7Neste captulo1. Pesquisa
Captulo
Noes de estatstica
estatstica2.Representaes
grficas3.Histograma
LogotipocriadopelaONUparaacampanha8jeitosdemudaromundo.
Comece pelo que j
sabeAoavaliarosmaioresproblemasmundiais,aONU(OrganizaodaNaes
Unidas)estabeleceu,em2000,osoitoobjetivosdomilnio,quenoBrasilso
chamadosdeoitojeitosdemudaromundo,comointuitodemelhorara
condiodevidadaspessoasedoplaneta.
NoBrasil,porexemplo,halimentossuficientesparaalimentartodaa
populao.Apesardisso,29%daspessoasestoabaixodalinhadapobreza
eapresentamdeficinciaalimentar.Almdisso,apesardeoBrasilter
aproximadamente12%detodaaguadocedoplaneta,22milhesdepessoas
notmacessoguadeboaqualidade.
1.Supondoqueosdadosacimasejamreferentesaoanode2000equehouvesse
170milhesdebrasileirosnessapoca,quantosdelesestavamabaixodalinha
dapobrezaeapresentavamdeficinciaalimentar?Qualaporcentagemde
brasileirosquenotinhamacessoguadeboaqualidade?
2.Conversecomseuscolegassobrequeoutrosdadosdevemtersido
consideradosnaelaboraodessesobjetivospelaONUeoquepode
serfeitoparaajudarnaconcretizaodessesideais.
166
1. Pesquisa estatsticaNo de hoje que a coleta e a anlise de
informaes ajudam nas tomadas de decises. Na Antiguidade, a contagem
da populao ajudava a estimar os impostos e tambm o poderio militar
dos povos. Durante a Idade Mdia, os registros de batizados,
casamento e bitos ajudavam na quantificao dessas informaes. Hoje,
as coletas de dados ajudam no desenvolvimento de muitas atividades.
A indstria alimentcia, por exemplo, costuma contratar empresas
especializadas para verificar o grau de aceitao de determinado
alimento. Para isso, so feitas perguntas para os pesquisados a
respeito de tamanho, formato, cor, sabor e textura do alimento.
Dependendo do resultado da pesquisa, a indstria analisa se deve ou
no modificar o seu produto a fim de obter uma clientela maior.
Pode-se descrever a pesquisa estatstica como um conjunto de
metodologias cientficas aplicadas na coleta dos dados (que sero
organizados e resumidos), na anlise e interpretao e na apresentao
da concluso. Essas atividades esto sempre associadas a um
planejamento, que visa quantificar e/ou qualificar fenmenos
coletivos para futuras tomadas de decises.Saiba mais
No Brasil, carncia de dados no permite prospeco`
Nodehojequeosespecialistasem particular,criminologistas
corrematrsdadescoberta dascausasdocrimeeda violncia,combasena
observaodastendncias deevoluotemporal eespacialdastaxasde
criminalidade.NosEstados Unidos[...]longaa acumulaodeinformaes,
anlises,estudose pesquisasdegrandeportee longadurao[...].
NoBrasil,hpelomenos duasdcadasvmse acumulandoestudos
rigorosos[...].Noentanto, osestudosaindapadecem deproblemasalheios
vontade,experinciae competnciacientficade
pesquisadores.[...]Salvoem algunsestadosbrasileiros, noh,paraopasem
seuconjunto,umsistema nacionalquepermita avaliaessegurasdas
tendnciasdeevoluodos crimesedaviolncia.[...] Aausnciadeum
sistemaconfivelimpede comparaesnacionais.Por
suavez,aimpossibilidade decompararimpede quesepossaconhecer
asparticularidadesda criminalidadenoBrasil, maispropriamentesuas
tendnciasdominantes,a curto,mdioelongoprazos.
Nacadeiadeconsequncias, essaimpossibilidade resultanaformulaode
polticasdesegurana inconsequentes,debaixa eficinciainstitucionale
quenorespondems demandascrescentespor maiorseguranapblica.Adorno,
Srgio. Revista Scientific American, ano 2, n. 23, abr. 2004.
Populao e amostraEm pocas prximas s eleies, por exemplo, pode-se
inquirir os eleitores de uma sala de aula, perguntando-lhes um a um
sua inteno de voto. Mas no possvel consultar todos os eleitores de
um estado brasileiro, pois a quantidade de pessoas a ser
consultadas muito grande. Por isso, os institutos de pesquisas
consultam apenas uma parcela dos eleitores que forneam informaes
representativas do coletivo, ou seja, que forneam informaes que
possam representar a vontade de todos os eleitores. O conjunto de
todos os eleitores representa a populao de interesse, e a parcela
da populao pesquisada a amostra dessa populao.Definio
Populaooconjuntodetodasascoisas,pessoaseobjetos,chamados
deindivduosdapopulao,queinteressamparaumdeterminadoestudo.
Amostraqualquersubconjunto(novazio)deumapopulao.
Escolher uma amostra adequadamente, ou seja, que represente de
maneira apropriada a populao, fundamental para que as inferncias no
forneam informaes errneas sobre a populao. A escolha da amostra,
porm, nem sempre fcil. Por exemplo, deseja-se saber sobre a
quantidade de pessoas que gostam de passear no parque. Assim, no se
deve ir a um parque da cidade e perguntar s pessoas que l esto se
elas gostam de ir a parques, pois dado que esto em um parque,
provavelmente a resposta dada ser sim. Para ajudar nessa escolha,
existem algumas tcnicas de amostragem, como as relacionadas abaixo.
Amostragem aleatria simples Consiste em escolher uma amostra da
populao, considerando que qualquer indivduo tem a mesma
probabilidade de ser selecionado. Amostragem sistemtica utilizada
em populaes que tm os elementos ordenados. Nessa tcnica, a seleo
dos indivduos da amostra pode ser feita por um sistema criado pelo
pesquisador. Amostragem estratificada utilizada quando a populao
est dividida (ou pode ser dividida) em subconjuntos ou estratos.
Assim, seleciona-se o nmero de elementos da amostra
proporcionalmente ao nmero de elementos de cada um dos
estratos.
167
7
Noesdeestatstica
Varivel quantitativa e qualitativaDada uma populao, as
caractersticas de seus elementos so chamadas de variveis. Por
exemplo, em uma populao de pessoas, as variveis podem ser, de
acordo com o objeto de estudo, a altura, a idade, etc. As variveis
podem ser divididas em categorias de acordo com as suas
caractersticas, como mostra a tabela
abaixo.QualitativaSovariveisquerevelamumatributo,ouseja,umaqualidade
dosindivduosdaamostra. Ordinal Seoselementosdeuma
varivelapresentamuma ordemouhierarquia,entoela
classificadacomoqualitativa ordinal. Nominal Senohumaordemou
hierarquiaentreoselementos deumavarivel,entoela
classificadacomoqualitativa nominal.
QuantitativaSovariveisexpressaspormeiodevaloresnumricos.
Discreta Avarivelquantitativa discretarepresentadapor
valoresinteiros,quepodem sercontados,sempossveis intermedirios.
Exemplos:nmerodecarros emumestacionamento; quantidadedeamigos.
Contnua Avarivelquantitativacontnua podeassumirqualquervalor
real.Porisso,namaioria doscasos,dependedeum instrumentodemedio.
Exemplos:comprimentos; ngulos;perodosdetempo.
