Réseaux complexes
Réseaux complexes
Qu’est-ce qu’un réseau ?
Points/sites reliés par des liens
individus
ordinateurspages webaéroportsmolécules....
relations sociales (ex:collaborations scientifiques)câbleshyperliensconnexions aériennesréactions chimiques....
AutoorganisationEvolution dynamique
Etude des réseaux complexes
•Etude phénoménologique:
dégager des caractéristiques générales
•Modélisation:
comprendre les mécanismes
•Conséquences: comprendre l’importance des différentes caractéristiques
pour différents phénomènes, par exemple la propagation
d’épidémies, la fragilité en face de pannes ou d’attaques...
Réseaux sociaux:l’expérience de Milgram
Milgram, Psych Today 2, 60 (1967)
Dodds et al., Science 301, 827 (2003)
“Six degrés de séparation”: “petit-monde”
L’Internet: un autre “petit-monde”
Histogramme des distancesentre deux sites:
distances typiques très petitespar rapport à la taille d’Internet
Autres exemples: WWW, réseaux de transports, etc...
Une autre caractéristique répandue: “Clustering”
1
2
3
n
Plus grande probabilité d’être connectés
Clustering: Mes amis se connaissent très probablement entre eux (exemple typique: réseaux sociaux)
Effet quantifié parle coefficient de clustering,entre 0 et 1
Modèle le plus simple de réseaux:Erdös-Renyi (1960)
-N points, liés avec probabilité p:
-Modifications du modèle pour introduire le clustering
Réseau -statique, -homogène: nombre de voisins similaire pour tous
Réseau du transport aérien
Une vision d’Internet
Homogène vs. Hétérogène
Réseau homogène
nombre de voisins similaire pour tous Réseau hétérogène:
grandes variations du nombre de voisins
Principales caractéristiques des réseaux complexes
•Nombreux éléments en interaction•Evolution dynamique•Auto-organisation
•Nombreux éléments en interaction•Evolution dynamique•Auto-organisation
Architecture non-trivialePropriétés émergentes
Phénomènes coopératifs
petit-mondeclusteringhétérogénéité
Internet,World-Wide-Web,Réseaux sociauxetc...
Modélisation des réseaux complexes
Processus microscopiques des composants
Propriétés statistiques et dynamiquesau niveau macroscopique
Physique
Statistique
La modélisation commence par la compréhensiondes mécanismes de base de la formation du réseau
La topologie complexe est générée dans les modèles,et non mise à la main de façon ad-hoc
Meilleure compréhension de l’interaction entredynamique, trafic, etc...
Changement de point de vue
Exemple de mécanisme:L’attachement préférentiel
1)Les réseaux croissent par l’addition de nouveaux sites
Exemples:
WWW : addition de nouvelles pages webs Internet : nouveaux ordinateurs, serveurs
2) Les nouveaux sites se connectent plutôt vers des sites ayant déjà de
nombreux voisinsExemples:WWW : liens vers des pages webs connuesInternet : liens vers des fournisseurs d’accès bien connectés
1) + 2) => réseau très hétérogène
Graphe aléatoire vs
Attachement préférentiel
Autres niveaux de complexité
• intensités des liens
• réseaux dynamiques
(ex: peer-to-peer)
• réseaux dirigés (ex: WWW)
Exemple d’applications:
épidémiologie
Modèles de propagation d’épidémies
Description schématique des individus et de leur état:
Les individus peuvent se trouver dans certains états: Sain/Susceptible * Infecté * Immunisé/Remis
-Propagation par contact
S I II
p
-Guérison/immunisation
I R
Modèles de propagation d’épidémies
Réseau de contacts:•Individus=sites•Liens=possibilité de propagation
Réseau dont la topologiejoue un rôle important
Virus sur ordinateurs Topologie d’Internet
Computer worms Topologie du réseaud’ email
Importance de la topologiedu réseau de contacts
Epidémiologie Topologie du réseaude transports/déplacements
Importance de la topologiedu réseau de contacts
p0 pc
L’épidémie se propage
L’épidémiemeurt
p0pc=0 (ou très petit)
L’épidémie se propage
Graphes homogènes Graphes hétérogènes
S I II
p
Un autre exemple de modèlede propagation d’une épidémie
Ville A Ville Ba
b
c
d
Un autre exemple;propagation d’une épidémie
Ville A Ville B
=>Importance du réseau de transport !
ab
c
d
Une épidémie ancienne
Dec. 1347
Dec. 1347June 1348
Dec. 1348
June 1349
Dec. 1349
June 1350
Dec. 1350
Dec. 1347
Dec. 1350
Peste NoirePeste Noire14ème siècle14ème siècle
Nov. 2002
Mar. 2003
Une épidémie récente
SARSSARS
Etudes possibles
caractérisation du réseau de transport(essentiellement: transport aérien) modèle simple d’épidémie reproduire a posteriori le déroulement de l’épidémiepour valider le modèle
étude, dans le cadre du modèle, de l’influencedes différents niveaux de complexité étude de la prédictabilité étude de mesures d’endiguement
Conclusion
Domaine interdisciplinaire:
informatique, biologie, épidémiologie, sciences sociales...
-Importance études empiriques
-Modélisation
-Conséquences sur processus divers
PhysiqueStatistique
(exemples: épidémies; fragilité des réseaux; ...)
RobustnessComplex systems maintain their basic functions even under errors and failures (cell mutations; Internet router breakdowns)
node failure
fc
0 1Fraction of removed nodes, f
1
SS: fraction of giant
component
Case of Scale-free NetworksCase of Scale-free Networks
s
fc 1
Random failure fc =1 ( 3)
Attack =progressive failure of the most
connected nodes fc <1
Internet mapsInternet maps
R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406 378 (2000)
Failures vs. attacks
1
S
0 1ffc
Attacks
3 : fc=1
(R. Cohen et al PRL, 2000)
Failures
Topological error tolerance