REPUBLIKA E SHQIPËRISË UNIVERSITETI I TIRANËS FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR PROGRAMI I STUDIMIT: METODAT PROBABILITARE, STATISTIKE DHE METODAT E ANALIZËS NUMERIKE INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK ME ZBATIM DHE PËRAFRIMI MË I MIRË NË HAPËSIRAT C DHE Lp ME ANË TË SHUMAVE FURIE TEZË DOKTORATE Punoi: Udhëhehqësit shkencorë: Shpëtim Rexhepi Prof. Dr. Fevzi Berisha Prof. Dr. Fatmir Hoxha Tiranë, 2017
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
REPUBLIKA E SHQIPËRISË
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR
PROGRAMI I STUDIMIT: METODAT PROBABILITARE,
STATISTIKE DHE METODAT E ANALIZËS NUMERIKE
INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK ME ZBATIM DHE PËRAFRIMI
MË I MIRË NË HAPËSIRAT C DHE Lp ME ANË TË SHUMAVE
FURIE
TEZË DOKTORATE
Punoi: Udhëhehqësit shkencorë:
Shpëtim Rexhepi Prof. Dr. Fevzi Berisha
Prof. Dr. Fatmir Hoxha
Tiranë, 2017
ii
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS SË APLIKUAR
PROGRAMI I STUDIMIT: METODAT PROBABILITARE,
STATISTIKE DHE METODAT E ANALIZËS NUMERIKE
DISERTACION I PARAQITUR NGA
MR. SC. SHPËTIM REXHEPI
PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE
DOKTOR
TEMA:
INTERPOLIMI TRIGONOMETRIK ME ZBATIM DHE PËRAFRIMI
MË I MIRË NË HAPËSIRAT C DHE Lp ME ANË TË SHUMAVE
FURIE
Mbrohet më datë ____. ____. _______ para jurisë:
1. ___________________________________ Kryetar
2. ___________________________________ Anëtar (oponent)
3. ___________________________________ Anëtar (oponent)
4. ___________________________________ Anëtar
5. ___________________________________ Anëtar
iii
Mirënjohje
Falë ndihmesës së pakushtëzuar për realizimin e këtij punimi, shpreh konsideratën, mirënjohjen
dhe falënderimin për udhëheqësin dhe bashkëudhëheqësin tim shkencor Prof. Dr. Fevzi
Berishën dhe Prof. Dr. Fatmir Hoxhën të cilët me angazhimet e tyre të palodhura dhe
vazhdueshme më ofruan ndihmë shumë të çmuar profesionale, këshilla, sugjerime dhe
vërejtje të dobishme, qëllimmira si dhe inkurajuese në nxitjen e kërkimit shkencor po ashtu
edhe në shlyerjen e obligimeve në kohë.
U jam mirënjohës atyre kolegëve e shokëve që më mbështetën në mënyra të ndryshme si në
pajisje po ashtu edhe në kërkimimin elektronik të bibliografisë, përpunimin e tekstit, figurave,
tabelave etj.
Gjithashtu shpreh falënderimin dhe dashurinë për familjen time që më përkrahën
materialisht dhe moralisht gjatë gjithë kohës së studimit.
Shpëtim Rexhepi
iv
Abstrakti. Teoria e përafrimit ka të bëjë me atë se si funksionet më së miri mund të përafrohen me
anë të funksioneve më të thjeshta për aplikim të karakterizuara dhe me madhësi sa më të vogël të
gabimit. Me qëllim për të kuptuar problematikën që shqyrtojmë në punim si dhe duke patur parasysh
që aparatet e përafrimeve të funksioneve paraqesin operator linear, në fillim japim njohuri dhe
koncepte rreth analizës analizës funksionale si dhe paraqesim disa klasa klasike dhe të reja te
funksioneve periodike.
Kemi dhënë kushtet për kalimin nga interpolimi algjebrik në interpolimin trigonometrik ,kushtet e
konvergjencës te procesi i interpolimit trigonometrik [78], kemi dhënë formën rekursive të metodës
së Nevillit si dhe adaptimin e kësaj metode te interpolimi trigonometrik duke dhënë ilustrime edhe me
shembuj numerikë [12].
Në [72] kemi dhënë disa vlerësime në lidhje me splajnin racional trigonometrik kubik me parametra
kontrollues, duke aritur të ngushtojmë zonën interpoluese të funksionit.
Kemi bërë disa zbatime të serive dhe transformimeve Furie njëdimensionale dhe dydimensionale te
qarqet elektrike, te përpunimi i imazhit duke aplikuar në to filtra të ndryshëm[76], si dhe zbatim në
zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme.
Kemi ndërtuar një varg të polinomeve uniformisht konvergjente ne hapësirën C, të caktuar nga vlera
të fundme të funksionit f si dhe disa vlerësime të konstantave dhe shumave të Favardit me modulin e
vazhdushmërisë , formulën rekursive për caktimin e tyre dhe lidhjen e tyre numerike me seritë
Furie[73].
Në [74] dhe [75] kemi përmbledhur rezultate në lidhje me hapësirën e Lorencit, vargjet kuazi
monotone, derivatin e Weylit, funksionet periodike të cilët i përkasin hapësirës së Lorencit me
koeficientë Furie kuazi-monoton . gjithashtu kemi dhënë lidhjet në mes përafrimit më të mirë dhe
ekzistencën e derivatit të Weylit për këtë klasë funksionesh.
Abstract. Approximation theory has to do with how functions can best be approximated by simpler
functions for application ,characterized with the smallest error. In order to understand the problems
that are considered in the paper, firstly we provide knowledge and concepts of functional analysis and
present some classic and new classes of periodic functions.
We have provided the conditions for the transfer from the algebraic to trigonometric interpolation,
conditions of convergence in the process of trigonometric interpolation [78], have given the recursive
Neville method and its adoption to trigonometric interpolation illustrated with numerical examples
[12].
In [72] are given some estimations for trigonometric rational cubic spline with controll parameters,
and isolated the interpolation area of the function.
We made some applications of the Fourier series and transform related to electrical circuits, image
processing applied different filters [76], as well as application in solving partial differential equations.
We have constructed a sequence of uniformly converging polynomials in the space C, set the value of
the finite function f and some estimates of constants and Favard constants with module of continuity,
recursive formula and their relationship numerical Fourier series [73].
In [74] and [75] have summarized results concerning Lorentz space, quasi-monotone coefficients ,
derivative of Weyl, periodic functions belonging Lorentz space with quasi-monotone Fourier
coefficients. We also provide links between the best approximation and the existence of Weyl
derivative for this class of functions.
v
Përmbajtja
Hyrje ............................................................................................................................................... vii
I. DISA KLASA TË FUNKSIONEVE PERIODIKË .........................................................................................9
1.1. Hapësirat vektoriale. Përkufizimi i përafrimit më të mirë ............................................... 9
1.2. Konvergjenca e vargut të funksionalëve linear pozitiv dhe teoremat e Korovkinit ......... 11
1.3. Konvergjenca e vargut të operatorët linearë pozitiv dhe teoremat e Korovkinit ................ 13
1.4. Funksionet e shumueshme 2 periodike. Koeficientët Furie ....................................... 15
1.5. Moduli i vazhdueshmërisë në hapësirat C dhe Lp ........................................................ 20
Përfundimet Avantazhet e funksionit interpoluar: janë përdorur vetëm operacionet +, -, *, /, në kontrast me
funksion origjinale, e cila mund të përmbajë një shumëllojshmëri të funksioneve matematikore
(sinh, ln, hark, exp ...). Kjo veti është shumë e dobishme në rastet kur shpejtësia e ekzekutimit
mund të jetë shumë i rëndësishëm.
Duke përdorur programin për funksionin e famshme origjinal është e mundur të ndryshojnë
numrin (dhe koordinatat) pikat e njohura, dhe për një problem të caktuar për të zbuluar
konfigurimin optimal të vlerave të njohura, e cila përmbush të interpolation kërkuar saktësinë.
2.8. Interpolimi i polinomit racional trigonometrik, derivati i të cilit është i
vazhdueshëm, me anë të splajnit kubik
Ndarja e segmentit të dhënë në segmente më të vegjël dhe ndërtimi i një polinomi interpolues në
çdo segment të vogël, duke patur parasysh që këta polinome do të jenë në përgjithësi të ndryshëm
midis tyre, paraqet procedurën e interpolimit pjesë-pjesë polinomial. Më i thjeshti ndër to është
interpolimi pjesë-pjesë linear, i cili grafikisht paraqet vijë të thyer që ka për kulme pikat
,i ix f x të cilat përfaqësojnë të dhënat e problemit dhe e meta e këtij interpolimi është fakti
që ai nuk garanton diferencueshmëri në pikat ix që janë skajet e segmenteve të vegjël.
Interpolimi pjesë-pjesë polynomial më i përhapur në praktikë është polinomi me splajne. Një
splajn mund të jetë një funksion i lëmueshëm që është polinom pjesë-pjesë, por mbi gjithë duhet
të jetë i lëmueshëm në të gjitha nyjet.
Njohuri dhe shembuj fillestarë në lidhje me këtë problematikë kemi dhënë në [72].
Përkufizim 8.1. Le të jetë 0 1 2: ... na x x x x b ndarje e segmentit ,a b .
Funksioni : , ,m
fS a b R m N quhet splajn i shkallës m sipas ndarjes , në qoftë se m
fS
është 1m herë i diferencueshëm, me derivate të vazhdueshëm në segmentin ,a b dhe në
qoftë se kufizimi i m
fS në çdo nëninterval 1, , 1,2,..., 1,i ix x i n n reduktohet në polinom të
shkallës më të vogël ose të barabartë me m. Me m
nS shënojmë bashkësinë e të gjitha splajneve të
shkallës m për ndonjë ndarje të caktuar të segmentit në n pjesë. m
nS paraqet hapësirë lineare me
dimension m+n.
Përkufizim 8.2. Le të jetë 0 1 2 1: ... ka x x x x b ndarje e segmentit ,a b .
Hapësira e splajneve trigonometrike përkufizohet si
1
1 1
,: | , 0,1,2,..., ,
m i i
M j j
T m i ix xS s s T i k D s x D s x
60
1,2,..., , 1,2,...,ij m m i k , ashtu që 1,..., kM m m paraqet vektor elementet e të cilit
plotësojnë relacionin 1 im m , /D d dx paraqet diferencialin dhe operatori
1
1 0span
m
m m i i iT x x
paraqet hapësirën e polinomeve trigonometrike të shkallës m,
ku , , ,k kx kx x kx k N sin , sinx x x x dhe
1
span /k
i i i i
i
A v v A R
.
Paraqesim disa shembuj të splajneve:
1. 0B splajnet:këto funksione janë splajne të shkallës 0 dhe 1B splajnet:këto funksione janë
splajne të shkallës 1, që arrijnë kulmin në pikën 1ix x dhe ka koeficient drejtimi të mysët ( të
lugët) për 1 1i ix x x x .
1
1
10 1 21 2
1 2 1
2
,
1,and ,
0, ,
0, ,
i i
ii i
i i
i i ii i
i i i i
i i
x xx x x
x x
x x x x xB x B x x x x
x x x x x
x x x
.
2. Funksionet splajne të rendeve më të larta jepen me formulën rekursive
1 111
1 1
i
n n ni i ni i
i n i i n i
x x x xB x B x B x
x x x x
3. Splajnet kubike:këto funksione janë splajne të rendit të 4 dhe ne menyrë analitike shprehen si: 2 3 ( - ) ( - ) ( - )f i i i i i i iS a b x x c x x d x x for 1,i ix x x ku
1 1 11
1 1
= = , (2 + ), , 6 2 6
i i i i i ii i i i i i i i
i i
f f h M M Ma f x f b M M c d
h h
ii fM S
paraqesin zgjidhje të sistemit të ekuacioneve lineare
1 1 ,2 1, 1i i i i i iM M v M i n
Që ndryshojnë sipas kushteve të dhëna fillestare,
1 1 1
1
, , 1 , 6 , ,ii i i i i i i i i i
i i
hh x x v f x x x
h h
.
61
4. Splajnet kubike trigonometrike: paraqiten si span 1, , sin , cos , sin 2 , cos2x x x x x . Keto
splajne kanë veti të ngjashme si B-splajnet kubike si dhe lakoret dhe sipërfaqet splajne të tyre
përkatëse mund të interpolojnë në mënyrë direkte disa pika kontrolluese pa mos e zgjidhur
sistemin e ekuacioneve ose pa mos dhënë pika kontolluese shtesë.
Në vazhdim do japim disa vlerësime në lidhje me splajnin dhe funksionin e interpoluar me të në
pohimet e mëposhtme[72]:
Pohim 8.1. Le të jetë 2 0,1f x C funksion periodik . Nëse fS paraqet interpolim me anë
të splajnit kubik i funksionit f x atëherë vlen mosbarazimi
1 11 1 1 1max 6 max , ,
if i i ii n i n
S f x x x
, ku 0 10 ... 1nx x x .
Vërtetim.
ii fM S
paraqesin zgjidhje të sistemit të ekuacioneve lineare
1 1 ,2 1, 1i i i i i iM M v M i n ku 11
1
, , 1ii i i i i i
i i
hh x x v v
h h
dhe
1 16 , ,i i i if x x x . Le të jetë 1 1max , 1, 1i k
i nM M k n
dhe meqë
, 0,1 , 1, 1i iv i n , atëherë vlenë relacioni
1 11 1 1max 2 2 max .i k k k k k k k k k k i
i n i nM M v M M v M M
Pohim 8.2 . Le të jetë ,pf x C a b dhe splajni , 2 1, , 2n
ms S m p p N p
interpolues I tij, përkatësisht , 1,i is x f x i n , që plotëson kushtet kufitare
, , 1, 1i i i i
s a f a s b f b i p
Atëherë vlenë
22 2
.
b bp p p p
a a
f x s x dx f x s x dx
Vërtetim. Kemi
22 2
2
b bp p p p
a a
f x s x dx f x s x dx R ku
b
p p p
a
R f x s x s x dx . Meqenëse ,pf x C a b dhe 1 ,ms C a b ka
derivate të vazhdueshëm të rendit m , me anë të 1p integratimeve të përsëritura, duke
përdorur kushtet kufitare dhe meqenëse 1
0m
s x
fitohet se
62
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0.
i
i
i
i
bp m
a
xnp m
i x
xn
p m
i x
R f x s x s x dx
f x s x s x dx
f x s x s x dx
Pohim 8.3. Le të jetë 0f x dhe splajni , 2 1, , 2n
ms S m p p N p interpolues i
tij, përkatësisht , 1,i is x f x i n , dhe nëse plotësohen kushtet kufitare
, , 1, 1i i i i
s a f a s b f b i p atëherë 0s .
Vërtetim. Për 0f x , nga teorema 8.1, kemi:
2 2 2
0 0 0 0
b b bp p p p
a a a
s x dx s x dx s x dx s x . Nga kushtet
kufitare dhe meqë 0, 1, 1i
s a i p kemi se 0.s
Gjithashtu ne [72] kemi arritur vlerësim në formë të mosbarazimeve duke krahasuar sipërfaqet e
formuara nga grafiku derivatit të dytë të splajnit dhe derivatit të dytë të funksionit interpoluar nga
ai splajn me boshtin a abshisës në segment të caktuar me kushte fillestare.
Pohim 8.4. Le të jetë 2 ,f x C a b dhe fS splajni kubik që interpolon funksionin f x
në nyjet 0 1 ... na x x x b dhe plotëson kushtet kufitare
,f fS a f a S b f b atëherë vlenë
b b
f
a a
S x dx f x dx .
Vërtetim. Formojmë diferencën fD x f x S x dhe kemi
22 2
2
b b b b
f f
a a a a
f x dx S x dx D x dx S x D x dx . Me anë të integrimit
me pjesë të integralit fundit fitohet b b
b
f f faa a
S x D x dx S x D x S x D x dx .
