Řešení úloh vedení tepla a teplotní napjatosti pomocí MKP Prof. Ing. Jindřich Petruška, CSc.

Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.1917/2007/F1/a

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Řešení úloh vedení tepla a teplotní napjatosti pomocí MKP

Prof. Ing. Jindřich Petruška, CSc.Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

FSI VUT v Brně

VEDENÍ TEPLA A TEPLOTNÍ NAPJATOST

Vedle napěťově-deformační analýzy je analýza vedení tepla patrně druhým nejrozšířenějším typem úlohy v oblasti inženýrských výpočtů, využívajících MKP. Jejím cílem je určit v řešené oblasti:

- Rozložení teplotního pole, včetně určení teplotních gradientů

- Tepelné toky uvnitř i na hranicích oblasti

- Celkovou tepelnou bilanci na řešené oblasti

Zmíněné veličiny jsou stanoveny buď jako výsledek časově neustáleného přechodového děje (náběh energetického zařízení, start motoru, chlazení odlitku), nebo jako stacionární, na čase nezávislé procesy (ustálený režim chodu motoru).

SDRUŽENÉ ÚLOHY TEPLOTNÍ NAPJATOSTI

Úlohy napěťově-deformační a teplotní jsou velmi často spojeny vzájemnou návazností při analýze teplotní napjatosti, kdy je třeba nejprve určit teplotní pole na dané oblasti a poté odpovídající napjatost, vzniklou nerovnoměrnými nebo vnějším okolím omezenými teplotními dilatacemi. Hovoříme pak o slabě sdružené tepelně-deformační úloze, kdy teplotní pole ovlivňuje deformaci a napjatost, nikoli naopak.

Pokud se uvažuje ovlivnění v obou směrech, například při simulaci tvářecích procesů, kde se významná část deformační práce mění v teplo, jedná se o plně sdružený tepelně-deformační problém. V obou případech se s výhodou používá téže sítě konečných prvků pro řešení obou navazujících problémů.

Základní rovnice a veličiny vedení tepla

Nestacionární vedení tepla pevnými látkami je popsáno diferenciální rovnicí

(1)

T [K] teplota, To [K] teplota okolí vyšetřovaného tělesa,q [W m-2] měrný tepelný tok, viz rov. (1a)α [W m-2K-1] součinitel přestupu tepla, t [s] čas, k [W m-1K-1] tepelná vodivost, c [J kg-1K-1] tepelná kapacita, ρ [kg m-3] hustota materiálu,Q [W m-3] měrný tepelný výkon.

Vztah mezi skalární teplotou a vektorem měrného tepelného toku je dán Fourierovou rovnicí vedení teplaq = -k . grad T, (1a)

podle níž je tepelný tok úměrný gradientu teplotního pole. Záporné znaménko vyjadřuje orientaci vektoru tepelného toku ve směru poklesu teploty.

t

TcQ

z

T

y

T

x

Tk

..).(2

2

2

2

2

2

Termofyzikální vlastnosti vybraných kovových materiálů

Materiál Hustota Tepelná kapacita Tepelná vodivost ρ [kg m-3] c [J kg-1K-1] k [W m-1K-1]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bronz 8800 385 26Hliník 2700 921 209Litina 7250 540 50Měď 8930 397 394Ocel 7850 461 47Olovo 11320 130 34Zinek 6860 389 110-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Další z významných veličin, součinitel přestupu tepla α, může v závislosti na okolnostech (teplotě, tvaru povrchu, proudění okolního média) nabývat řádově rozdílných hodnot – od 10 do 104 W m-2K-1. Správnou volbu uvedené veličiny je proto nutné konzultovat s odborníkem v dané oblasti.