Exemplos:mesesdoano;cores Exemplos:cordocabelo;local
dasfaixasnojud;classes denascimento;estadocivil. sociais.
Saiba mais
Varivel quantitativa ou qualitativa?`
Emalgumassituaessoatribudosvalorespara variveisqualitativas.
Issonosignifica,porm, queelaspassamaser quantitativas.
Algumaspesquisas,por exemplo,atribuemonmero 1paraosexomasculinoe
o2paraosexofeminino. Esseprocedimentofacilita amarcaoemum
questionrio,pormela destitudadesignificado numrico,ouseja,nesse
casoosnmeros1e2so apenasrtulos.
Considere que uma indstria eletrnica pretende lanar um novo
notebook no mercado. Para isso, ela elabora uma pesquisa a ser
aplicada entre os possveis consumidores daquele produto, chamados
de consumidores em potencial. Nessa pesquisa, os entrevistados
devem assinalar o que, na opinio deles, um notebook que || custa RS
3 000,00 deve ter. Ao lado, a figura mostra um questionrio
preenchido. Todos os itens analisados so variveis da pesquisa. A
varivel tamanho da tela quantitatiTamanhodatela: va contnua, pois
apresenta valo15,4polegadas12,1polegadas res reais. Por outro lado,
a varivel Cor memria RAM quantitativa disPretoPrata creta, pois tem
valores inteiros. Por MemriaRAM fim, a varivel cor qualitativa
no512Mb1024Mb minal, pois indica um atributo do produto.
Exerccio resolvido1.
Classificarasvariveisaseguircomoqualitativaordinalounominal,quantitativadiscretaou
contnua. a)idadeemanos b)preodeumcarro c) desempenhoemumaprova
d)alturadeumapessoa e)sexo(masculinooufeminino) f) cordosolhos
g)graudeescolaridade h)peso i) velocidademximadeumcarro j)
nmerodetelevisesemumaresidncia k) doentesadio l) nmero de bactrias
em 10 mL de gua domar Resoluo
Ositenscegsovariveisqualitativasordinais; os itens e, f e k so
variveis qualitativas nominais; os itens a, j e l so variveis
quantitativas
discretas;eositensb,d,heisovariveisquantitativascontnuas.
168
Frequncia absoluta e frequncia relativaA quantidade que cada
varivel acumula ou o nmero de vezes em que cada varivel citada ao
final de uma determinada pesquisa chama-se frequncia absoluta (FA)
dessa varivel. A frequncia absoluta utilizada para organizar os
dados coletados de uma pesquisa de modo que a consulta a esses
dados fique facilitada. Exemplo Em um instituto de beleza,
verificou-se que havia cinco morenas, quatro loiras e trs ruivas
esperando para cortar o cabelo; duas loiras e quatro morenas
pintando as unhas; e uma ruiva e uma morena fazendo depilao. O
nmero de morenas (5 1 4 1 1 5 10), loiras (4 1 2 5 6) e ruivas (3 1
1 5 4) no instituto corresponde frequncia absoluta de cada uma
dessas variveis, ou seja, as frequncias absolutas de morenas,
loiras e ruivas so, respectivamente, 10, 6 e 4. Para facilitar a
organizao dos dados, pode-se utilizar uma tabela, como a mostrada
abaixo.Tonalidade do cabelo QuantidadeMoreno 10 Loiro 6 Ruivo 4
Total 20
Saiba mais
Sries estatsticas` D-seonomedesrieestatsticaatodatabelacujo
conjuntodeinformaes dadoemfunodapoca, dolocaloudaespcie.
Assriestemporais,por exemplo,descrevemos valoresdavarivel,em
determinadolocal,ao longodotempo.Assim,o nmerodecarrosvendidos
nacidadedeSoPaulonos mesesdejaneiro,fevereiro emaroumavarivel
temporal. Assriesgeogrficas,por outrolado,descrevemos
valoresdavarivel,emum determinadotempo,por regies.Assim,onmerode
carrosvendidosnosestados deSoPaulo,Parane Bahia,em2008,uma
varivelgeogrfica.
A razo entre a frequncia absoluta de uma varivel e o total de
citaes chamada de frequncia relativa (FR), ou seja, a frequncia
relativa estabelece uma comparao entre cada varivel e o total
pesquisado. Portanto, a soma de todas as frequncias relativas
sempre igual a 100%. Assim, utilizando os mesmos dados do exemplo
acima, tem-se que a razo entre o nmero de morenas, loiras e ruivas
pelo total acumulado (20) so as frequncias relativas de cada uma
dessas variveis, como mostra a tabela.MorenaFrequnciaabsoluta10
Frequnciarelativa 10 ___ 50,5550% 20
LoiraFrequnciaabsoluta6 Frequnciarelativa 6 ___ 50,3530% 20
RuivaFrequnciaabsoluta4 Frequnciarelativa 4 ___ 50,2520% 20
Por vezes, para facilitar a interpretao dos dados, interessante
calcular a soma de uma frequncia absoluta com as frequncias
absolutas anteriores ou a soma de uma frequncia relativa com as
frequncias relativas anteriores. Essas frequncias obtidas so
chamadas, respectivamente, de frequncia absoluta acumulada e
frequncia relativa acumulada. Exemplo Uma professora quer avaliar o
desempenho de seus alunos em determinada prova. Para isso, ela
monta a tabela abaixo. Note que a frequncia absoluta acumulada
mostra, por exemplo, que 28 alunos tiraram pelo menos nota 6 nessa
prova, ou seja, 75,68% dos alunos.Notas10 9 8 7 6 5 4 3 Total
Para refletir
` Deacordocomosdadosdatabeladoexemploao lado,esupondoqueanota
paraaaprovaosejano mnimoiguala6,qual aporcentagemdealunos
queforamreprovados? Existemaisdeumamaneira derealizaresseclculo?
Justifique.
Frequncia absoluta3 8 6 5 6 3 4 2 37
Frequncia absoluta acumulada3 318511 1116517 1715522 2216528
2813531 31145 35 3512537 37
Frequncia relativa3378,11% 83721,62% 63716,22% 53713,51%
63716,22% 3378,11% 43710,81% 2375,40% 100%
Frequncia relativa acumulada8,11% 8,11%121,62%529,73%
29,73%116,22%545,95% 45,95%113,51%559,46% 59,46%116,22%575,68%
75,68%18,11%583,79% 83,79%110,81%594,60% 94,60%15,40%5100% 100%
169
7
Noesdeestatstica
Tabelas de frequncias das variveis quantitativasFoi visto que as
variveis quantitativas so representadas por valores numricos e
podem ser classificadas como discretas ou contnuas, dependendo de
seus valores. A seguir ser visto, por meio de um exemplo, como
preparar as tabelas de frequncia dessas variveis. A tabela abaixo
representa o controle do nmero de passageiros (pax) e a distncia
percorrida por um taxista (em km) durante o ms de fevereiro de
2009.Calendrio segunda tera quarta quinta sexta Fevereiro/2009 sb.
dom.