Termi i parë i anës së djathtë të barazimit është 0 për shkak të kushteve kufitare dhe termi i dytë
mund të ndahet në nënintervale, si në vijim:
1
1 1
1
1
1
4
,
0 0 0.
i
i
i i
i
i
i i
xb n
f f
ia x
x xx
f f fxx x
S x D x dx S x D x dx
S x D x dx S x D x S x D x dx
63
Pra 22 2
.
b b b b b
f f
a a a a a
f x dx D x dx S x dx S x dx f x dx
Përkufizim 8.3.[31,69] Le të jetë dhënë bashkësia e pikave , / 0, 1i it f i n , ashtu që
0 1 1... n na t t t t b . Funksioni racional kubik C1- pjesë-pjesë i vazhdueshëm,
pëkufizohet si ( )
( ) , 0, 1( )
i
i
p tP t i n
q t , ku
3
3
1
sin 1 sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 cos 1
i i i i
i i i
p t f u
v f
(8.1)
dhe
3
3
1 sin sin sin 1 3 sin cos cos 1 3 cos
cos 1
i i
i
q t
(8.2)
ashtu që
1 1, , ,2
i
i i i i i
i
t th t t t t t t
h
, 1
2,
3
i ii i i i
hu f f f
2 11
1
2
3
i i i ii i
i
h f fv f
h
and ,i 0i . Është e qartë që ky funksion racional trigonometrik
kubik plotëson relacionet 0P t , ( ) i iP t f dhe 1( ) i ii
i
f fP t
h
. Me g t shënojmë
vijën e thyer ose lakoren pjesë-pjesë lineare të përkufizuar në segmentin 0 , nt t me pikat lidhëse
, / 0, 1i it f i n dhe sistemin e nyjeve 0 1 1... n nt t t t ashtu që i if t g t
dhe P t g t ku 0, 1i n dhe 0 1, nt t t .
Supozojmë që P t g t ,
i
i
p tg t
q t
, 0i i ip t q t g t M t , përkatësisht
3
3 3
1
3
1
{ sin 1 sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 cos 1 } { 1 sin
sin sin 1 3 sin cos cos 1 3 cos
2 2cos 1 } 1 0
i i i i
i i i i
i i i
M t f u
v f
g g
ku i ig g t and 1 1i ig g t . Meqenëse
3
,1 ,2
3
,3 ,4
1 sin sin sin 1 sin 3
cos cos 1 cos 3 1 cos 0
i i i i
i i i
M t A A
A A
64
,1 1 1 1
,2 ,1 1
2 1,3 ,4 ,4 ,1 1
1
2 2 21 ,
2,
3
2, .
3
i i i i i i i
ii i i i
i i i ii i i i i i
i
A f g f g f f
A A f f
h f fA A A A f f
h
Sipas relacionit të fundit kushti i mjaftueshëm që lakorja P t të shtrihet mbi vijën e drejtë g t
në segmentin 1,i it t jepet me anë të këtij pohimi [72]:
Pohim 8.5. Për bashkësinë e dhënë , , / 0 , 1i i it f g i n ashtu që
, 0, 1i if t g t i n kusht i mjaftueshëm për lakoren P t të shtrihet mbi vijën e
drejtë
g t në segmentin 1,i it t është që për paraetrat pozitiv dhei i duhet të vlejë
relacioni , 0, 1,2,3,4i kA k . Për nyje të barazlarguara relacioni ,3iA merr trajtën
,3 ,4 2 1
2
3
ii i i iA A f f
(8.3)
,dhe për kufizueshmërinë e regjionit të vendndodhjes së lakores interpoluese, kemi formuluar këtë
rezultat[72], që ngushton zonën e vendosjes së polinomit interpolues:
Teorema 8.1. Për bashkësinë e dhënë *, , , / 0 , 1i i i it f g g i n ashtu që
* , 0, 1i i ig t f t g t i n . , 0, 1i if t g t i n the kusht i mjaftueshëm për
lakoren racionale trigonometrike kubike P t të shtrihet mbi vijën e drejtë g t dhe ndër
vijën e drejtë *g t në segmentin 1,i it t është që për paraetrat pozitiv dhei i duhet të
vlejë relacioni , 0, 1,2,3,4i kA k të përkufizuar si më sipër dhe , 0, 1,2,3,4i kB k ku
* *
,1 1 1 1
,2 ,1 1
2 2 21 ,
2,
3
i i i i i i i
ii i i i
B f g f g f f
B B f f
,3 ,4 2 1 ,4 ,1 1
2, .
3
ii i i i i i i iB B f f B B f f
(8.4)
Shembull: Të dhënat interpoluese dhe parametrat pozitiv dhe , 1,2,3i i i janë dhënë në
tabelën e mëposhtme, dhe duke plotësuar kushtet nga teoremat 4 dhe 5,në mënyrë që lakorja
P t të shtrihet në mes të *g t dhe g t , që mund të shkruhen si:
Me anë të analizës Furie, sinjali, që mund të përkufizohet si funksion( i kohës ose
hapësirës), vlerat e të cilit përcojnë informcione për ndonjë proces matematik ose fizik
që ai paraqet, dekompozohet në sinusoide, d.m.th frekuenca, amplitudat e të cilave
formojnë të ashtuquajturin spektër të frekuencave të një sinjali [2,8,16]. Ideja e
transformimit të sinjalit është të shprehurit e një sinjali si një kombinim i një bashkësie
themelore "bllok ndërtimi" të sinjaleve, të njohur si funksionet bazike, dhe më pas
transformimet e fituara analizohet dhe interpretohen në mënyrë të përshtatshme. Më
poshtë japim dallimin në mes të teknikave Furie për përpunimin e sinjaleve:
Seritë Furie f(t) i vazhdueshëm
F(w) diskret
Analizimi i sinjaleve
Transformimet Furie f(t) i vazhdueshëm
F(w) i vazhdueshëm
Analizimi i frekuencave të
sinjaleve
Transformimi diskret Furie f(t) diskret
F(w) diskret
Analizimi i sinjaleve të
mostrës
Transformimi i shpejtë
Furie
f(t) diskret
F(w) diskret
Algoritëm për llogaritje të
transformimit diskret Furie
Tabela 1. Teknika Furie për përpunim të sinjaleve
Të dhënat e mësipwrme në tabelë, matematikisht i kam renditur në këtë mënyrë [76]:
Konsiderojmë bashkësinë ortogonale të dhënë me 0 , 0, 1, 2,...inwt
e n në segmentin
0 0
0
2,t t t
w
.
Kur një sinjal zbërthehet në seri eksponenciale kemi të bëjmë me serinë Furie të funksionit f t
: 0
0
1
1cos sin ,
2
inw t
n n n
n
f t a a nt b nt A e
ku
00
0
0
2
0
2t
w
t
inwtA f t e dtn
w
,
00
2
aA ,
2
n nn
a ibA
2
n nn
a ibA
, 1,2,3,...n me kusht që
00
0
2t
w
t
f t dt
Në transformimet Furie me anë të "bllok ndërtimeve" të sinjaleve, sinjalet paraqiten në
trajtë sinusoidale me perioda të ndryshme apo njohur ndryshe si frekuenca. Transformimi
Furie parqet operator linear që sinjalin e dhënë e dekompozon në frekuencat përbërëse të tij dhe
përkufizohet si më poshtë:
71
iwtF w f w f t e dt
, ku 1,
2
i wiwtf t F w e dt F w F w e
E anasjella e transformimit Furie jepet me këtë formulë
1 1
2
iwtf t f t F w e dw
dhe me anë të tij sinjali mund të sintetizohet duke mbledhur gjithë frekuencat përbërëse.
Në këtë rast shihet që F w e luan rrolin e An në barazimin e parë .
Supozojmë që kemi 2 1N nyje të barazlarguara , , 0, 1kk k
tf f t k N
k , të
frekuencave diskrete në rang prej cw deri në cw . Shqyrtojmë frekuencat 2
n
nw
N
, për
,...,2 2
N NN .
Japim përafrimin e transformimit Furie në këtë rang me anë të shumës së Rimanit sin ë vijim:
1
0
n
Niw tiwt
n k
k
F w f t e dt f e
përkatësisht , 21
0
nN ikN
k n
k
F w f e F
. Ky
barazim paraqet barazimin e transformimit diskret Furie të funksionit f t . Metoda më
efikase për llogaritje të transformimit diskret Furie, që atë e ndanë në dy shuma me terme
cifte dhe atë me terme tek për 12
N pika dhe zvogëlon kohën e llogaritjeve nga 2O N
operacione në 2logO N N operacione paraqet algoritmi i quajtur Transformimi i shpejtë
Furie.
Le të jetë 2 i
NW e
numër kompleks, atëherë
2 2 2 2 12 2
1 2 22 2
2 2 1
0 0 0
i k n i k nN NN NN
nk e k o
n k k k n n
k k k
F f W f e f e F W F
.
Teorema 2.1.[18,36]. Vlejnë pohimet:
i) iawf t a w e f w ii) 1 w
f at w fa a
iii) Konvulicioni *h t f t g t f g t d h w f w g w
iv)
nnf t w iw f w
v)
1 1nn
f w t it f t
vi) 0 0 0 0cos 2 cos 2 ,f t w t f t w t f w w w w w
72
ku , 0
, 10, 0
tt t dt
t
3.3. Zbatimi i serive Furie për analizimin e qarqeve elektrike
Për analizimin dhe mbajtjen në gjendje të qëndrueshme të rrjetave dhe qarqeve
elektroteknike, që në praktikë më së shumti shprehen me anë të funksioneve periodike jo-
sinusiodale, është e nevojshme zbatimi i serive Furie, me analizimin e fazorëve që
paraqesin numra kompleks, përkatësisht funksione sinusoidale dhe bartin vlera të rrymës
apo tensionit [53,62].
Japim transformimin e vlerave josinusoidale në seri të pafundme
Marrim funksionin periodik, me periodë sipas kohës T, ,f t mT f t m N i
zbërthyer në seri Furie si në vijim
0 00
1 1 1
1cos sin cos sin
2 2 2k k k k k k
k k k
a af t a a kwt b kwt A kwt B kwt
, ku frekuencatwt dhe , fazatk k . Nga formulat e njohura
sin sin cos sin cosx y x y y x dhe cos cos cos sin sinx y x y y x kemi
0 0
1 1
(cos cos sin sin ) (cos sin sin cos )2 2
k k k k k k
k k
a af t A kwt kwt B kwt kwt
pra,
0
0 0
2 2, cos sin cos
T T
k k k k ka f t dt a A B f t kwt dtT T
dhe
0
2 2
2sin cos sin ,
, dhe
T
k k k k k
k kk k k k k k
k k
b A B f t kwt dtT
a bA B a b arctg arctg
b a
Në [40] duke përdorur seritë Furie është analizuar sinjali katror i tensionit, tani duke përdorur
seritë Furie ne do të analizojmë sinjalin njëpolar të tensionit, që është dhënë në figurën e
mëposhtme simuluar me anë të software-it Vision Professional[76]:
73
Fig. 1. sinjali njëpolar i tensionit
Për nga simetria boshtore e qartë që funksioni është cift, f t f t pra nuk do përmbaj
terme të sinuseve. Caktojmë koeficientët e serisë Furie të trajtës eksponenciale
3
4 4
0
30 0
4 4
1 10
T T
T T
T T
A f t dt Adt Adt AdtT T
,
3
4 4
30
4 4
2sin sin1 2
, respektivisht
T T
T
inwt inwt inwt
n
T T
nA n
A Ae dt Ae dt Ae dtT n
1
0,
14, cos 2 12 sin
2 12,
k
inwt
n n
n k
n cift
AnA f t A e k wtAk
n tekn
i cili është paraqitur grafikisht më poshtë duke përdorur Matlab për tre, katër, pes dhe shtatë
anëtarët e parë ku T=16:
74
Fig. 2. Paraqitja e sinjalit njëpolar të tensionit si shuma të kosinusit
Ku abshisa paraqet kohën dhe ordinata tensionin. Këtë do të ilustrojmë me shembull konkret për
llogaritjen e DC( rrymës direkte). Le të jetë A=10V. Termi DC është 5 V. Amplituda e termit
harmonic primar është 4 10
12.7388
si dhe vlera efektive ( e termit të parë) do jetë
1
4 10 409.007
4.44062A V
si dhe termet tjera i paraqesim në tabelë:
Termi i serisë Furie Tensioni(V)
DC +5V
Termi i parë harmonic +9.007V
I treti -3.000V
I pesti +1.800V
I shtati -1.2860V
I nënti +1,000V
Tabela 1. Termet primare të serisë Furie
Tani duke përdorur seritë Furie ne do të analizojmë sinjalin gjysmëvalor të rektifikuar të
tensionit, që është dhënë në figurën e mëposhtme:
75
Fig.3. Sinjali gjysmë valor i rektifikuar i tensionit
Kemi 02 , 1,T w Funksioni i këtij sinjali jepet si në vijim:
sin , 0,
0, ,2
mx V xf x
x
. Caktojmë koeficientët Furie
2
00
1 1sin 0 .
2 2
mm
Va V xdx dx
Në mënyrë të ngjashme gjejmë
2
0
0
2
0
1 1sin cos 0cos
2
sin 1 sin 1 02
1 cos 1 1 cos 1
2 1
2,
1
0,
n m
m
m
m
a V f x x nxdx nxdx
Vn x n x dx
n n x n n xV
n
Vn cift
n n
n tek
0 0
, 11sin sin 0sin 2
0, 1
m
n m
Vn
b V x nxdx nxdx
n
.
Pra paraqitja e këtij sinjali me anë të serive Furie mund të shprehet në këtë mënyrë:
76
21
sin 2 cos
2 4 1
m m m
n
V V x V nxf x
n
Derisa sinjali paraqet funksion pjesë-pjesë i vazhdueshëm :f R C , filtri pasqyron
sinjalin e dhënë në sinjal të ri, në mënyrë që ta modifikojë atë përkatësisht të heqë zhurmën e
sinjalit.E njëjta vlenë edhe për te imazhet(sinjalet dy-dimensionale). Në vazhdim me anë të
transformimit Furie do të analizojmë kalimin e hapit të tensionit nëpërmjet filtrit të thjeshtë me
kalueshmëri të lartë. [76]
Fig. 4. Kalimin i hapit të tensionit nëpërmjet filtrit me kalueshmëri të lartë.
Nga ligji i Ohm-it kemi0
2,
2
iivVV
iv
ku
1
RC , R-rezistenca, C-kapaciteti i qarkut. Hapi
hyrës le të ketë lartësi V , si i tillë me anë të funksionit x
H x t dt
ku t i
përkufizuar si në teoremën 1, mund të përkufizohet si iV t VH t .
Frekuenca e tij do jetë 2
i
VV v
iv dhe 0
2
2 2 2
V i v VV v
i v i v i v
.
Variacioni i kohës i tesnsionit të fituar do jetë transformimi Furie
2
02 2 2
itv itz itze V e iV eV t V dv dz dz
iv iz i z
. Duke përdorur formulën
integrale të Koshi-ut 2 Re ,C
i s f a f z dz në rastin tonë poli është z i pra
2
2 2
itz tt
C
iV e iVedz Ve
i z
ku konturi përbëhet nga
77
i) boshti real ku dz dx , pra fitohet integrali lim2
r itx
rr
iV edx
i x
si dhe
ii) nga gjysmërrethi me rreze të pafundme ku shprehja nën integral humbet. Pra
cos sincos sin
ir i ti iztz e r i e e
me pjesë reale sinrte
e cila për 0t dhe
pjesën e sipërme të rrethit humbet kur rrezja tenton në infinit, d.m.th variacioni i kohës për
tensionin fituar do jetë 0
tV t Ve .
Në vazhdim japim këtë shembull.
Në figurën e mëposhtme, qarku ka burim sV t të trajtës josinusoidale që serinë Furie e ka
1
2sin 2 10.5
2 1s
k
k tV t
k
. Do caktojmë tensionin 0V t në inductor dhe amplitudat e
spektrit përkatës.
Fig. 5. Qarku elektrik
Tensioni dalës do jetë
0
2,
2 5
n s
n
w iV tV t w n
n i
. DC komponenta do jetë 0 për 0nw .
Duke marr parasysh që pjesa e sinusit të fazorit të AC( rrymës alternative) është 02
90n
fitohet që
78
02 2 2 2
1
2cos
52 2 24
525 4 25 4n
nn tek
nn t arctg
n nV t arctg V
nn n
.
Me anë të llogaritjeve, për 4 anëtarët e parë fitohet ky rezultat:
w 3 5 7
0V 0.5 0.2 0.13 0.1
Tabela 2. Termet primare të serisë Furie
3.4. Disa aplikime të transformimeve Furie dy-dimensionale te përpunimi i
imazhit
Për një matricë të rendit xM N transformimi diskret Furie dy-dimensional(DFT) dhe e anasjella e
tij(IDFT), përkatësisht, mund të shkruhen si
21 1
0 0
, ,
i Mvy NuxM N
MN
x y
F u v f x y e
dhe 21 1
0 0
1, ,
i Mvy NuxM N
MN
x y
f x y F u v eMN
Në vijim paraqesim sinusoidët dydimensional(2D)[76]
Fig. 6. Disa sinusoidë dy-dimensional
79
Janë shfaqur figura e parë 15 15
cos , 0,256 256
y u v
, figura e dytë
55 55cos , 0,
256 256y u v
,figura e tretë
15 15cos , , 0
256 256x u v
,figura e katërt
55 55cos , , 0
256 256x u v
dhe figura e pestë
55 15 15 55cos cos , ,
256 256 256 256y y u v
.
