1 Resumen Ejecutivo Se quiere determinar el comportamiento de un suelo arcilloso bajo un cambio en el estado de esfuerzos producto de la aplicaci´on de una carga en superficie, en este caso el comportamiento del suelo est´ a definido por el desplazamiento vertical de la superficie respecto al tiempo y a la profundidad (Consolidaci´ on) producido por la aplicaci´on de cargas. Es importante precisar que se trata de un suelo arcilloso, en el cual ´ este fen´ omeno juega un rol importante, ya que la velocidad a la cual se produce el desplazamiento vertical es significativamente menor respecto a los suelos gran- ulares. Haciendo uso de la teor´ ıa de consolidaci´ on y de todas las suposiciones que en ´ esta se plantean, se solucion´o la ecuaci´ on para el desplazamiento vertical de la superficie del suelo respecto al tiempo y la profundidad (Consolidaci´ on). Haciendo uso de m´ etodos num´ ericos para obtener soluciones aproximadas y de t´ ecnicas de soluci´on de ecuaciones diferenciales parciales para obtener solu- ciones anal´ ıticas para el problema en cuesti´ on. Se realiz´o un trabajo de laboratorio el cual consisti´o en el ensayo de una muestra de arcilla limosa color gris oscuro de una altura de 19.79 mm, con la ayuda de un consolidometro se aplicaron diferentes cargas en la superficie de la muestra y se registraron deformaciones verticales para intervalos de tiempos 1
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1 Resumen Ejecutivo
Se quiere determinar el comportamiento de un suelo arcilloso bajo un cambio
en el estado de esfuerzos producto de la aplicacion de una carga en superficie,
en este caso el comportamiento del suelo esta definido por el desplazamiento
vertical de la superficie respecto al tiempo y a la profundidad (Consolidacion)
producido por la aplicacion de cargas.
Es importante precisar que se trata de un suelo arcilloso, en el cual este
fenomeno juega un rol importante, ya que la velocidad a la cual se produce el
desplazamiento vertical es significativamente menor respecto a los suelos gran-
ulares.
Haciendo uso de la teorıa de consolidacion y de todas las suposiciones que
en esta se plantean, se soluciono la ecuacion para el desplazamiento vertical
de la superficie del suelo respecto al tiempo y la profundidad (Consolidacion).
Haciendo uso de metodos numericos para obtener soluciones aproximadas y
de tecnicas de solucion de ecuaciones diferenciales parciales para obtener solu-
ciones analıticas para el problema en cuestion.
Se realizo un trabajo de laboratorio el cual consistio en el ensayo de una
muestra de arcilla limosa color gris oscuro de una altura de 19.79 mm, con la
ayuda de un consolidometro se aplicaron diferentes cargas en la superficie de
la muestra y se registraron deformaciones verticales para intervalos de tiempos
1
determinados.Es importante anotar que el trabajo de laboratorio no se realizo
como lo especıfica las normas, por lo tanto estos resultados son poco confiables.
Se encontro que los metodos de aproximacion numerica para la solucion
de la ecuacion diferencial de gobierno del fenomeno, en el caso especifico del
modelo explicito arroja resultados con errores que aumentan a medida que se
evalua para periodos de tiempo mayores que el inicial, pero que generan aprox-
imaciones a la solucion y aportan informacion importante del comportamiento
Se hace uso del metodo de Taylor para hallar graficamente el tiempo para el
90 por ciento de la consolidacion, como se muestra en la (grafica 1).
El coeficiente de consolidacion esta dado por la siguiente ecuacion:
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Figure 3: Curva deformacion vs el cuadrado del tiempo
Cv =(0.0848)H2
dr
t90(21)
Cv =(0.0848) (0.0099m)2
(6.5s)2= 1.9671x10−7
m2
s= 0.017
m2
dia
Codigo a utilizar
Se hizo uso de dos algoritmos de codigo simples para calcular la solucion
numerica y analıtica de la ecuacion de gobierno (ecuacion 11) compuestos por
bucles o ciclos.