140pax
No de FA passageiros37 38 39 40 41 42 Total 1 3 2 6 4 4 20
648,3km
2 9 16 23
37pax 652km 41pax 632,8km 40pax 610,5km 38pax 420km
3 10 17 24
38pax 479,2km 41pax 525km 39pax 589,9km 42pax 567,4km
4 11 18 25
42pax 627,1km 40pax 480,7km 42pax 568km 40pax 613,2km
5 12 19 26
38pax 579,9km 40pax 506km 42pax 634,3km 41pax 587,4km
6 13 20 27
7 14 21 28
8 15 22 29
FR1 ___ 50,05 20 3 ___ 50,15 20 2 ___ 50,1 20 6 ___ 50,3 20 4
___ 50,2 20 4 ___ 50,2 20 1
FR5% 15% 10% 30% 20% 20% 100%
39pax 548,2km 41pax 640,7km 40pax 545,1km
Saiba mais
` Osmbolo representaumintervalofechado esquerdaeabertodireita.
Ento,ointervalo420 467 daprimeiraclasseindica queovalor420pertence
aele,eo467no.Ovalor 467,porm,pertence segundaclasse.
Ointervalodaprimeira classefoiiniciadocomo menorvalor,420,masisso
noobrigatrio.Elepode seriniciadocomumvalor menordesdequeomaior
valornofiqueexcludoda ltimaclasse. ` Casoavariaodo
nmerodepassageiros transportadossejamuito grandeemumdeterminado
ms,pode-se,emelhor, represent-lospormeiode intervalos.Assim,atabela
noficamuitoextensa, eaconsultaaosdados facilitada.s s
As duas variveis apresentadas so variveis quantitativas. Mas,
como o nmeros de passageiros uma varivel quantitativa discreta e a
distncia percorrida uma varivel quantitativa contnua, a construo
das tabelas de frequncia feita de maneiras diferentes. Para a
varivel discreta nmero de passageiros aparecem valores de 37 a 42
passageiros. Ento, para construir a tabela de frequncia, basta
contabilizar os valores. Assim, pode-se montar a tabela ao lado.
Como os valores da varivel distncia percorrida so muito diferentes,
a tabulao desses dados ser feita na forma de intervalos, em vez de
serem representados individualmente. Para isso, deve-se determinar
a amplitude total dos dados, o nmero de intervalos (ou classes) e a
amplitude das classes. 1o) Amplitude total a diferena entre o maior
e menor valor, nesse caso At 5 652 420 5 232. 2o) O nmero de
intervalos (classes) a ser utilizado depende do tipo de informaes
que se pretende extrair e, em geral, esse nmero maior que trs. Uma
maneira de determinar o nmero de classes aplicando o critrio da
raiz, que determina o nmero de classes por meio da raiz quadrada do
nmero de elemen20 tos. Assim, pelo critrio da raiz, no de classes 5
dXXX 5 4,47. Como o nmero de classes deve ser um nmero inteiro, ser
adotado cinco classes. 3o) A amplitude das classes consiste na
variao dos intervalos de cada classe e determinada pela razo entre
a amplitude total e o nmero de classes. amplitudetotal 232 Ento,
amplitudeclasses 5 ___________ 5 ____ 5 46,4 e ser adotado 47. 5 no
de classes Assim, possvel construir a tabela de frequncia
abaixo.ClassesClasse1 Classe2 Classe3 Classe4 Classe5
Distncia percorrida420 467 467 514 514 561 561 608 608 655 Total
s47
FA1 3 3 5 8 20
FR1 ___ 50,05 20 3 ___ 50,15 20 3 ___ 50,15 20 5 ___ 50,25 20 8
___ 50,40 20 1
FR5% 15% 15% 25% 40% 100%
s47 47 47 47
s
s
s
170
Exerccios resolvidos2. Alunos de uma mesma sala participaram de
uma pesquisa respondendo quantos irmos cada um tinha. A seguir,
tem-se o resultado encontrado.1 1 0 1 2 0 0 2 0 0 1 2 1 2 2 3 3 1 2
1 122 111 133 100 132 176 115 121 128 135 132 167 99 115 123 127
159 108 108 102 141 142 147 144 152 139 146 114 154 136
Construir uma tabela de frequncia para esses dados. Resoluo A
varivel quantidade de irmos quantitativa discreta, e o menor valor
encontrado 0 e o maior 3. Assim, para construir a tabela de
frequncia, basta contar o nmero de vezes que aparecem os diferentes
valores para a varivel nmero de irmos.Nmero de irmos0 1 2 3
Total
Construir uma tabela de frequncia para esses dados. Resoluo Como
os valores so muito diferentes, pode-se represent-los por meio de
intervalos. 1o) Amplitude total A t 5 176 99 5 77. 30 2o) Pelo
critrio da raiz, no de classses 5 dXXX 5 5,47; e ser adotado 5.
amplitudetotal 77 3o) ____________ 5 ___ 5 15,4. 5 no de classes
Ser adotado 16 para a amplitude das classes. Assim, tem-se a
seguinte tabela de frequncia.ClassesClasse 1 Classe 2 Classe 3
Classe 4 Classe 5
FA5 7 6 2 20
FR5 ___ 5 0,25 5 25% 20 7 ___ 5 0,35 5 35% 20 6 ___ 5 0,30 5 30%
20 2 ___ 5 0,1 5 10% 20 1 5 100%
No acidentes99 115 131 s16 16 16
FA7 7 10 4 2 30
FR7 ___ 0,233 30 7 ___ 0,233 30 10 ___ 0,333 30 4 ___ 0,133 30 2
___ 0,067 30 1
FR23,3% 23,3% 33,3% 13,3% 6,7% 100%
115 131
s
147 163 179
147
s
s
3. A seguir, apresentam-se os nmeros de acidentes com automveis
em uma cidade, registrados pela companhia de engenharia de trfego
durante um ms.
16
163
Total
s16
Exerccios propostos4. Construa uma tabela de frequncia para cada
uma das situaes apresentadas nas tabelas a seguir.Nmero de
sinistros registrados por dia em uma seguradora100 125 135
Pontuao de alguns alunos em uma prova com duzentas questes
135 130 175 165 145 135 100 125
170 155 165
165 160 135
140 145 100
175 165 145
135 130 125 165 160
170 155 165 140 145
120 125 130 140
105 165 145 125
165 180 185 145
5. Situao 1: Foi realizado um estudo com os cem alunos de uma
escola sobre o nmero de televisores que havia na casa de cada um.
Para isso foi efetuado um questionrio ao qual responderam sessenta
alunos. Situao 2: Em um banco foi realizado um estudo sobre o saldo
de seus correntistas. Para isso foi realizada uma pesquisa
aleatria, pelo sistema, de 1 000 correntistas. Nessas condies,
determine para cada situao a populao em estudo, a amostra
escolhida, a varivel em estudo e sua classificao.
