UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTNFACULTAD DE INGENIERA DE
PRODUCCIN Y SERVICIOSESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA
CURSO: LAB. CONTROL 1TEMA: REPRESENTACION DE ESPACIO DE ESTADOS
DE SISTEMAS DOCENTE: ING. CORNEJO ALUMNO: HUILLCA CAMERON
BIVIANOCUI: 20101968GRUPO: D
2012
REPRESENTACION DE ESPACIOS DE ESTADOS DE SISTEMAS1. OBJETIVOS
Conocer la representacin en espacio de estados de los sistemas.
Utilizar las ecuaciones de espacio de estados para el anlisis.
2. FUNDAMENTO TEORICO Representacin en espacio de estadoExisten
muchas tcnicas para obtener representacin en el espacio de estados
entre ellas la forma cannica controlable, observable, diagonal o de
Jordn.Representacin en el espacio de estados en formas
cannicas.Consideramos las siguientes ecuaciones
Donde u es al entrada e y es la salida. Esta ecuacin tambin
puede escribirse como:
A continuacin se representa en el espacio de estados del sistema
mediante las ecuaciones anteriores.a) Forma cannica controlable
b) Forma canonca observable
c) Forma diagonal o de Jordn
Matlab en la representacin de estadosLos comandos utilizados
para la representacin de estados son:
3. TRABAJO PREPARATORIO (TEORICO)3.1. Enumerar y poner un
ejemplo para los comandos relacionados con la representacin de
espacio de estado. Comando tf2ssObtener es espacio de estados del
sistema definido por:
num=[2 1 1 2];den=[1 4 5 2];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A = -4 -5 -2 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = -7 -9 -2
D = 2Por lo que la ecuacin de estado se salida es:
Comando ss2tfObtener la funcin de transferencia del sistema
definido por:
A=[-1 1 0;1 -1 1;0 1 -2];B=[0;0;1];C=[1 0
0];D=[0];[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)printsys(num,den)
-2.2204e-015 s^2 - 4.4409e-016 s + 1
------------------------------------ s^3 + 4 s^2 + 3 s - 1
Comando ctrbA=[-1 1 0;0 -2 1; 0 0
-3]B=[0;0;1]M=ctrb(A,B)rank(M)A = -1 1 0 0 -2 1 0 0 -3B = 0 0 1M =
0 0 1 0 1 -5 1 -3 9ans = 3 Comando obsvA=[-1 1 1;0 -2 1; 0 0
-3]C=[1 1 0]N=obsv(A,C)rank(N)
A = -1 1 1 0 -2 1 0 0 -3C = 1 0 0N = 1 0 0 -1 1 1 1 -3 -3ans = 2
Comando ss2ss y tf2ssPara la forma canonca controlable evaluar la
siguiente funcin.
num=[0 1 7 10]den=[1 8 19 122][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)T=[0 0 1;0
1 0;1 0 0][a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T)
num = 0 1 7 10den = 1 8 19 122A = -8 -19 -122 1 0 0 0 1 0B = 1 0
0C = 1 7 10D = 0
Commando canonForma canonca
observable[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')a = 0 0 -122 1 0 -19
0 1 -8b = 1 0 0c = 1 -1 -1d = 0
Forma canonca de Jordnnum=[0 7 1 10]den=[1 8 19
122][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
num = 0 7 1 10den = 1 8 19 122A = -8 -19 -122 1 0 0 0 1 0B = 1 0
0C = 7 1 10D = 0[a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal') con esta funcin
