Řešení nerovnic Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Řešení nerovnic. Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Řešení nerovnic
Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Lineární rovnice se dvěma neznámými:
Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c R jsou konstanty a x, y R jsou dvě neznámé.
0126 yx
xyx4
313
2
1210
253 yx
Příkladem takové rovnice jsou například rovnice:
Ale i rovnice tvaru:
A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:
12323 yxyx
126 yx
0253 yx
Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými:Dvojice rovnic tvaru L1(x, y) = P1(x, y) a L2(x, y) = P2(x, y),
které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek.
0126 yx
xyx4
313
2
1210
253 yx
Příkladem takové soustavy jsou například rovnice:
Ale i rovnice tvaru:
A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:
12323 yxyx
126 yx
0253 yx
Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic:
1. Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní.
2. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy.
3. Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.
Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice.
Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.
Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic:
1. Metoda dosazovací.
2. Metoda sčítací.
3. Metoda srovnávací.
Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:
Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:
1. Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice.
2. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic.
3. Soustava rovnic nemá žádné řešení.
Jednotlivé metody i možnosti řešení si
ukážeme na několika konkrétních příkladech.
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Ze druhé rovnice si vyjádříme neznámou x:
42 yx 42 yxVyjádřenou neznámou x ze druhé rovnice dosadíme dle třetí ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic do rovnice první:
1223 yx 122423 yy
Vypočítáme neznámou y: 122126 yy12128 y
248 y3y
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnica vypočítáme druhou neznámou:
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:
3y
42 yx432 x46 x64x
2x
3;2K
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
3;2K
32233;21L 66 12
123;21 P
3;23;2 11 PL
3223;22L 62 4 43;22 P
3;23;2 22 PL 3;2K
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
Vynásobíme druhou rovnici dvěma, abychom po následném sečtení rovnic vyloučili neznámou y. Jinými slovy dle první ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic nahradíme druhou rovnici rovnicí s ní ekvivalentní:
224
1223
yx
yx
Sečteme pod sebou sobě odpovídající
členy.1407 x147 x2x
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
2xVypočítanou neznámou x dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: 12 yx
122 y14 y41 y3 y3y
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:
3;2K
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
3;2KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
32233;21L 66 12
123;21 P
3;23;2 11 PL
3223;22L 34 1
13;22 P
3;23;2 22 PL 3;2K
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
Z obou rovnic vyjádříme jednu z neznámých. Většinou tu, která jde vyjádřit snadněji. V našem příkladu to vyjde na stejno, tak vyjádříme třeba neznámou x:
0643 yx 1332 yx643 yx yx 3132
3
64
yx
2
313 yx
Ze vzniklých výrazů sestavíme novou rovnici. Oba se totiž rovnají stejnému číslu – neznámé. V našem případě neznámé x.
2
313
3
64 yy
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
V předcházejícím kroku jsme vyloučilli neznámou x a nyní tedy již hravě vypočítáme neznámou y.
2
313
3
64 yy
2
313
3
64 yy
6/
yy 939128 12/9/ y
123998 yy
5117 y 17:/ 3y
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou:
3y
1332 yx 13332 x
1392 x9132 x
42 x2x
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]: 3;2 K
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
3;2 KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
634233;21L 6126 0
03;21 P
3;23;2 11 PL
33223;22L 94 13
133;22 P
3;23;2 22 PL 3;2 K
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
Pro řešení zvolím intuitivnější metodu
dosazovací a vyjádřím například ze druhé
rovnice neznámou x.
662
493
yx
yx
2
66 yx
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
Pozor na dosazení! Docela častou chybou bývá, že se dosazuje do
stejné rovnice, ze které se „vyjadřovalo“! Vyjadřovali jsme neznámou x ze druhé rovnice,
dosadit tedy musíme za x do první rovnice.
662
493
yx
yx
2
66 yx
492
663
y
y
8181818 yy
2/
1880 y100 y
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
662
493
yx
yx
2
66 yx
492
663
y
y
8181818 yy
2/
1880 y100 yK
Výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení:
Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo y! To tedy znamená, že rovnice, ale tím
pádem i celá soustava rovnic, nemá řešení.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
Pro řešení zvolím opět intuitivnější metodu
dosazovací a tentokrát pro změnu
vyjádřím z první rovnice neznámou y.
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Této rovnici vyhovuje každé
reálné číslo x! To tedy znamená, že rovnice, ale tím
pádem i celá soustava rovnic, má nekonečně mnoho
řešení.
Otázkou však zůstává, jakých řešení? Jak víme, řešením soustavy rovnic
o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [x; y].
Je tedy řešením této soustavy libovolná dvojice nebo snad existuje nějaká podmínka, která všechna
možná řešení jasně vymezí? Zkusme nějakou
libovolnou dvojici dosadit a uvidíme.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
Zvolíme si například uspořádanou dvojici [2; 1] a dosadíme ji do obou rovnic soustavy. Prakticky provedeme zkoušku řešení:
19231;21L 96 3 61;21 P
1;21;2 11 PL Tak již první rovnici zvolená uspořádaná rovnice nevyhovuje! Libovolná uspořádaná dvojice tedy řešením naší soustavy není.
Z řešení nám však vyplynulo, že neznámá x může být libovolné reálné číslo. „Podmíněnou“ tedy bude neznámá y. Dá se samozřejmě předpokládat, že na neznámé x bude záviset. Ale jak?
Vrátím vám snímek s řešením této soustavy a věřím, že onu podmínku již nyní snadno odhalíte.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Tak to je ona! Samozřejmě, že ji
můžeme ještě trochu zkrátit.
Jak tedy pak ale bude definitivně vypadat obecný zápis všech možných řešení této
soustavy rovnic?
Rxx
xK ;3
2;
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
Uspořádaná dvojice již tedy není zcela libovolná. Libovolná je v našem případě jen neznámá x. Tou je pak však již jednoznačně určena souřadnice y.
19131;11L 93 6
61;11 P 1;11;1 11 PL
3
2;x
xK
Jedním z možných řešení tak může být například uspořádaná dvojice [-1; -1].
Ověřme si to provedením zkoušky.
1
3
21;1K
16121;12L 62 4 41;12 P
1;11;1 22 PL
Rxx
xK ;3
2;
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
yxxyx
yxyx
23436
2227
V případě rovnic vedoucích k rovnicím
lineárním tyto nejdříve pomocí
ekvivalentních úprav uvedeme do
základního tvaru lineární rovnice, nejlépe do tvaru
ax + by = c.
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx
Použiji sčítací metodu. Druhou
rovnici vynásobím dvěma a následně
vyeliminuji neznámou y.
2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx
Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu
neznámé x do kterékoliv rovnice z řešení.
Většinou samozřejmě volíme tu nejjednodušší pro následný výpočet
druhé neznámé.
2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
1825 yx
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx 2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
1825 yx18225 y18210 y
10182 y82 y
4;2KSprávnost výsledku samozřejmě ještě
ověříme zkouškou.
4y
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
yxxyx
yxyx
23436
2227
4;2K
42274;21L 814 6
24224;21P
4;24;2 11 PL
443264;22L 1616 166
422234;22P
4;24;2 22 PL
222 42 6
Zkouška:
10
226 46 10
4;2K
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10].Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>