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REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste captulo ser
apresentada uma prtica ferramenta grfica e matemtica que
permitir e facilitar as operaes algbricas necessrias aplicao dos
mtodos de
clculo e anlise de circuitos eltricos que operem com sinais
senoidais de tenso e de corrente de mesma freqncia. Este mtodo faz
uso de um vetor radial girante denominado Fasor.
INTRODUO J sabemos que podemos representar sinais de tenso e de
corrente alternadas
senoidais atravs das seguintes expresses matemticas no chamado
domnio do tempo ou domnio temporal, pois so funo do tempo:
Tenso instantnea: v(t) = Vp . sen (w.t V) Corrente instantnea:
i(t) = Ip . sen (w.t I)
Estas expresses matemticas para tenses e correntes, na forma
trigonomtrica do domnio do tempo, no permitem mtodos prticos para a
anlise de circuitos
eltricos, pois no so fceis de serem algebricamente operadas.
Exemplo Sabemos que potncia eltrica o produto da tenso pela
corrente. Obtenha a equao da potncia eltrica multiplicando a tenso
instantnea
v(t)=10sen(100t) pela corrente instantnea
i(t)=2sen(100t-60o):
Resolvendo, temos:
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potncia num circuito no uma operao to simples e evidente.
Exemplo 5.1.2: Sabemos que numa malha de um circuito eltrico
devemos somar as tenses. Some
os dois sinais de tenso na forma trigonomtrica e obtenha as
formas de onda, sendo
v1(t)=10sen(100t)) e v2(t)=15sen(100t+60o). Para somarmos
algebricamente tenses
senoidais e obtermos a forma de onda resultante uma soluo pouco
prtica e
trabalhosa seria fazer esta operao de soma ponto a ponto das
curvas senoidais, ao
longo do eixo das abscissas, como mostra a figura 5.1.1. Outra
soluo seria
operarmos os sinais buscando alguma identidade trigonomtrica. De
ambas as
formas, conclumos que esta tarefa no simples, nem rpida e nem
evidente.
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sinais senoidais de tenses e correntes para que possamos fazer
uma anlise rpida e
correta de circuitos eltricos.
Pudemos perceber que os parmetros mais importantes dos sinais de
tenso e de
corrente alternadas so:
Valor de Pico: Vp e Ip
Valor Eficaz: Vef e Ief
Velocidade Angular: Freqncia: f
Perodo: T
Fase Inicial:
Sabemos que todo o sistema eltrico do Brasil opera a uma mesma
freqncia (60Hz).
O que diferencia em algumas regies so as tenses (110; 127; 220;
227V, por
exemplo). Da mesma forma, no mtodo que ser apresentado, se todas
as fontes de
tenso e de corrente de um circuito possurem a mesma freqncia
angular poderemos omitir na representao da tenso v e da corrente i.
Seja, por exemplo, o circuito da figura 5.1.2, com trs fontes de
tenso alternadas operando
com mesmas freqncias angulares =200rad/s, onde:
Todas as trs fontes apresentam a mesma freqncia angular = 200
rad/s. Desta forma, no diferencia as tenses e pode ser omitida na
representao de v1, v2 e v3. A diferenciao entre estas tenses dever
ser feita, ento, em funo da tenso de
pico Vp (ou da tenso eficaz Vef) e do ngulo de fase inicial de
cada fonte.
Ser apresentado neste captulo, um mtodo para representao de
sinais senoidais,
de mesma freqncia, que permita facilidade nas operaes algbricas
necessrias
anlise e clculo de circuitos de corrente alternada. Esse mtodo
chamado
Representao Fasorial de Sinais Senoidais.
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FASOR Do estudo da Fsica, sabemos que um ponto se deslocando em
um movimento circular
uniforme (movimento harmnico) pode ser representado atravs de
suas projees
num plano cartesiano formando uma senide, como mostra a figura
5.2.1. A recproca
tambm verdadeira, ou seja, uma senide pode ser representada
pelas projees de
seus pontos como um ponto girando em um movimento circular
uniforme.
Um movimento harmnico giratrio pode ser descrito por uma senide
e vice-versa.
Cada ponto de uma senide pode ser representado por um vetor de
mdulo constante
numa posio diferente, como indicado na figura 5.2.1. A medida
que a senide
descrita o vetor assume posies diferentes. Quando a senide
completa um ciclo, o
vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posio
inicial novamente.
