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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANCRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA MINAS, GEOLOGÍA YCIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES I

ÁREA DE MOMENTOS

Alumnos: Código:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CURI ARANGO, Ronald E. . . . . . . .CCENTA ANGULO, Victor . . . . . . .ONCEBAY CUYA, Edison . . . . . . . .LLANTOY CCAICO, Jhon J. . . . . . .

161105771611565216110546161105704

Docente:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ramón Berrocal Godoy

7 de diciembre de 2015

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INTRODUCCÍONEl método de área de momento nos proporciona un procedimiento semigrafico para encontrar lapendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de una viga o flecha.La aplicación del método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momentoflector de la viga.Cuando la viga esta inicialmente recta, es deformada elásticamente por las cargas , de modoque la pendiente y la deflexión de la curva elástica son muy pequeñas y las deformaciones soncausadas por flexión.Como todo método, nos proporciona diferentes alternativas o maneras distintas de dar solucióna nuestro problema, en este caso este método de área de momento se basa en dos teoremasusados para determinar la pendiente y el desplazamiento en un punto sobre la curva elástica.El presente trabajo esta basado en uno de los métodos para calcular el giro y desplazamientosen cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el diagrama de momentos.

Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1. EJERCICIO N° 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. EJERCICIO N° 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. EJERCICIO N° 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. EJERCICIO N° 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. EJERCICIO N° 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6. EJERCICIO N° 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ingenieria civil II

Capítulo 0 1. FUNDAMENTO TEÓRICO Página 2

1.1. MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Capítulo 0 2. EJERCICIOS Página 11

FUNDAMENTO TEÓRICO

Capítulo 1


Ingenieria civil Ingenieria civil

1.1 MÉTODO DE ÁREA DE MOMENTOS

OBJETIVOS:El objetivo principal es aplicar los conocimientos previos de diagramación, en este caso delmomento flector, para calcular pendientes y deflexiones en una viga sometida a cargas puntualeso distribuidas.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA FLEXIÓN:Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos de flexióny las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresan mediante la formulade la flexión. Para su deducción se sigue el mismo procedimiento para deducir la formula detorsión, es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma dela distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relaciónentre los esfuerzos y las cargas.

La figura (a) muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas una distancia dx. debido a laflexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran con respecto a la otra un pequeñoángulo dθ, como se ve la figura (b), pero permanecen planas y sin distorsión. La fibra ac dela parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. en algún punto entre ellas existe una fibra,tal como ef, cuya longitud no varia, trazando la linea c’d’ por f, paralela a ab, se observa quela fibra ac se acortado una longitud cc’ y esta comprimida, mientras que la fibra bd se alargouna longitud d’d y esta sometida a tension. El plano que contiene todas las fibras como laef se llama superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por tanto, no estánsujetas a esfuerzo alguno. En seguida veremos que la superficie neutra pasa por los centros degravedad de las secciones transversales de la viga. Consideremos ahora la deformación de unafibra cualquiera gh situada a una distancia y de la superficie neutra. Su alargamiento hk es elarco de circunferencia de radio y y ángulo dθ y viene dado por:

δ = hk = ydθ

La deformación se obtiene dividiendo el alargamiento entre la longitud inicial ef de la fibra:

ε = δL

= ydθef

Ingenieria civil 3


Llamando p al radio de curvatura de la superficie neutra, la longitud ef es igual a pdθ, por loque la deformación unitaria vale:

ε = ydθpdθ

= yp

Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke, hipótesis 2, el esfuerzoen la fibra gh viene dado por:

σ = E.ε =(Ep

)y ...(a)

Esta expresión indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su dis-tancia y a la superficie neutra, ya que se ha supuesto que el modulo elástico es igual a tensionque a compresión, hipótesis 3, y el radio de curvatura p de la superficie neutra es independientede la ordenada y de la fibra. ahora bien, los esfuerzos no deben sobrepasar el limite de propor-cionalidad, pues en caso contrario dejaría de cumplirse la ley de Hooke en la que se ha basadola determinación de la forma de distribución de los esfuerzos.Para completar la deducción de la formula de flexión se aplican las condiciones de equilibrio,las fuerzas exteriores que actúan a un lado de la sección en estudio quedan equilibradas por lafuerza cortante y el momento flexionante resistentes. Para que se produzca este equilibrio, unelemento diferencial cualquiera de la sección de exploración esta sometido a las fuerzas queindica la figura 5.2.

Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente según el eje X,se tiene:

{ΣX = 0} →∫σxdA = 0

en donde σx equivale a σ de la ecuación (a). Sustituyendo σx,resulta.