Altura, em metros, de 25 alunos de um colgio
1,5 1,6 1,55 1,65 1,7
1,75 1,8 1,6 1,8 1,6
1,62 1,8 1,75 1,7 1,6
1,65 1,55 1,85 1,89 1,85
1,75 1,7 1,55 1,65 1,6
171
7
Noes de estatstica
2. Representaes grficasSaiba mais
O quadro abaixo mostra o nmero de aprovados na primeira fase em
cinco exames de um concurso.As aprovaesexames 122 (dezembro de
2003) 123 (abril de 2004) 124 (setembro de 2004) 125 (janeiro de
2005) 126 (maio de 2006) inscritos 29 733 21 774 19 660 27 724 21
132 22 246 (74,82%) 18 896 (86,79%) 17 974 (91,43%) 21 997 (79,35%)
19 682 (93,14%)0 20 40 60 80 100
Pictograma` Pictogramas so grficosconstrudos a partir de figuras
autoexplicativas, normalmente utilizados para representar a
intensidade de um determinado fenmeno. Tm como objetivo principal
despertar a ateno do pblico, mostrando uma viso geral do fenmeno, e
no se atendo a detalhes. Exemplo rea desmatada nos ltimos anos, em
uma determinada regio.5 10 mil hectares de floresta desmatadaAno
2004 Ano 2005 Ano 2006 Ano 2007 Ano 2008
aprovados
Nesse quadro, a mesma informao, nmero de aprovados, apresentada
de duas formas. A primeira, mostra o nmero de aprovados e a
porcentagem em relao ao nmero de inscritos, que pode ser comparada
a uma tabela, e a segunda, formada pelas barras, que pode ser
associada a um grfico. Verifica-se que, para cada modo de
apresentao, utiliza-se uma linguagem. Pela tabela possvel verificar
o nmero exato de aprovados. Pelo grfico, as diferenas entre os
valores em porcentagem so mais evidentes. Isso se deve ao fato de
que os grficos tm um apelo visual mais forte, e assim as comparaes
e a identificao das variveis com os maiores ou menores valores so
feitas mais rapidamente. Existem diversos tipos de grficos. A
seguir sero estudados o grfico de barras, de linhas ou segmentos,
de setores e os grficos mltiplos.
Cartograma` Os cartogramas soconstrudos para representar dados
estatsticos de regies geogrficas ou polticas em mapas.
Grfico de barrasO grfico de barras, que pode ser horizontal ou
vertical, formado por barras de mesma largura cujos comprimentos
esto diretamente relacionados s frequncias absolutas ou relativas
das variveis. A tabela a seguir, por exemplo, mostra as
porcentagens das distribuies dos gastos de dois grupos de famlias,
com rendas mensais diferentes.Tipo de despesaHabitao Alimentao
Transporte Sade Educao Outros
|| Renda at RS 500,0040% 30% 5% 5% 1% 19%
Renda maior ou igual || a RS 5 000,0020% 10% 15% 10% 10% 35%
Com esses dados possvel construir os seguintes grficos.|| Renda
at RS 500,00Escassez de gua Baixa Baixa a mdia Mdia Alta Severa No
disponvel
|| Renda maior ou igual a RS 5 000,00Outros Educao Sade
Transporte Alimentao Habitao
Distribuio de gastos (%) 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 79.
s o o rte ade ao tro a nta po S Ou uc bit ns e Ed m Ha Tra
Ali
0
10
20
30
40
Distribuio de gastos (%)
172
Grfico de linhas ou segmentosO grfico de linhas ou segmentos
obtido com o traado de segmentos de retas que ligam pontos cujos
pares ordenados so conhecidos. Esse tipo de grfico utilizado quando
duas grandezas se relacionam, ou quando se deseja enfatizar a
evoluo dos valores de um determinado fenmeno. O grfico de segmentos
ao lado mostra a taxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da
popuTaxa de analfabetismo entre 1987 e 1997 da populao brasileira
de 15 anos ou mais de idade lao brasileira de 15 anos ou mais. Os
valores (%) para os anos de 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 22 1992,
1993, 1995 e 1997 foram, respectivamen20 te, 20%, 17%, 19,7%; 19%;
19%; 18,3%; 16,3%; 18 15,5% e 14,7%. Assim, para cada ano, marca-se
16 o ponto correspondente taxa de analfabetismo, e o grfico fica
construdo quando se ligam os 14 pontos de perodos consecutivos. 12
Observe que, nesse caso, a evoluo dos dados 10 1 7 7 Ano 3 2 5 9 8
0 enfatizada pelo grfico mais importante que os 199 199 199 199 198
199 198 199 198 prprios nmeros. Por exemplo, possvel verifiFonte:
IBGE. car que, a partir de 1989, a taxa de analfabetismo Disponvel
em: . se manteve ou diminuiu. Acesso em: 17 jun. 2009.
Grfico de setoresPara construir o grfico de setores,
considera-se um crculo (cujo ngulo central mede 360) como o total
de uma varivel (100%), subdividido em setores circulares cujos
ngulos centrais so proporcionais s porcentagens dos itens dessa
varivel. Esse tipo de grfico utilizado quando se deseja comparar os
itens de uma mesma varivel, ou a variao dos itens de uma mesma
varivel em diferentes pesquisas. Com os grficos de setores a
seguir, comparam-se as matrizes energticas de dois pases, A e B.
Nesses grficos esto representadas as porcentagens de cada um dos
tipos de fonte de energia utilizados.Pas A5% 15% 10% 50%
hidreltrica nuclear termoeltrica elica outros 15%
Saiba mais
Grfico de setores em um semicrculo` Alguns grficos de setoresso
representados em um semicrculo, seja por limitao de espao ou pura
esttica. Nesse caso, o total da varivel, 100%, corresponde ao ngulo
central de 180. Exemplo Animais domsticos em residncias de um
estado brasileiro.Cachorros 26%
Pas B2% 18%
25%
20%
40%
Gatos 25% Passarinhos 18% Outros 13% Peixes 9% Roedores 9%
Nesse caso, a varivel fonte de energia foi dividida em cinco
itens hidreltrica, nuclear, termoeltrica, elica e outros. Assim, o
grfico de cada pas compara, em termos percentuais, cada item da
varivel. possvel, de forma visual, concluir que a base da produo de
energia no pas A se concentra nas hidreltricas. J, no pas B, a
principal fonte de energia a nuclear. Mas, supondo que a energia
produzida nos dois pases seja igual, tambm possvel comparar um
mesmo item nos dois pases. Verifica-se, por exemplo, que o uso da
energia hidreltrica no pas A maior que no pas B, o uso da energia
nuclear em B maior que no pas A, o uso da energia elica no pas A
maior que no pas B e o uso da energia termoeltrica igual nos dois
pases.
173
7
Noes de estatstica
Grficos mltiplosOs grficos mltiplos ou grficos de mltiplas
entradas so utilizados para representar duas ou mais variveis em um
mesmo grfico para que a inC mm ter-relao entre elas seja
evidenciada. 26 300 Os climogramas so exemplos de grficos de
mltiplas entradas, pois apre25 275 24 250 sentam informaes sobre os
volumes mdios de chuva nos meses do ano e a 23 225 variao da
temperatura ao longo do ano de um determinado local. O volu22 200
21 175 me mdio de chuva representado por um grfico de barras com
escala em 20 150 19 125 milmetro e a variao da temperatura
representada por um grfico de linha 18 100 com escala em C. 17 75
16 50 No climograma possvel estabelecer uma relao entre o volume de
chu15 25 14 0 va e a variao da temperatura. No exemplo ao lado,
verifica-se que, em um J F MA M J J A S O N D clima tropical
continental, os meses mais frios tambm so os meses mais secos, pois
ocorrem menores precipitaes. J o grfico de segmentos mltiplos ao
Percentual de lentido do trnsito lado refere-se aos registros dos
percentuais (%) 25 de lentido no trnsito da cidade de So Paulo,
realizados pela CET (Companhia 20 de Engenharia de Trfego). Para
construir 22,7 o grfico do dia, representado em azul, 15 a CET
atualiza as informaes a cada meia 12,2 11,0 hora inserindo um ponto
no grfico e tra10,9 9,0 10 8,7 ando um segmento de reta entre o
novo 8,0 7,1 7,2 registro e o registro anterior. 8,0 7,3 6,9 6,4 5
Neste caso, pode-se verificar que h hor5,6 2,6 rios de pico de
trnsito e horrios com me0 nos trnsito. Assim, esse tipo de informao
7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 Horrio facilita, por
exemplo, a programao de pesMdia superior Mdia inferior Maior ndice
Dia 17 abr. 2009 soas que dependem do carro para trabalhar.Clima
tropical continental
Exerccios resolvidos6. Em um estdio de futebol h 50 000
torcedores dos times A e B. Sabendo que 20 000 torcem pelo time A,
construir um grfico de setores comparando as quantidades de
torcedores dos dois times. Resoluo Se 20 000 pessoas torcem pelo
time A, ento 30 000 pessoas torcem pelo time B e possvel construir
a tabela abaixo.Nmero de torcedoresTime A Time B Total 20 000 30
000 50 000
7.