Ideja qëndron në atë imazhi i dhënë ,f x y me dimensione xM N riparaqitet në domenin e
frekuencave ,F u v , e cila me anë të transformimit të anasjellë Furie përsëri kthehet në imazhin
e dhënë, pra dekompozohet në shumë me peshë të funksioneve ortogonale dy-dimensionale në
mënyrë të njejtë sic dekompozohen vektori në baza duke përdor prodhimin skalar, sin ë vijim:
Fig. 7. Dekompozimi i një imazhi si shumë e sinuseve dhe kosinuseve dy-dimensional
Vlera , 0
,u v
F u v
quhet dc komponenta dhe është për xM N herë më e madhe se sa vlera
mesatare e ,f x y . Në këtë rast në mënyrë vizuale analizojmë transformimin Furie duke
llogaritur magnitudën apo spektrin ,F u v ( ,F u v ), që realisht shfaqet si imazh. Me anë të
kësaj teoreme jepet relacioni në mes të domenit hapësinor dhe atij të frekuencave, njëkohësisht
edhe hapat bazë të filtrimit në domenin e frekuencave
Teorem 3.1.[29,36,79] , , * , , , ,g x y h x y f x y G x y H x y F x y dhe
anasjellas , , * , , , ,G x y H x y F x y g x y h x y f x y ku
, , , ,h x y IDFT H u v H x y DFT h u v .
80
Nga kjo teoremë mund të nxirret përfundimi se shumëzimi i dy transformimeve Furie i
korrenspodon konvulicionit të dy funksioneve që janë e anasjella e tyre në domenin hapësinor.
Pra përdorimi i transformimeve Furie ndihmon në shpejtimin e filtrave hapësinor.
Aplikojmë tani filtrin e Sobelit, që përdor bërthama të rendit 3x3 të konvuluara me imazhin
origjinal në mënyrë që të kalkulohen përafrimet e derivative- si të boshtit horizontal po ashtu
edhe atij vertikal. Bërthama paraqitet me shumëzimin e matricave 1 2 1 1 0 1T
S .
Nëse A merret si imazh origjinal atëherë xG dhe
yG janë dy fotot që përmbajnë pikat e
përafrimeve të derivative horizontale dhe vertikale përkatësisht dhe jepe me formulat *xG S A
dhe *T
yG S A . Për këtë aplikim marrim për imazh stemën e Universitetit Shtetëror të Tetovë
dhe fitohen këto rezultate:
Fig. 8. Aplikimi i filtrit të Sobel-it
Në fillim është imazhi origjinal , pastaj imazhi i filtruar në domen hapësinor dhe
frekuencor,imazhi i fituar nga vlera absolute që përmison magnitudën dhe në fund magnituda e
kthyer në imazh binar.
Filtrat më të njohur në domenin e frekuencave janë filtrat me kalueshmëri të ulët,
kalueshmëri të lartë dhe filtrate graduale. Filtrat me kalueshmëri të ulët krijojnë imazh të
paqartë (ose të butë),i zbusin frekuencat e larta të transformimeve Furie dhe dhe i lejnë
ato të voglattë pandryshuara. Me ,D u v shënojmë largesën nga pika ,u v deri te qendra e
filtrimit. Le të jetë 0a numër i fiksuar. Për të njejtin imazh aplikojmë filtrin me kalueshmëri të
ulët
2
20
,
2,
D u v
DH u v e
dhe fitohen këto rezultate:
81
Fig. 9. Aplikimi i filtrit me kalueshmëri të ulët
Janë shfaqur imazhi original,spektri(magnitude) Furie e imazhit, imazhi me filtrin e
përdorur si dhe spektri(magnitude) i imazhit me filtrin e përdorur, përkatësisht.
Filtrat me tejkalueshmëri të lartë pastrojnë (or tregon anët (kornizat) ) imazhin, zbusin
frekuencat e dobta dhe i lejnë frekuencat e larta të transformimeve Furie të pa
ndryshuara. Relacioni i Filtrave me tejkalueshmëri të lartë ,hpH u v dhë të kalueshmëri
të ulët ,lpH u v , jepet me këtë formulë , , 1hp lpH u v H u v .. Le të jetë 0a numër i
fiksuar. Për të njejtin imazh aplikojmë filtrin me kalueshmëri të lartë
2
20
,
2, 1
D u v
DH u v e
dhe fitohen këto rezultate:
Fig. 10. Aplikimi i filtrit me kalueshmëri të lartë
Janë shfaqur imazhi original,spektri(magnituda) Furie e imazhit, imazhi me filtrin e
përdorur si dhe spektri(magnituda) i imazhit me filtrin e përdorur, përkatësisht.
Filtrat graduale përdoren për të larguar zhurmët e përsëritura "Spectrale" nga imazhi ,
janë si ngushtim I filtrave me kalueshmëri të lartë, por ato "nivvelizojnë" frekuencattë
ndryshme nga komponentat dc , i zbusin frekuencat e selektuara ( dhe ato fqinje)dhe i
lejnë frekuencat tjera të transformimeve Furie të pa ndryshuara. Për këtë aplikim marrim
një imazh me zhurmë(një top) në të cilin aplikojmë filtrin gradual
2
22
0
,,
,
n
nn
D u vH u v
D D u v
dhe fitohen këto rezultate:
82
Fig. 11. Aplikimi i filtrit gradual
Janë shfaqur imazhi me zhurmë, spektri Furie i imazhit me zhurmë( si dhe selektimi i
frekuencave me zhurmë që duhet të hiqen), imazhi në të cilin është aplikuar filtri gradual
si dhe spektri i imazhit në të cilin është aplikuar filtri gradual, përkatësisht.
3.5. Zbatimi i serive Furie te zgjidhja e ekuacioneve diferenciale me derivate
të pjesshme
Një nga rrolet më të rëndësishme të polinomeve trigonometrike është shfrytëzimi i tyre
për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme. Zgjidhja e këtyre
ekuacioneve bëhet me metodën e ndarjes së variablave dhe ndryshe quhet edhe si metoda
Furie. Këtë metodë do e ilustrojmë me anë të disa shembujve.
Shembulli i parë për këtë metodë e aplikojmë në problemin e përcimit të nxehtësisë në
pllakën metalike ku temperatura ,T x t varet prej koordinatës hapësinore x dhe kohës
t . Modeli matematik i këtij problem jepet si në vijim:
22
20, 0 , koeficient i percueshmerise se nxehtesite se pllakes /
0, , 0 kushtet kufitare
,0 kushte fillestare
T TC x a C cm s
t x
T t T a t
T x f x
Marrim ,T x t A x B t dhe fitohet 2
2
AB ABC
t x
.
Duke pjesëtuar me C A x B t fitohet 2
2
1 1, 0
dB d A
CB dt A dx prej ku
dBC dt
B 1
C tdBC dt B t C e
B
dhe
2
1 22
1cos sin
d AA x A x A x
A dx
83
Tani duke përdorur kushtet fillestare dhe kufitare gjejmë konstantet 1 1 2, dhe .C A A Pra
10, 0T t A si dhe 2 2
2 2, 0 sin ,
kT a t A a k a k Z
a
. Kjo
nënkupton që ekziston numër të shumtën të numrueshëm të vlerave të , dhe nga vetia e lineare
e problemit barazimi ,T x t A x B t shndërrohet në
2 2
2
1
, sin
k Ct
ak
k
kxT x t E e
a
, ku
kE paraqet konstantë që caktohet nga kushtet fillestare. Meqenëse ,0T x f x , fitohet që
1
sink
k
kxf x E
a
. Pra ndodh që një funksion jo-harmonik të paraqitet si shumë e
funksioneve harmonike.
Për shembullin e dytë konsiderojmë lëkundjen e telit, pa forca të jashtme, me gjatësi a .
Lëkundja e tij përshkruhet me ekuacionin e valës të modeluar në këtë trajtë:
2 22
2 20, 0 ,
0, , 0 kushtet kufitare
,0 , ,0 kushte fillestare
y yC x a
t x
y t y a t
yy x f x x g x
t
Marrim
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2
2
1 2 1
, , ,
0
0 cos sin 0 0
y y y yy x t X x T t XT XT X T X T
t t x x
y y T Xc XT c X T X X
t x c T X
D X D i X A x A x X A
Supozojmë që 1 2 1 20 , x xA A X x Ae A e ,
nëse 1 20, 0 0 0 0X X a A A y dhe për
1 2 1 2
2
2 1
1
0 , 0 0
sin 0 , sin , ku 0k
k
A A X x A x A y
k k xX a A a k Z X A A
a a
Më tej kemi
84
2 2 2
1 2
0 ,
cos sin
k
k k
CkT C T D C D i k Z
a
T B t B t
Pra fitohet trajta
1
, sin cos sink k k k
k
k xy x t B t E t
a
dhe duke përdorur kushtet e dhëna fitohet
1 0
2,0 sin ku sin
a
k k k
k
k xy x B f x B f x xdx
a a
. Më tej
1
1 0
,0
, sin sin cos
2,0 sin sin
k k k k k
k
a
k k k
k k
yx g x
t
y k xx t B t E t
t a
y k xx E g x E g x xdx
t a a
Në vazhdim zgjedhim edhe një ekuacion diferencilal parcial
2016 0, 0 0 0y y f t y y ku
1, 0
0, 0, , 2
1, 2
t
f t t
t
,
funksion 2 -periodik.
Marrim h py y y .Për hy zgjedhim
22016 0 2016 0 2016 cos 2016 sin 2016hy y i y A t B t
Tani ndërtojmë hy duke zbërthyer funksionin f t në seri Furie
2 1
1 1
2
2 1 2 1
1 1
sin 2 14 , marrim sin 2 1
2 1
2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 1
p n
n n
p n p n
n n
n tf t y c n t
n
y n c n t y n c n t
Këto të dhëna i zëvëndësojmë në barazimin e detyrës dhe nga kushte fillestare fitohet:
85
2
2 1 2 1
1 1 1
2 1 2 21
21
sin 2 12 1 sin 2 1 2016 2 1 cos 2 1 4
2 1
4sin 2 14
2016 2 1 2 1 2016 2 1 2 1
2016 sin 2 1 2 1 sin 20164
2016 2 1 2 1 2016
n n
n n n
n p
n
n
n tn c n t n c n t
n
n tc y
n n n n
n t n ty
n n
Shembullin në vijim metodën e transformimit Furie e aplikojmë në problemin e përcimit
të nxehtësisë në pllakën metalike ku temperatura ,T x t varet prej koordinatës
hapësinore x dhe kohës t .
Modeli matematik i këtij problem jepet si në vijim:
2
2
10, 0 1,
2
T Tx
t x
21koeficient i percueshmerise se nxehtesite se pllakes /
2cm s
1, ,T x t T x t dhe kushtin fillestar ,0T x f x .
Marrin transformimet Furie në dy anët ,nga ana e majtë fitohet:
2
2 2 2
2
1 1, 2 , 2 ,
2 2
Ts t is T s t s T s t
x
dhe ana e djathtë
2 2, , , ,isx isxT Ts t x t e dx T x t e dx T s t
t t t t
dhe fitohet
2 2
2 2 2 2 2 2
22
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
,2 , , ,0
1 1,0 ,0
2 2
1 1, , , , , *
2 2
s t
sx s t sx s t s t
x yx
t t
T s ts T s t T s t T s e
t
T x e dx e f x e dx e f s e
f s g s t g x t e T x t g x t f x e f y dyt t
86
IV. DISA VËREJTJE MBI PËRAFRIMIN MË TË
MIRË NË HAPËSIRAT C dhe Lp ME ANË TË
SHUMAVE FURIE
4.1. Njohuri paraprake
Me nn TP shënojmë familjen e gjitha polinomeve algjebrike (trigonometrike) të shkallës jo më
të madhe se n.
Në vitin 1885 Vajershtras publikon këtë teoremë:
Teorema 1.1.[6] Le të jetë baCf , funksion i vazhdueshëm në segmentin ba, , atëherë për
çdo 0 gjendet polinom algjebrik xP i tillë që për çdo bax , plotësohet mosbarazimi
f x P x .
Japim trajtën e ngjashme të kësaj teoreme për polinomet trigonometrike.
Teorema 1.2. . Le të jetë f funksion i vazhdueshëm dhe periodik me periodë 2 . Atëherë për
çdo 0 gjendet polinomi trigonometrik xT i tillë që për çdo ,x plotësohet
mosbarazimi xTxf .
Vërtetim. Meqë funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin , , atëherë 0 e tillë
që për çdo dy vlera ,",' xx për të cilat "' xx të plotësohet mosbarazimi
2
"'
xfxf (1.1)
Ndajmë segmentin , në m pjesë të barabarta ashtu që
m
2. Me x shënojmë vijën e
thyer, e cila përputhet me xf në pikat , 0, 1, 2,...,k
k mm
, dhe xx 2 për
çdo ,x . Nga (1.1) kemi se
2
xxf , për "' xx (1.2)
87
e nga periodiciteti i funksioneve xf dhe x rrjedh mosbarazim i fundit vlen për çdo
, .x
Meqë x është vijë e thyer, seria Furie e saj konvergjon uniformisht te ky funksion, prandaj
duke shënuar me xSn shumën e pjesshme të serisë Furie mund të zgjidhet numri n
mjaftueshëm i madh, ashtu që të vlejë
2
xSx n për ,x . (1.3)
xSn paraqet polinomin trigonometrik xT dhe nga (1.2) dhe (1.3) kemi
22
xTxxxfxTxxxfxTxf .
Me shënim modern teorema e Vajershtras mund të shënohet 0,,lim
bafEnn
ku
, , inf ,n nE f a b f P P P dhe quhet përafrim më i mirë i funksionit f (me polinome
algjebrike) i rendit n. Në mënyrë të ngjashme përkufizohet dhe përafrimi më i mirë me anë të
polinomeve trigonometrike. Pra nëse 2,0Cf , atëherë TffEnTT
n
inf*.
Lebegu në vitin 1908 vërtetoi që nëse baLipf ,1 ,atëherë log
n
nE f C
n .
, , 0 1f Lip a b nëse ekziston konstanta fKK ashtu që
yxKyfxf . (1.4)
Në vitin 1908, Vallee-Poussin vërtetoi që n
CE f
n .
Në vitin 1910, Bernshtajni qërtetoi që n nT n T , ku nT është polinom trigonometrik i
shkallës n.
Rrol të rëndësishëm në këtë problematikë ishte edhe studimi i funksionit 1,1, xxxg ,
ku 1,11 Lipg . Vallee-Poussin ndërtoi polinomin nP ashtu që n
CP x
n , në vitin 1908.
Dy vite më vonë ai vërtetoi se nuk ekziston polinom nP ashtu që
3, 1,1
logn
CP x x
n n .
Berstein vërtetoi këtë rezultat:
Teorem 1.3.[59,66]. Le të jenë ,C dhe Nr . Nëse
,,
a bf C dhe për Nn
ekziston nP polinom algjebrik i tillë që
1log
n r
CP x
n n
atëherë barCf , .
88
Në rastin për 1,1, xxxg , dhe 1r ky mosbarazim nuk vlen. Për këtë rast Berstein
fitoi këtë rezultat .n
CE g
n
Mosbarazimi i Berstein ka përdorim në rezultatet e anasjella. P.sh. nëse 2,0Cf dhe
* , 0,1n k
CE f
n
atëherë f ka derivat të vazhdueshëm të rendit k dhe
0,2 .k
f Lip Duke u bazuar këtë rezultat Xhekson në disertacionin e tij vërtetoi që për
ndonjë funksion f , 2 - periodik dhe 2,01Lipf vlenë *
n k
CE f
n (1.5)
ku C konstantë 32
C
.
4.2. Rezultatet e drejta dhe të anasjella
Për çdo Nr dhe pLipf p 12,0 moduli i thjeshtë i vazhdueshëm i rendit r
përkufizohet si: p
r
hth
pr ftf ,0
sup, ,ku khxfk
rxf
kr
k
r
h
0
1 është diferenca
qendrore e rendit r me hap h [22, 23].
Në teoremën e mëposhtme janë dhënë rezultatet e drejta dhe të anasjella.
Teorema 2.1.[35] Le të jetë 2,0Cf , prNrp ,, 0 dhe nT varg i polinomeve të
përafrimit më të mirë të funksionit f.
Pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:
*) ,n ni E f f T O n n
) , , 0pii f t O t t
) ,
p p
niii T O n n
0,2
) dher r rr
niv f C f T O n
0,2) rv f C
dhe
10,,1 rtOtf rr
0,2) rvi f C
dhe 20,,2 rtOtf rr
89
Vërtetimi i relacioneve u vërtetuan nga Xhekson. Versione tjera të kësaj më vonë u dhanë nga
Favard, Akhiecer së bashku me Krein, dhe Korneichuck.
