seccion transversal, pero deja libre su giro. Es decir, en un apoyo articulado fijo sonnulas las tres componentes del desplazamiento del centro de gravedad G. Para impedireste desplazamiento, aparecen tres componentes de reaccion, tres fuerzas, una por cadacomponente de desplazamiento impedido (figura 21.3).

21.2. TIPOS DE APOYOS Y ENLACES INTERNOS 159



X

Y

Z

Rx

Rz

Ry

Figura 21.3: Representacion esquematica y reacciones en un apoyo articulado fijo

Apoyo articulado movil

Un apoyo articulado movil es la restriccion que impide el desplazamiento de una secciontransversal en una sola direccion. Es decir, en un apoyo articulado movil es nula unacomponente del desplazamiento del centro de gravedad G. Para impedir esta componentedel desplazamiento, aparece una componente de reaccion, una fuerza en la direccion deldesplazamiento impedido (figura 21.4).



X

Y

Z

Rz

Figura 21.4: Representacion esquematica y reacciones en un apoyo articulado movil

Empotramiento movil

Un empotramiento movil es la restriccion que impide completamente el giro de una secciontransversal y su desplazamiento en una sola direccion. Es decir, en un empotramiento movilson nulas las tres componentes del giro del centro de gravedad G y una componente deldesplazamiento del centro de gravedadG. Para impedir estas componentes del movimiento,




X

Y

Z

RxMRx

MRy

MRz

Figura 21.5: Representacion esquematica y reacciones en un empotramiento movil

aparecen cuatro componentes de reaccion, tres momentos y una fuerza en la direccion deldesplazamiento impedido (figura 21.5).

21.2.2. Tipos de enlaces internos

Los enlaces son restricciones cinematicas que definen vınculos de unos solidos prismaticoscon otros dentro de una estructura. A efectos de calculo, los vınculos reales se idealizan en unode los tipos siguientes:

Articulacion

Una articulacion es un vınculo entre dos secciones transversales mediante el cual se igualanlas tres componentes del desplazamiento de las mismas, pero las tres componentes delgiro pueden ser distintas (figura 21.6). Es decir, el desplazamiento a ambos lados de laarticulacion es el mismo, pero el giro puede ser diferente. Si A y B representan las seccionestransversales a un lado y otro de la articulacion:

uA = uB vA = vB wA = wB (los desplazamientos son iguales)θxA 6= θxB θyA 6= θyB θzA 6= θzB (los giros son distintos)

A efectos del calculo de esfuerzos, la articulacion proporciona tres ecuaciones: los momentosflectores y el momento torsor son nulos en la articulacion:

MT = MFy = MFz = 0

Tirante o barra biarticulada

Un tirante es una barra recta con articulaciones en ambos extremos. Al ser nulos losmomentos flectores y el momento torsor en ambos extremos de la barra, el resto de laestructura solo ejerce sobre ella fuerzas ~F1 y ~F2, en los extremos 1 y 2 de la barra (figura21.6).

21.3. SISTEMAS ISOSTATICOS E HIPERESTATICOS 161

sección A

sección B

barra

biarticulada

F1

F2

Figura 21.6: Representacion esquematica de una articulacion

Notese que el equilibrio de la barra exige que, cuando no actuan acciones exteriores a lolargo de su longitud, las fuerzas internas ~F1 y ~F2 que ejerce el resto de la estructura en losextremos:

• Esten alineadas con la directriz de la barra: para que se cumpla el equilibrio demomentos respecto a un extremo u otro de la barra.

• Sean iguales y de signo contrario: para que se cumpla el equilibrio de fuerzas.

Cable

Un cable, a efectos de calculo, se idealiza como un elemento que solo puede ejercer fuerzasde traccion sobre los elementos a los que esta unido. No puede trabajar a compresion,cortadura, flexion o torsion. La direccion de la fuerza de traccion ejercida por el cable estangente al cable en el punto de union con el elemento al que esta unido.

En cables sujetos por sus extremos y sin fuerzas que actuen a lo largo de su longitud, sise desprecian los rozamientos, la fuerza de traccion en el cable se mantiene constante.

Desde el punto de vista estatico, las poleas son elementos que desvıan las fuerzas ejercidaspor los cables. Las acciones estaticas de los cables sobre poleas se esquematizan en la figura21.7.

21.3. Sistemas isostaticos e hiperestaticos

Antes de estudiar el estado tensional de un solido prismatico, es necesario conocer comple-tamente la solicitacion exterior. Es decir, conocer no solo las fuerzas y momentos directamenteaplicados, que generalmente seran conocidos, sino tambien las reacciones en los apoyos, que enprincipio son desconocidas.

Para determinar las reacciones en los apoyos de una estructura o sistema de solidos prismaticostenemos en primer lugar las ecuaciones siguientes:

Ecuaciones de equilibrio estatico, seis ecuaciones en el caso mas general.


F

FFF

polea

cable

acción sobre el eje de la polea(suma vectorial)

Figura 21.7: Fuerza de un cable sobre una polea

Ecuaciones derivadas de las condiciones de enlace (vınculos internos) entre los solidosprismaticos que constituyen la estructura.

Los sistemas en los que pueden obtenerse las reacciones en los apoyos mediante la aplicacionde unicamente estas dos clases de ecuaciones se llaman sistemas isostaticos.

Por el contrario, si existen apoyos superabundantes, las ecuaciones anteriores no son sufi-cientes para determinar las reacciones y el sistema se llama hiperestatico. En este caso se requierehacer intervenir las deformaciones de los solidos prismaticos para obtener las reacciones.

Se llama grado de hiperestatismo al exceso de incognitas con respecto al numero de ecua-ciones disponible derivadas del equilibrio estatico y de las condiciones de enlace internas de laestructura.