Este vetor , portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senide
foi descrito num dado intervalo de tempo (perodo T), o vetor deu
uma volta completa no mesmo perodo da
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senide. Assim, podemos concluir que para uma dada freqncia f do
sinal senoidal, o
movimento harmnico (giratrio) do vetor possui a mesma freqncia
e, portanto o
vetor gira no sentido anti-horrio com a mesma freqncia ou
velocidade angular da senide.
Analisando a figura 5.2.1 podemos observar que o ponto C, em
qualquer posio
angular do seu movimento giratrio, forma um vetor radial girante
cujo mdulo constante e igual ao valor de pico (amplitude) da
senide. Ento: Uma senide pode ser descrita por um vetor radial
girante com mdulo igual sua amplitude (valor de pico) e mesma
freqncia angular A cada ciclo completado da senide, o vetor radial
girante volta sua posio inicial. Se observarmos a projeo do
valor
da senide no instante inicial t=0 ou na posio angular inicial
=t=0o, o vetor radial girante est posicionado a um determinado
ngulo em relao ao eixo x.
Aps um perodo T (360o) o valor estar na mesma posio de partida.
Podemos
observar que este ngulo corresponde ao ngulo de fase inicial da
senide. A cada perodo ou ciclo completado o vetor radial girante
est sempre na mesma posio angular inicial . Se o ciclo da senide
iniciar adiantado, o ngulo de fase inicial 0 positivo. Se o ciclo
da senide iniciar atrasado, o ngulo de fase inicial 0 negativo,
conforme ilustra a figura 5.2.2.
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Considerando que este vetor radial:
gira mesma freqncia angular constante da senide de origem;
possui mesma freqncia f e perodo que a senide de origem;
a cada volta se encontra na mesma posio inicial correspondente
ao ngulo de fase
inicial da senide de origem possui um mdulo constante e igual ao
valor de pico Vp da senide de origem;
Ento esse vetor girante possui os mesmos parmetros que descrevem
a senide e
considerando uma dada freqncia, para defini-lo basta o seu mdulo
e o seu ngulo
de fase inicial.
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A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor um vetor
radial girante com freqncia , com mdulo igual ao valor de pico VP e
com ngulo de fase inicial , que representa uma senide de iguais
parmetros. Assim, os sinais senoidais de tenso e corrente tambm
podem ser representados
atravs de vetores girantes, chamados Fasor Tenso e Fasor
Corrente, como indica a figura 5.2.2.
Um fasor pode ser entendido como um vetor preso em uma das suas
extremidades e
girando, como os ponteiros de um relgio, uma velocidade angular
dada em radianos por segundo. Se a extremidade presa do vetor
girante for a origem de um
plano cartesiano x-y pode-se traar as projees x e y de cada
instante do
deslocamento de sua extremidade livre (ponta da seta) neste
plano, como mostra a
figura 5.2.1. A projeo do fasor no eixo y uma funo seno que
representa a
amplitude instantnea da senide resultante, como ilustra a figura
5.2.3. A amplitude
mxima (valor de pico) corresponder ao mdulo do fasor. Assim, a
projeo y pode
ser dada pela funo senoidal:
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Os fasores so representados graficamente atravs de diagramas
fasoriais, como mostra a figura 5.2.3. Se o diagrama fasorial
representar apenas a posio do fasor no
instante inicial, o seu mdulo corresponde ao segmento OC na
figura 5.2.3 e representa o valor de pico da senide. O ngulo desse
fasor corresponde ao ngulo
de fase inicial da senide. A projeo sobre o eixo y representa a
amplitude da senide no instante inicial t=0. Portanto, a funo que
este fasor representa :
Representar graficamente os sinais senoidais atravs do diagrama
fasorial e de sua
projeo senoidal:
Soluo: O fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser
posicionado sobre o
eixo x, pois o seu ngulo de fase inicial =0o, e deve ter mdulo
igual a 10 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4.
O fasor I correspondente ao sinal
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senoidal i(t) deve ser posicionado a +45o a partir do eixo x e
deve ter mdulo de 5
unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4.
Observao: Um diagrama fasorial pode conter um ou vrios Fasores
(vrios sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma
freqncia.
Exemplo 5.2.2: Do diagrama fasorial da figura 5.2.4, obter a
defasagem entre os sinais senoidais correspondentes aos fasores V e
I:
Soluo: o fasor corrente I est adiantado de 45o do fasor tenso,
pois =45o-0o=45o. Tambm podemos dizer que a tenso est atrasada de
45o da corrente
.