Considerando o seguinte climograma, responder s perguntas
abaixo.C 30 20 10 0 10 20 J F M A M J J A S O N D mm 150 125 100 75
50 25
FR20 000 2 _______ 5 __ 5 40% 50 000 5 30 000 3 _______ 5 __ 5
60% 50 000 5 1 5 100%time A 144 216 time B
a) Os dados desse climograma referem-se a um local no hemisfrio
Norte ou Sul? b) Qual o ms de maior precipitao? c) Nessa regio, o
vero seco ou mido? Resoluo a) Como as menores temperaturas ocorrem
nos meses de junho e julho, conclui-se que esse climograma se
refere a um local no hemisfrio Sul, cujo inverno ocorre nesses
meses. b) Observando o grfico de barras, tem-se que o ms com maior
precipitao junho. c) Como nos meses mais quentes h os menores
ndices pluviomtricos, ento o vero seco.
Para dividir um crculo em partes correspondentes a 40% e 60%,
40% deve-se determinar o ngulo central de cada uma das partes. 60%
Time A 40% de 360 5 144 Time B 60% de 360 5 216 Ento, tem-se o
grfico de setores ao lado.
174
Exerccios propostos8. Em um shopping center foi realizada uma
pesquisa para determinar a quantidade de carros que os
frequentadores desse shopping tinham. A figura a seguir representa
o resultado dessa pesquisa.1 0 1 1 1 2 0 0 2 2 0 1 0 2 0 1 2 2 3 1
3 2 1 1 3 165 156 167 170 164 165 165 166 168 162 164 166 161 171
158 154 159 160 167 165
Com base nesses dados, pede-se o seguinte. a) Construa uma
tabela de frequncias. b) Construa um grfico de barras. 11. As
alturas, em centmetros, dos alunos do 8o ano de uma escola esto
apresentadas a seguir.
Com base nesses dados, faa o que se pede em cada item a seguir.
a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela de frequncias
(absoluta e relativa). c) Construa um grfico de barras. d) Construa
um grfico de setores. 9. Um pequeno mercado verificou quanto cada
cliente gastou em um final de semana, obtendo as informaes a
seguir.Classes1
De acordo com os dados fornecidos acima, faa o que pedido. a)
Classifique esta varivel. b) Construa uma tabela de frequncias
(absoluta e relativa) e um grfico de barras. 12. Leia o grfico a
seguir.Infartos: maioria dos casos entre 6 h e 12 hUm estudo
realizado pela USP com 173 mil internaes entre 1987 e 1996
verificou em que hora mais acontecem os infartos.
Valor das compras0 100 200 300 400 500 100 s 200 300 s
Nmero de clientes 60 75 80 4256 45
2 3 4 5 6
De acordo com os dados da tabela, faa o que se pede. a)
Classifique esta varivel. b) Construa uma tabela de frequncias
(absoluta e relativa). c) Construa um grfico de barras. 10. O
grfico de setores abaixo representa a distribuio percentual do
ndice de qualidade das guas na regio hidrogrfica do So
Francisco.tima pssima 1% 1% Fonte: Revista Superinteressante, n.
263, So Paulo, Abril, mar. 2009. ruim 7% aceitvel 13% boa 78%
Fonte: Caderno Recursos Hdricos ANA 2005.
s
400 500 600
s s s
A figura acima tem a aparncia de um grfico de setores, mas no .
Esse fato pode ser verificado pela desproporo entre as
porcentagens. De acordo com os dados do enunciado e da figura, faa
o que se pede em cada item a seguir. a) Construa uma tabela de
frequncias (absoluta e relativa). b) Construa um grfico de barras.
c) Construa um grfico de setores indicando a medida dos ngulos
centrais.
175
7
Noes de estatstica
3. HistogramaO histograma um grfico de barras verticais, em que
o eixo das abscissas representa a varivel analisada e o eixo das
ordenadas indica a frequncia (absoluta ou relativa) dessa varivel.
A construo do histograma muito importante em uma anlise estatstica.
Com ele possvel responder a muitas perguntas, como as seguintes.
Como a distribuio dos dados? H picos definidos ou as frequncias so
muito prximas? H mais de um pico? As frequncias so maiores no
centro da distribuio ou nas laterais? possvel determinar um ponto
central? Ele divide os dados em partes iguais (histograma
simtrico)? A variao entre os dados muito grande? A seguir sero
construdos histogramas para variveis discretas e
contnuas.Histograma de uma varivel discretaNo histograma de uma
varivel discreta as barras so de mesma espessura, equidistantes
entre si, em que a altura da barra indica a frequncia (absoluta ou
relativa) da varivel. Exemplo Um agente de trnsito anotou em sua
agenda o nmero de acidentes que ocorriam em uma determinada via,
durante 45 dias, e montou a seguinte tabela. Nmero de acidentes por
dia 0 1 2 3 4 Total Nmero de dias 16 12 6 2 9 45 FR 35,56% 26,67%
13,33% 4,44% 20% 100%
Histograma de uma varivel contnuaNo histograma de uma varivel
contnua as barras so de mesma espessura, uma ao lado da outra, em
que a altura indica a frequncia (absoluta ou relativa) da varivel.
A largura de cada barra corresponde ao tamanho do intervalo de cada
classe. Exemplo Um mercado registrou o valor que cada cliente
gastou em um determinado dia e montou a tabela abaixo. Classes
Valor das compras Nmero de clientes 1 2 3 4 5 6 0 100 100 50 42 28
42 20 60 242 s FR 20,66% 17,36% 11,57% 17,36% 8,26% 24,79% 100%
200
200 300
s
300
s
400 500
400 500
Total
De acordo com os dados fornecidos, pode-se afirmar que a varivel
analisada o nmero de acidentes por dia. possvel verificar que
nesses 45 dias ocorreram, no mximo, quatro acidentes por dia.