Okrajové podmínky rovnice vedení tepla

Rovnici (1) je nutno doplnit okrajovými podmínkami, nejčastěji v následující podobě:1. Předepsaná teplota: na části povrchu tělesa ST je teplota rovna známé hodnotě T*, tedy

ST : T = T* (2)2. Předepsaný tepelný tok: na části povrchu tělesa Sq je tepelný tok roven dané hodnotě q*,

Sq : q = q* (3)3. Přestup tepla konvekcí (smíšená okrajová podmínka): na části povrchu tělesa Sα nabývají teplota T a tepelný tok q hodnot, vyhovujících pro známou teplotu okolí To a součinitel přestupu tepla α rovnici

q = α (T – To) (4)

Kromě okrajových podmínek (2)-(4) se za vyšších teplot (tváření za tepla) může významněji uplatnit i sdílení tepla zářením, které je ovšem závislé na 4. mocnině teploty. Tím se řešení značně komplikuje, neboť problém se stává nelineární. V praxi se proto často záření převádí různými způsoby na výše uvedenou podmínku 3. typu.

Význam jednotlivých členů a zjednodušený tvar rovnice vedení tepla

Základní tvar rovnice (1)

představuje nestacionární, tj. časově proměnný problém vedení tepla s uvažováním interních zdrojů tepla Q. Měrné teplo generované v uvnitř materiálu Q na levé straně rovnice (1) může představovat například skupenské teplo při fázových přeměnách nebo disipaci energie při plastických deformacích materiálu. Pravá strana rovnice vyjadřuje časovou změnu tepelné kapacity elementárního objemu materiálu. Pro stacionární, časově neproměnné děje se rovnice (1) mění na tvar

(1a)

t

TcQ

z

T

y

T

x

Tk

..).(2

2

2

2

2

2

0).(2

2

2

2

2

2

Qz

T

y

T

x

Tk

Pokud zároveň jde o problém bez vnitřních zdrojů tepla, dostáváme Laplaceovu rovnici , (1b) vyjadřující vyrovnanou bilanci mezi tepelnou energií vstupující a vystupující z elementárního objemu materiálu.

02

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

Diskretizace problému vedení tepla pomocí MKP Primární neznámá veličina – teplota - a její aproximace po prvcích:

Teplota T = N . δT, (6)N je matice bázových funkcí konkrétního prvku δT matice neznámých uzlových teplot.

Například pro lineární trojúhelníkový 2D prvek je , (7)

δT = [ T1, T2, T3 ]T . (8)

321 NNNN

kde N1 ÷ N3 jsou bázové funkce dle obr., T1 ÷ T3 teploty v uzlových bodech prvku.

1 1 1

222

3 33N1(x,y)

N2(x,y) N3(x,y)

Trojúhelníkový prvek a jeho bázové funkce

Spojitý, po částech lineární průběh aproximace teploty po prvcích:

T = N . δT,

Výchozí funkcionál

Základem variační formulace řešení úlohy teplotního pole je funkcionál

ПT = ½ ∫∫∫ (T’T.k. T’ + 2. - 2.Q.T )dV - ∫∫ q*.T dSq . (9)

Teplo vedené materiálem Vnitřní zdroj tepla

Teplo akumulované Výměna tepla s okolím

TTc ....

Časová derivace teplotního pole:

, (10)

Derivace teplotního pole podle prostorových souřarnic:

T’ = L.N.T = B.T , (11)

kde T’ = je matice teplotních gradientů,

L = matice diferenciálních operátorů,

B = L.N matice, získaná z bázových funkcí jejich parciálními derivacemi podle x,y.

..

. TT N

T

y

T

x

T

,

T

yx

,

Diskretizovaná podoba rovnice vedení tepla

Dosazením vztahů (6)-(11) do (9) získáme diskrétní podobu funkcionálu ΠT na úrovni prvku

ΠT = , (12)

kde k = ∫∫∫ BT.k. B dV je prvková matice tepelné vodivosti,c = ∫∫∫ NT.. c.N dV prvková matice tepelné kapacity a fQ = ∫∫∫ NT.Q dV, fq = ∫∫ NT.q* dSq jsou matice tepelného zatížení od

vnitřních a vnějších zdrojů.