Para la solucion numerica se hizo uso del codigo descrito en el esquema 1
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3.2 Codigo
function [ u save , x , t s a v e ]= Conso l idac ion (Cv , M, t f , t s t e p s )
%{Funcion que c a l c u l a l a s o l u c i o n de l a ecuac i on de gobierno de l
fenomeno de c o n s o l i d a c i o n
Datos de entrada :
Cv : C o e f i c i e n t e de c o n s o l i d a c i o n .M: numero de par t e s i g u a l e s en que se descompone [ 0 , 1 ]t f : i n s t a n t e de tiempo hasta e l que ca lcu lamos l a s o l u c i o nt s t e p s : numero de par t e s i g u a l e s en que se descompone [ 0 , t f ]%}
%Malladodt=t f / t s t e p s ;t iempos =0: dt : t f ;h=1/M;x=0:h : 1 ;%Datos i n i c i a l e sx1=x ( 2 :M) ; %quitamos l o s extremos de l v e c t o r xu=(x1 .∗(1−x1 ) ) ’ ; %trasponemos para ob tener un vec to r columna%El operador D%Usamos e l comando diag ( vec tor ,Cv) para crear una matr iz
t r i d i a g o n a lTrid iag=diag(−2∗ones (M−1 ,1) )+diag ( ones (M−2 ,1) ,1 )+diag ( ones (M−2 ,1)
,−1) ;D=(1/hˆ2) ∗Trid iag ;%Datos de s a l i d a : en vez de guardar todos l o s datos intermedios ,
guardamos e l%vec to r u so l o Nf veces .Nf=5;marca=f loor ( t s t e p s /( Nf−1) ) ;u save=zeros (M+1,Nf ) ;t s a v e=zeros (1 , Nf ) ;%Le ponemos l a s cond ic iones de f r on t e rau save ( 1 , : )=zeros (1 , Nf ) ;u save (M+1 , :)=zeros (1 , Nf ) ;%guardamos l a pos i c i on de par t i dau save ( 2 :M, 1 )=u ;t s a v e (1 ) =0;%Bucle p r i n c i p a lI=eye (M−1) ;A=(I+dt∗Cv∗D) ;for n=1: t s t e p su=A∗u ;%Guardamos l o s v a l o r e s de u para a lgunos t iemposi f mod(n , marca )==0i n d i c e=1+n/marca ;u save ( 2 :M, i n d i c e )=u ;t s a v e ( i n d i c e )=tiempos (n) ;endend
plot ( u save , x )
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Para calcular valores de la solucion analıtica se utilizo el codigo mostrado en
el esquema 2.
%{Funcion que c a l c u l a l a s o l u c i o n a n a l ı t i c a de s e r i e de Four i e r
donde :− n = Numero de veces que se hara l a sumatoria .− d = Numero de pasos en que se d i v i d i r a l a profundidad .− H = Altura drenante .− Cv = C o e f i c i e n t e de c o n s o l i d a c i o n .− t f = Tiempo f i n a l .− t s t e p s = Numero de pasos en que se d i v i d i r a e l tiempo .
%}
function [ u save , t s a v e ]= f o u r i e r (n , d ,H, Cv , t f , t s t e p s )h=1/d ;x=0:h : 1 ;u0=(x.∗(1−x ) ) ;dt=t f / t s t e p s ;t iempos =0: dt : t f ;
Nframes=5;marca=f loor ( t s t e p s /( Nframes−1) ) ;u save=zeros (d+1,Nframes ) ;t s a v e=zeros (1 , Nframes ) ;
r=−1;for t =0: dt : t f
u = zeros (d+1 ,1) ;
for m=0:nM=(pi /2) ∗(2∗m+1) ;u= u +((2∗u0/M) . ∗ ( sin (M∗x/H) ) ) ’∗ exp(−(M∗M∗( c∗ t /(H∗H) )
) ) ;end
r=r +1;
i f mod( r , marca )==0i n d i c e=1+r /marca ;u save ( 1 : d+1, i n d i c e )=u ;
t s a v e ( i n d i c e )=tiempos ( r+1) ;end
end
ESTABILIDAD DEL METODO
Para que el esquema numerico sea estable se debe cumplir
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s = Hdrdt
(M z)2<
1
2(22)
Cuando la ecuacion 22 no se satisface, la solucion oscila, tomando valores sin
sentido como se muestra en la figura 4.
Figure 4: Solucion inestable, dt=0.2 , 4z= 0.05
En la figura 5 se muestra una solucion numerica estable en el cual se cumple
la ecuacion 22
En la figura 6 se muestra las graficas hechas con los datos de la solucion