Assim, para construir esse histograma, coloca-se no eixo das
abscissas a varivel nmero de acidentes por dia, e no eixo das
ordenadas, a frequncia absoluta, no primeiro caso, e a frequncia
relativa, no segundo caso, como foi feito abaixo.FA 16 12 9 6 2 0 1
2 3 4 no de acidentes por dia FR (%) 35,56 26,67 20 13,33 4,44 0 1
2 3 4 n de acidentes por dia
De acordo com os dados do exemplo, pode-se afirmar que a varivel
o valor das compras. Alm disso, sabe-se que h seis classes, cuja
amplitude igual a 100. Portanto, neste caso, a largura das barras
deve ser correspondente a 100. Assim, para construir esse
histograma, coloca-se no eixo das abscissas a varivel valor das
compras, e, no eixo das ordenadas, a frequncia absoluta, no
primeiro caso, e a frequncia relativa, no segundo caso, como
mostrado a seguir.FA 60 50 42 28 20
s
s
600
s
Polgono de frequncia
FR (%) 24,79 20,66 17,36 11,57 8,26
0
100 200 300 400 500 600
0 100 200 300 400 500 600
|| valor das compras (RS)
|| valor das compras (RS)
Observaes O zero da varivel no precisa, necessariamente,
coincidir com a interseco dos eixos. O polgono obtido a partir do
traado de segmentos de reta ligando-se os pontos mdios das bases
superiores das barras do histograma chamado de polgono de frequncia
ou polgono do histograma. Note que nas extremidades so considerados
intervalos fictcios de frequncia zero.
176
Exerccios propostos13. Um professor de Educao Fsica verificou a
altura dos alunos de uma sala de aula para montar um time de
voleibol. Os resultados so apresentados na tabela a
seguir.Classes1
16. A tabela a seguir mostra os dados obtidos em uma pesquisa
realizada ao longo de um dia em um shopping em que se analisou o
consumo de refrigerantes de seus frequentadores.Quantidade de latas
de refrigerantes consumidas em um dia 0 1 2 3 4 FA 15 10 15 8 2
Altura (m)1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,6 1,7 1,9 2,0 s s
Frequncia absoluta 4 9 6 51
2 3 4 5
1,8
Com base nesses dados, faa o que pedido em cada item a seguir.
a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela completa de
frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um histograma para
essa varivel. 14. Uma imobiliria recebe mensalmente o aluguel de
algumas casas, conforme mostra a tabela a seguir.Classes1
Aluguel (RS ||)0 200 400 800 600 200 400 600 800 1 200 s s
s s s
Com base nesses dados, construa um grfico de setores e um
histograma para essa varivel. 17. Em uma eleio de condomnio, trs
pessoas, A, B e C, candidataram-se para eleger-se o prximo sndico.
No final da eleio, verificou-se que 82 condminos votaram no
candidato A, 64 no candidato B e 54 no candidato C. a) Construa uma
tabela de frequncias (absoluta e relativa). b) Construa um
histograma para essa varivel. c) Construa um grfico de setores para
essa varivel. 18. Uma multinacional dispe de um investimento de ||
RS 100 000 000,00 na bolsa de valores. O grfico de setores a seguir
mostra de que maneira esse investimento est distribudo.indstria
farmacutica 15% petroqumica 10% alimentos 5% carros e peas 40%
Nmero de casas 10 30 28 32 128
2 3 4 5 6
1 000
Com base nesses dados, construa um histograma para essa varivel
e responda s seguintes perguntas, justificando suas respostas. a)
Qual a faixa de aluguel mais frequente? b) Como a distribuio dos
dados? H picos definidos ou as frequncias so muito prximas? 15. As
idades dos frequentadores de um evento beneficente foram
pesquisadas e organizadas conforme tabela abaixo.Idade das pessoas
em um determinado evento 60 61 62 63 64 FA 10 21 15 9 5
Com base nesses dados, faa o que se pede em cada item a seguir.
a) Classifique essa varivel. b) Construa uma tabela completa de
frequncias (absoluta e relativa). c) Construa um histograma para
essa varivel.
s s s
1 000
s
agropecuria 30%
De acordo com os dados do grfico e do enunciado, faa o que se
pede em cada item a seguir. a) Construa uma tabela de frequncia
(absoluta e relativa) para essa varivel. b) Construa um histograma
para essa varivel. c) Qual o valor investido em carros e peas? d)
No grfico de setores, qual a medida do ngulo central correspondente
parte de alimentos? || e) Qual a diferena, em RS, entre o
investimento em alimentos e em agropecuria?
177
7
Noes de estatstica
Exerccios complementaresPesquisa estatstica e representaes
grficas19. O grfico de segmentos a seguir mostra o percentual de
pessoas endividadas no carto de crdito, desde abril de 2008 a abril
de 2009.Cresce percentual de pessoas endividadas no carto de
crditoConsumidores com dvida no carto de crdito (%) 60
Com base nos dados, responda s seguintes perguntas. a) Em 2030,
qual seria a diferena aproximada do consumo de petrleo se nenhuma
medida fosse adotada e se aumentasse a eficincia do usurio final?
b) Em 2020, qual seria a diferena aproximada das importaes de
petrleo se nenhuma medida fosse adotada e se o petrleo fosse
substitudo por biocombustveis? 21. As figuras mostram o total de
emisses de gs carbnico nos anos de 1980 e 2005, do Canad, EUA,
Brasil, Europa, Rssia e China.EmISSo dE Co2 PoR ANo Em bIlHo dE
toNElAdAS
55 52 53
47 45 45 45 45
46 43
46
40 abr. maio jun. jul. ago. set. out. nov. dez. jan. fev. mar.
abr. 2009 2008 Fonte: Fecomrcio SP Fonte: Folha de S.Paulo, 15 abr.
2009. p. B2.
Canad 452,17 EUA 4 747,6
Europa 2 500
Unio Sovitica 3 027,53 China 1 454,65
Com base no grfico e em seus conhecimentos, responda s seguintes
perguntas. a) Qual foi o perodo mais estvel? b) Quando se atingiu o
ndice mais baixo? E o ndice mais alto? 20. Considere o seguinte
grfico a respeito do consumo e das importaes de petrleo pelos EUA e
o texto abaixo.EUA sem petrleoProduto equivalente ao petrleo
(milhes de barris por dia) 35 30 25 20 15 10 5 Uso Importaes 60 70
80 90 2000 2010 2020 2030 ano Projees do governo Eficincia do
usurio final Com substituio de suprimentos Com hidrgenio opcional
de fontes renovveis
1980
Brasil 185,22
Canad 631,26 EUA 5 956,98
Europa 3 500
Rssia 1 696 China 5 322,69
2005
Brasil 360,57
0 km
5 540
Fonte: O Estado de S. Paulo. Disponvel em: . Acesso em: 20 abr.
2009.
0 1950
Consumo e importaes de petrleo nos EUA podem ser reduzidos ao se
dobrar a eficincia dos veculos, prdios e indstria (linhas amarelas
no grfico). Os EUA podem fazer mais redues ao trocar petrleo por
alternativas competitivas como biocombustveis modernos e gs natural
economizado (linhas verdes), alm de hidrognio combustvel (linhas
azuis).Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p. 75.
a) Construa um grfico de barras para comparar o total emitido
pelo Brasil em 1980 e em 2005 e calcule o aumento percentual nesse
perodo. b) Monte uma tabela de frequncias e um grfico de setores
comparando o total emitido pelo Canad, EUA, Brasil, Europa, Rssia e
China, em 2005, considerando que o total de emisses naquele ano
tenha sido de 20 bilhes de toneladas. c) Quais dos pases mostrados
no mapa tiveram um aumento no total de emisses no perodo
considerado? E quais tiveram uma diminuio?
178
22. Defina o tipo de grfico mais apropriado para cada uma das
seguintes situaes. Justifique. a) Para analisar tendncias. b) Para
comparao de valores. 23. A figura abaixo representa de que maneira
as castas estavam divididas na ndia, em 2001.