Součtem příspěvků od jednotlivých prvků a aplikací podmínky stacionární hodnoty funkcionálu (6,12) získáme diskrétní podobu rovnice vedení tepla

(13)

kde CT, KT, FT jsou globální matice tepelné vodivosti, kapacity a tepelného zatížení a UT je matice neznámých uzlových teplot. Stacionární, časově neproměnný problém vedení tepla dle rovnice (1a) získáme vypuštěním členů s časovou derivací teploty:

KT . UT = FT (14)

).(.....2

1 .

qQT

TTT

TTT

T ffδδcδδkδ

TTTTT FUKUC ..

Analogie vedení tepla s deformačně napěťovou úlohou

Postup vedoucí k rovnici (13,14) z funkcionálu (6) odpovídá dříve popsanému postupu sestavení základní rovnice pro řešení deformace a napjatosti. Pro stacionární případ (14) má výsledná rovnice stejnou strukturu, nestacionární se liší řádem diferenciální rovnice. Povšimněme si následujících analogií:

teplotní analýza   deformačně-napěťová analýzamatice tepelné kapacity CT matice hmotnosti Mmatice tepelné vodivosti KTmatice tuhosti Kmatice tepelného zatížení FT matice mechanického zatížení Fneznámé UT: teploty T v uzlech neznámé U: posuvy u,v,w v uzlechgradient teploty T’ přetvoření εtepelný tok q napětí σ

Analogie se týká i okrajových podmínek: druhá okrajová podmínka (tepelný tok q) je v případě variační formulace tzv. přirozenou okrajovou podmínkou. Prakticky to znamená, že pokud při teplotní analýze pomocí MKP na části povrchu nepředepíšeme nic, je zde implicitně splněna podmínka q = 0, povrch je tedy dokonale tepelně izolován. Stejně je tomu i u deformačně-napěťových problémů, kde je na volném povrchu automaticky splněna podmínka nulového normálného a smykového napětí.

TTTTT FUKUC .. FUKUM ..

Alternativní fyzikální interpretace rovnice vedení tepla

Stacionární rovnice vedení tepla (1a) je jen jednou z možných fyzikálních interpretací kvaziharmonické rovnice, která má v obecnějším případě nehomogenního ortotropního materiálu tvar

(16)

To znamená, že i její diskretizovaná podoba (14) se dá interpretovat různým způsobem a všechny procedury řešení teplotního problému lze při odpovídající záměně materiálových konstant a proměnných veličin použít i k řešení jiných, vzájemně analogických fyzikálních dějů. V komerčních systémech MKP se této analogie využívá a tytéž části programů jsou používány pro řešení odlišných problémů. Při praktické aplikaci uvedených analogií musíme ovšem upozornit na velké riziko formálně prováděných výpočtů bez dostatečné znalosti fyzikální podstaty řešené problematiky, které mohou vést ke zcela zavádějícím výsledkům. Vzájemná záměna odpovídajících si veličin ve vzájemně analogických případech se řídí pravidly, uvedenými v následující tabulce:

0)()()(

Qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x zyx

Vzájemně analogické fyzikální problémy popsané kvaziharmonickou rovnicí:

Problém Neznámá kx,ky (resp.k = kx= ky) Q

Vedení tepla Teplota Tepelná vodivost Vnitřní tep.zdroj

Průsak kapaliny porézním materiálem

Hydraulický potenciál Permeabilita -

Nestlačitelné proudění Proudová funkce Jednotková hodnota Rotor

Membrána Průhyb Membránová síla Tlak

Krut obec.průřezů Funkce napětí (Smykový modul G)-1 Dvojnásobek zkrutu

Krut obec.průřezů Deplanační funkce Jednotková hodnota -

El. proud Napětí El.vodivost Vnitřní el.zdroj

Magnetostatika Magnet. potenciál Magnet.odpor Proudová hustota

Příklad 1Stanovte nestacionární teplotní pole v okolí průchodky trubky přepážkou, která je vystavena po dobu 60 minut působení intenzivního časově proměnného tepelného zatížení z neizolované strany přepážky dle obr. Cílem výpočtu je simulace protipožární odolnosti přepážky. Vstupní soubor prikl121.inp lze editovat a spustit v interaktivním uživatelském režimu systému ANSYS zadáním příkazu „ /inp, prikl121, inp“.