Teorem 2.2.[35] (Rezultati i drejtë): Nr , rCf 2,0 dhe 0Nn atëherë
nf
n
rCfE r
rn
1,* dhe
r
r
r
nn
fKfE *
, ku rK paraqet konstantën e Farvardit e cila
përkufizohet si
01
1
12
14
kr
rk
rk
K
.
2 3
0 1 2 3 41, , , ,...
2 8 2K K K K
(2.1)
Në vitin 1912 Bernshtajni studioi rezultatin e anasjellë, vërtetimi i të cilit u bazua në
mosbarazimin e tij
n
rr
n TnT . ( nT - polinom trigonometrik). Me 2,0W shënojmë klasën e
gjitha funksioneve 2,0Cf për të cilat vlen tcttf ln1, , ku c paraqet konstant.
Teorema 2.3. [59,66]Le të jetë 1,0,2,0 Cf dhe ekziston konstat c ashtu që
* .nE f cn Atëherë nëse 2,0,1 Lipf dhe nëse 2,0,1 Wf .
Në vitin 1919 Vallee-Poussin, vërtetoi këtë rezultat:
Teorema 2.4.[80] Le të jetë 1,: aa funksion monotono zvoglues ashtu që
0lim
tt
dhe
a
duu
u. Nëse Nr , 2,0Cf dhe * ,r
nE f n n atëherë
rf ekziston dhe
1
,
at
r
at
uf t c t u du du
u
. (2.2)
Konsiderojmë klasën e funksioneve Zygmund
1,0,|:2,0 2
2,0 hchxfRCfZ h . (2.3)
Teorema 2.5. [9]Nëse 2,0Cf , Nr dhe 2,0 , atëherë nOfEn
*nëse dhe
vetëm nëse chxf r
k 2. Pra ekuivalenca vii për 1 r me këtë vërtetohet.
Më vonë Timani, vërtetoi versionin më të mprehtë të mosbarazimit të Xheksonit për përafrimin
më të mirë trigonometrik: p
rs
r
k
s
pk
srr
nfprCfEkn
1,,
1
*1 ku p1 dhe
ps ,2max . Mos barazimi i anasjellë i këtij rezultati jepet me këtë teoremë:
90
Teorema 2.6. [11,54] Për p1 , pq ,2min dhe 2,0pLf vlen
1 *
1
1, ,
rqr qrq
r k pkp
f C r p n k E fn
. (2.4)
Ja dhe rezultati ekuivalent i Zygmund.
Teorema 2.7. [9] Për p1 , pq ,2min dhe 2,0pLf vlen
q
t u
ufr
p
r dutprCn
f qr
r
21
1
1 ,,
1,
. (2.5)
Ky mosbarazim njihet si mosbarazimi i mprehtë i Marchaud. Në vitin 1949 Zamansky vërtetoi
)) iiii .
Teorema 2.8. [43] Le të jetë funksion pozitiv monotono rritës ose zvoglues, 2,0Cf dhe
me Nm . Supozojmë që për çdo Nn ekziston polinom trigonometrik nT ashtu që
nnTf m
n 1 atëherë ekzistojnë konstatet ,,, 321 CCC ashtu që
nm
n duuCnnCCT1
321 . (2.6)
Në veçanti nëse , 0,nf T O n atëherë m m
nf T O n për m . Pjesa
)) ivi i përket Stechkin.
Teorema 2.9.[10] Le të jetë Nk dhe nF varg jo-rritës i numrave jonegativ ashtu që
1
1
n
n
k Fn . Le të jetë 2,0Cf dhe nT varg i polinomeve trigonometrike ashtu që
NnFTf nn ,1 atëherë 2,0kCf dhe ekziston konstanta C ashtu që
1
1
1
k k k k
n n j
j n
f T C n F j F
për çdo Nn . (2.7)
Në vitin 1967-68 Butzer-Pawelke dhe Sunouchi vërtetuan pjesën )) iiii . Në fakt Butzer-
Pawelke shqyrtoi problemin në 2,02L ndërsa Sunachi në hapësirën 2,0pL dhe 2,0C
dhe rezultatet e këtyre japin ekuivalencën e karakterizimit të klasës Lipschitz nëpërmjet
përafrimit më të mirë.
Teorema 2.10. [35] Për mNm ,0, dhe 2,0Cf dhe le të jetë nT varg i
polinomeve të përafrimit më të mirë të funksionit f . Nëse mm
n nOT , atëherë
nOTf n . (2.8)
91
Këto rezultate vlejnë edhe në hapësirën 0,2 1pL p . Për 0,r
,n rp pE f O n f t O t .
4.3. Mbi vlerësimin e koeficienteve Furie me anë të përafrimit më të mirë dhe
modulit integral të funksionit në hapësirën C
Le të jetë
0
1
dhe cos sin 2
k kk
a ff C f kx f kx
seria Furie për funksionin
f , ku seria 1
k
kk ff konvergjon.
Teorema 3.1.[57] Le të jetë fSCLf n ,2 shuma e pjesshme e serisë Furie e shkallës jo më
të lartë se n për funksionin f . Atëherë:
i. 22 fSffE nn
ii. Nëse për . atwherw vlen 22fSTfETfTT nnn
iii. 2
1
1
22
2
nk
kkn fffE
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen në
mes të shumës prodhimit të koeficientëve Furie dhe shumave të përafrimeve më të mira në L2:
Pohim 3.1.
2
1 k 1
n
k kn
E ff f
n
ku .f C
Vërtetim: Duke zbatuar mosbarazimin e Koshi-Bunjakovskit dhe teoremen 3.1 kemi :
12 2 21
2 2 2k
1 1 0 1
1112222 2 2
2 20 1 1 0 1 0
2 2 2
1 2 1 2
1
k k
k k kk k n k n
n
k k nn k n k n n k n n
f ff f f f
k
E ff f E f
k k k n
Meqë ana e djathtë e mosbarazimit të fituar konvergjon, arrihet në vërtetimin e rrjedhimit.
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen e
konvergjencës në mes të shumës prodhimit të koeficientëve Furie dhe përafrimeve më të mira
për norma të ndryshme.
Pohim 3.2.
1
1 1
ku .r rC
k kr k
E f E ff f f C
r
92
Vërtetim:
1 1 1
212222122 2212n r r
rrrn
r
fE
r
fE
r
fE
n
fE.
Le të jetë ,r r f shuma e Valle-Poussinit, atëherë
2
1
2
,2,212
fffffE rrrrr .
Më pas kemi :
2
, , , , , 14 4maxr r r r r r r r r r r rC
x R
f f f f f f f f f f E f E f
rrjedhimisht
2 1 12 2
1 1 1 1
2 8 .r rn r C
k kn r r k
E f E fE f E ff f
rn r
Në vazhdim ne kemi dhënë dhe vërtetuar pohimim e mëposhtëm që ka të bëjë me ndërlidhjen në
mes të mesit harmonik të koeficientëve Furie dhe përafrimit më të mirë në L1:
Pohim 3.3. 1 11
1ku , .
2k k kf f E f f L k
Vërtetim:
2 2
1
2
1 1 1cos sin
k k k k k kf f f f f i f
f t kt i kt dt f t dt f
.
Për T- polinom trigonometrik i përafrimit më të mirë të funksionit f i shkallës jo më të lart se
1k vlen:
2 2 2 2
11 1
1 1 2 .k k k k k k kf f f f f T f T f T E f
Teorema3.2.[9] Nëse 1
2
22
1 ,4
3 atëherë , ,
kfffkCLf kk
.
Teorema3.3.[9]Nëse 1 1 1 11 11, , , ,
Cf L g C f g h f g h g f h .
Teorema 3.4. [55,46]Le të jetë nCf p , , atëherë
2
1 1
1 20 0
, 3 2 2 dhe , 3 2 2 2 1 .n n
k kk k
f E f f k E fn n n n
93
Nga teorema 3.4 mund të vlenë ky rrjedhim:
Rrjedhim 3.1. Le të jetë , d.m.th. ,1
hn
nh
n
atëherë ,, 11
nfhf
rrjedhimisht
1
10
1
2
2 20
3 2 2 p r 0, kemi: , si dhe , kemi :
2 1 , 3 2 2 .
h
kk
h
kk
ë h f h E f h
h
kf h E f
h
Teorema 3.5.[55] Le të jetë Cf dhe për ndonjë
1k
1 , fEkr k
ratëherë
Cf r
si dhe fEkkf k
k
rrr
0
1223 .
Vërtetim: Meqë T konvergjon uniformisht te funksioni f, kemi:
kk
kkkk TTTTTTf .11 0
1
0
Nga teorema e Bernshtajnit kemi:
1 1 1 1
1 1
-
, prej ku /k k k k k k k k
r rk r k
k
T T T T T T q E E
1 1
1 11 .k k k k k
rk k
k k k
T T q E E q Eq
Meqë
1
1 1
1 1 1
0
0
1 3 2 2
1
3 2 2 1 .
k k
k k k
k k
rk r r r
t t tk k
r r
kk
qq E rt E dt T T rt E dt rt E dt
q q
k k E
Meqë seritë
11
1 1 dhe k
k
rr
k
k
r EkkfEk konvergjojnë ose divergjojnë njëkohësisht,
pra
k
rrrrkk TTfCf .ku 1
Nga teorema 3.5 mund të japim këtë rrjedhim:
Rrjedhim 3.2. nkfETffETffE nn
r
n
r
n
rr
n , .
Pra
94
n
k nk
k
rr
k
rr
nn
k
rrr
n
EkkEkk
TfEkkfE
0 1
0
11223
1223
Përkufizim 3.1. Me shënojmë klasën e funksioneve Cf , për të cilat vargu
fEn
1n është i kufizuar. Pra f , nëse Cf dhe 0 , ashtu që 1n
vlen
.1
nfEn
Në vazhdim japim disa rezultate në lidhje me këtë klasë funksionesh. Së pari japim teoremën:
Teorema 3.6. Në qoftë se funksioni f është monoton në segmentin mnmn ,1ku ,,
atëherë
m
nk
m
n
fkf ndodhet në mes të madhësisë së dhe f n f m .
Vërtetim:Supozojmë se f është monoton zvoglues. Nëse 1,mnk ,atëherë
1 1
1
1
k
k
m
nk
m
nk
m
n
m
n
m
nk
nffkfmfkffkfkffkf .
Nga teorema 3.6 mund të japim këtë rrjedhim:
Rrjedhim 3.3.Nëse f është monoton zvoglues dhe jonegativ në ,n atëherë
11
.k nn n
f f k f
Duke patur parasysh këtë, supozojmë se ,0për 10ku , hf kemi:
1
0
11
6,
h
k n
h
hf
, nga teorema paraprake kemi se:
hh
h
x
dx
h
hf
h
1
6
1
61
1
6,
1
1
0
1 , ky mosbarazim rrjedh
nga mosbarazimi i njohur
.1,11
xxxx
Pra 1
1
6, , d.m.th. ,
1f h h f Lip C
( për 2 do të kemi f C
1 1, , , nëse f h f h )
95
Nëse ,Mf Lip C ,atëherë vlen mosbarazimi
1
2
nfEn d.m.th. vlen barazimi
.1,0,, CLip Për 1,1 1, CLip si dhe vlen
h
eh
h
h
x
dx
h
k
h
hf
hh
k
ln121ln6
11
6
1
6,
1
0
1
0
1
Le të jetë hhfhCf ,,,0,,Z 2 . Atëherë Z për
2 dhe 21 Z për 2 . Meqë Z , kemi se Z për 0 2 si dhe
,Lip C Z për 10 . Shënojmë , ,r r
r f C f Lip C . Për rCf
vlenë:
1
11 1
1
1 16 1 1 6
1 1
1 16 6 1 d.m.th. .
1 1 1
r rr
n n kk n k n
r
n
E f n E f r k E f rn k
dx rM r M f
n x n
Kusht i mjaftueshëm por jo i nevojshëm që Cf r paraqet konvergjenca e serisë
1k
1 .fEk k
r
Teorema 3.7.[9,57] Le të jetë 1 dhe nCf . Atëherë
2,21,
2
1
nffEn
4.4. Disa veti të përafrimit më të mirë në hapësirën C
Me X do të shënojmë njërën nga hapësirat 1L , 2L , C .
Lema 4.1.[55] Le të jetë 0h . Nëse 2Lf atëherë 2111 ,2, hfhf . Nëse Cf
, atëherë 1 12, 2 ,
Cf h f h .
96
Vërtetim. Nga mosbarazimi i Bunjakoskit kemi
11/22
21 1 1
1 1
1
1 22
, sup sup sup 1
sup 2 2 ,
t t tt h t h t h
tt h
f h f x dx dx f x dx
f h
Më tej
1 12 2
1 1
1 2
1
1
, sup sup max
2 sup max 2 , .
t ty Rt h t h
t Cy Rt h
f h f x dx f y dy
f y f h
Përkufizim 4.1. Le të jetë XfM ,0,0 . Themi se funksioni f plotëson kushtin
Lipshic të rendit sipas konstantës M, nëse për çfarëdo 0h vlen Mhhf x ,1 dhe
simbolikisht shënohet me XLipf M , . (4.1)
Është e qartë se RtXftMfXLipf tM ,,, 1 .
Për 0 , vlen , ,Lip X Lip X .
Lema 4.2.[9,55] Le të jetë 0 , atëherë vlen 121 ,,, LLipLLipCLip . (4.2)
Përkufizim 4.2. Le të jetë f funksion i fundëm në segmentin ba, . Le të jetë
bxxxxa n ...321 ndarje e cfarëdoshme segmentit ba, dhe shuma
1
0
1
n
k
kk xfxfS . Kufiri i përpiktë i sipërm i bashkësisë së të gjitha shumave të
mundshme S quhet variacion i funksionit f në ba, dhe shënohet me farVb
a. Nëse
farVb
a, atëherë themi se funksioni f është me variacion të kufizuar në ba, dhe shënohet
baVf , .
Teorema 4.1.[44] Nëse ,f V atëherë vlen arfVhhf
2
011 ,
si dhe 1,1 LLipf . (4.3)
Vërtetim :
97
2 2 1
1
10 0 0
2 2 21 1 2
0 0 0 0 0 2 00 0 0 2 0
2 2
0 2 00 0
2 2
x
tx
t tx x x x x x
t tx x
t tf f x f x dx f x t f x dx V arf dx
V arf V arf dx V arfdx V arfdx V arf V arf dx V arf dx
tV arf V arf dx V arf dx
2 2
1 10 0,tV arf f h hV arf
Në bazë të teoremës së Lagranzhit funksionet 2 - periodike që kanë derivat të kufizuar i takojnë
klasës CLip ,1 ( nëse tMMxf t 1' ).
Teorema 4.2.[44,46] Nëse Vf atëherë vlejnë
arfVn
fEn
2
01
12
3
,
arfV
nfEn
2
02
12
3
. (4.4)
Le të jetë f funksion i kufizuar në segmentin 1,0 . Kemi përkufizuar vargun e
polinomeve të shkallës jo më të lartë se n, për funksionin f në këtë trajtë:
0
1 , 0,1n n ii
ni
nif x f x x x
in
. Vërtetojmë teoremën e mëposhtme për
konvergjencën e këtij vargu te funksioni f.
Teorema 4.3.
1,0, Cfffn (4.5)
Për të vërtetuar relacionin (4.5), në fillim japim këtë lemë:
Lema 4.3.
i. 1,0, iff iin
ii. n
ff
n
nfn
122
1
iii.
1,0,4
111
2
0
xnn
xxxx
i
nx
n
i inin
i
iv. Për 1,0,0 x dhe A bashkësi e i në n,...,2,1,0 për të cilat xn
iatëherë
2
11
4
n ii
x A
nx x
i n
Vërtetim:
0
1 1 1n nn ii
i
nx x x x
i
.
98
Pra 00 ffn
Për 1i kemi :
1
1
!!1
!1
i
n
ini
n
i
n
n
i. Pra
1 11
0 1 0
1 11 1 1
1
n n nn i n i n si i s
i i s
n n nix x x x x x x x x
i i sn
11 ffn
Në mënyrë që të gjejm 2fn e rishikojmë dyherë:
1
11
1
1
1
11
1
12
i
n
ni
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
i për 1i ose
1
11
2
21
1
12
i
n
ni
n
n
n
i
n
n
i
i
n
n
i për 2i .