21.4.1. Calculo de reacciones y diagramas de esfuerzos (1)

El sistema plano de la figura 21.8 esta formado por cuatro barras: una barra vertical ABempotrada en su base, dos barras perpendiculares CD y DE rıgidamente unidas y una barrahorizontal BC biarticulada. Los puntos D y E estan guıados mediante correderas para que nopuedan desplazarse verticalmente. En el extremo E se aplica una fuerza horizontal F . Se pide:

1. Reacciones en los apoyos.

2. Leyes y diagramas de esfuerzos en todas las barras.

Solucion:

1. Reacciones en los apoyos


c

a b

A

B C

DE

F

Figura 21.8: Sistema plano

La barra biarticulada solo puede estar sometida a esfuerzo normal N , ya que no tieneaplicada ninguna carga a lo largo de su directriz.

En la figura 21.9 se da la descomposicion del sistema plano en sus componentes, conindicacion de las fuerzas que se ejercen entre ellos. A partir de la figura, se puede plantearel equilibrio de los tres componentes por separado.

c

a

b

F

MA

RA

N

N

N

N

RD

RE

Figura 21.9: Interaccion entre componentes del sistema plano

El equilibrio del poste AB da que:

N = RA

N c = MA

El equilibrio de la pieza CDE da que:

N = F


RD = RE

RD b = N c

Se tienen pues cinco ecuaciones con cinco incognitas, las cuatro componentes de reacciony la fuerza interna N . La resolucion del sistema da:

N = F

RA = F

RD = Fc

b

RE = Fc

bMA = F c


A partir de las reacciones, se obtienen los diagramas de esfuerzos que se dan en las figuras21.10 y 21.11.

A

B

F

F

F c

A

B

A

B

Cortante Flector

F

F

F c

B C

F

F F

Axil

Figura 21.10: Diagramas de esfuerzos en las barras AB y BC


La figura 21.12 representa el esquema de una grua torre con contrapeso inferior. Esta formadapor la columna AB empotrada en su base; las mensulas BC, BD; y la viga BEF . El cable del


F

F

F c/b F c/b

C

DE

C

D

E

C

DE

C

D E

F

Axil

F

F

F c/b

F c

F c

CortanteFlector

Figura 21.11: Diagramas de esfuerzos en la barra CDE

contrapeso se une a la seccion E y pasa por las poleas situadas en D y C.Para el caso de carga indicado en la figura 21.12, se pide:

1. Reacciones en la base.

2. Leyes y diagramas de esfuerzos en todas las barras.

Solucion:

1. Reacciones en la base

Se trata de un sistema plano. En el empotramiento de la base hay tres componentes dereaccion: Rh, Rv y Mr. El esquema estatico es el representado en la figura 21.13.


(Las dimensiones sin acotar se consideran despreciables)

P

3P

a 3a 3a

10 a

(3) a1/ 2

A

BC

D

EF

Figura 21.12: Grua torre con contrapeso inferior

Las ecuaciones de equilibrio dan que:

Rv = 3P + P

Rh = 0Mr + 3P a = P 6 a

Luego las reacciones son:

Rh = 0Rv = 4PMr = 3P a


El esfuerzo axil en el cable es igual al peso del contrapeso, 3P .

En la polea situada en el extremo del brazo horizontal (polea C), la fuerza sobre el ejese obtiene como suma vectorial de los vectores (0, −3P ) y (3P sinα, 3P cosα) (figura21-14).

Como se tiene que:

tanα =a

a√

3=

1√3

−→ α = 30o

Resulta que la fuerza sobre el eje de la polea es (3P sinα, 3P (cosα−1)) = (1, 5P,−0, 40P ).


P

3P

a 3a 3a

10 a

(3) a1/ 2

Rh

Rv

Mr

β

α

C

D

E

Figura 21.13: Esquema estatico para la grua torre

Del mismo modo, en la polea situada sobre el extremo superior de la torre (polea D), lafuerza sobre el eje se obtiene como suma vectorial de los vectores (−3P sinα, −3P cosα)y (3P cosβ, −3P sinβ) (figura 21-14), lo que da (1, 1P, −4, 1P ).

En el punto de anclaje del cable a la pluma de la grua, la fuerza sobre la pluma tiene ladireccion del cable, lo que da lugar a una fuerza de componentes (−3P cos β, 3P sinβ) =(−1, 5

√3P, 1, 5P ).

Por lo tanto, las fuerzas sobre la grua son las que se dan en la figura 21.15. Los diagramasde esfuerzos se dan en la figura 21.16.


La figura 21.17 representa el esquema plano de una grua que levanta una carga de 4 kN. Lasdimensiones estan en mm. Para el caso de carga indicado, se pide:

1. Reacciones en las ruedas.

2. Acciones que se ejercen sobre cada uno de los siguientes elementos considerados aislada-mente: barra AC, bastidor CDG, actuador hidraulico BF .

3. Diagramas de esfuerzos en el bastidor CDG.

Solucion:


Polea C Polea D

α

3P

3P

3P

3Presultante sobre el eje

α β

3P

3P

3P3P

resultante sobre el eje

Anclaje del cable en la pluma de la grúa

β

3P

Figura 21.14: Fuerzas sobre los ejes de las poleas y el anclaje del cable

1. Reacciones en las ruedas

En las ruedas solo hay reacciones verticales, que designaremos por RE y RG. Los valoresde las mismas se obtienen de las ecuaciones de equilibrio del conjunto:

RE + RG = 4 (equilibrio de fuerzas)RE 375 + RG (375 + 500 + 1900) = 4 (1380 + 1250) cos(15o) (equilibrio de momentos)

De donde se obtiene que, RE = 0, 39 kN y RG = 3, 61 kN. Los valores positivos indicanque las reacciones tienen el sentido supuesto (hacia arriba) y que, por tanto, las ruedas nodespegan.

2. Acciones sobre los componentes

Sabemos que en el actuador hidraulico FB solo puede existir esfuerzo normal, por estararticulado en los dos extremos y no tener cargas aplicadas entre los puntos F y B.