obtenemos las matrices a, b, c y d correspondientes a la
representacin en la forma canonca diagonal.a = -7.6099 0 0 0
-0.1950 3.9992 0 -3.9992 -0.1950b = -2.5336 -0.9484 1.8995c =
-2.2676 -1.4267 -0.0518d = 0
3.2. Para los sistemas dados en las ecuaciones siguientes.
Determine la representacin de las formas cannicas dadas de ser
el caso:Para el primer caso se tiene. Forma canonca diagonalA=[0 1
0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0
1]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal')A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0
1 0C = 0 0 1D = 0a = 0 0 0 0 -0.5000 0.8660 0 -0.8660 -0.5000b =
0.5000 0.8660 0.5000c = 2.0000 -1.1547 0.0000d = 0
Forma canonca de JordanA=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0
1]D=[0]A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0
Forma canonca controlableLa funcin de transferencia para la
ecuacin de estado es
A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0 0 1]D=[0]T=[0 0 1;0 1 0;1 0
0][a,b,c,d]=ss2ss(A,B,C,D,T)A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0 0B = 0 1 0C = 0 0
1D = 0T = 0 0 1 0 1 0 1 0 0a = 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0b = 0 1 0c = 1 0
0d = 0 Forma canonca observableA=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0]B=[0;1;0]C=[0
0 1]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')A = 0 1 0 -1 -1 0 1 0
0B = 0 1 0C = 0 0 1D = 0a = 0 0 0 1 0 -1 0 1 -1b = 1 0 0c = 0 0 1 d
= 0
Para el segundo caso tenemos: La ecuacion de estado que
representa la ecuacion diferencial es:
Forma canonca diagonalA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0
0]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'modal')A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B =
0 0 -6C = 1 0 0D = 0a = -3.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -1.0000b =
11.6431 14.6969 -4.3084c = -0.2577 0.4082 0.6963d = 0 Forma canonca
JordanA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0 0]D=[0]A = 0 1 0 0
0 1 -6 -11 -6B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0
Forma canonca controlableA = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6
B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0T = 0 0 1 0 1 0 1 0 0a = -6 -11 -6 1 0 0
0 1 0b = -6 0 0c = 0 0 1d = 0 Forma canonca observableA=[0 1 0;0 0
1;-6 -11 -6]B=[0;0;-6]C=[1 0
0]D=[0][a,b,c,d]=canon(A,B,C,D,'companion')A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11
-6B = 0 0 -6C = 1 0 0D = 0a = 0 0 -6 1 0 -11 0 1 -6
b = 1 0 0c = 0 0 -6d = 03.3. Explique que significa
controlabilidad y observabilidadControlabilidad. Se dice que un
sistema es controlable en el tiempo to si se puede transferir desde
cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un
vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo
finito.Observabilidad. Se dice que observable si en to con es
sistema en el estado X(to) es posible determinar el estado a partir
de la observacin de la salida durante u intervalo de tiempo finito
.3.4. Para cada uno de los siguientes sistemas determine si son
controlables u observable.
Halle C para que el sistema sea no observable
3.5 entre la controlabilidad y observabilidad existe dualidad,
demuestre este hecho y proponga un ejemplo se un sistema para
verificar
4. TRABAJO PRACTICO (MATLAB)4.1. Considere el sistema siguiente
obtenga las ecuaciones de estado en una forma cannica de Jordan
num=[10.4 47 160]den=[1 14 56 160][A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A =
-14 -56 -160 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 10.4000 47.0000 160.0000D =
0
num=[10]den=conv([1 3 0],[1 4])[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A = -7
-12 0 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 0 10D = 0Hacer transformacin de
estados al sistema, para obtener una matriz controlable y
observable.
Para la matriz controlable se tieneA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11
-6]B=[0;1;0]M=ctrb(A,B)rank(M)A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6B = 0 1
0
M = 0 1 0 1 0 -11 0 -11 60ans = 3
Para la matriz observable se tieneA=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6]C=[29
9 1]N=obsv(A,C)rank(N)A = 0 1 0 0 0 1 -6 -11 -6C = 29 9 1N = 29 9 1
-6 18 3 -18 -39 0ans = 3
5. CONCLUISONES Y RECOMENDACIONES Se represento en espacio de
estados los sistemas de funcin de transferencia. Se empleo las
ecuaciones des estado para el anlisis de sistemas 6.
BIBLIOGRAFIA