Pra 2
2
0 2 1
2 11 1 11 1 1
2 1
n n nn i n i n ii i i
i i i
n n nn n xx x x x x x x
i i in n n n
Më tej 2
2 2 2
0
11 1 11 1 2
4
n n ii
i
n x xix x x x x x x
in n n n n
Për vërtetim të pjesës së fundit vërejmë se
2
21
ix
n
për Ai
2 2
2 2 20
1 1 11 1 1
4
nn i n i n ii i i
x A x A i
n n ni ix x x x x x x x
i i in n n
Tash vlersojmë diferencën:
0 0
1 1n nn i n ii i
ni i
n ni if x B f x f x f x x f x f x x
i in n
Për Ai marrim 1
2
if x f
n
, derisa 2
if x f f
n
për Ai
1 112
11 2 1 1 2
2 2 4
n i n ii i
nx A x A
n nf x B f x x x f x x f
i i n
99
Teorema 4.4. Për ndonjë funksion të kufizuar f në segmentin 1,0 vlenë
3 1
2n ff B f
n
. Në veçanti nëse 1,0Cf atëherë
3 1
02
n fE f kur nn
. (4.6)
Vërtetim:
0 0
1
0 0
1
0
2
1
1 1
1 1 1
1 1
1
n nn i n ii ii in n n
i i
n nn i n ii i
f f ni i
n n ii
f ni
f n
n nf x B f x f x f x x f x f x x
i i
n ni ix x x n x x x
i in n
nin x x x
in
nin x x
in
1 1
2 2
0 0
1 1
1 1
1 31
22
n nn i n ii i
i i
f fn n
nx x x
i
nn
Në vazhdim janë dhënë dhe vërtetuar pohimet e mëposhtëm në lidhje me përafrimin më të mirë
në hapsirën C:
Pohim 4.1. nxcos dhe
x
xn
sin
1sin mund të shprehen si polinome saktësisht të shkallës n sipas
xcos ku 0Nn .
Vërtetim:.
Në përgjithsi nxcos paraqet polinom i shkallës n sipas xcos me koeficient udhëheqës 12 n
2
2 2
0 0
cos Re cos sin Re sin cos cos 1 cos2
n
n sn s n s n s
s s
n nnx x i x i x x x x
s s
Pra koeficienti para xncos është 1
0
2
0
22
1
2
n
n
s
n
s s
n
s
n . Në mënyrë të ngjashme
xxxs
nxix
s
nxn sns
n
s
ssnn
s
sincos1cos12
1sincos
1Im1sin 22
2
0
11
0
100
ku xixisssin1cossin 212
.Koeficienti para cos sinn x x është :
2 1
0 0
1 112
2 1 2
n
nn
s s
n n
s s
Pohim 4.2. Çdo funksion 0,2
f C
ka përafrim më të mirë (në gjithë R) me anë të polinomit
trigonometrik. Nëse f është funksion çift atëherë edhe përafrimi më i mirë i tij gjithashtu është
çift.
Vërtetim: Supozojmë që 0,2
f C
është funksion çift dhe nHT *ashtu që
TfTfnHT
min* Meqë f është funksion çift, atëherë xTxT *ˆ është gjithashtu
përafrim më i mirë i funksionit f
**** maxmaxmaxˆ TfxTxfxTxfxTxfTfRxRxRx
Por tani polinomi trigonometrik çift
22
ˆ~*** xTxTxTxT
xT
paraqet gjithashtu
përafrim më të mirë nga nH pasi që
Tf
TfTfTfTfTf
nHT
min
2
ˆ
2
ˆ~*
*
Pohim 4.3. Le të jetë baCf , dhe *
ntt përafrim më i mirë i funksionit f në nH .Atëherë
ekzistojnë të paktën dy pika baxx ,, 21 ashtu që tfxtxfxtxf 2211 .
Vërtetim: Shënojmë me xtxftffEbxa
n
max .
Nëse rrjedhimi i teoremës është jo i sakt, atëherë supozohet se fExtxf n 11 për ndonjë
1x , por min .na x b
e f x t x E f
Në veçanti 0 efEn pra
tpkuH
efEtp n
n
,2
Themi se p paraqet përafrim më të mirë të funksionit f se sa t, sepse
2
2 2 2
2 2
n n n
n
n n
E f e E f e E f eE f f x t x e
E f e E f ef x p x
d.m.th.
tfEefE
pf n
2
që paraqet kundërshtim.
101
Lema 4.4.[60,68] Konstanta përafruese më e mirë e funksionit baCf ,
është
xfxft
baxbax ,,
*
0 minmax2
1 dhe
xfxfE
baxbax ,,0 minmax
2
1.
Pohim 4.4. Për ndonjë polinom 1 nHt vlen
xtxnxtxx
2
1,11,11maxmax
.
Vërtetim: Marrim
xtxnAx
2
1,11max
. Le të jetë 1, xxx n , d.m.th. 12
cos xxn
2 2
1 2
11 1 sin
nx x
n , pasi që
2,0,
2sin
. Meqë
nx
2cos fitohet se
Axtxnxt 21 . Për 1, ,nx x x në këtë rast ixx kanë shenjë të njëjtë.
1 2
2
2 2 21 1
1 11.
in n
i n
i n ni i
i i
x T xA A At x t x T x T x n A
n x x n x x n n
Vërejte: Nëse nHT paraqet polinom trigonometrik tek, atëherë
sin
Tështë çift dhe mund të
shkruhet si
cos
sint
T dhe vlen:
Tntnt
T
2,02,02,02,0maxsincosmaxcosmax
sinmax
Pohim 4.5. Nëse nHT atëherë
0,2 0,2
max maxT n T
.
Vërtetim: Marrim funksionin ndihmës
2,
TT, kemi
Tnn
2,02,0max,max
sin
,
0 0
,lim lim
2 sin
T TT
d.m.th
0,2maxT n T
Për 0 vlen
TnT2,0
max'
.
Pohim 4.7. i)Le të jetë dhe . Nëse ka bashkësi alternueseqë përmban të
paktën pika, atëherë t është përafrimi më i mirë i funksionit në .
baCf , nHt f t
2n f nH
102
ii) Le të jetë . Nëse ekzistojnë pika
të tilla që kanë shenja alternative, atëherë
.
Vërtetim: i)Le të jetë bashkësi alternuese për dhe supozojmë që
është përafrim më I mirë i funksionit sesa , pra Në veçanti kemi
për çdo . Tash nga
mosbarazimi rrjedh që dhe kanë shenjë të njëjtë. Pra
alternojnë shenjat herë, sepse një gjë e tillë vlen për . Pra
ka të paktën rrënjë. Meqë kemi që që paraqet kundërshtim.
Rrjedhimisht paraqet përafrim më të mirë të funksionit në .
ii) Supozojmë të kundërtën, d.m.th që
Meqë
kemi shenjën e diferencës përputhet me shenjën e diferencës .
Për shkak se vlerat përmbajnë shenja alternative, atëherë secili nga intervalet
përmban rrenjë të polinomit e kjo është e mundur vetëm nëse
pra
4.5. Disa vërejtje mbi metodën e Favard-it te përafrimi i funksioneve në
hapësirën C
Si përparësi të polinomeve interpoluese, mund të përmendet fakti se ata përcaktohen nga
numër i fundëm vlerash të funksionit të përafruar, gjë që është e nevojshme për realizime
praktike. Zakonisht vetitë përafruese të shumave Furie nuk janë shumë më të mira se sa vetitë
koresponduese të polinomeve interpoluese. Si në rastin e shumave Furie, po ashtu edhe vargu i
polinomeve nuk mund të jetë konvergjent në gjithë klasën C të funksioneve të vazhdueshme 2 -
periodike ( 2,0C ), pra në vijim do ndërtojmë një varg të polinomeve uniformisht konvergjente
ne hapësirën C, të caktuar nga vlera të fundme të funksionit f. [73]
Përkufizim 5.1. Le të jetë ,f C dhe n N funksion i shumueshëm 2 periodik .
Polinomet trigonometrike 1
0
1
cos sin , 1,2,....2 2 2
n
n i ii
a i if ctg a ix b ix n
n n
nHTnCf ,1, 2 2n
1 2 2 2 ... nt t t kk tTtf dhe
1,2 2minn k k
k n
E f f t T t
1210 ,...,,, nxxxx f t nHp
f t tfpf
iiii xpxfpftfxtxf 1,0 ni
ba a a b
pftftp 2n tf
tp 1n nHtp tp
t f nH
1,2 2minn k k
k n
E f f t T t
fEtfTtftfTtftftTtfTtT nknkknkkkknk , dhe ,,
,k n kT t T f t kk tftT
kk tTtf dhe
12,1,, 1 nktt kk ,nT T f
,fTT n .fEn
103
ku ,i ia b paraqesin koeficientë Furie të funksionit f , quhet shumë e Favardit.
Përkufizim 5.2. Le të jetë NndheCf . Shuma
11ˆ
i
i
xn
n i i ni n x
f f x F u x du
ku
1
1
1cot cos , , ,
2 2 2 2
n
n i ni
i i iF v vi x i Z
n n n n
quhet bërthama e Farvardit e rendit 1n dhe fn̂ paraqet trajtën e ngjashme të shumimit të
paraqitjes integrale të shumave te Farvardit f për funksionin f .
Lema 5.1. duxuFuff nn
1
Përkufizim 5.3. Madhësitë
1
10
13, 0,1,2,...
4 2 1
t s
s st
K st
njihen si konstantet e Favardit.
Lehtë shihet që ,...24
,8
,2
,1 3
2
210
KKKK Kur s rritet sK rriten për s numër çift
dhe zvoglohen për s numër tek. 2
...4
...1 13420
KKKKK
1 1, ,s s s
n n s
KE W E W n s N
n ku nE -përafrimi më i mirë.
Lema 5.2.[37] Shumat e Farvardit caktojnë kufirin e sipërm për përafrimin më të mirë në klasën 1W klasë e funksioneve periodike të vazhdueshme ashtu që max 1.
xf f x
Lema 5.3. [3,28,37] Vlenë relacioni
11 1ˆ
1, , , berthama e Rogozinskit
2
i
i
xn n
n i i n i i n i ni n i nx
n
i i n i n n i ni n
f f x F u x du f x R x xn
if x R x x ku x R
n n n
Teorema 5.1. [64]Vlenë relacioni 1
, , 1,2,...2
n
n
ff x f f n
n
Kemi dhënë rezultatet e mëposhtme:
104
Teorema 5.2. Për konstantat e Favardit vlejnë relacionet:
2 1 21
2 1 2 1 21
2 1 12 1 ! 2 !
p qpp q
p p qq
K Kp p
dhe
2 12
1
2 2 1 21
1 1 .4 2 ! 2
qp pp q
p p qpq
K Kp
Vërtetim: Në [71] konsiderojmë identitetin
0
sin 2 1, 0,
2 1 4p
p xx
p
. 0K fitohet për
2x
Duke integruar identitetin në dy anët fitohet
12
0 0
cos 2 11,ku , 0, 5.1
2 1 4 4 !2 1
p
pp p
p x xx x x x
p pp
.
Për 1
2x K
. Marrim
1
1
sin, 0,2
2 2 2p
xpx xx
p
Duke integruar
identitetin në dy anët fitohet
21 2
2 21 1
cos 1, 0,2 , , 2,3,4,... 5.2
2 2 2p p
p n
x xpx x xT x T p
p n
Duke përsëritur integrimin fitohet:
2 22 3
2 2 231
sin, per .
2 2 6 8p
x xpxT x x T K
p
Duke integruar
barazimin 5.1 anë për anë dhe zëvendësuar 2
x
fitohet
2
12 2 2
2 2 8
KK K
.
Duke integruar barazimin 5.2 anë për anë fitohet 3 4
2 2 4 41
cos
2p
x xpxT T
p
për
3
3 .24
x K
Duke vazhduar këtë procedurë shihet se vlejnë relacionet në teoremë.
Teorema 5.3. fxfx nHf
n
ˆsup,
ku paraqet modul të fiksuar të vazhdueshmërisë,
paraqet funksion çift n
- periodik dhe plotëson mosbarazimet:
2 22 2
0 0
1 1 1 1) ,
2 2xn xn
n n nn n n ni x F u x du F u x du
ku
nx
,0 ,
105
1 2
) , ,2 2 2
nii xn n
Vërtetim: Shqyrtojmë ciftësinë e funksionit , ,n x n
-periodik .
Marrim 1
1 ,2
Ruufuf
. Duke patur parasysh se funksioni f dhe nF janë periodik
atëherë
1 1
1
1 1 1
1
1 1
1 1ˆ
1 ˆ
i i
i i
i
i
x xn n
n i n n i n ni n i nx x
xn
i n n ni n x
f f x F u x du f x F u x dun n n
f x F u x du f xn n
pasi që 1
1 1
ix
i n n n nf x F u x du f F u x dun n
vlenë
1ˆ ˆ .n nf x f x f x f x
n n
Meqë nga HhxfxfHf 1 përfundojmë se ,xn është n
-periodik.
Për çiftësinë mjafton të tregohet se tftf 1 . Kemi
1
1
1 1
1 1
0 0
1
1 1 10
1 1ˆ
1 ˆ
i i
i i
i i
i i
x xn n
n i n n i n ni ix x
x xn
i n n i n n ni x x
f x f x F u x du f x F u x du
f x F u x du f x F u x du f x
0,,ˆsup, ,
,
xfHffHfx xnHf
n
x
Tani vlerësojmë madhësinë fn̂ . Përdorim transformimin e Abelit
1 1 1 1
1 00 0 0
n n n n
i i i i j ii i j i i
a b a a b a b
dhe fn̂ e prezantojm sin ë vijim:
1 1
1 1
1 1 1
1 0
1 1
1 0
1 1ˆ
1 1.
j i
j i
j i
j i
x xn n n
n i n i n n n ni j i ix x
x xn n n
i n i n n n ni j i ix x
f f x f x F u x du f F x u du
f x f x F u x du f F u x du
D.m.th.
106
1
1 0
1
1 0
1 1ˆ
1 1
i
k
n
n i n i n n n ni x
n
i n i n n n ni x
f f x f x F u x du f F x u du
f x f x F u x du f F x u du
Pra poqëse xHf , atëherë
1
1 0
1
11 0
1 1ˆ
1 1
i
n
n n n ni xi
n
n n ni x
f F u x du x F x u dun
F u x du x F u x du Sn
Bërthama uRn mund të shprehet si në vijim
1
1
sin cos1 2cos cos2 2
2 cos cos2
n
ni
uniu nR u iun
un
(5.3)
Pra 1 2 1
0, 1,2,..., 12
i
i
x
n nx
iF u du R i n
n n
. Kjo nënkupton që funksioni
1
1
cot sin , 0,22 2 2
n
n niu
u iu F d iu u
n n
shënohet ne zero për pika
12,...,2,1, nin
i. Për më tepër
nupërunn
,00,
20 . Tash shqyrtojmë
shenjën e diferencës 1
2
1
2 2 1cos cos
2 2
n
n n ni
ir u u u u
n n n n
.
Me u shënojmë 1
2
1
1 1cos cos
2 2 2 2 2
n
n ni
iu R u R u iu
n n n
(5.4)
d.m.th. nga (5.3) dhe (5.4) kemi
2
2
sin cos2 3 2 2
sin2 2 2 2
sin sin sin2 2 2 2
sin2 2
n n n
uun
nr u u R u R u
u u un n n n n n
n n
A un n
d.m.th. 2,0,sgnsgn uuAurn . Tani le të jetë 1, , , 0,2 1i i i
iu x x x i n
n
,
atëherë
107
1
sgn sin 1 , 0 1
sgn sin 1 , 1 2 2sgn
sgn sin 1 , 2 2
sgn sin 1 , 2 1
i
i
n
un i n
un n i nr u
nu i n
un i n
Nga këto mund të nxirret përfundimi që për
nx
,0 dhe n numër tek vlen
2,...,3,1,...42 nixxxxxxx nininin dhe
1,...,4,2,...42
nix
nx
nxxxxxx nnininin
dhe për n numër çift vlen
1,...,3,1,...42
nix
nx
nxxxxxx nnininin
dhe 2,...,4,2,...42 nixxxxxxx nininin .
Marrim që 1
i
i n n i nx
I F u x du x x x
dhe
2
i
i n n i nx
I F u x du x x x
1,1,1sgnsgn
1,0,1sgnsgn
12
1
nixxxI
nixxxI
i
ini
i
ini
dhe 1sgn 2
0 xI .