Sabemos tambien que, a traves de la articulacion C, la barra AC solo puede ejercer sobreel bastidor una fuerza y no un momento. En consecuencia, el esquema de cargas sobre elbastidor CDG es el indicado en la figura 21.17, donde:

tanα =1380 cos(15o) − 375− 500

900 + 1380 sin(15o)=

4581257, 2

= 0, 3643 −→ α = 20o


Cv + 0, 39 + 3, 61 = N cos(20o)Ch + N sin(20o) = 0

375 0, 39 + 3, 61 2775 = N cos(20o) 875 + N sin(20o) 900


N = esfuerzo de compresion en el actuador =375 0, 39 + 3, 61 2775

cos(20o) 875 + sin(20o) 900)= 9 kN

Ch = −N sin(20o) = −3, 08 kN(signo negativo indica sentido contrario al supuesto en la figura 21.18)

Cv = 9 cos(20o) − 4 = 4, 46 kN

3. Diagramas de esfuerzos en el bastidor CDG

Los diagramas se dan en la figura 21.19.


10 a

(3) a1/2

a 3a 3a

P

1,5 P

1,1 P

4,1 P

1,5 P

0,4 P

1,5 (3) P1/2

3 P a

4 P

A

C B

E

F

D

Figura 21.15: Diagrama de cuerpo libre de la grua


A

CB

E

F

D

Esfuerzos normales

A

C

B

E

F

D

Esfuerzos cortantes

A

C

B E F

D

Momentos flectores

4,0 P

1,5 (3) P1/ 2

4,1 P

1,5 P0,4 P

1,1 P

0,5 P

P

3 Pa

3 Pa

1,9 Pa

0,4 Pa

Figura 21.16: Diagramas de esfuerzos


4 kN

A1250

1380

900

15º

375 500 1900

GFE

D

C

B

Figura 21.17: Esquema plano de grua de taller

900

375 500 1900

G

F

E

D

C

N

α

Cv

Ch

0,39 kN 3,61 kN

Figura 21.18: Fuerzas sobre el bastidor CDG


G

F

E

D

C

4,46 kN

3,08 kN

0,39 kN 3,61 kN

8,46 kN

3,08 kN

Esfuerzos normales

Cortantes

Flectores

4,46 kN

3,08

3,08 kN

4,46

4,85

3,61

2,77 kN m

2,77

4,44

6,86

Figura 21.19: Diagrama de cuerpo libre del bastidor y diagramas de esfuerzos


Leccion 22

Traccion y compresion. Tensiones ydesplazamientos.

22.1. Definicion de estado de traccion-compresion

Se dice que un solido prismatico tipo barra esta sometido a traccion-compresion cuando entodas sus secciones transversales actua unicamente el esfuerzo normal N , siendo nulos el restode los esfuerzos (cortantes, momentos flectores y torsor).

Por convenio, se toma el esfuerzo normal como positivo cuando la seccion transversal trabajaa traccion y como negativo, cuando lo hace a compresion (figura 22.1). Desde nuestro punto devista, la traccion y la compresion no difieren mas que en el signo del esfuerzo normal N y, portanto, les daremos el mismo tratamiento. Sin embargo, pueden existir diferencias cualitativasentre estos dos modos de carga, debido a los fenomenos de inestabilidad que pueden aparecer enbarras esbeltas sometidas a compresion (pandeo). Dichos fenomenos se estudiaran en Resistenciade Materiales II.

22.2. Estado de tensiones

Dada una seccion transversal de una barra de area Ω, que esta sometida unicamente alesfuerzo normal N (figura 22.2), el estado tensional en la seccion debe cumplir las relacionessiguientes:

N =∫

Ωσnx dΩ ; 0 =

∫Ω τxy dΩ ; 0 =

∫

Ωτxz dΩ (22.1)

0 =∫

Ω(τxzy − τxyz) dΩ ; 0 =

∫Ω σnxz dΩ ; 0 =

∫

Ω−σnxy dΩ (22.2)

por ser nulos todos los esfuerzos a excepcion de N .Estas seis ecuaciones no son suficientes para determinar las tensiones σnx, τxy y τxz que el

esfuerzo normal N origina a lo largo de la seccion. Para determinar el estado tensional se utilizala siguiente hipotesis cinematica (hipotesis de Bernouilli):

En la deformacion del solido prismatico bajo esfuerzo normal, la directriz se deformapermaneciendo recta y las secciones planas normales a la directriz permanecen planas ynormales a la directriz despues de la deformacion.

175

176 LECCION 22. TRACCION Y COMPRESION. TENSIONES Y DESPLAZAMIENTOS.

N N

Positivo (tracción)

N N

Negativo (compresión)

Figura 22.1: Convenio de signos para el esfuerzo normal

A partir de esta hipotesis:

1. Cualquier elemento diferencial de volumen de la barra se deforma sin distorsion angular:

γxy = γxz = γyz = 0

y por la Ley de Hooke generalizada:

τxy = Gγxy = 0τxz = Gγxz = 0τyz = Gγyz = 0

2. En cada seccion transversal de la barra, todos los elementos diferenciales de volumenexperimentan la misma deformacion longitudinal:

εx = constante en la seccion transversal

Si se supone que el estado de tensiones es uniaxial por estar libre de cargas la superficielateral de la barra (σny = σnz = 0), la Ley de Hooke generalizada proporciona:

σnx = E εx = constante en la seccion transversal

Y

Z

XGN

σnx

τxy

τxz

Figura 22.2: Seccion transversal bajo el esfuerzo normal

22.3. ESTADO DE DEFORMACIONES 177

Lo que da:

N =∫

Ωσnx dΩ = σnx

∫

ΩdΩ = σnx Ω

Y, en consecuencia:

σnx =N

Ω= constante en la seccion transversal

Notese que el estado tensional dado por:

σnx =N

Ωy σny = σnz = τxy = τxz = τyz = 0 (22.3)

cumple con las ecuaciones 22.1 y 22.2, ya que se verifica que:∫

Ωz dΩ =

∫

Ωy dΩ = 0

por ser el origen G del sistema de referencia el centro de gravedad de la seccion transversal.