Ep

∫ydA = 0

Los términos E y p, constantes, se han sacado fuera del signo integral. Como ydA es el momentoestático del área diferencial dA respecto al E.N., la integral

∫ydA es el momento estático total

del área. Por tanto,

EpAy = 0

Sin embargo, como solamente y en esta expresión puede ser nulo, se deduce que la distancia aE.N., eje de referencia, del centro de gravedad de la sección recta debe ser cero, es decir, que lalinea neutra pasa por el centroide de la área de sección transversal.La condición

∑Z = 0 conduce a que

∫TxzdA = 0. Puesto que las fuerzas exteriores no tienen

componentes según el eje Z, en el sistema de fuerzas cortantes∫TxzdA esta en equilibrio.

Ingenieria civil 4


En estos casos, las cargas producen un momento con respecto al eje X que es equilibrado por∫y (TxzdA) −

∫z (TxydA) para cumplir la ecuación

∑M = 0. Esta condición se verifica au-

tomáticamente para secciones simétricas respecto al eje Y, ya que cualquier elemento tiene otrosimétrico y, por tanto, las integrales se anulan. Como consecuencia, para secciones simétricascon respecto al eje Y, el plano de las fuerzas exteriores debe coincidir con el plano XY, y si noocurre así, la viga estará sometida a torsión.Consideremos ahora la condición

∑My = 0. Las fuerzas exteriores no producen momento con

respecto al eje Y, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores, por tanto.

{ΣMy = 0} →∫z (σxdA) = 0

Sustituyendo σx por Ey/p, resulta.

Ep

∫zydA = 0

La integral∫zydA es el producto de inercia Pxy que es nulo solamente si Y y Z son ejes de

simetría o ejes principales de la sección. Esto constituye la justificación de la hipótesis 5.La ultima condición de equilibrio

∑M = 0 requiere que el momento flexionante sea equili-

brado por el momento resistente, es decir,M = My. El momento resistente con respecto a E.N.de un elemento cualquiera es y (σxdA) y, por tanto.

M =∫y (σxdA)

Sustituyendo σx por Ey/p, resulta.

M = Ep

∫y2dA

Puesto que∫y2dA es el momento de inercia I del área con respecto el eje de referencia, que en

este caso es E.N., que pasa por el centro de gravedad, se obtiene.

M = EIp

que es equivalente:

1p

= MEI

(1)

MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS.Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y la deflexión en las vigas es elmétodo del área de momentos, en el que intervienen el área de diagrama de momentos y elmomento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por los dos teoremas básicos de estemétodo, luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas de diagrama demomentos, se aplica el método de varios tipos de problemas. El método esta especialmenteindicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, mas quepara hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta laforma y relaciones geométricas de la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se estacalculando.El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la dobleintegración. Sin embargo, para verlo en su totalidad, como un conjunto completamenteindependiente, se repite una pequeña arte de lo dicho en la sección anterior. La figura 6-8a

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representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La elástica, como intersec-ción de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones,se representa en la figura 6-8b, aunque sumamente exagerada. El diagrama de momentos sesupone que es el representado en la figura 6-8c.

Al igual que en la deducion de la formula de la deflexion, dos secciones planas adyacente,distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respectoa la otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada den la figura 6-8b. El arcods medido a lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual pdθ, siendo p el radio decurvatura de la elástica en ese punto. De la ecuación (1) se tiene.

1p

= MEI

y como ds = pdθ, ahora escribimos.

1p

= MEI

= dθds

o bien.

dθ =M

EIds} (a)

En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es ta llana que no de comete error apreciablesuponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones,se tiene:

dθ = MEIdx (b)

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 6-8b, forman elmismo angulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que las desviación angular,o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualquiera A y B, es igual a la suma deestos pequeños ángulos:

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θAB =∫ θBθAdθ = 1

EI

∫ xBxA

Mdx (c)

Obsérvese también, figura 6-8b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpen-dicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro puntocualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadasa la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como unarco de radio x y angulo dθ:

dt = xdθ

De donde:

tB/A =∫dt =

∫xdθ

Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) se obtiene:

tB/A = 1EI

∫ xBxA

x (Mdx) (d)

La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien,desviación tangencial de B respecto de A. El subindice indica que se va desde B hasta la tangen-te trazada en A. La figura 6-9 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/Ade B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviacionesson distintas.

El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los teoremas fundamentales delmétodo del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 6-8c, seobserva que Mdx es el área de elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenadaque pasa por B. Ahora bien, como

∫Mdx es la suma de tales elementos, la ecuacion (c) se

puede escribir de la forma.

θAB = 1EI

(rea)AB

Esta es la expresión algebraica del teorema I, que se puede enunciar como sigue:

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TEOREMA 1.El angulo θAB que hacen las tangentes trazadas por dos puntos de la elástica (A y b), es igualal área bajo la curva del diagrama de momentos flectores entre dichos puntos, dividido entre elproducto EI, llamado diagrama de momento flector reducido.