Duke patur parasysh këto kemi
1
1 0
1 1
1 0
1 11
1 11
i
i
n i
n n n ni x
n i
n n ni x
x F u x du x F x u dun
F u x du x F u x dun
Tash duke përdorur barazimet
1
1 1
1 1 0
11 1
2 2
i
i i
xn ni i
n n ni ix x
n nF u x du F u x du F u x du
n
dhe
1
1 11 1
1 0 0
11 1
2 2
i
i i
xn ni i
n n ni ix x
n nF u x du F u x du F u x du
n
fitohet
108
11 1
0
0
1 21
2 2 2
1 2
2 2
i
i
xn i
n n ni n x
n
nxn nx F u x du F x u du
n
nx nF x u du
n
Njëkohësisht nga 1 1
1 0i
n i
ni n x
F u x du
fitohet se
10 0
1 1
2 2n n n n n
n nx x F u x du x F u x du S
gjë që çon në vlersimin që kërkohet në teoremë, përkatësisht 1, Sxn .
Për pjesën e dytë të teoremës kemi.
0 0 0
0 0 0
0
1,
1 2 2
2 2 2
2
2
n
n n n n n n
n n n n
n
xnx F u x F u x du F u x du x F u x du
nx nxn nF u x F u x du F u x du F u x du
n n
n nF u x du
1
211
2 12
1 0
2
2
2 21 1 cot sin cot sin 2 1
2 2 2 2 2 2
2
2 2
n
n nx x
n i in
i i
n nF t dt F t dt
in n n nix i x
n n n
n n
12
112 22 1
20
2
sin 22cos
2 2 sin
21
2 2
n nni
ni
n
n n
n n
n n
Rrjedhimisht 2
,2 2 2
n
nx
n
109
4.6. Përafrimi më i mirë i funksionit dhe konvergjenca uniforme e serisë
Furie
Përkufizim 6.1. Le të jetë Lf , nk, , lS - shuma e pjesshme e l -të e seris Furie e
funksionit f . Shumë e Vallee-Poussin për funksionin f , quhet shuma
1
,
1 kn
nl
lkn Sk
f (6.1)
Vlejnë relacionet : ,1n nf S f , 0, 1k kf f
Gjithashtu, , ,n k n kf f x t V t dt
, ku
2 2
,
2
sin sin2 2
2 sin2
n k
n k nt t
V tt
k
tDtV mn 1, paraqet bërthamën e Dirikles .
Përkufizim 6.2.[22,23,46] Për shënojmë me modulin e lëmueshmërisë të
rendit të funksionit në metrikën , d.m.th. , ku operatori
linear
paraqet diferencën e rendit k të funksionit, përkatësisht
. Për moduli i lëmueshmërisë i rendit parë vërejme
se paraqet modul të vazhdueshmërisë. Për quhet modul i zakonshëm i
vazhdueshmërisë kurse për moduli
quhet moduli i vazhdueshmërisë. Për
- funksion i vazhdueshëm periodik. Moduli
quhet modul i zakonshëm i lëmueshmërisë, kurse për
moduli quhet modul integral i lëmueshmërisë.
Moduli i lëmueshmërisë ka vetitë:
1. Funksioni është jonegativ dhe monotono jozvoglues sipas t
2. Funksioni është funksion i vazhdueshëm sipas t, për . Nëse
është funksion i vazhdueshëm është I vazhdueshëm sipas t.
,1p tf , k
rr, f pL ( , ) supr
r p h ph t
f t f
fr
h
0
1r r vr
hv
rf x f x vh
v
1r
, moduli
tfp
1p
1, , , , supp p p
h t
f t f t f t f x h f x
2,0 dhe Cfp 2
0,2
, max
h t
x
f t f x h f x
1p 1
, suph t
f t f x t f x dx
ptf p 1 ,r
,r ptf
,r ptf 1 p f
r , f t
110
3. Nëse funksioni ka derivate të kufizuar të rendit është funksion
absolutisht i vazhdueshëm, atëherë përçdo .
4. Nëse për çdo , atëherë
5. Për vlen
Bëjmë vërtetimin e pjesës së dytë nga “5”. Meqë , atëherë
duke aplikuar mosbarazimin e Holderit dhe Jensenit
kemi:
Lema 6.1. Le të jetë , 2 ,m N l N m
h
, 2g C në segmentin ,2
lhh
dhe në
këtë segment vlenë 0, 0,g x g x atëherë 2 22
sin .
lh lh
h h
mx g x dx g x dx
(6.2)
Teorema 6.1. ,1 2
4ln 1 2.mnV nD
(6.3)
Vërtetim. Për 0n , 2
10 tD pohimi i teoremës është i qartë. Le të jetë 1n . Me
qenë se nD është çift zëvendësojmë xt
2 .Marrim
2
0
sin 2 12.
sinn
n xy D dx
x
Zëvendësojmë 12 nm , mh
, atëherë2
1 20
mh
h
h
I I I
f 1 dhe kfkk
p
k
r
k
pkr tfttfk ,, vlen 0
0n .,,r pr
r
p tfnntf
dhe 1r v p
1
, 2 , dhe , 2 ,
pv r
v r p
v r v rp pf t f t f t f t
vlen v v r r
h h hr v f f
jhxfxf r
h
rv
j
rv
j
jrv
0
r
h 1
0
0 0 0 0
-
0
2 . Nga kemi 2
pv rp
v r
h hj
ppq qv r v r v r v rp p
r r
h hj j j j
pv rp pv r p v r pr v r
h h hj
v rf x f x jhj
v r v rf x jh f x jhj j
f x jh h t f x dx f x jh dx
-
j 0 -
-
11
2 1 , ,
respektivisht , 2 1 , 2 , .
v r
v r p p
k p
pv r
v r p pp
v r rp p p
v r f t
f t v r f t f t
111
Meqë x
xsin është zvoglues në
2,0
, atëherë sin 2sin2
z zm
m , ,0z . D.m.th
10 0 0
2 sin 2 sin 2 sin 4
sinsin 2sin
2
m mx z zI dx dz dz
z zxm
m
.
Te 2I nga lema e mësipërme duke marrë lm ,
xxg
sin
1 kemi:
2
22
2
22
ln4
sin
4
sin
sin2
mh
h
mh
h
htg
x
dx
x
mxI
Por x
ctgx1
për 0,2
x
. Rrjedhimishth
I2
ln4
22
. Pra
2 2 2 2
4 4 4 2 4 4 4 4 4ln ln 1 ln ln 1 2
nn n
Teorema 6.2. Për 1.1 nk vlen 2,
4ln 1 2
n k
nV
k
(6.4)
Vërtetim: Meqë funksioni nën integral është çift vlen
2
, 20
sin 2 sin2
sinn k
n k x kxV dx
k x
. Meqë
kctg
kx
dx
kdx
x
kxxkn
kkk
2
sin
2
sin
sin2sin2 2
2
2
2
dhe 2
22
kctg
k
2
, 2 20
sin 2 sin2 2
sinn k
n k x kxV dx
k x
Për 2k ,
kx
,0 dhe
x
xsin rritës kemi
xctgx
x
x
x
x
kx
kx
x
x
xk
kx 1
2
2sin
sin
sin
sinsin
sin222
.
Prandaj kemi
212
0
2,
22
sin
2sin2
Idxx
xknV
k
kr .
Marrim m
hknm
,2 dhe e zgjedhim numrin e plotë hrk
rhr 1,
. Atëherë
32
1
0
1
0
21sin
sin2IIdx
x
mxI
hr
h
hhr
. Për 2m kemi
4
sin
sin2sin2
00
2 mm
dxx
mxdx
x
mxI .
112
Zëvendësojmë x
xgrl1
,22
dhe 2
21
k
nr nga lema e mësipërme kemi:
hr
h
hr
hk
nr
x
dxdx
x
mxI
1
2222
1
3 2ln4
1ln4
1ln44sin2
.
Pra 21ln4
2ln442
1ln4
2222,
k
n
k
nV kr
.
Nga teorema paraprake e qartë që për NnkCf p 1,, , vlen relacioni
fpk
nfp kn
21ln
42,
Teorema 6.3. Le të jetë NnkCf p 1,, . Atëherë vlen
fEk
nffp nkn
31ln
42,
. (6.5)
Vërtetim. Le të jetë T polinom i përafrimit më të mirë për funksionin f në hapësirën pC . Atëherë
kemi:
fTpk
nfTpfTpfTp
TfffpfTpTfpfTTfpffp
knknknkn
knknknkn
21ln4
2,,,,
,,,,
D.m.th.
fEk
nfTp
k
nTfpffp nkn
31ln
421ln
422,
Vërejtje: Vlejnë relacionet:
, 1 ,
,1
1
1
n k n k n k
n k
n k n ii n
n nf f f
k k
i nf S f A f
k
n paraqet shumën e Fejerit. Shihet që shumat Furie dhe shumat e Fejerit janë rast i veçant i
shumave Vallee-Poussin.
Rrjedhim 6.1. Le te jetë NnCf 1, , nS - shuma e n-të Furie, atëherë
2
4ln 1 3n n C
nf S f E f
k
Teorema 6.4. Le të jetë Cf që plotson kushtin 0lnlim
nfEcn
n, atëherë seria Furie e
funksionit f konvergjon te ky funksion në boshtin real.
113
Teorema 6.5. Le të jetë NnCf 1, atëherë vlen
2
2
2 2
4ln 1 4
n
n n Cn C
nE ff S f E f
E f
(6.6)
Vërtetim. Për çdo Nk kemi fSffffSf nknknn ,, . Nga rrjedhimi
paraprak vlen , 2
4ln 1 3n k n C
nf f E f
k
. Meqë T polinom trigonometrik kemi
TTST nkn , , d.m.th. TfSTffSf nknnkn ,,
Meqë
kn
ni
inkn fAk
nifSf
1
, 1 ku
dtxtktffAk cos1
,
përkatësisht
1cos , 1
,1
, 02
k
f x t kt dt k
A f x
f x t dt k
kemi
kn
ni
kn
ni
inkn dtitk
nitxffA
k
nifSf
11
, cos11
1 .
Zëvendësojmë f me ,f T ku T polinom i përafrimit më të mirë f në hapësirën 2CL , nga
baraimi (6.1) kemi
kn
ni
nkn dtitk
nitxTtxfxfSxf
1
, cos11
,, .
Duke përdorur mosbarazimin eKoshi- Bonjakoskit (
b
a
b
a
b
a
gffg 22). Kemi
11 2 2
22
,1
1, , 1 cos
n k
n k ni n
i nf x S f x f x t T x t dt it dt
k
.
Do me thënë nga përkufizimi i përafrimit më të mirë kemi :
11 2 2
22
,1
12 2
12
2 2 21
1, , 1
1 1 11 1
n k
n k ni n
n k
n n ni n
i nf x S f x f t T t dt
k
i n kE f E f k E f
k
Pra 2 2
4 1ln 1 3n n nC
n kf S f E f E f
k
,
22
2
2
1n C
n
E fk
E f
, - pjesa
e plotë e shprehjes , 1 AAA , kemi
2
2
2 2
4ln 1 4
n
n n Cn C
nE ff S f E f
E f
.
114
Rrjedhim 6.2. Le të jetë Cf . Nëse vlen barazimi 2
2lim ln 1 0n nCn
E f nE f
atëherë
lim 0,nn
f S f
d.m.th. seria Furie e funksionit f konvergjon uniformisht te funksioni
f në tërë boshtin real .
Vërtetim. Meqë lim 0n CnE f
, nga teorema paraprake mjafton të tregohet se
2
2
2lim ln 1 0
n
n Cnn C
nE fE f
E f
. Është e qartë se
2 2
22 2
2 2 22
2 2 2 2
2 2
1ln 1 ln 1
ln 1 1 ln 1 ln 1
n n
n
n n nC C C
n n n nC C
nE f nE fnE f
E f E f E f
nE f E f nE f E f
.
Meqë 01lnlim 2
0
xx
x, vlen barazimi i kërkuar duke shumëzuar barazimin e fundit me
.n CE f
Lema 6.2. Le të jetë 1 dhe ,1 nLfp p . Vlen mosbarazimi
pn fCETf * (6.7)
ku C është konstantë nuk nvaret nga n dhe f .
Lema 6.3. (vetia e minimalitetit ne 2L ). Për funksionin 2Lf dhe 1n vlen
*
2 2nE f f T .
4.7. Vlerësimi reciprok ndërmjet modulit të lëmueshmërisë, koeficientëve
Furie të funksionit në metrikën dhe përafrimit më të mirë
Teorema 7.1. Ekziston konstanta K e tillë që për ndonjë n vlen
(7.1)
Vërtetim : Le të jetë xfRn , shuma Rogosinski e përkufizuar si
nxfS
nxfSxfR nnn
2,
2,
2
1,
ose prezantimi i shumave Furie nëpërmjet
pL
*
*
1, , dhe
1, , 1
n
n p p
E f K f f Cn
E f K f f L pn
115
konvolucioneve të bërthamës Dirikle tDn fitohet 1
, , ku n nR f x f x t R t dt
sin cos
2 2 2
22 cos cos
2
n n
n
D t D t ntn n nR t
tn
.
Meqë dttRtxfxfxfRxfxfrdttR nnnn
1,, kemi 1 .
Barazimi është i saktë x nëse Cf dhe pothuajse përçdo x në periodë nëse Lf . Në
intervalin
,
2n funksioni
nt
2coscos
1
është jozvoglues, pra funksioni
sin
cos2 2
cos cos2
nx x
ntnR t dt dt
tn
posedon rrënjë të vetmë kx në çdo interval
0 1 2 2
2 1 2 3 2 13, , 0, 2, ...
2 2 2 2 2n
k k nk n x x x x
n n n n
. Për
më tepër për 1nx kemi 1
0, 0, 1 k
k
x
nx
R t dt k n
si dhe
2
0
0
10
0
11,
n
k
x
x
n
x
x
nn
k
k
dttRtxftxfdttRtxfxfxfr
ku
paraqet normë në hapësirat pLC ose Nëse Cf kemi:
0 0 0
0
00 0
1 2 2, , .
x x x
n n nx
C
f x f x t R t dt f t R t dt f x R t dt
Për , 1pf L p duke përdorur mosbarazimin e Minkovskit
dttRxfdttRtxfxfdttRtxfxf
dydxyxfdxdyyxf
x
npn
x
x
p
p
n
x
x
pd
c
b
a
ppp
b
a
d
c
00
0
0
0 0
00
11
,211
: fitojmw ,,
Funksionet xk të përcaktuara nga barazimet
1
2 3,
3
k
k k
xx
n n k k k kx x
kR t dt R t dt x x c x x
janë monoton dhe
absolutisht të vazhdueshëm. Për më tepër '
1, n n n k k kR x x R t x x ,
kkk cc pothuajse kudo në kk cx , . Duke vënë xt kemi
116
k
k
k
k
c
x
nkkn
x
c
dttRtxftxfdttRtxftxf 1
rrjedhimisht
1
.k k
k k
x c
n k k nx x
f x t f x t R t dt f x t f x t f x t f x t R t dt
Pra
nëse 1
, atwherw: 2 .k k
k k
x c
n k nx x
C
f C f x t f x t R t dt t t R t dt
Për pLf p 1 , kemi
1
2 . k k
k k
x c
n p k nx x
p
f x t f x t R t dt t t R t dt
Për n
xn
xxttcxt kkkk2
3 dhe
2 ,, 01k
kemi:
1
0
00 0
1 si dhe
2
2 2 1 2 1 1 ,
2 2
k k
k k
c x
n nx x
x
n n n nCx
R t dt R t dt
r f x R t dt R t dt R t dtn n
(7.2)
E njëjta gjë vlen për pn xfr , ku në vend të
n
2 qëndron
np
2.
Duke përdorur faktin që: 10
2, supn n n nC
f
R t dt R f x L R
ku n nL R paraqet
konstantën e Lebegut për metrikën Rogosinski, si dhe nga
nn
112
2
vijmë në
rezultatin (7.1).
Teorema 7.2. Le të jetë Lf ,
n
inx
necxf ~ , p1 dhe Nk . Atëherë
p
knn
fAc
1, , ku konstanta A nuk varet nga n dhe f .
Vërtetim. Meqë f është funksion 2 -periodik, atëherë kv 0 mund të shkruajmë
1 1
12 2
in x v v inxn
n
k k kc f x v e dx f x v e dx
v v vn n
. Duke i
mbledhur barazimet e fundit për kv ,...,3,2,1 kemi:
0 0
11 1 ,
2
k kk k vinx
n
v v
k kc e f x v dx
v v n
përkatësisht
117
1
1
1 1 1 2 12 , , ,
2 2 2 2n
kp
k k
n k n k kp pk
p p
c f x dx f c f fn n n
ku
1
2k
p
pA
.
Teorema 7.2. Le të jetë pLf dhe Nk . Vlejnë pohimet:
1) Në qoftë se 21 p , atëherë vlen pn
v
p
p
v
kp
k
p
k fEvn
A
nf
1
1
111,
2) Në qoftë se 2 p , atëherë vlen pn
v
p
p
v
kp
k
p
k fEvn
A
nf
1
1
111,
ku 21, AA konstante që nuk nvaren nga n dhe m.