22.3. Estado de deformaciones

Conocido el estado de tensiones, dado por 22.3, resulta posible deducir el correspondienteestado de deformaciones.

Deformacion longitudinal

εx =σnxE

=N

ΩE= constante en la seccion transversal

Deformaciones en sentido transversal

εy = εz = −µ εx = −µNΩE

Deformaciones transversalesγxy = γxz = γyz = 0

22.4. Desplazamientos

Conocida la deformacion longitudinal εx en cada seccion transversal, es posible calcular lavariacion de longitud de una barra sometida a esfuerzo normal, es decir, el alargamiento oacortamiento de la barra ∆L:

∆L =∫ L

0du =

∫ L

0

du

dxdx =

∫ L

0εx dx =

∫ L

0

N

ΩEdx

Si el esfuerzo normal N , modulo de elasticidad E y area de la seccion transversal Ω sonconstantes a lo largo de la longitud L de la barra, se tiene que:

∆L = εxL =N

ΩEL

178 LECCION 22. TRACCION Y COMPRESION. TENSIONES Y DESPLAZAMIENTOS.

Leccion 23

Esfuerzo normal variable. Peso yfuerza centrıfuga.

23.1. Ecuacion de equilibrio bajo esfuerzo normal

Sea un solido prismatico sometido a una fuerza distribuida por unidad de longitud q = q(x)paralela a la directriz (figura 23.1). Sea N = N(x) la distribucion de esfuerzos normales a lolargo de la directriz.

Si se considera una rebanada del solido prismatico, el equilibrio de la misma impone lascondiciones siguientes sobre la distribucion N(x):

N(x+ dx) + q(x) dx = N(x) (equilibrio de fuerzas segun eje X)

Lo que da:

N(x) +dN(x)dx

dx + q(x) dx = N(x) −→ dN

dx+ q(x) = 0

que es la ecuacion diferencial de equilibrio que debe cumplir la distribucion N = N(x) delesfuerzo normal a lo largo de la directriz. Se trata de una ecuacion diferencial ordinaria deprimer orden que, con las condiciones de contorno adecuadas, permite obtener la distribucionN(x) para cualquier ley q = q(x) de fuerza distribuida por unidad de longitud.

En ausencia de deformaciones termicas, en cada seccion transversal del solido prismatico secumple que:

εx =σnxE

=N

E Ω−→ N = E Ω εx = EΩ

du

dx

Donde E es el modulo de elasticidad, Ω es el area de la seccion transversal y u = u(x) es eldesplazamiento del centro de gravedad de la seccion transversal en la direccion de la directriz(direccion X).

Sustituyendo en la ecuacion diferencial de equilibrio la expresion del esfuerzo normal N enfuncion del desplazamiento u, se llega a:

d

dx(E Ω

du

dx) + q = 0

Notese que tanto E como Ω pueden ser variables a lo largo de la directriz.

179

180 LECCION 23. ESFUERZO NORMAL VARIABLE. PESO Y FUERZA CENTRIFUGA.

dx

X

q=q(x)

N(x) N(x+dx)

x dx

q=q(x)

Figura 23.1: Rebanada de solido prismatico bajo fuerza distribuida paralela a la directriz

Por otro lado, si existieran deformaciones termicas, la expresion del esfuerzo normal es:

N = E Ω (du

dx− α∆T )

Donde α es el coeficiente de dilatacion lineal y ∆T es el incremento de temperatura. La ecuaciondiferencial en funcion del desplazamiento u queda entonces:

d

dx(EΩ

du

dx) − d

dx(E Ωα∆T ) + q = 0

En el caso particular de que E, Ω, α y ∆T sean constantes a lo largo de la directiz, laecuacion es:

EΩd2u

dx2+ q = 0

23.2. Esfuerzos normales de peso propio

El peso propio da lugar a una fuerza distribuida por unidad de longitud q proporcional alproducto del peso especıfico γ del material y el area Ω de la seccion transversal. Si la directrizdel solido prismatico esta alineada con la direccion de la gravedad (figura 23.2), resulta que:

q = Ω γ

23.2. ESFUERZOS NORMALES DE PESO PROPIO 181

X

q = Ω γ

Figura 23.2: Solido prismatico bajo su peso propio

y la ecuacion diferencial de equilibrio queda:

dN

dx+ Ω γ = 0

Es decir:

dN = −Ω γ dx (ecuacion de variables separadas)

Si Ω y γ son constantes, la integral de la ecuacion es:

N = N0 − Ω γ x

donde N0 es una constante de integracion que se obtiene a partir de las condiciones de contorno.Puede verse que, en este caso, el esfuerzo normal varıa linealmente con la coordenada x de avancea lo largo de la directriz. En cuanto a los desplazamientos u de las secciones transversales en ladireccion de la directriz, se obtiene:

εx =du

dx=

N

EΩ=

N0

E Ω− γ

Ex de donde

du =N0

E Ωdx − γ

Ex dx y

u = u0 +N0

EΩx − γ

2Ex2

Donde u0 es una constante de integracion. Notese que la variacion del desplazamiento u a lolargo de la directriz es cuadratica.