25. Em uma loja, so vendidos trs modelos de televisores, A, B e
C. A figura abaixo representa as propores de vendas de cada
modelo.modelo A modelo C
126 144 modelo B
Nessas condies, construa uma tabela de frequncias e um
histograma para essa varivel. 26. Em 19 de maro de 2009, a Folha de
S.Paulo publicou um grfico com as mdias do Idesp nos anos de 2007
(barras vermelhas), 2008 (barras vinho) e a meta a ser alcanada em
2030 (barras pretas), mostrado abaixo.Fonte: Revista
Superinteressante n. 263, So Paulo, Abril, mar. 2009. 7,00 6,00
5,00 3,25 3,23 2,60 2,54
Considerando que a populao da ndia era de 1,029 bilho de
habitantes, em 2001, faa o que se pede em cada item a seguir. a)
Construa uma tabela de frequncias (absoluta e relativa). b)
Construa um grfico de barras. c) Construa um grfico de setores,
indicando a medida dos ngulos centrais.
1,95 1,41
Histograma24. O histograma abaixo indica as atividades
desenvolvidas por um aluno em um dia inteiro e a proporo do tempo
utilizada em cada atividade.FR (%) 35
1a a 4a srie
5a a 8a srie
Ensino Mdio
Fonte: Folha de S.Paulo, 19 mar. 2009.
O Idesp o ndice de Desenvolvimento da Educao do Estado de So
Paulo, que indica o desempenho das escolas e estabelece metas.
Analisando os dados apresentados, o que possvel afirmar sobre a
melhora ou piora no Ensino Mdio e no Ensino Fundamental?
25 20
desafio de lgica 27. A primeira linha de um tabuleiro dividido
em 25 partes foi preenchida da seguinte forma. De que maneira os
outros quadrados podem ser preenchidos, a fim de que na mesma
linha, na mesma coluna e na mesma diagonal, o mesmo smbolo no
aparea duas vezes?
7 3
10
0
dormir estudar brincar alimentar higiene praticar pessoal
esporte atividades
De acordo com os dados do histograma, construa uma tabela de
frequncias (absoluta e relativa) e um grfico de setores para essa
varivel.
179
7
Noes de estatstica
Integre o aprendizado28. Validao. Em um colgio h 1 000 alunos, e
560 so meninas. Durante uma das aulas de Matemtica da 3a srie, um
grupo de alunos ficou responsvel por realizar uma pesquisa
estatstica sobre o nmero de primos que cada aluno desse colgio tem
na famlia. Para tanto, o grupo decidiu colher as respostas em uma
amostra de 150 alunos. a) Quantas meninas deve haver nessa amostra
para que a proporo em relao populao total se mantenha? b) Construa
um histograma de frequncia relativa para a quantidade de meninos e
meninas desse colgio. 29. O problema da falta de gua j alarmante em
algumas partes do mundo. A figura abaixo mostra o nvel de escassez
da gua pelo mundo e quais grupos de pessoas sofrem mais com essa
escassez. 30. A prtica de esportes benfica sade das pessoas em
qualquer idade. Observe o grfico a seguir, que representa o tempo
dirio, em mdia, que os jovens de uma cidade dedicam aos esportes de
suas preferncias.no de jovens
300 250 225 200 190 150 115 100 50 0
20
40
60
80
100
120
minutos
Escassez de gua Baixa Baixa a mdia Mdia Alta Severa No
disponvel
a) Quantos jovens dedicam, em mdia, mais de uma hora diria em
prticas espotivas? b) Represente esses dados em um histograma de
frequncia absoluta e represente o polgono de frequncia. 31. De
acordo com a figura abaixo, que corresponde a um climograma,
responda s seguintes questes.50 40 30 20 10 0 10 20 C J F M A M J J
A S O N D 400 350 300 250 200 150 100 50 mm
QUEM SO OS FAMINTOS?Camponeses sem-terra Pastores, pescadores e
povos das florestas Pobres urbanos
20%Pequenos proprietrios rurais
50%
10% 20%
A ESCASSEZ DE GUA prejudica mais os pequenos agricultores,
muitos dos quais tm de arrancar seus sustento de reas semiridas
distantes de poos ou represas. Cerca de metade dos famintos do
mundo composta de proprietrios rurais humildes que cultivam
acanhados lotes de terra; outros 20% so trabalhadores rurais
sem-terra. Fonte: Revista Scientific American, ano 4, n. 41. p.
79.
De acordo com os dados fornecidos pelo enunciado, faa o que se
pede. a) Construa uma tabela de frequncias e um grfico de barras
para representar os grupos dos que sofrem com a escassez de gua. b)
Se o Brasil detentor de grandes reservas hdricas, por que ele
classificado como nvel mdio de escassez e no como baixo?180
a) Qual o ms mais chuvoso? b) Este climograma se refere a uma
regio de qual hemisfrio, Norte ou Sul? c) Na cidade de So Paulo, o
inverno frio (com mnimas de 7 C) e seco e o vero quente (mximas
prximas a 40 C) e mido. possvel afirmar que este climograma reflete
o clima da cidade de So Paulo? Por qu?
32. As pirmides etrias so grficos de barras horizontais que
mostram a composio de uma populao, dividida por faixas de idade e
sexo. Abaixo, tm-se as pirmides etrias do Brasil e do Japo, em
2005.Pirmide de idades, Brasil, 2005Grupo de idade 100 95-99 90-94
85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39
30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4
d) As barras que representam a quantidade de homens e mulheres
so dispostas em sentidos opostos. Esse tipo de construo permite
verificar o grau de simetria que a pirmide tem. Analisando as duas
pirmides, o que se pode concluir sobre seus graus de simetria?
Expresso e linguagem matemtica1. Leia
Observe estas sequncias. sequncia A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
sequncia B: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...2. Resolva Determine quantos
termos compem a sequn-
10
0 0 0 0 0 00 8 00 6 00 4 00 2 00
0
20
00 000 000 000 000 6 4 8 10 Efetivo (em milhares)
Pirmide de idades, Japo, 2005Grupo de idade 100 95-99 90-94
85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 40-44 35-39
30-34 25-29 20-24 15-19 10-14 5-9 0-4
cia A. Ela pode ser classificada como finita ou infinita?
Justifique. Com relao sequncia B, quantos termos a compem? Como ela
pode ser classificada? Justifique. Agora, considere o problema a
seguir: Demonstre que 1 1 3 1 5 1 7 1 ... 1 13 5 n2. O que se
pretende demonstrar? Assinale a alternativa que responda a essa
pergunta. a) 1 1 3 1 5 1 7 1 13 5 52, j que so cinco parcelas. b) 1
1 3 1 5 1 7 5 n2 13, em que n um nmero real qualquer. c) 1 5 12,
pois h apenas o primeiro termo da sequncia, 1 1 3 5 22, pois so
considerados os dois primeiros termos da sequncia, e assim por
diante, at ter verificado para todas as somas o valor de n2. O que
significa o valor de n? possvel verificar essa igualdade para todos
os casos? Considerando essa resposta, elabore uma estratgia e
demonstre o que foi pedido.3. Reflita A demonstrao acima prova que
a soma dos n pri-
60
00
40
00
00 20
0
60 2 40 Efetivo (em milhares)
0 00
00
00
Fonte: Revista Cincia Hoje. Disponvel em: . Acesso em: 20 abr.
2009.