L

T

60

25

umístění termočlánků

25

ohřev

Schema

Pohled ze strany izolace

Příklad 1 - Základní charakteristiky modelu:

Materiál: tepelná vodivost kovových částí uvažována 19 W/mK, tepelná vodivost izolace dle tab.1

Tab.1 Tepelná vodivost izolace

teplota [oC]20 100 300 600 1000

tepel.vodivost [W/mK]

0,04 0,05 0,09 0,13 0,18

Okrajové podmínky: Teplota uvnitř pece nabíhá podle předepsané logaritmické křivky a po 60 minutách, kdy jsou dosaženy maximální hodnoty za téměř stacionárního stavu, je předepsaná teplota v peci 970 oC. Vnější teplota byla s ohledem na ohřev vzduchu v okolí pece uvažována 40 oC v případě stěny. Koeficienty přestupu tepla jsou v závislosti na teplotě povrchu uvedeny pro jednotlivé plochy v tab.2

Tab.2 Koficienty přestupu tepla na teplosměnných plochách [W/m2K]

Teplota povrchu 20 oC 100 oC 300 oC 500 oC 700 oC 1000 oC

Plochy uvnitř pece 20,0 21,0 24,4 28,7 34,3 45,6

Vnější trubka horizontální 6,3 8,1 12,6 17,7 - -

Vnější trubka vertikální 7,8 10,5 16,4 23,0 - -

Rovinná plocha horizontální 3,1 20,3 32,9 40,0 - -

Rovinná plocha vertikální 4,5 12,0 23,0 31,0 - -

Animace postupného ohřevu průchodky

Výsledné teplotní pole na konci sledovaného časového úseku

Příklad 1 – výsledky

Teplotní napjatost

Rovnoměrné ohřátí homogenního izotropního materiálu, při kterém není zabráněno volné dilataci, nevyvolá v tělese žádnou napjatost. Platí to i pro lineární závislost teploty na prostorových souřadnicích. Jakýkoli jiný nerovnoměrný průběh teplotního pole v tělese a/nebo omezení volné dilatace okolím však může vyvolat napjatost, převyšující úroveň ostatních zatěžujících vlivů.

Příčinou vzniku teplotní napjatosti je skutečnost, že při ohřevu materiálu dochází k teplotní dilataci. Tenzor přetvoření je nutno rozdělit na dvě složky,

= + T . (17)

První z nich je vyvolána mechanickým zatížením (napětím), platí tedy

= D-1. , (18)

resp.

= D . = D . ( - T ) . (19)

Druhá složka je vyvolána teplotní roztažností materiálu

T = .∆T = .[1,1,1,0,0,0]T. ∆T, (20)

kde [K-1] je koeficient teplotní roztažnosti.

K určení teplotní napjatosti vyjdeme z výrazu pro energii napjatosti, ve

kterém ovšem za přetvoření dosadíme složku

W = ½ ∫∫∫ T. dV = ½ ∫∫∫ ( - T )T. D . ( - T )dV =

= ½ ∫∫∫ T. D . dV - ∫∫∫ T. D . T dV + ½ ∫∫∫ TT. D . T dV (21)

Jestliže celkové přetvoření vyjádříme v MKP obvyklým způsobem pomocí

deformačních parametrů = B. a dosadíme i za T z (20), dostáváme

W = ½ T ∫∫∫ BT.D.B dV - T ∫∫∫ BT.D..∆T dV + ½ T.D..∆T2.dV (22)

V integrálu prvního člene výrazu (22) poznáváme standardní matici tuhosti

k = ∫∫∫ BT. D . B dV . (23)

Integrál druhého člene výrazu (22) představuje prvkovou matici teplotního

zatížení

fT = ∫∫∫ BT. D. .∆T dV . (24)

Poslední člen výrazu (22) není závislý na deformačních parametrech a při

minimalizaci funkcionálu П proto odpadá.