X

dx

ω

q = xρ ω Ω2

Figura 23.3: Solido prismatico bajo fuerza centrıfuga

23.3. Esfuerzos normales por fuerza centrıfuga

Consideremos una barra recta que gira alrededor de un eje con velocidad angular ω, segunse indica en la figura 23.3. Cuando la directiz de la barra (eje X) es perpendicular al eje degiro, sobre una rebanada de longitud dx aparecera una fuerza dirigida segun la directiz de valor(fuerza centrıfuga):

q dx = dmω2 x = ρΩ dx ω2x = ρ ω2 Ω x dx

Donde dm representa la masa de la rebanada, ρ es la densidad del material y Ω es el area de laseccion transversal de la rebanada. De este modo, la fuerza centrıfuga es una fuerza distribuidapor unidad de longitud q proporcional a la densidad ρ, al area de la seccion transversal Ω, alcuadrado de la velocidad de giro ω y a la distancia x al eje de giro:

q = ρ ω2 Ω x

La ecuacion diferencial de equilibrio queda:

dN

dx+ ρ ω2 Ω x = 0

Es decir:dN = − ρ ω2 Ω x dx (ecuacion de variables separadas)

Si Ω y γ son constantes, la integral de la ecuacion es:

N = N0 − ρ ω2 Ωx2

2

donde N0 es una constante de integracion que se obtiene a partir de las condiciones de contorno.Puede verse que, en este caso, el esfuerzo normal varıa cuadraticamente con la coordenada x de

23.3. ESFUERZOS NORMALES POR FUERZA CENTRIFUGA 183

avance a lo largo de la directriz. En cuanto a los desplazamientos u de las secciones transversalesen la direccion de la directriz, se obtiene:

εx =du

dx=

N

E Ω=

N0

E Ω− ρ ω2

2Ex2 de donde

du =N0

E Ωdx − ρ ω2

2Ex2 dx y

u = u0 +N0

EΩx − ρ ω2

6Ex3

Donde u0 es una constante de integracion. Notese que la variacion del desplazamiento u a lolargo de la directriz es cubica.

ω

h N Nr rθ

Figura 23.4: Fuerzas centrıfugas en un anillo girando alrededor de su eje

Si lo que se tiene es una anillo de pequeno espesor e, de radio medio r, que gira alrededor desu eje con velocidad angular constante ω (figura 23.4), sobre cada sector del anillo de longitudr dθ aparece una fuerza radial de valor:

dmω2 r = r dθ h e ρ ω2 r = h e ρ ω2 r dx

El esfuerzo normal N que aparece en el anillo es constante, de traccion, y puede obtenersefacilmente planteando el equilibrio de un sector de anillo de θ = 180o (figura 23.4):

2N = 2 r h e ρ ω2 r (proyeccion de las fuerzas radiales sobre la direccion de N)

Es decir:N = r2 h e ρ ω2

Lo que da lugar a una tension y una deformacion circunferencial en el anillo de:

σ =N

h e= r2 ρ ω2 ε =

σ

E=r2 ρ ω2

E


La deformacion produce un incremento del radio r del anillo de:

∆r = r ε =r3 ρ ω2

E

y un incremento de la longitud de la circunferencia del anillo de:

∆l = 2π r ε = 2πr3 ρ ω2

E


23.4.1. Esfuerzo normal variable en un pilote

Un pilote de hormigon, de seccion constante Ω y longitud l ha sido hincado verticalmenteen un terreno arenoso hasta una profundidad h (figura 23.5). El pilote soporta una carga F ensu extremo superior, la cual es equilibrada en su totalidad por el rozamiento del fuste con elterreno, cuyo efecto es una fuerza por unidad de longitud f que varıa cuadraticamente con laprofundidad: f = k x2. Se pide:

1. Relacion que debe existir entre h y F en funcion del parametro k.

2. Expresion analıtica y diagrama de esfuerzos normales en el pilote.

3. Acortamiento total del pilote bajo la carga F (Dato: modulo de elasticidad E).

Solucion:

1. Relacion entre h y F

El rozamiento con el terreno o resistencia por fuste del pilote debe equilibrar la fuerza Faplicada sobre el mismo, es decir:

F =∫ h

0k x2 dx = k

[x3

3

]h

0

= kh3

3

La relacion pedida es pues:

F = kh3

3

El pilote debera hincarse a una profundidad h igual o superior a la dada por la relacionanterior.

2. Diagrama de esfuerzos normales en el pilote

Si x ≤ 0 entonces N = −F (compresion)

Si x > 0 entonces N = −F +∫ x0 k x

2 dx = −F + k x3

3

El diagrama de esfuerzos se da en la figura 23.6.


x

h l

F

f

x

f

Figura 23.5: Esquema del pilote hincado

3. Acortamiento total del pilote

El acortamiento total ∆ viene dado por la integral de la deformacion ε a lo largo del pilote:

∆ =∫ l

0ε dx =

∫ l

0

N

EΩdx = −(l − h)

F

E Ω+∫ h

0

−F + k x3

3

E Ωdx = −

[l F

EΩ− k h4

12EΩ

]

Y como resulta que F = k h3

3 , resulta finalmente:

∆ = − k h3

3EΩ

(l − h

4

)

El signo de ∆ es negativo, por tratarse de un acortamiento.

23.4.2. Esfuerzos normales en una union roscada

La figura 23.7 representa dos piezas cilındricas huecas, A y B, de longitud l y seccion transver-sal αΩ (α > 1). La pieza A tiene un taladro roscado en su extremo, en tanto que la pieza Besta unida a un cilindro roscado C, de seccion Ω, de tal manera que ambas piezas se puedenunir al atornillarse dicho cilindro en el taladro de la pieza A. Todas las partes son del mismomaterial, de modulo elastico E, y no hay rozamiento entre ellas.

Se pide:


x

h

F

F- k x /33

Figura 23.6: Diagrama de esfuerzos normales en el pilote

1. Esfuerzos iniciales creados en las piezas A, B y en el cilindro C, si en el proceso de montaje,y una vez conseguido el contacto, se crea un apriete mediante el roscado adicional de unalingitud δ (δ l).

2. Determinar los esfuerzos finales producidos por la posterior aplicacion de fuerzas F queintenten separar las piezas A y B, realizando la discusion de los casos que se pueden dar.

3. Discutir la situacion lımite α → ∞, dando una explicacion razonada del comportamientodel conjunto.

Solucion:

1. Esfuerzos iniciales

Durante el apriete, el esquema estatico es el indicado en la figura 23.8. Por equilibrio, debecumplirse que N0

C = N0AB. Notese que el esfuerzo normal N0

AB esta distribuido en toda lasuperficie de contacto entre las piezas A y B.