Com base nessas informaes, responda s seguintes questes. a) No
Japo, qual a faixa etria que concentra o maior nmero de pessoas? E
no Brasil? b) Comparando os grficos, o que se pode afirmar com
relao s taxas de natalidade nesses dois pases? c) Estatisticamente,
alguns estudos indicam que as mulheres vivem mais do que os homens.
H outro fator que possa explicar a diferena entre o nmero de homens
e mulheres acima dos 80 anos no Japo? No caso de resposta
afirmativa, qual esse fator?
meiros termos da sequncia A, apresentada no incio desta
atividade, igual a n2, considerando-se que 1 < n < 7. A mesma
demonstrao poderia ser utilizada para demonstrar que a soma dos n
primeiros termos da sequncia B igual a n2? Justifique. O tipo de
demonstrao utilizado na resoluo deste problema geralmente chamado
de demonstrao por exausto. Elabore um pequeno texto para
caracterizar esse processo. Agora, resolva o seguinte problema.
Demonstre que no possvel traar todas as seis retas a seguir sem
tirar o lpis do papel ou sem retraar nenhuma reta.
181
Estratgias e solues Apertos de moO dono de um hotel fez uma
festa para comemorar seu aniversrio. Foram convidados para essa
festa vrios amigos e familiares. Entre as pessoas convidadas,
podiam ser identificados casais e pessoas solteiras. Todos os
convidados cumprimentaram um ao outro com um aperto de mo, com
exceo dos casais, claro. Um adolescente, que estava na festa
acompanhando seus pais, ficou um pouco entediado, pois no havia
muitas pessoas da sua idade na festa. Ento, para distrair-se,
entreteve-se contando a quantidade de apertos de mo dados durante
os cumprimentos. Ao final, ficou bastante espantado: contabilizou 1
111 apertos de mo! Quantos casais e quantos solteiros estavam na
festa?
Identificao e registro de informaes1. Quais so os dados que o
problema fornece? 2. O que o problema pede? 3. O problema seria
mais fcil se s houvesse solteiros na festa? Explique.
Elaborao de hipteses e estratgias de resoluo1. Considerando suas
respostas anteriores, vamos examinar um problema mais simples.
Desconsidere a questo da existncia de casais e responda s seguintes
questes. a) Quantos apertos de mo sero dados se houver dez
convidados em uma festa em que todos se cumprimentam? b) E se o
nmero de convidados for 15? c) Se houver n convidados, quantos sero
os apertos de mo? d) Quantos convidados seriam necessrios para que
a quantidade de apertos de mo fosse 990? 2. Se no nosso problema
todos os convidados fossem solteiros, haveria mais ou menos apertos
de mo que 1 111? Justifique. 3. Suponha que todos os convidados
sejam solteiros. Quantos convidados seriam necessrios, nesse caso,
para que o nmero de cumprimentos fosse maior ou igual a 1 111?
Justifique. 4. Agora, responda questo proposta: Quantos casais e
quantos solteiros estavam na festa do dono do hotel?
Reflexo1. Verifique se o resultado que voc obteve est de acordo
com as informaes contidas no enunciado do problema. 2. Existem
outras solues? Justifique sua resposta. 3. Voc capaz de imaginar
outra estratgia para a resoluo deste problema? Descreva essa
estratgia. 4. Voc j conhecia problemas parecidos com este que
acabamos de resolver? Descreva-os. 5. Para resolver o problema,
propusemos um problema semelhante que nos auxiliasse. Alterando
alguns dados, elabore outro problema parecido e, depois de
resolv-lo, proponha-o a algum colega. Resolva os problemas 4 e 8
das pginas 268 e 269.182
Roteiro de estudosPesquisa estatstica e representaes grficas
Populao: conjunto de todas as coisas, pessoas e obje-
tos, chamados de indivduos da populao, que interessam para um
determinado estudo. Amostra: qualquer subconjunto (no vazio) de uma
populao. Varivel: cada caracterstica de interesse do pesquisador
sobre determinada populao, ou seja, cada objeto de estudo. Varivel
qualitativa: aquela que revela um atributo, ou seja, uma qualidade
dos indivduos da amostra como, por exemplo, meses do ano, classes
sociais, cor do cabelo, etc. Varivel quantitativa: aquela expressa
por meio de valores numricos como a quantidade de amigos, o nmero
de carros em um estacionamento, a altura, etc. Frequncia absoluta:
a quantidade que cada varivel acumula ou o nmero de vezes que a
varivel citada ao final de uma determinada pesquisa. Frequncia
relativa: a razo entre a frequncia absoluta de uma varivel e o
total de citaes. Grfico de barras: formado por barras de mesma
largura, que podem ser horizontais ou verticais, cujos comprimentos
esto diretamente relacionados com as frequncias absolutas ou
relativas das variveis. Grfico de segmentos: obtido com o traado de
segmentos de retas que ligam pontos cujos pares ordenados so
conhecidos. Grfico de setores: formado por um crculo que representa
o total de uma varivel, cujos setores circulares indicam,
proporcionalmente, as porcentagens dos itens dessa varivel. Grfico
mltiplo: a representao de duas ou mais variveis em um mesmo grfico.
Retome os contedos com os exerccios propostos 4, 5, 8, 9, 10, 11 e
12 e com os exerccios complementares 19, 21 e 22. Resolva os
exerccios 3, 6 e 12 de Vestibular e Enem.
Desafio 1 ` (Unesp-SP) O grfico representa o consumo mensal de
gua em uma determinada residncia no perodo de um ano. As tarifas de
gua para essa residncia so dadas a seguir: Consumo em metros
cbicosm 40 30 20 10 0 183
37 38
34 33 32
32 30 28 26 30 29
de
6 07 07 07 07 07 07 07 07 07 07 07 z. 0 jan. fev. ar. abr. aio
jun. jul. go. set. out. ov. n a m m meses
Faixa f(m3) 0 < f < 10 10 , f < 20 20 , f < 30 30 ,
f < 40
|| Tarifa (RS)
0,50 1,00 1,50 2,00
Assim, por exemplo, o gasto no ms de maro, que corresponde ao
consumo de 34 m3, em reais, : 10 ? 0,50 1 10 ? 1,00 1 10 ? 1,50 1 4
? 2,00 5 38,00 Vamos supor que essas tarifas tenham se mantido no
ano todo. Note que nos meses de janeiro e fevereiro, juntos, foram
consumidos 56 m3 de gua e, para pagar essas duas contas, foram
gastos x reais. O mesmo consumo ocorreu nos meses de julho e agosto
juntos, mas para pagar essas duas contas foram gastos y reais.
Determine a diferena x y.
Histograma um grfico de barras verticais, em que o eixo das
abs-
cissas representa a varivel analisada e o eixo das ordenadas
indica a frequncia (absoluta ou relativa) dessa varivel.
Desafio 2 ` Durante a fabricao de um parafuso ocorreu uma
desregulagem da mquina, que no foi detectada na hora, produzindo
assim uma grande variao no nmero de peas produzidas para cada
possvel dimetro. No final da fabricao, todos os dimetros dos
parafusos foram medidos, e os dados foram registrados na forma de
um histograma. Qual deve ser o histograma (A ou B) que indicar a
desregulagem da mquina? A100 80 60 40 80 70 60 50 40 30 20 10 0
B
Retome os contedos com os exerccios propostos 13, 14 e 18 e com
os exerccios complementares 24, 25 e 26.
20 0
183