Teorema 7.3. Le të jetë pLf për p të fiksuar nga intervali 1 p .
v
ivx
vecxf ~ dhe
le të jetë p,2min1 , p,2max2 . Atëherë vlenë
nkcBAn
fnkcBA v
p
kv ,,,1
,,,, 2211
, (7.3)
ku 21, AA janë konstante që nuk nvaren nga n dhe f.
Teorema 7.4. (Teorema e Paley-it).
1) Në qoftë se 21 p , pLf dhe nnc janë koeficientët Furie të funksionit f,
atëherë pp
p
n
pp
n fAnc
1
1
2 ku konstanta pA varet nga p;
2) Në qoftë se 2 p dhe ,n nc
varg numerik i tillë që
1
2
n
pp
n nc ,
atëherë ekziston pLf që ka për koeficient Furie ka nc i tillë që
p
n
pp
nppncAf
1
1
2'
ku pA' varet nga p.
pA dhe pA' mund ti vlerësohen
p
pp
pp
p
p
ppA
1
12
2
2
1
1
2
,
1
'
p
pp AA .
118
4.8. Mbi përafrimin e funksionit në hapësirën pL , (0<p<1)
Specifika e hapësirës 2,0pL , për 10 p , ka sjell zbatimin e përafrimit në segment me
polinomet me pjesë.
Teorema 8.1.[61] Le të jetë 10,, pbaLf p dhe k N , atëherë:
,
2 11
, , , , ,0, 1 0 0
1, , ku ,inf
2 1
0, .
i
b ap b kykk p
k k
k p k p k p k p k p k ya i k k ap
b af x a x A I y f dy I f I A f x dx
b a k
b ay
k
Rrjedhim 8.1. Në qoftë se plotësohen kushtet e teoremës 8.1., atëherë ekziston funksioni
polinomial 1 1
1, 1 1 1 11 1
, , ,n n
k n i i i n i i ii i
S P x x x x x P x P x P x x x
ku 1,
, , , 1,10,
x yx y x y
x y
dhe iP x polinome algjebrike të shkallës jo më të
madhe se 1k në intervalin 1 0 1 1, , 1, 1, 1 ... 1i i i n nx x i n x x x x ashtu që
të vlejë 1, 1 ,
1,
1k n k p k
p
f S A w fn k
.
Teorema 8.2.(Mosbarazimi i Markovit): polinomi algjebrik nP I shkallës jo më të lartë se n,
atëherë për 0 p q vlenë
1 11 1
22 1.
p qn q p q
n p
P pn
P b a
Teorema 8.3. (Mosbarazimi i Chebishevit): Nëse polinomi algjebrik nP i shkallës jo më të lartë
se n, plotëson kushtin LPn në segmentin ,,ba atëherë për pikat e këtij segmenti vlen
mosbarazimi
ba
baxnLxPn
2arccoscos .
Pohim 8.1. Le të jetë dhënë funksioni 10 ,1,1 pLf . Atëherë për 1,n k k N ,
plotësohet mosbarazimi p
kpkpn fn
CfE
,
1
1, .
Vërtetim: Le të jetë 1...1 dhe 1,0 , 1210 nn xxxxxpk ndarje në
segmentin 1,1- në 1n pjesë të barabarta dhe SS nk 1,1 funksion polynomial me pjesë
ashtu që ,
1,
1k p k
p
f S A fn k
. Le të jetë
1ku , 00
ppkpl si dhe
119
12 kl . Në shprehjen i
n
i
iin xxxPxPxPS ,1
11
shfrytëzojmë lemën e
mëposhtme:
Lema 8.1. Për funksionin 11 ,11 ,.0
,1,
yx
yx
yxyx për
,...2,1 ,...,2,1,0 ln ekziston polinom algjebrik yxR , i shkallës jo më të lartë se 2nl ashtu
që : l
l yxnCyxRyx21
1arccosarccos,,
, dhe funksioni ixx, e
zëvendësojmë me polinomin ixxR , dhe fitohet polinomi
i
n
i
iin xxRxPxPxPQ ,1
11
i shkallës jo më të lartë se 12 0 klpn .
Meqë ii xxxx arccosarccos kemi l
inkii xxnBxxRxx21
, 1,,
(8.1)
Për intervalin iiii hxx , ku 1
2
nkh dhe meqë
hx
x
p
ii
p
pii
i
i
i
dxxPxPPP 1,1 nga teorema paraprake për q kemi
i
p
piipk
p
pii
p
ii xPPh
PPkh
pxPxP
ii
,
11
12,1,,1
2
1 (8.2)
Tash nga mosbarazimi i Çebishevit dhe mosbarazimi i njohur
2 21cos arccos 1 1 2
2
n nnnn t t t t t t , ku 1t , fitohet
1 , 1 ,
, 11 1 ,
2 21cos 1 arccos
1, 1,1 \
2
i
i
pp p i
i i k p i i p
pp
k p i i i ik p p
x x hP x P x P P k
h h
hP P x x x
h
Meqë
n
i
iiii xxRxxxPxPxQxS1
1 ,, atëherë
, 1 1 2
1 1,1 \
, ,i i
np pp
n k i i i ip i
S Q P P x x R x x T T
Nga (8.1) dhe (8.2) vlen
hx
x
pk
l
i
i
i
ndxxxn 11
,
211 kemi
hx
x
n
i
p
piipk
l
i
p
pii
n
i
p
pkpk
i
i
ii
PPdxxxnPPh
T1
,1,
21
,1
1
,,1 11
(8.3)
120
Nga fiksimi i numrit k 12 kl kemi
11,
1 2
0
12
1
211,12
11
12
1
2 1'
1'
12
11
pkkn
n
pklpkknpl
pkpk
pl
i
pkh
i
nx
dx
ndx
nx
hxdx
xxn
xx
Ngjashëm nga (8.1) dhe (8.2) kemi
11
2
2 , , 1 , 11 1 2 1, ,1 11
1
1i i
k phn np pip
k p k p i i k p i ik p kp pi i
i
x xT P P dx P P
h n x x
(8.4)
Pra nga (8.3) dhe (8.4) kemi:
n
i
p
piipkpk
p
p i
PPQS1
,1,, .
Nëse ix atëherë ivhx për 1,...,2,1,0 kv ndërsa 1 ikhx .
10
1h
k k vk
i iv
kS x S x vh P x kh P x kh
v
dhe
n
i
p
p
k
hx
x
pk
h
hx
x
p
ii
n
i
hdxxSdxxPxPi
i
i
i1
1
1
,1
1
Pra
p
p
kpkpk
p
p nkQS
,
1
2,, . Meqë
p
p
p
p
p
pQSSfQf
dhe ffQfffSS p
k
p
ppk
p
pp
p
kp
p
kp
p
k ,,,, , nga
relacioni i njohur 1, 1 ,
2,
1k n k p kp
p
f S A fk n
kemi se
p
kpkpf
nkQf
,
1
2, Pra është gjetur vargu i polinomeve ,...3,2,1, nQQ kn i
shkallës jo më të lartë se 12 0 kkpn që plotëson mosbarazimin paraprak. Nëse 1 kn
,atëherë 0 Nm ashtu që 0 02 1 2 1 1m p k k n m p k k . Vejmë
,...3,2,1, nQQ kn që jep polinomin e kërkuar përkatësisht.
f
nCQf kpkp
,1
1, përkatësisht
f
nCfE kpkn ,
1
1, .
121
4.9.Lidhja ndërmjet përafrimit më të mirë dhe derivatin e Weyl-it të
funksioneve në hapësirën e Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton
Përkufizim 9.1. Me 0,2 , 1,pL p shënojmë hapësirën e funksioneve 2 periodike f
, të matshme në segmentin 0,2 , ashtu që ,pL p
f f ku
1/2
0
0,2
, for 1,
sup , forp
p
p
L
x
f x dx p
f
ess f x p
Përkufizim 9.2. Hapësira e Lorenc-it shënohet me , 0,2 , , 1,pL p dhe paraqet
bashkësinë e gjith funksioneve të matshme f , 2 periodike , ashtu që
1/
2 1
,
0
p
pf t t dt
, ku : 0,2 0, është funksion jo-rritës, i
përkufizuar si inf : ft R d t ku fd paraqet shpërndarjen e funksionit f të
përkufizuar si 0,2 :fd x f x dhe është ekuivalente në matshmëri me
funksionin f përkatësisht , , ,p p p
m f f M f
ku m dhe M paraqesin konstanta të
varura nga p, dhe norma në hapësirën , 0,2 , , 1,pL p përkufizohet si
1/2 1
,
0 0
1.
t
p
pf t d dt
t
Nëse , 1
,0
sup p
pt
f t t
. Gjithashtu marrim vlershmërinë e shënimit inf .
Përkufizim 9.3.. Vargu i numrave pozitiv ,na n N quhet varg kuzi-monoton nëse 0na
n
for any 0 .( 1 2 1... ... 0n na a a a dhe shënohet si 0na ).
Përkufizim 9.4. , , ,: O ,
p
p p n npE a f L E f a n N
ku , 1, ,p q
,na n N paraqet varg të numrave pozitiv ashtu që that 0,na n dhe
inf
n
p
n n pTE f T
ku nT - polinom trigonometrik i shkallës n . ( për vargjet na dhe nb
ku nb >0, n N ashtu që n
n
a
b e kufizuar simbolikisht shënohet si On na b )
122
Përkufizim 9.5. Me 0 , 2L shënojmë bashkësinë e funksioneve 2 periodike të
shumueshme në intervalin 0,2 . Le të jetë 0,2f L , v va a f dhe
, 0,1,2,...v vb b f v le të jenë koeficientët Furie të f , përkatësisht
0
1 0
cos sin ;2
v v v
v v
aS f a vx b vx A f x
.
Supozojmë që seria 1
cos sin2 2
r
v v
v
v a vx r b vx r
, ku 0r paraqet seri
Furie të disa funksioneve që i takojnë 0,2L . Këtë funksion e shënojmë me r
f x dhe
quhet derivati i i r-të i Weyl-it dhe ka trajtën:
2
0
1 1 10
1cos cos sin
2 2 2 2
r r r r
v v
v v v
a ff x v f x t vx r dt r v A x r v B x
Vërejtje: Për r N derivati i Weyl-it përputhet me derivation e zakonshëm të funksionit.
Pohim 9.1.[70] Le të jetë 0
1
cos sin2
v n
v
aa vx b vx
seri Furie e funksionit
, 1pf x L p atëherë vlenë 1
vp
k k n pk v
a b C nE f
.
Pohim 9.2.[70] Nëse vargjet kuazi-monotone na dhe nb n N janë koeficientë Furie të
funksionit , 1pf x L p atëherë vlenë mosbarazimi 1
2 2
p p
n n n pa b C n E f ku C
është konstantë në varshmëri të 0 e përkufizuar në përkufizimin 9. 3 dhe 1p .
Teorem 9.1.[11,36,49] Le të jenë na dhe nb n N koeficientë kuazi-monoton ashtu që:
i) 1
n n
pn
a b
n
, atëherë seria
1
cos sinn n
n
a nx b nx
paraqet seri Furie të funksionit
, 1pf x L p dhe vlenë mosbarazimi 1
1 1
1
1pp k k
n n n ppk n
a bE f C n a b
k
ii)
2
1
p
p
n n
n
a b n
, atëherë seria 1
cos sinn n
n
a nx b nx
paraqet seri Furie të funksionit
, 1pf x L p dhe vlenë 1 2
1 1
1
1p p pp p
n n n k kpk n
E f C n a b a b k
Lema 9.1.[49] Nëse ,pf x L
atëherë ,pf x L
dhe vlenë mosbarazimi
,
,
,p
p
f C p f
ku f x
është seria Furie e konjuguar f x , përkatësisht
2
0
1cos
2 2
tf x f x t t dt
dhe 1 p .
123
Lema 9.2.[49] Nëse ,pf x L atëherë ,n pS f L dhe vlenë mosbarazimi
,,
,n ppS f C p f
ku nS f është shuma e pjesshme e n të e serisë Furier e
funksionit f x dhe 1 ,1 .p
Lema 9.3.[70,74] Nëse ,1 , 1, 0pf x L p q r atëherë vlenë mosbarazimi
2 2 1
2 1 1
,2 1
, , ,
n
n mn
q p pqr
r r pq
n pq
k
S f S f C p q r n E f
Vërejtje. Për 1 p vlenë ,p pL L .
Vërejtje . Hapësira , ,, . , 1,p p
L p është hapësirë e Banahut.
Teorema 9. 2.[49] Le të jetë , 1,p dhe vargjet e numrave na dhe nb n N të jenë
kuazi-monotone.
Nëse 1
1
p p
k k
k
a b k
atëherë ka dhe kb janë koeficientë Furie të funksionit
,pf x L dhe vlenë mosbarazimi:
1 1
1 1,1
, , 1pp pp
n n n k kpk n
E f C p n a b a b k
.
Teorema 2.3.[46,49] Le të jetë , 1,p dhe , 0,2 , 0pf x M
dhe
0
1
cos sin2
n n
n
aa nx b nx
është seri Furie e tij, atëherë vlenë mosbarazimi:
1
,1 2
, ,p p
k k n pk n
a b k C p E f
.
Në [75] kemi dhënë vërtetimin e teoremës së mëposhtme që jep lidhjen në mes ekzistencës së
derivatit të Welit dhe konvergjencës së shumavetë përafrimit më të mirë:
Teorema9.4 .[75] , 0,2r
qf x L ku ,pf x M
1 , , 0, 1p q r
ekziston, nëse dhe vetëm nëse 1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente.
Vërtetim .
Kusht i mjaftueshëm: Meqë ,pf x M
atëherë pf x L dhe koeficientët e tij Furie janë
kuzi-monotonë. Le të jetë nS f tshuma e n të e pjesshme e serisë Furie të funksionit
pf x L atëherë 2 2 1
2 1 1
,2 1
, , ,
n
n mn
q p pqr
r r pq
k pq
k
S f S f C p q r k E f
. Ana e
124
djathtë e këtij mosbarazimi tenton në zero meqenëse 1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente,
paër këtë shkak 2 2 ,
0, , ,n m
r r
q
S f S f m n
atëherë
2n
rS f paraqet bazë në hapësirën e Lorencit ,qL . Sipas plotësisë së hapësirës ,qL , ekziston
funksioni ,qg x L i tillë që 2 ,
0, .n
r
q
S f g n
Tani vërtetojmë që hapësira ,p TL
përmbahet në hapësirën,p QL , për 1 , , ,p T Q kuT Q . Sipas përkufizimit të hapësirës së
Lorencit kemi
2 2
1/ 1/ 1/
0 0
2 2 21 11/ 1/
00 0 0
sup
Q Q T Tp p p
Q TT TT
Q T T T Tp p p p
s
dt dtt t t t t t
t t
dt Tt t t t s s ds s s ds
t p
1
2 21 1
0 0
112 2 1
1/
, ,
0 0
Q Q
T T
T
Q TT T
TT Tp p
TQQ Tp Q p
p Q p T
Ts s ds A s s ds
p
dtt t A s s ds f B f
t
Ku A dhe B janë konstanta të varura nga ,p T dhe Q . Meqenëse ,qL përmbahet në pL , nga
rezultatet e mësipërme kemi se:
2 2 ,n n
r r
p q
S f g B S f g
, dhe meqenëse 2 ,
0,n
r
q
S f g n
gjithashtu
vlenë se 2
0,n
r
p
S f g n , pra 2
, ,n n
r rS f g n S f g n
për këtë shkak ,
1 1
cos sin2 2
rr r
v v q
v v
g x r v A x r v B x f x L
Kusht i nevojshëm: Supozojmë që pf x M
ekziston derivati i Ëeyl-it , .r
qf x L
Meqenëse koeficientët Furie të funksionit na dhe nb janë kuzi-monoton për ndonjë 0
kemi se 0nn a dhe 0nn b , për këtë arsye 0, 0,r r
n n
r r
n a n bn
n n që nënkupton se
edhe vargjet r
nn a dhe r
nn b gjithashtu janë kuzi-monotonë. Pra nga teorema 9.2 seria
1 1 1
1 1 1
1 1 1
q q q qr
r r rq q q
n n n n n n
n n n
n n a n b n n a b n a b
125
Është konvergjente dhe mund të shkruhet në trajtën
1
1
,1
9.1
q qr
q
n n qn
n a b C f
Ku C është konstantë e varur nga , ,p q dhe .r Nga mosbarazimi i teoremës 9.2 kemi
1 2
1 1
1
, 1p p pp p
n n n k kpk n
E f C p n a b a b k
dhe këtë e
zëvendësojmë në mosbarazimin e mëposhtëm dhe fitohet:
1 11 2
1 1 1
1 1 1
11 1
2
1 1 1
1 1
1
9.2
q p pqr q p pqrp p ppq pq p p
n n n k kpn n k n
q qr q p pqrp pq pq p
n n k k
n n k n
n E f C n n a b a b k
C n a b n a b k
Tani për mosbarazimin e dytë për anën e djathtë të 9.2 , për p duke përdor mosbarazimin
e the Hardy-Littlewood fitohet:
1 12 2
2
1 1
1 11 1
2 2
1 1
q p pqr q p pqrp pp ppq pq pp
k k n n
n k n n
q p pqr p q qr
pq p q
n n n n
n n
n a b k C n n a b n
C n n a b C n a b
Për p në anën e djathtë të mosbarazimit 9.2 bëjmë transformimet:
21 1 1
2
1 1
2 21 1
1
9.3
pq p pqr q p pqr
p ppq pq pp pk k k k
n k n n k n
pq p pqr
pq p ppk k
n k n
n a b k n a b k
n a b k
Në barazimin 9.3 zëvendësojmë 2
1q p pqr
pq
, 1
p
( meqë p )
Meqenëse na dhe nb janë koeficientë kuazi-monoton vlenë
21
1 0p
nn a n
dhe
21
1 0p
nn b n
, për këtë arsye
2 21 1
1 10, 0,
p p
n nn a n bn
n n
përkatësisht vargjet
21
p
nn a
dhe
21
p
nn b
janë kuzi-monotone. Më pas meqë dhe duke përdorur mosbarazimin e
Hardy-Littlewood në barazimin 9.3 fitohet:
126
2 21 1 1
2
3
1 1
2 2 11 1
3 3
1 1
p pq p pqr q p pqrp pppq pq pp
k k n n
n k n n
q p pqr q qr
pq p q
n n n n
n n
n a b k C n a b n
C n n a b C n a b
Për të dy rastet p dhe p fitohet
1
1 12
2 3
1 1
max ,
q p pqr q qrp ppq qp
k k n n
n k n n
n a b k C C n a b
Duke kombinuar mosbarazimin e fundit me relacionet 9.1 dhe 9.2 fitohet
11 1 1
2
1 1 1
1 1 1
11
1 2 3 1 2 3 4, , ,1
max , max ,
q p pqr q qr q p pqrp ppq q pq p
n n n k kpn n n k n
q qr
q
n nq q qn
n E f C n a b n a b k
C C f C C n a b C C C C f C f
ku , 1,2,3iC i janë konstanta që mvaren prej , ,p q r dhe . Pra seria
1
1
q p pqr
pq
n pn
n E f
është konvergjente .