Jestliže dále rozšíříme energii napjatosti (22) o potenciál vnějšího objemového

a plošného povrchového zatížení o, p

a uplatníme standardní postup sestavení základní rovnice MKP (sestavení

globálních matic, minimalizace funkcionálu П), získáme základní rovnici MKP

v obvyklém tvaru

K . U = F , (25)

která má v matici zatížení F zahrnutý i vliv teplotního zatížení dle (24).

Teploty tedy vstupují do deformačně napjatostní analýzy jako zatěžující

účinek, přispívající k celkovému zatížení na pravé straně základní rovnice

(25).

P dV dST T

p

u o u p. . . .

Praktické poznámkyPro řešení vázaného problému vedení tepla a teplotní napjatosti pomocí MKP je výhodné použít pro oba postupně řešené problémy stejné sítě. Výsledné uzlové teploty, získané řešením rovnice (13), resp. (14), lze pak přímo použít jako vstupy následující deformačně-napěťové analýzy. Knihovny konečných prvků v komerčních systémech nabízejí pro všechny běžné typy strukturních prvků i odpovídající teplotní prvky. Změna typů prvků na celé síti je zpravidla provedena automaticky při přechodu z jednoho typu úlohy na druhý. Přehled nejběžnějších vzájemně si odpovídajících prvků v systému ANSYS je uveden v následující tabulce:

DimenzeTeplotní analýza Deformační analýza obrázek

Pruty - v rovině LINK32 LINK1, BEAM3

- v prostoru LINK33 LINK8, BEAM4

Rovinné problémy PLANE55 PLANE42

PLANE77 PLANE82

Prostorové problémy SOLID70 SOLID45

SOLID90 SOLID95

Příklad 2Tlustostěnná válcová nádoba o vnitřním poloměru r1 = 35 mm a vnějším r2 = 105 mm je vystavena působení nerovnoměrného, časově ustáleného teplotního pole. Úkolem je určit napjatost pláště pouze od vlivu teploty. Na vnitřním poloměru je povrch ohříván na teplotu T1 = 340 ˇC, na vnějším povrchu dochází ke konvektivnímu přestupu tepla s koeficientem přestupu h = 30 Wm-2K-1 a teplotou okolí T0 = 20 oC. Materiálem je ocel s těmito materiálovými charakteristikami:modul pružnosti E = 2,1.1011 PaPoissonovo číslo μ = 0,3tepelná vodivost k = 38 Wm-1K-1,koeficient teplotní roztažnosti = 1,2.10-5 K-1.

Vzhledem ke tvaru tělesa je úloha řešena jako rotačně symetrická. Diskretizovanou oblastí je obdélník - meridiánový řez stěnou nádoby – viz obr. Nejvhodnějším prvkem pro řešení bude axisymetrická varianta prvku PLANE55, resp. PLANE77.Okrajové podmínky pro teplotní analýzu jsou dány předepsanou teplotou T1 na vnitřním povrchu a konvekcí na vnějším povrchu. Na příčných řezech, oddělujících vyšetřovanou část stěny od zbytku nádoby (dolní a horní strana obdélníka), nedochází k přestupu tepla. To bude splněno, jestliže na těchto částech hranice nepředepíšeme žádnou okrajovou podmínku.

r1

r2

Řešená oblast – meridiánový řez

Vnější povrch - konvekce

Vnitřní povrch – zadaná teplota

Příčné řezy, oddělující řešenou oblast od zbytku válcové nádoby

Příklad 2 - Schema řešeného problému

Po vyřešení teplotního pole změníme typ úlohy na napěťově-deformační analýzu, čímž se automaticky změní typ prvku na PLANE42, resp. PLANE82. Na vnějším a vnitřním povrchu nebudou předepisovány žádné okrajové podmínky (nulové zatížení). Oba řezy, oddělující zbytek nádoby, musí vzhledem k charakteru zatížení zůstat rovinné, avšak jejich vzdálenost se může v důsledku teplotních dilatací měnit. Na spodním řezu proto předepíšeme nulový vertikální posuv, na horním řezu pak předepíšeme podmínku stejného, avšak předem neurčeného vertikálního posuvu pro všechny uzly. Jeho hodnota bude výsledkem řešení.