Exemplo 5.2.3: Um fasor de tenso de mdulo 10 descreve uma rotao
completa em 0,02s partindo da posio inicial -30o. Determine:
a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o
comportamento senoidal
desse sinal;
b) o ngulo em que a tenso 10V.
c) a freqncia angular e a expresso matemtica para as variaes
instantneas
desse sinal;
d) o valor da tenso no instante t=0s;
Soluo: o fasor tem mdulo de 10V e parte de -30o (ou /6 rad). Sua
representao grfica fica como apresentada na figura 5.2.5(a). Como a
fase inicial de =-30o a senide comea o seu semiciclo positivo no
ngulo =+30o.
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O valor de pico positivo (10V) ocorrer em 90o+=120o e assim por
diante, como mostra o grfico da figura 5.2.5(b).
Como a rotao completada aps 0,02s, a freqncia angular pode ser
determinada
por:
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OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS A
representao fasorial importante na anlise de circuitos eltricos
pois permite
realizar facilmente diversas operaes matemticas entre tenses,
correntes e
potncias, sem usar a funo do domnio do tempo (expresses
trigonomtricas) ou a
representao grfica da onda.
A representao trigonomtrica permite algumas operaes matemticas
usando equaes chamadas identidades trigonomtricas, mas dificultam
os clculos.
Considerando que sinais senoidais de tenso e de corrente podem
ser representados
atravs de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados
por nmeros
complexos, podemos oper-los atravs da lgebra aplicvel aos nmeros
complexos.
Feito isso podemos converter novamente o fasor resultante para o
domnio do tempo e
encontrarmos novamente uma funo senoidal. A figura 5.4.1
representa esse
procedimento.
Fasores podem ser operados atravs da lgebra dos nmeros
complexos.
Observao: Na notao fasorial a funo seno sempre a referncia e a
freqncia no representada, portanto:
A lgebra fasorial para sinais senoidais aplicvel somente para
sinais de mesma freqncia.
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A representao fasorial atravs de nmeros complexos na forma
retangular e na forma polar, permite todas as operaes matemticas
mais direta e facilmente e segue as mesmas regras para operaes com
nmeros complexos estudadas em
matemtica.
Observao: possvel transformar nmeros complexos da forma de polar
para a forma retangular e vice-versa. Por exemplo, podemos
transformar um fasor tenso na
forma polar para a forma retangular e vice-versa, como
demonstrado na figura 5.4.2.
O diagrama fasorial permite somente operaes grficas de adio e
subtrao. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para
soma e subtrao de
vetores atravs do Mtodo do Paralelogramo. Assim como para os
vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma grfica ou
analtica, como mostra a figura
5.4.3:
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Como devemos somar e subtrair os sinais, devemos operar estes
nmeros complexos
na forma retangular. Assim, transformando para a forma
retangular:
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A partir dos sinais senoidais no domnio do tempo, as formas de
onda podem ser
traadas, como indica a figura 5.4.4.
Podemos perceber como a lgebra fasorial facilita as operaes com
os sinais
senoidais que, na forma trigonomtrica, apresentam maior
complexidade.
TABELA RESUMO De acordo com o que estudamos, podemos concluir
que h quatro maneiras de
representarmos um sinal senoidal: atravs do grfico da forma de
onda, do diagrama
fasorial, da expresso matemtica trigonomtrica e dos fasores.
A forma de onda a representao mais visual, mostrando a variao
peridica do sinal atravs dos grficos em funo do tempo ou em funo do
ngulo. O
osciloscpio o instrumento utilizado para visualizarmos a forma
de onda de um sinal
eltrico de tenso.
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O diagrama fasorial uma forma grfica simplificada de
representarmos o sinal senoidal, permitindo fazermos operaes
grficas de soma e subtrao entre vrios
sinais de tenso ou entre sinais de corrente.
A expresso matemtica na forma trigonomtrica representa a funo de
forma completa, mostrando todos os detalhes do sinal e permite a
determinao dos seus
valores instantneos.
A representao de sinais senoidais atravs dos fasores utiliza os
nmeros complexos e a forma mais simplificada da funo, contendo
apenas a amplitude e o
ngulo de fase inicial do sinal.
Essa representao permite facilmente operaes de soma, subtrao,
multiplicao e
diviso entre vrios sinais eltricos.
A tabela 5.5.1 apresenta um resumo das representaes matemticas
para os sinais
senoidais de tenso e corrente.