La deformacion de las piezas A y B vale:

ε0AB =N0AB

αEΩ(acortamiento)

∆lAB = ε0AB 2l =N0AB

αE Ω2l (acortamiento)


C

A B

l l

F F

α Ω

Figura 23.7: Esquema de las piezas roscadas

Y en el vastago C:

ε0C =N0C

E Ω(alargamiento parte no roscada)

∆lC = δ − N0C

E Ω2l (acortamiento total)

El acortamiento del vastago C y de las piezas A + B debe ser el mismo, ∆lAB = ∆lC ,luego:

N0AB

αE Ω2l = δ − N0

C

E Ω2l

y como N0C = N0

AB, resulta:

N0C = N0

AB =E Ω2 l

δα

1 + α

Si α→ ∞, resulta:

N0C = N0

AB =E Ω2 l

δ

2. Esfuerzos finales

El esquema estatico una vez aplicadas las fuerzas F es el indicado en la figura 23.9.

El equilibrio de las piezas A y B da que:

F + NAB = NC


A B

CN

0

C

N0

AB N0

AB

N0

CN

0

C N0

C

Figura 23.8: Esquema estatico de las piezas roscadas durante el apriete

A B

CN

C

NAB N

AB

NC

NC N

CFF

u u

Figura 23.9: Esquema estatico de las piezas roscadas durante la aplicacion de las fuerzas

y como se tiene que:

NAB = N0AB + ∆NAB

NC = N0C + ∆NC

N0C = N0

AB

resulta finalmente que:

F + N0AB + ∆NAB = N0

C + ∆NC −→ F + ∆NAB = ∆NC

Sea u el desplazamiento del punto de aplicacion de las fuerzas F cuando se aplican estasfuerzas (figura 23-9). Se tiene:

∆NAB = −ulE αΩ (las piezas A y B se decomprimen)

∆NC =u

lE Ω (la pieza C se estira mas)


Entonces:F = ∆NC − ∆NAB =

u

lE Ω +

u

lE αΩ =

E Ωl

(1 + α) u

El factor que multiplica a u es la rigidez de la union roscada. Notese que si α → ∞ larigidez tiende a infinito: las piezas A y B apenas se moveran por aplicacion de las fuerzasF .

Despejando u y sustituyendo en las expresiones de ∆NAB y ∆NC resulta:

∆NAB = −ulE αΩ = − α

1 + αF

∆NC =u

lE Ω =

11 + α

F

y los esfuerzos finales son:

NAB =E Ω2 l

δα

1 + α− α

1 + αF

NC =E Ω2 l

δα

1 + α+

11 + α

F

La junta entre las piezas A y B no resiste tracciones. Las relaciones anteriores valen hastaque se produce despegue, es decir, para NAB = 0. El despegue se produce para:

EΩ2 l

δα

1 + α=

α

1 + αF

es decir, para F =E Ω2 l

δ

A partir de este valor de la fuerza F , se cumple:

NAB = 0NC = F

3. Discusion de la situacion lımite

La situacion lımite (α → ∞) corresponde al caso en que el area de la seccion transversalde las piezas A y B es mucho mayor que la de la barra roscada C.

En este caso, el roscado adicional δ del cilindro C no produce acortamiento de las piezasA y B ya que:

lımα→∞

ε0AB = lımα→∞

N0AB

αEΩ= 0

Las piezas A y B se comportan como cuerpos rıgidos (rigidez infinita).

Por otro lado, al ser:

lımα→∞

NC = lımα→∞

[EΩ2 l

δα

1 + α+

11 + α

F ] =E Ω2 l

δ

el esfuerzo normalNC permanece constante, igual a N0C , hasta que se produce el despegue.


Leccion 24

Esfuerzo normal. Sustentacionhiperestatica.

24.1. Potencial interno asociado al esfuerzo normal

En un estado de traccion-compresion las matrices de tension y de deformacion en un solidoprismatico tipo barra valen:

[T ] =

σnx 0 00 0 00 0 0

[D] =

εx 0 00 −µ εx 00 0 −µ εx

En consecuencia, la energıa de deformacion o potencial interno dU almacenada en un ele-mento diferencial de volumen dV vale (ver leccion 13):

dU =12σnxεx dV =

12σnxεxΩ dx

donde Ω es el area de la seccion transversal del solido prismatico. Y como se tiene que:

εx =σnxE

σnx =N

Ω

resulta finalmente:

dU =12N2

EΩdx

En consecuencia, la energıa de deformacion del solido prismatico sometido a un estado detraccion-compresion es de:

U =∫ L

0

12N2

E Ωdx

Y si se tienen varios tramos en los que el esfuerzo normal N y el modulo de elasticidad Ω y areade la seccion transversal Ω son constantes:

U =∑

i

12

N2i

EiΩiLi

191

192 LECCION 24. ESFUERZO NORMAL. SUSTENTACION HIPERESTATICA.

24.2. Traccion-compresion hiperestatica

Al plantear el equilibrio de un sistema de solidos prismaticos sucede a menudo que el numerode reacciones es superior al numero de ecuaciones que proporciona la estatica. Dichas ecuacionesno son, en estos casos, suficientes para resolver el problema de obtener las reacciones. Talessistemas reciben el nombre de sistemas estaticamente indeterminados o hiperestaticos.

Para resolver estos problemas resulta necesario hacer intervenir las deformaciones del soli-do prismatico. Las deformaciones del solido deben ser compatibles con los enlaces o vınculoscinematicos. Las ecuaciones que expresan esta compatibilidad de deformaciones proporcionannuevas ecuaciones, que unidas a las de equilibrio estatico permiten obtener todas las reaccionesincognita y resolver ası el problema.

Existen, en general, dos formas de introducir las ecuaciones de compatibilidad de deforma-ciones en el solido prismatico. La primera es indirecta, a traves del teorema de Castigliano. Lasegunda es directa, calculando los movimientos a que dan lugar las deformaciones del solido eimponiendo a esos movimientos las condiciones de sustentacion o enlace.