Celý postup řešení je opět možno spustit v ANSYSU pomocí příkazového souboru prikl122.inp.

Příklad 2 – výsledky teplotní analýzy

Teploty ve stěně nádoby [oC]

Vektorové pole tepelného toku [Wm-2]

Příklad 2 – výsledky teplotní napjatosti

Redukované napětí od teplotního zatížení [Pa]

Složky napětí napříč stěnou nádoby [Pa]: radiální SX, axiální SY, obvodové SZ,redukované SEQV

Cíl výpočtové simulace:Výběr optimální strategie chlazení válce s kalibrem, vedoucí k minimalizaci povrchových tahových napětí

Motivace:Eliminace vzniku trhlin v rohu kalibru poslednístolice profilu U65

Válce poslední stolice profilu U65

Kritické

místo

Osy válců

Příklad 3 – nestacionární teplotní napjatost hutního válce

Postup řešení1. Experimentální analýza koeficientu přestupu tepla pro vybrané trysky a pracovní podmínky2. Výběr základních strategií chlazení3. MKP analýza vybraných strategií

Návrh chlazení experimentálního standu

Příklad 3 – nestacionární teplotní napjatost hutního válce

1 2

3

45 6

Tab. 2 Hodnoty součinitele přestupu tepla pro jednotlivé pozice a experimentySoučinitel přestupu tepla [W/m2K] na poziciTryska Tlak vody

[bar]1 2 3 4 5 6

Typ 1 2 1980 5450 4380 10620 14280 2880Typ 1 4 2160 9360 5880 15600 19920 3360Typ 1 8 2460 10380 7440 21480 28740 5760Typ 2 2 4440 16980 8640 12300 29580 4500Typ 2 4 4860 19320 11220 19500 35700 7800Typ 2 8 6360 20400 17040 29100 48240 9420

Experiment: schema umístění termočlánků - model kalibru na experimentálním standu

Příklad 3 – experimentální stanovení přestupu tepla

Dno

Bok

Čelo kalibru

Tab.1 Cooling versions

No. Bottom Side External surface

1 water spray water flow air

2 water spray water spray air

3 water flow water spray air

4 water flow water spray water spray

Výběr strategií chlazení

1.

2.

3.

4.

Příklad 3 -

Etapy:

1. Výpočtová analýza rozvoje kontaktní plochy mezi válcem a provalkem

2. Analýza přechodového teplotního pole ve válci

3. Následná analýza teplotních napětí

Příklad 3 – MKP analýza teplotních napětí

Příklad 3 - Kontakt mezi válcem a provalkem

Cíl: stanovit rozložení teplotního zatížení válce na jednotlivých plochách kalibru při styku s provalkem

Model: semi-3D geometrie, elasto-plastický materiál provalku, tuhý povrch válce

Animace postupného zaplněníkalibru:

Příklad 3 - Kontakt mezi válcem a provalkem

Příklad 3 - Nestacionární teplotní pole ve válciPro efektivní řešení několika tisíc otáček až do ustáleného stavu byl zvolen osově symetrický model válce.

Předpokládáme nulový tepelný tok :- v obvodovém směru- mezi symetrickými částmi v axiálním směru

Analyzovaný časový úsek 530s (4500 ot.)rozdělen na 10 cyklů- válcování (43s, ohřev od provalku +

chlazení )- mezera mezi provalky (10s, jen chlazení)

Řešená oblast

Osa válce

Příklad 3 - Nestacionární teplotní pole ve válciTepelný režim během otáčky válce je řízen okrajovými podmínkami:

Tab.1 Cooling versions

No. Bottom Side External surface

1 water spray water flow air

2 water spray water spray air

3 water flow water spray air

4 water flow water spray water spray

1. Postupné tepelně zatížení od styku s provalkem (cca 10 ms)

2. Chlazení povrchu vodou (cca 40 ms)

3. Chlazení vzduchem (zbyrek otáčky, cca 70ms)

Příklad 3 - Nestacionární teplotní pole ve válci Teplotní výsledky:Varianta chlazení č.1, průběh teploty ve vybraných bodech rozložení teploty po 530s

Varianta chlazení č.4

Bok kalibru

Dno kalibru

Bok kalibru

Dno kalibru

Příklad 3 - Výsledky teplotních napětí:

Varianta chlazení č.1, průběh napětí v kritickém bodě radiální napětí po 530s

Varianta chlazení č.4

rozkmitradiálního napětí

v 10. cyklu

1. cyklus 5. cyklus 10. cyklusVálc. cyklus.: 1 5 10

Rozkmit napětí během cyklu

Max. napětí v kritickém místě: 520 MPa

Max. napětí v kritickém místě: 250 MPa

Příklad 3 - Závěr:

Intenzivní chlazení vnitřku kalibru

Přehřátí mezikalibrové přepážky

Tahové napětí v kritickém místě

Intenzivní chlazení mezikalib. přepážky

Ochlazení mezikalibrové přepážky

Eliminace tahového napětí v kritickém místě

Příklad 4 – Nestacionární napjatost při havarijní změně tepelného režimu energetického zařízení

Cílem řešení je určit teplotní a napěťové poměry v lokálním místě kolektoru parogenerátoru při nestacionární změně provozního režimu, kdy dojde k náhlému chlazení vnějšího povrchu ostřikem.

Případ ostřiku kolektoru je vzhledem k malým rozměrům ostřikované a ovlivněné oblasti vůči celkovým rozměrům kolektoru řešen na suboblasti, vyjmuté z místa ostřikovaného proudem chladicí vody - viz obrázek. Jedná se o místo, kde je tloušťka stěny rovna 136mm, vnitřní průměr 800mm. Ostřikován je vnější povrch kolektoru ve směru šipky, s ohledem na dvojnásobnou symetrii je řešena pouze čtvrtina blízkého okolí.

Pro kolektor byly uvažovány následující materiálové vlastnosti:- tepelná kapacita 524 J/kg.K,- teplotní vodivost 18,2 W/m.K,- hustota 7850 kg/m3- modul pružnosti 1,80.105 MPa- Poissonovo číslo 0,3- koef. teplotní roztažnosti 17,3.10-6 K-1

Příklad 4 – Teplotní analýza Na počátku se předpokládá rovnoměrné prohřátí kolektoru na teplotu

290C, uvnitř proudí voda o téže teplotě 290C. Havarijní chlazení je zajištěno ostřikem rovnoměrným proudem vody z trysky o konstantní rychlosti proudu 1,25 m/s po dobu 200s. Následně je ostřik přerušen a je analyzováno dalších 1000s návratu do ustáleného výchozího stavu.

Ve všech případech byl na vnitřním povrchu kolektoru uvažován koeficient přestupu tepla o hodnotě 1500 W/m2K, na vnějším povrchu pak hodnoty v rozmezí 33005000 W/m2K, podle polohy ostřikovaného místa vzhledem k ose dopadajícího paprsku. Vnější povrchy nesmáčené chladicí vodou, stejně jako příčné řezy v rovinách symetrie, byly považovány za tepelně izolované.

Na obrázcích je patrný prudký pokles povrchové teploty během prvních 100s

Příklad 4 – Teplotní analýza

Postupný rozvoj teplotního pole je patrný z následující animace:

Grafy znázorňují časové průběhy teplot v 6 bodech rovnoměrně rozdělených po tloušťce stěny v ose trysky. Je patrný příkrý pokles povrchové teploty během cca 40s (modrá křivka TEMP_0), pod povrchem je průběh mnohem pozvolnější

Příklad 4 – Analýza teplotní napjatosti

Byl uvažován vnitřní přetlak páry 12,3MPa a odpovídající namáhání pláště v axiálním směru. Kromě toho byl kolektor ve všech verzích zatížen nehomogenním teplotním polem v jednotlivých časových okamžicích nestacionárního procesu chlazení. Výpočtová analýza předpokládala elastické chování materiálu v celém rozsahu zatěžování.