Përfundime
Kemi paraqitur disa klasa klasike dhe të reja të funksioneve periodike, të karakterizuara sipas
modulit të lëmueshmërisë dhe koeficientëve Furie, kemi dhënë kushte të nevojshme ose
mjaftueshme që duhet plotësuar koeficientët Furie në mënyrë që ti takojnë një klase të caktuar,
paraprakisht duke dhënë njohuri themelore nga analiza funksionale që shërben si mjet për
studimin e aparateve përafruese trigonomtrike të cilat në thelb paraqesin funksional dhe operator
linear. Vecanërisht kemi shqyrtuar teoremat Korovkin për rastin trigonometrik.
Në kapitullin e dytë kemi dhënë ndërlidhje ndërmjet interpolimeve të ndryshme si kalimin nga
interpolimi algjebrik në atë trigonometrik, adaptimi i metodës së Nevillit dhe formulave të
Hermitit në interpolimin trigonometrik, interpolimi racional trigonometrik me anë të splajnit
kubik si dhe kemi kryer operacione me qëllim shpejtimin e konvergjencës te interpolimi
trigonometrik si dhe ndërlidhjen e koeficientëve të Furie-Lagranzhit me koeficientët Furie duke
ilustruar me shembuj të ndyshëm numerikë.
Në vazhdim të kapitullit të tretë kemi dhënë disa aplikime dhe modelime në qarqet elektrike të
ilustruar me shembuj numerikë, aplikim të transformimeve Furie dy-dimensionale te përpunimi i
imazhit duke përdorur filtra të ndryshme si dhe kemi shfrytëzuar seritë dhe transformimet Furie te
zgjidhja e disa ekuacioneve diferenciale me derivate të pjesshme.
127
Një funksion në ndonjë hapësirë cilësohet nga keto tre madhësi moduli i lëmueshmërisë,
koeficientët e tij Furie dhe përafrimi më i mirë me polinome trigonometrike, të cilat janë të lidhur
ngushtë. Kjo mundëson hapësirë që në të ardhmen që për klasa të reja të jepen vlerësime
përkatëse të këtyre tre madhësive.
Në kapitullin e katërt kemi dhënë lidhjet ndërmjet disa karakteristikave të funksionit dhe
përafrimit më të mirë të tij ne kontekst të koeficientëve Furie, në hapësirat C dhe pL . Gjithashtu
japin lidhjen në mes të përafrimit më të mirë dhe ekzistencës së derivatit të Weyl-it të
funksioneve nga klasa e Lorenc-it me koeficientë Furie kuazi-monoton.
Referencat
[1] A. Abedini, Sh. Rexhepi, Relation of interpolation of Lagrange Ëith equidistant and non-
equidistand nodes of Chebyshev, 1 st International ëestern Balkans Conference of Mathematical
sciences, 30 May-1 June, Elbasan- Albania- 2013
[2] A. Endrique, G. Velsaco , Fourier Analysis and boundary problems, Massachusetts 1996
[3] A. I.Stepanets , Methods of Approximation Theory, Netherland 2005
[4] A. Nersessian and A. Poghosyan, On a rational linear approximation of Fourier series
for smooth functions, Journal of Scientific Computing, 26(1) (2006), 111_125. [5] A. Nersessian, , A. Poghosyan, Accelerating the convergence of trigonometric series, CEJM
4(3) 435–448, 2004
[6] A. Pinkus, Weierstrass and approximation theory, J. Approx. Theory 107 pp. 1–66, 2000
[7] A. Poghosyan, A. Barkhudaryan, and S. Mkrtchyan, “Accelerating the convergence of
trigonometric interpolation,” in Proceedings of the 3rd Russian-Armenian Workshop on
Mathematical Physics, Complex Analysis and Related Topics,, pp. 133–137,
Tsaghkadzor, Armenia, 2010
[8] A. Sharmal, N. Kumar. Fourier series and its applications// IJIRS , 1.6 pp. 1916-1919,
2014
[9] A. Zygmund ,Trigonometric series – Volume I and II, Cambridge 1959
[10] S.B. Stechkin, On the order of best approximations of continuous functions, Izv. Akad. Nauk
SSSR, Ser. Mat., 15, 3, 219–242 (1951)
[11] A.F. Timan and V.K. Dzyakyk, On the best approximation of quasi-smooth functions by
ordinary polynomials, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 75 ,499–502, 1950
[12] B.Shaini,Sh. Rexhepi , E. Iseni, On advantages of Neville Method and its adapting to
trigonometric series, Conference of Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë
2014
[13] D. Jackson, The general theory of approximation by polynomials and trigonometric sums,
Bulletin of the American Mathematical Society,415–431, 1921
[14] D. Jackson, The Theory of Approximation, Colloquium Publications, vol. XI, American
Mathematical Society, Neë York 1930 reprinted 1968.
[15] D. Jackson. Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale
Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Gummen gegebener Ordnung . Preisschrift
und Inaugural Dissertation, Göttinger, 1911.
128
[16] D. Javier , Fouerier Analysis, Bilbao 2000
[17] D. Levy, Numerical Analysis , University of Maryland, March 4, 2008. [18] E. Brigham, The Fast Fourier Transform and its applications, Neë Jersey, 1988
[19] E. Kreyszig , Advanced engineering mathematics, 10th Edition. John Ëiley & Sons,
New York, 2010. [20] A. I. Stepanets, Classification of Periodic Functions and Their Approximation by Fourier
Sums ,Preprint No. 69, Institute of Mathematic Kiev 1983
[21] E.M. Stein, R. Sakarchi, Fourier Analysis, Princenton 2007
[22] F.Berisha ,Teorema e drejtë në teorinë e përafrimeve për përgjithësimin e modulit të
vazhdueshmërisë,Prishtinë, 1988
[23] F.Berisha, Zbatimi i moduleve fuksional në teorinë e përafrimeve, Prizren, 2001
[24] F.Altomare, M.Campiti, Korovkin type approximation theory and its applications, Berlin
1994 [25] G. G. Lorentz, Approximation of Functions, Chelsea, Neë York, 1986.
[26] G. A. Baker and P. Graves-Morris, Pade Approximants, Encyclopedia of
mathematics and its applications. Vol. 59, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge,
1996. [27] G. H. Hardy, J. E. Littleëood, and G. P´olya, Inequalities, 2nd. ed., Cambridge University
[28] G. Hardy, W. Rogosinski , Fourier series, Cambridge 1946
[29] H. Ales,M. Tadeja, S. Maja,C. Marjeta , Fast Fourier transform in papermaking.Tëo
application examples// Acta Polytecnica Hungarica 9.5 pp. 155-166, 2012 [30] H. Gonska, Jackson-type theorem on Approximation theory by trigonometric and algebraic
pseudopolynomials, Journal of approximation theory, 48, pp. 396-406, 1986
[31] H. Xuli, ,, Cubic trigonometric polynomial curves with a shape parameter‟‟
Geometric Design, 21, 535-548, 2004. [32] I. Stein, G. Veis, Vedenie garmoniceski analiz iz Evklidovi prostranstva, M. Mir (1974)
[33] I.S Berezin and N.P. Zhidkov, Computing methods,Oxford, PergamonPress [34] S. Nikolski, Approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, Tr. Mat.
Inst. Akad. Nauk SSSR,15, 1–76
[35] J. Bustamante , Algebraic approximation, Mexico, 2012
[36] J. James, A students guide to Fourier transform, with applications in physics and
engineering, Cambridge, 2011
[36] J. Clunie, An extension of quasi-monotone series, Math. Student 20,107-112, 1952
[37] J. Favard, “Sur les meilleurs precedes d'approximation de certainesclasses de fonctions par
des polynomes trigonometriques,” Bull. Sci.Math., vol. 61, pp. 209-224 and 243-256, 1937.
[38] J. Korevaar., Fourier Analysis and related topics, Amsterdam, Spring, 2011.
[39] J. Mason, D. Handscomb, Chebyshev Polynomials, CHAPMAN & HALL/CRC ,
2003.
[40] L. Havas,K. Damira, K. Veljko ,Application of Fourier series in the analysis of non-
[41] L. N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, SIAM, 2012.
[42] L. P. Yang , A class of Algebraic Trigonometric interpolation splines and
Applications Computational and Information Sciences (ICCIS), international conference,
1174-1177, 2010.
[43] M. Zamansky, Classes de saturation de certains proc´ed´ es d‟approximationndes
s´eries de Fourier des fonctions continues et applications ` a quelques probl`emes
d‟approximation, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 66, (1949), 19–93. [44] I. Natanson ,Teorija funkcii veshestvenoj peremenoj, Moscow 1974
129
[45] Svetozar Kurepa (1981)-Funkcionalna Analiza (Elementi Teorije Operatora)-
Zagreb, Skolska Knjiga [46] M. Berisha , Fevzi Berisha , Nga teoria e përafrimeve të funksioneve, Prishtinë 2010
[47] M. Powell, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 2001. [48] M. Jan , Advanced theory of differentiation-Lorentz space‟ , Czech Republic, 2003
[49] M. Kokiashvilli. , Ob odnom funkcionalinom prostranstve i Koeficientah Furije ,MatSb.nr
44, (1958) 53-84
[50] M. Q. Berisha, F. H. Berisha, and M. Potapov. O polinomiyal‟no˘I aproksimatsii v
[51] M. Sarfraz., Visualisations by positive and convex data by a rational cubic spline
interpolation Information Science 146, 239-254, 2002. [52] M. Shinya , N. Milyuki , S. Takuya , Interpolation theorem on Lorentz spaces over ëeighted
measure spaces‟ Proc. Amer. Math. Soc. 134, 2006
[53] M.C. Anumaka , Analysis of Electric Circuits Using Fourier Series. // International
Journal of Engineering and Innovative Technology. 1, 5, pp. 125-128, 2012 [54] M.F. Timan, Converse theorems of the constructive theory of functions in the spaces Lp,
Mat. Sborn. 46 (88) , 125–132, 1958
[55] M.F. Timan, Teorija priblizhenija funkcii deistvetelnoto premenova, Moska 1960
[57] N. Bari, Trigonometric series, Fizmatgiz, Moscoë 1961
[58] N. Carothers ,A short course to Approximation Theory, Boëling Green State University
Press, Neë York, 1983
[59] S. Bernstein,Sur l‟approximation des fonctions continues par des polynˆomes,
Comptes Rendus, 152 (1911), 502–504. [60] N. P., Korneichuk, Exact constants in approximation theory, New York:Cambrige Univ.
Pres, 1991,
[61] E. Storozensko, Priblizenije algebarski mnogocelnami funkcii klasa Lp,0<p<1, SSSR ser.
Matem. 41, 1977
[62] N.H.Sabah , Electric Circuits and Signals. CRC Press; 1st edition. CRC Press, Boca
Raton, Florida, 2008.
[63] A. I. Stepanets, Order relation for(ψ,β)-derivatives, Ukr. Mat. Zh., 37, No. 5, 1985
[64] P. P. Korovkin, Convergence of linear positive operators in the spaces of continuous
functions, (Doklady Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 90 , 961–964, 1953
[65]S. M. Shah, Trigonometric series with quasi-monotone coefficients, Proc. Amer. Math. Soc.
13(1962) 226-273
[66] S. N. Bernshte˘ın. O nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsi˘I posredstvom
mnogochlenov danno˘ı stepeni. Soch. Izd. AN SSSR, pages 11–104, 1952.
[67] S. N. Bernshte˘ın. O priblizhenii nepreryvnykh funktsi˘ı polinomami. Soch. Izd. AN SSSR,
pages 8–10, 1952.
[68] S. R. Finch, Mathematical constants, New York: Cambridge Univ. Press, pp. 255-257, 2003.
[69] S. Rana ,M. Dube , P. Trigonometric, Rational Cubic Trigonometric Spline with two
Shape Parameters, Internat. Journal of Technology and Advanced Engineering, vol. 3
issue 7, 145-149, 2013. [70] S. Tazabekov , Trigonometricke rjadi Fourie s kvazimonotonomi koeficientami‟‟ Russia
(1988)
[71] S.B.Stekcin , Approximation of periodic functions, Proccedings of the Steklov Institute of
Mathematics , Island 1974
130
[72] Sh. Rexhepi, E. Iseini, B. Shaini, A. Jakupi , On trigonometrioc splines, Conference of
Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë 2015
[73] Sh. Rexhepi, E. Iseni , A. Jakupi, On Favard Method of Approximation of Functions in C
Spaces, international congres of Natyral and engineering sciences, ICNES, Skopje 2016
[74] Sh. Rexhepi, F. Berisha, E. Iseini, On existence of Weyl derivative of functions in Lorentz
space with quasi-monotone Fourier coefficients, International conference on pure and applied
Mathematics, Van, Turkey 2015
[75] Sh. Rexhepi, F. Berisha, E. Iseini, Relation of the best approximation and Weyl
derivative of functions in Lorentz space with quasi-monotone Fourier coefficients, IJMSEA,
Vol. 9 No. IV pp. 141-148, 2015 [76] Sh. Rexhepi, F. Hoxha , Some applications of one and tëo dimensional Fourier series and
transform, British Journal of Mathematics & Computer Science Vol. 18(3): 1-11, 2016 [77] Sh. Rexhepi, H. Snopce, E. Iseni, On a Relation of Distribution ëith Series in L2 and
Logarithmic Averages in the Case of Symmetric Jump, Journal of Advances in Mathematics
(JAM), vol 9, n.6, pp. 2733-2741, 2014
[78] Sh. Rexhepi, I. Haliti , On transition from algebraic to trigonometric interpolation,
Conference of Statistics, Probability and numerical analysis, Tiranë 2014
[79] Sh. Wang ,Application of Fourier transform to Imaging Analysis, 2007
[80] C. de la Vall´ ee-Poussin,Le¸cons sur l‟approximation des fonctions d‟une variable
r´eelle, Paris, 1919. [81] V. Ryabenki, S. Tsynkov , A theoretical introduction to numerical analysis, USA, 2006
[82] W. Gautschi, Numerical Analysis, Birkhwuser, Boston, 1997 [83] Z. Ditzian and V. Totik. Moduli of smoothness. Springer-Verlag, NewYork, 1987.