24.2.1. Aplicacion del teorema de Castigliano

La aplicacion del teorema de Castigliano al calculo de reacciones hiperestaticas se hace segunla secuencia que se desarrolla a continuacion:

1. Determinar el grado de hiperestatismo n

n = numero de componentes de las reacciones− numero de ecuaciones de equilibrio estatico− numero de ecuaciones derivadas de las condiciones de enlace

2. Seleccionar n incognitas hiperestaticas de entre las componentes de las reacciones.

3. Utilizar las ecuaciones de equilibrio estatico y las derivadas de las condiciones de enlacepara poner todas las reacciones en funcion de las incognitas hiperestaticas.

4. Obtener los diagramas de esfuerzos en funcion de las incognitas hiperestaticas.

5. Empleando los diagramas de esfuerzos, obtener la energıa de deformacion U en funcion delas incognitas hiperestaticas.

6. Obtener las incognitas hiperestaticas poniendo la condicion de que es nulo el movimientoen la direccion de las reacciones hiperestaticas (teorema de Castigliano-Menabrea).

7. Obtener el resto de las reacciones a partir de las ecuaciones del paso (3).

Veamos como ejemplo el calculo de las reacciones en el sistema de la figura 24.1(a), formadopor un unico solido prismatico con modulo de elasticidad E y area de la seccion transversal Ω.

1. Hay dos componentes de reaccion RA y RB (figura 24.1(b)) y la estatica solo proporcionauna ecuacion util:

RA + RB = P

En consecuencia, el grado de hiperestatismo n es n = 2 − 1 = 1.

24.2. TRACCION-COMPRESION HIPERESTATICA 193

A

B

C

b

a

(a) (b)

P

RA

RB

(c)

RA

P-RA

RA

P-RA

Figura 24.1: Sistema hiperestatico sometido a traccion-compresion

2. Seleccionamos RA como incognita hiperestatica.

3. La ecuacion de equilibrio nos da que: RB = P − RA.

4. Los diagramas de esfuerzos en funcion de RA se dan en la figura 24.1(c).

5. En funcion de los diagramas de esfuerzos, la energıa de deformacion es:

U =12

(P − RA)2

E Ωa +

12R2A

E Ωb

6. El desplazamiento del punto A es nulo, por lo que (teorema de Castigliano):

∂U

∂RA= 0 −→ −(P − RA)

E Ωa +

RAE Ω

b = 0 −→ RA =P

(a+ b)a

7. A partir de las ecuaciones de equilibrio del paso (3):

RB = P −RA =P

(a+ b)b

24.2.2. Aplicacion de la compatibilidad de deformaciones

La obtencion de las reacciones hiperestaticas a partir de la compatibilidad de deformacioneses algo menos sistematica que la aplicacion del teorema de Castigliano, ya que requiere visualizare imponer las condiciones bajo las cuales deben producirse las deformaciones del solido.


Las etapas (1) a (4) de la sistematica empleada en la seccion anterior se mantienen. Calcula-dos los diagramas de esfuerzos, a partir de los esfuerzos se obtienen deformaciones y, a partir deellas, los movimientos del solido prismatico. Las condiciones que deben cumplir dichos movimien-tos proporcionan las ecuaciones necesarias para determinar las incognitas hiperestaticas.

Utilizando el mismo ejemplo que en la seccion anterior, debe cumplirse que el acortamientodel tramo CB es el mismo que el alargamiento del tramo CA, por ser fija la distancia entre Ay B:

∆LBC = ε a =N

E Ωa =

P −RAE Ω

a (acortamiento)

∆LCA =RAEΩ

b (alargamiento)

Luego se cumple:

(P − RA)E Ω

a =RAEΩ

b −→ RA =P

(a+ b)a

Llegandose de esta manera al mismo resultado que por aplicacion del teorema de Castigliano.

24.3. Tensiones ocasionadas por defectos de montaje o cambios

de temperatura

En un sistema hiperestatico es posible que existan tensiones iniciales producidas en el mon-taje, debidas a errores en las longitudes de las barras o a variaciones intencionadas de los valorescorrectos de estas longitudes.

Dichas tensiones existen aun cuando no actuen cargas exteriores y dependen de las propor-ciones geometricas del sistema, de las propiedades de los materiales y de la magnitud de losdefectos. Supongamos, por ejemplo, que en el sistema de barras representado en la figura 24.2la barra vertical OB tiene un defecto de fabricacion que hace que su longitud sea L+ a, en vezde la longitud L establecida en el proyecto. Las tres barras tienen la misma seccion transversalΩ y estan fabricadas con el mismo material, de modulo de elasticidad E.

L

O

A B C

α α

Figura 24.2: Sistema hiperestatico con defectos de montaje


Durante el montaje, la barra OB se fuerza hasta unirla a las barras OA y OC, que sı tienenlas longitudes teoricas de proyecto. Sea Nb el esfuerzo de compresion que aparece en la barravertical OB tras el montaje. Dicho esfuerzo produce un acortamiento en la barra de:

∆Lob = ε Lob =NbL

EΩ

Por equilibrio del nudo O, en las barras inclinadas deben aparecer esfuerzos de traccion devalor:

Na = Nc =Nb

2 cosα

Estos esfuerzos de traccion producen un alargamiento de:

∆Loa = ∆Loc = ε Loa =Na

E ΩL

cosα=

Nb

2 cosαE ΩL

cosα

Dichos alargamientos son compatibles con un desplazamiento vertical hacia abajo del puntoO de:

δ =∆Loccosα

=NbL

2 cos3 αE Ω

El desplazamiento del punto O, junto con el acortamiento de la barra vertical OB, debe serigual al error a en la longitud de la barra. Se obtiene de este modo la siguiente ecuacion paradeterminar el esfuerzo Nb:

Nb L

2 cos3 αE Ω+NbL

E Ω= a

De donde se obtiene que:

Nb =aE Ω

L(1 + 12 cos3 α

)(24.1)

A partir de Nb, las ecuaciones de equilibrio dan los valores de esfuerzo normal Na y Nc enlas barras inclinadas.