Grafické průběhy složek napětí σx, σy, σz a redukovaného σHMH [Pa] v kritickém místě dopadu paprsku ukazují typický jev – maximálních napětí je dosaženo krátce po začátku nestacionárního procesu, zde konkrétně v čase 46s. Při dalším chlazení už napětí klesá, po ukončení ostřiku je pak pokles rychlejší a napjatost se blíží výchozímu stavu.

Příklad 4 – Analýza teplotní napjatosti

TIME SX SY SZ SEQV 0.10000E-03 0.302129E+08 -893481. 0.146806E+08 0.269405E+08 0.50000E-01 0.331894E+08 -848860. 0.177515E+08 0.295225E+08 0.10000 0.361513E+08 -804381. 0.208074E+08 0.321604E+08 0.25000 0.449063E+08 -672096. 0.298407E+08 0.402254E+08 0.70000 0.700500E+08 -283028. 0.557879E+08 0.644087E+08 2.0500 0.136601E+09 849201. 0.124498E+09 0.130151E+09 6.1000 0.279089E+09 0.387965E+07 0.271806E+09 0.271700E+09 12.379 0.414480E+09 0.730620E+07 0.412142E+09 0.406092E+09 19.149 0.500269E+09 0.967685E+07 0.501452E+09 0.491277E+09 26.673 0.552448E+09 0.112108E+08 0.556223E+09 0.543231E+09 35.460 0.581455E+09 0.121827E+08 0.587262E+09 0.572291E+09 46.572 0.593463E+09 0.128174E+08 0.601051E+09 0.584562E+09 62.403 0.591071E+09 0.132587E+08 0.600516E+09 0.582665E+09 82.403 0.578475E+09 0.135267E+08 0.589795E+09 0.570752E+09 102.40 0.563839E+09 0.136571E+08 0.576755E+09 0.556801E+09 122.40 0.549717E+09 0.137130E+08 0.564019E+09 0.543336E+09 142.40 0.536874E+09 0.137253E+08 0.552383E+09 0.531108E+09 162.40 0.525439E+09 0.137108E+08 0.541999E+09 0.520235E+09 182.40 0.515320E+09 0.136790E+08 0.532797E+09 0.510630E+09 200.00 0.507334E+09 0.136419E+08 0.525528E+09 0.503059E+09

Složky napětí [Pa] během prvních 200s ostřiku:

Redukované napětí v čase 46s [Pa]

Příklad 4 – Shrnutí

Výpočty nestacionárních teplotních polí i navazující výpočty napěťových polí byly prováděny systémem ANSYS. Diskretizace řešené oblasti dle byla provedena způsobem "mapped meshing", tzn. že bylo použito výhradně šestistěnných osmiuzlových prvků, označených v případě teplotní analýzy jako typ SOLID70. Počáteční časový krok teplotních výpočtů 0,05s byl v průběhu výpočtu měněn tak, aby výpočet probíhal na všech časových úrovních s požadovanou přesností. Celková délka analyzovaného časového intervalu byla dána podmínkou ustálení přechodového děje po ukončení ostřiku a činila 1200s.Následná analýza teplotní napjatosti byla uskutečněna na stejné síti přeměnou typu prvku na SOLID45. Komentovaný příkazový soubor KOO1.inp umožňuje spustit posloupnost obou následných úloh - teplotní i napěťové. Je třeba mít přitom k dispozici Ansysem vytvořenou databázi koomod.db, obsahující geometrický a materiálový model řešené úlohy. Změnou okrajových podmínek v příkazovém souboru KOO1.inp je možno postupně vygenerovat řadu výpočtových verzí dané úlohy.