θAB =∫ BA

MdxEI

= Area del DMF entreAyBEI

La figura 6-8c muestra como la expresión x(Mdx) que aparece dentro de la integral en la ecua-ción (d) es el momento de área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B. Por tanto,el significado geométrico de la integral

∫x(Mdx) es el momento con respecto a la ordenada en

B del área de porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Conello la expresión algebraica de teorema II es:

tAB = 1EI

(rea)AB.x̄B

Este teorema se enuncia así:

TEOREMA 2.La distancia vertical ∆ , desde un punto B de la elástica a la tangente trazada desde otro puntode la elástica A; es igual al momento con respecto a la vertical por B del área bajo el diagramade momentos flectores entre A y B dividido por el producto EI.

∆ =∫ BA

MdxEI

= AreadelDMFentreAyB;conrespectoaBEI

En los dos teoremas,(rea)AB representa el área del diagrama de momentos entre las ordenadascorrespondientes al putos A y B, xB es el brazo de momento de esta área con respecto a B.Cuando el área del diagrama de momentos se compone de varias partes, positivas y negativas,la expresión (rea)AB.x̄B representa el momento del área de todas estas partes. El momento deárea se toma siempre con respecto a la ordenada del punto cuya desviación se quiere obtener,por lo que conviene ponerle x̄ el subíndice correspondiente, por ejemplo B, lo que indica que elbrazo de momentos se toma hasta este punto.

CONVENCIÓN DE SIGNOS.Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: La desviación tangencial de unpunto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la tangente con respecto a la cualse toma esta desviación, y es negativa si queda por debajo de dicha tangente.

El otro convencionalismo de signos es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de lavariación de pendiente θAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtienegirando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada en el punto más a la izquierda, A; esdecir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al reloj,y viceversa para los valores negativos de θAB.

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Es evidente que para aplicar correctamente el método, sera necesario graficar correctamente eldiagrama de momento flector de la viga, así como conocer las áreas y ubicación del centro degravedad de las figuras geométricas mas conocidas, las cuales se muestran en la siguiente tabla.

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EJERCICIOS

Capítulo 2



2.1 EJERCICIO N° 1

Analizar la viga a travez del método de área de momentos cuya figura se muestra a continuación.

Solución

1 Remplazamos el apoyo en C por una reacción vertical tal como se muestra.Sabemos que no hay desplazamiento en el punto C. por lo tanto:

−12

(30EI

)(3)(5) + c+

(1,5VCEI

)(3)(4,5) + 1

2

(1,5VCEI

)(3)(5) = 0

VC = 5,556T ↑

2 Hacemos el diagrama de momentos reducido por separado teniendo en cuenta la sección:

3 Luego, determinamos las reacciones en el empotramiento A y graficamos los diagramascorrespondientes de fuerza cortante, momento flector y refuerzo para la viga hiperestática.∑

FY = 0VA + 5,556− 20 = 0VA = 14,444T

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∑MA = 0

MA + 5,556(6)− 20(3) = 0MA = 26,664T.m

4 Diagrama de esfuerzos y momentos flectores:

5 Ahora, calculamos la pendiente en C, sabiendo que la pendiente en A es cero por serempotramiento.

θC − θA = AREA(M/EI)A,C

θC = −12

(30EI

)(3) + 1

2(3)(1,5∗5,556

EI

)+ (3)

(1,5∗5,556

EI

)+ 1

2(3)(1,5∗5,556

EI

)θC = 1,08 ∗ 10−3rad

θC = 0,06o

6 Luego, determinamos la deflexión en el punto B

yB = −1

2

(30

EI

)(3)(2)+(3)

(1,5 ∗ 5,556

EI

)(1,5)+

(1

2

)(3)

(1,5 ∗ 5,556

EI

)(2) =

27,495

EI

yB = − 27,4953∗106∗0,0054 = −1,7 ∗ 10−3m = −1,7mm

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2.2 EJERCICIO N° 2

La viga simplemente apoyada AB mostrada en la figura está cargada en su punto medio. Cal-cular la pendiente en el apoyo A y la deflexión en C. Considerar que la viga es de un solomaterial.Solución

1 Graficamos el diagrama M/EI para la viga, así como su deformada.

2 TEOREMA 1

θC − θA = AREA(M/EI)A,C

−θA = 12

(L4

) (PL8EI

)+ 1

2

(PL16EI

+ PL8EI

) (L4

)θA = − 5PL2

128EI

3 TEOREMA 2

yC =1

2

(L

4

)(PL

8EI

)(L

6

)+

(L

4

)(PL

16EI

)(3L

8

)+

1

2

(L

4

)(PL

16EI

)(5L

12

)

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yC = 3PL3

256EI↓

2.3 EJERCICIO N° 3

Determine la pendiente y la deflexion en el extremo E.