La dilatacion de las barras debida a cambios de temperatura puede tener el mismo efectoque los errores en las longitudes. Si en el ejemplo anterior la barra vertical se calienta desdeuna temperatura T0 a una temperatura T1, la dilatacion termica estara parcialmente impedidapor las otras dos barras del sistema, de forma que aparecera un esfuerzo normal de compresionen la barra vertical y un esfuerzo normal de traccion en las barras inclinadas. El esfuerzo decompresion en la barra vertical puede obtenerse con la ecuacion (24.1), sustituyendo la magnituddel defecto a por la dilatacion termica que tendrıa la barra OB si no existieran restricciones:αL(T1 − T0), donde α es el coeficiente de dilatacion lineal.

En un caso extremo, en el que la barra OB tuviese completamente impedido el desplaza-miento de sus extremos, la deformacion total serıa nula y el aumento de temperatura producirıaun esfuerzo de compresion de:

Nb = E Ω ε = EΩα(T1 − T0)


a a/2 2a a/2 2a

2a

2AE

2AE

AE

AE

2A, A = área sección transversal

E = módulo de elasticidad

P P

Figura 24.3: Esquema de suspension de la barra mediante tirantes


24.4.1. Barra rıgida sujeta mediante tirantes

La estructura de la figura 24.3 se compone de una barra rıgida a flexion y cuatro tirantes delas dimensiones y rigideces indicadas en la figura. Se pide determinar el esfuerzo normal en lostirantes.

Solucion:Los tirantes son barras biarticuladas sin cargas intermedias. En consecuencia, solo pueden

estar sometidas a esfuerzo normal. De este modo, la direccion de las reacciones es conocida(figura 24.4).

Existen entonces cuatro reacciones desconocidas: N1, N2, N3 y N4. Al tratarse de un sis-tema plano, solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio. Entonces, se trata de un sistemahiperestatico de grado 1. Elegimos N3 como incognita hiperestatica.

Las ecuaciones de equilibrio son:

2P = N4 + N2 + N3 cos 45o

N1 = N3 sin 45o

a

2P + 5

a

2= N4 3a


N4 = P N1 =N3√

2N2 = P − N3√

2


P P

N4

N2

N1

N3

Figura 24.4: Esfuerzos normales en los tirantes

El potencial total o energıa de deformacion del sistema es, en funcion de N3:

U =∑

i

12

N2i

EiΩiLi =

12

N2

1a

E 2A+N2

42aE 2A

+N2

2a

EA+N2

32a√

2EA

Y sustituyendo N1, N2 y N4 en funcion de N3, queda:

U =12

N2

312a

E 2A+P 2 2aE 2A

+(P 2 − 2P N3√

2+ N2

32 ) 2a

E A+

2√

2N23 a

EA

Por aplicacion del teorema de Castigliano, la derivada de U con respecto a N3 debe ser cero,por ser nulo el desplazamiento del punto de anclaje del tirante:

∂U

∂N3=

12AE

N3 a

2− 2

√2P a + 2N3 a + 4

√2N3 a

∂U

∂N3= 0 −→ N3 =

4√

25 + 8

√2P

De donde se obtienen el resto de fuerzas en los tirantes:

N1 =4

5 + 8√

2P N2 =

1 + 8√

25 + 8

√2P

El problema puede resolverse tambien sin recurrir al teorema de Castigliano, estableciendola compatibilidad de desplazamientos de los extremos de los tirantes. En este caso, las tresecuaciones de equilibrio se complementan con la condicion de que los alargamientos de los tirantesdeben ser compatibles con el movimiento de solido rıgido de la barra. Dicho movimiento tiene tresgrados de libertad (figura 24.5): uA, desplazamiento horizontal del punto A; vA, desplazamientovertical del punto A; vB, desplazamiento vertical del punto B (por ser la barra rıgida y estar


vA v

B

uA A B

Figura 24.5: Grados de libertad de la barra rıgida

trabajando con la hipotesis de pequenos desplazamientos, el desplazamiento horizontal de B esigual al de A: uB = uA).

En funcion de estos grados de libertad, los alargamientos de los tirantes son:

∆L1 = −uA∆L2 = vB

∆L3 =uA + uB√

2∆L4 = vA

Los esfuerzos normales se pueden poner en funcion de estos alargamientos:

N1 =∆L1

L1EΩ =

∆L1

aE 2A =

−uA 2EAa

N2 =∆L2

2aE A =

vB EA

2a

N3 =uA + uB√

2EA

2√

2a

N4 =vA2a

2EA

De las tres primeras ecuaciones resulta una nueva relacion entre los tres esfuerzos N1, N2 yN3:

N3 =uA + uB

4aEA =

N2

2− N1

8que junto con las ecuaciones de equilibrio, da finalmente:

N3 =4√

25 + 8

√2P

Es decir, el mismo valor que por aplicacion del teorema de Castigliano.

Bibliografıa recomendada

1. L. Ortiz Berrocal. Elasticidad. McGraw-Hill. 1998.

2. L. Ortiz Berrocal. Resistencia de Materiales. McGraw-Hill. 2002.

Bibliografıa complemetaria

1. A. Arguelles y I. Vina. Formulario Tecnico de Elasticidad y Resistencia de Materiales.Bellisco. 2004.

2. V.I. Feodosiev. Resistencia de Materiales. URSS. 1997.

3. I. Miroliubov, S. Engalichev, N. Serguievski, F. Almametov, N. Kuritsin, K. Smirnov-Vasıliev y L. Yashina. Problemas de Resistencia de Materiales. Mir. 1990.

4. F. Rodrıguez-Avial, V. Zubizarreta y J.J. Anza. Problemas de Elasticidad y Resistenciade Materiales. Servicio de Publicaciones ETSII Madrid.

5. S. Timoshenko y J.N. Goodier. Teorıa de la Elasticidad. Urmo. 1975.

199

Resist en CIA de Materiales I

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