Solución

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1 Para la viga simétrica:

θC = 0..........(Horizontal)

θE = θC + θE/C

θE = θE/C ....................(1)

yE = tE/C − tD/C ...........(2)

2 Pendiente en E(diagrama de momentos reducidos):

A1 = −wa2

2EI(L2)

A1 = −wa2L4EI

A2 = −wa2

2EI(a3)

A2 = −wa3

6EI

3 luego las dos áreas a la derecha de C, que es el punto máximo en donde la tg=0

4 Usando la ecuación (1):

θE = θE/C

θE = A1 + A2

θE = −wa2L4EI− wa3

6EI

θE = −wa2L12EI

[3L+ 2a]

5 Deflexion en E:

yE = tE/C − tD/C

yE = [−wa3

6EI(3a

4)] + [−wa2L

4EI(L4

+ a)]

yE = − 1EI

[wa4

8+ wa3L

4]

yE = −wa3

4EI[L+ a

2]

yE = −wa3

8EI[2L+ a]

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2.4 EJERCICIO N° 4

Determinar la flecha en A, la viga es de sección constante, siendo E = 2x106Kg/cm2, I =8000cm4

Solución

1 De la estática:(Tramo AD)

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∑MB = 0→ RD = 2600Kg

2 Por ÁREA de MOMENTO:

tD/C = fD = 1EI

[−13x4800x2x3

4x2− 1

2x5200x2x2

3x2]

tD/C = fD = −352003EI

tD/C = 1EI

[−13x10800x3x3

4x3 + 1

2x7800x3x2

3x3]

tD/C = −900EI

3 Por semejanza de triángulos:

|tA/B|+ |fA||fD|+ |tD/B|

=1,5

3......(1)

tA/B = 1EI

[−12x3000x1,5x2

3x1,5

tA/B = 2250EI...............(2)

4 Finalmente (2) EN (1):

fA =9500

3EI

fA = 0,198cm

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2.5 EJERCICIO N° 5

Para la viga de seccion constante, calcular la flecha en A.Solución

∑MC = 0 :

wa (3a+ a/2) = RB (3a)⇒ RB = 7/6wa (↑)

AB

C

W

a 3a

CB

A

0

B

C

2°

-1/2 wa2

A

tg B

t

C/B

t

A/B

∑FY = 0 :

7/6wa+RC = wa⇒ RC = 1/6wa (↑)

MC = −1/6wa (3a) = −1/2wa2

MC = −wa× a/2

MC = −wa2/2

1 Por Área de Momento:

EItC/B = −1/2wa2 × 1/2× 3a× 23× 3a

EItC/B = −32wa4−−−−− (1)

EItA/B = −1/3× a× 1/2wa2 × 3/4a

EItA/B = −1/8wa2 −−−−− (2)

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2 por semejanza de triángulos

tC/B

3a= OA′′

a

OA′′ = −1/2wa4

EI−−−−−− (3)

3 Luego:fA = OA′′ + tA/B

fA = wa4

EI(12

+ 18)

fA = 5wa4

8EI(↓)

2.6 EJERCICIO N° 6

Para la viga que se muestra en la figura,calcular:a) La magnitud de la fuerza P en funcion de w, l, para que la deflexion sean 0 en el punto A.b) La flecha en el extremo izquierdo de la viga. EI=cte.Solución

c

L

RA

A

O

P

B

3

-

+

1 calculamos la deflexion en el punto A.

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tA/C = 0 = −PLEI× 2l × l − 1

2× 2l × 2Pl × 2

3× 2l

0 = −13× 2l × 2wl

2

EI× 3

4× 2l + 2l2 × 2wl2

EI

14/3Pl3 = 2wl4

P = 3/7wl

2 calculamos La flecha en el extremo izquierdo de la viga.

tB/C = −12× 3l × 3Pl

EI× 2

3× 3l − 1

3× 2l × 2wl2

EI× 5

2l

+2l × 2wl2

EI× 2l + 2l + 2wl

2

EI× 2l

fB = −9Pl3

EI− 10wl4

3EI+ 8wL4

EI= wl4

EI

(8− 10

3− 6)

fB = −43wl4

EI(↓)

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Bibliografía

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[3] iker FERRER BALLESTER. RESISTENCIA DE MATERIALES (Problemas Resueltos)

[4] enner VILLARREAL CASTRO. RESISTENVIA DE MATERIALES. Lima 2010.

[5] iroliubov, Timoshenko, Young. RESISTENCIA DE MATERIALES (Problemas Selectos)

Ingenieria civil 22

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