C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas 1 REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los números naturales siguientes: 1, 2, 3... El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el Sistema de numeración decimal que fue introducido en Europa por los árabes, en el siglo XI, procedente de la India donde se desarrolló desde el siglo VI a.C. Tiene dos propiedades: a) Es decimal porque está formado por diez símbolos o cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 b) Es un sistema de numeración posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que tenga la cifra en ese número. Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad UMM CM DM UM C D U OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES. SUMA: La suma de números naturales es siempre otro número natural. Los términos de la suma se denominan sumandos y el resultado es la suma RESTA: La resta de números naturales no siempre es otro número natural. Los términos de la resta se denominan minuendo – sustraendo = resta Ejemplos: 38 –14 = 24 que también es otro número natural. pero 12 – 15 = –3 que no es un número natural.( es un número entero) MULTIPLICACIÓN: La multiplicación o producto de dos números naturales es siempre un número natural. Los números que intervienen se llaman factores y el resultado se llama producto Una multiplicación se puede interpretar como una suma de sumandos iguales. Ejemplo: 6·4 quiere decir seis veces el cuatro. 6·4 = 4 + 4 + 4+ 4+ 4+ 4 = 24 DIVISIÓN: Al dividir dos números naturales no siempre resulta un número natural Ejemplo 10 : 2 = 5 que es un número natural 4 : 5 = 0,80 que no es un número natural, sino es un número racional. Los términos de la división son Dividendo divisor 50 3 resto cociente 5 15 NÚMEROS NATURALES El conjunto de todos los números naturales lo simbolizaremos con una N, y son los que sirven para contar y ordenar: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....... …….. ,64, 65, 66, …. ...... ., .... }
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REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS NÚMEROS NATURALES · REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a
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C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
1
REPASO de NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha
del cero, y con las mismas separaciones, si tuamos de menor a mayor los números
naturales siguientes: 1, 2,
3...
El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el Sistema de numeración decimal que fue introducido en Europa por los árabes, en el siglo XI, procedente de la India donde se desarrolló desde el siglo VI a.C.
Tiene dos propiedades:
a) Es decimal porque está formado por diez símbolos o cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
b) Es un sistema de numeración posicional porque el valor de una cifra depende de la posición que tenga la cifra en ese número.
Unidad de millón
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar
Centena Decena Unidad
UMM CM DM UM C D U
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.
SUMA: La suma de números naturales es siempre otro número natural. Los términos de la suma se denominan sumandos y el resultado es la suma RESTA: La resta de números naturales no siempre es otro número natural.
Los términos de la resta se denominan minuendo – sustraendo = resta
Ejemplos: 38 –14 = 24 que también es otro número natural. pero 12 – 15 = –3 que no es un número natural.( es un número entero)
MULTIPLICACIÓN: La multiplicación o producto de dos números naturales es siempre un número natural.
Los números que intervienen se llaman factores y el resultado se llama producto
Una multiplicación se puede interpretar como una suma de sumandos iguales. Ejemplo: 6·4 quiere decir seis veces el cuatro. 6·4 = 4 + 4 + 4+ 4+ 4+ 4 = 24
DIVISIÓN: Al dividir dos números naturales no siempre resulta un número natural
Ejemplo 10 : 2 = 5 que es un número natural 4 : 5 = 0,80 que no es un número natural, sino es un número racional. Los términos de la división son
Dividendo divisor 50 3
resto cociente 5 15
NÚMEROS NATURALES
El conjunto de todos los números naturales lo simbolizaremos con una N, y son los que sirven para contar y ordenar:
En el ejemplo anterior el 15 se obtiene al multiplicar 5·3
15.- a) Obtener los diez primeros múltiplos de 4. . . . . . . . . . .
b) ¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 6? 33, 54, 9, 68, 6, 42, 53, 65, 36, 3.
DIVISORES de un número Los divisores de un número natural son aquellos números que se pueden dividir entre él siendo el resto 0.
Ejemplo: “el número 7 es divisor de 364”; ya que al dividir 364 entre 7 el
resto es 0, es decir la división es exacta También se dice que 364 es divisible por 7 Para saber si un número es divisor de otro solo tienes que hacer la división y comprobar si el resto es cero.
Ejemplo: El número 9 no es divisor de 74, o el número 74 no es divisible por 9, ya que el resto de la división no es 0.
Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo.
Ejemplo: Si 15 es múltiplo de 5, entonces 5 es divisor de 15. Cada número tiene una cantidad finita de divisores.
Observa que “un número tiene infinitos múltiplos pero solo unos cuantos divisores- ”.
16.- a) Escribe los divisores de 10 . . . . . . . . . . . . y los múltiplos de 10 . . . . . . . . . . etc.
b) Escribe los divisores de 12 . . . . . . . . . . . . y los múltiplos de 12 . . . . . . . . . . etc.
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17.- a) Escribe los divisores de 36. . . . . . . . . . b) ¿Cuáles de los siguientes números son divisores de 48? 4, 7, 6, 35, 10, 8, 24, 1, 3, 17, 21, 12. c) Un número tiene infinitos múltiplos y solo unos cuantos divisores ¿verdadero o falso? d) Escribe los múltiplos de 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . etc. y los divisores de 8 . . . . . . .
Obtención de divisores: Para calcular los divisores de un número, vamos dividiendo dicho
número entre otros más pequeños o iguales que él. En los casos en que la división resulte exacta,
tanto el cociente como el divisor serán divisores de dicho número.
Ejemplo Divisores de 24: Divisores de 24 son todos los números por los que el 24 es divisible
Son unas reglas que nos permiten averiguar si un número es divisible por otro (el divisor) sin necesidad de efectuar la división. Vamos a ver algunas de estas reglas:
Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.
Ejemplo: 534 y el 430
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplo: el 681 es divisible entre 3 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 1 = 15 y el 15 es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
Ejemplo: el 675 y el 980
Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras del lugar par y la suma de las cifras del lugar impar da 0 o un múltiplo de 11 ( 0, 11, 22 , 33, etc). (La resta se hace en el sentido que sea posible).
Ejemplo: 96.855 es divisible entre 11 ya que si sumamos las cifras de lugar impar 5+8+9=22 y las de lugar par 5+ 6=11 y luego restamos 22–11=11, que es múltiplo de 11.
18.- Aplica los criterios de divisibilidad para averiguar cuáles de los siguientes números:
NÚMEROS PRIMOS Un número primo es aquel que sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.
20.- Escribe los números primos menores que 25.
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NÚMEROS COMPUESTOS Un número compuesto es él que posee más de dos divisores. Es decir se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.
Ejemplo: 12, 72, 144.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Descomponer un número en factores primos es expresarlo como una multiplicación en la que todos los factores son números primos. Si algún factor se repite se expresa en forma de potencia.
En la práctica, para descomponer un número compuesto en factores primos, lo dividimos por el menor número primo por el que sea divisible y repetimos este proceso con los cocientes obtenidos hasta llegar a un cociente igual a 1.
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes . Ejemplos: 90 2 45 3 15 3 5 5 1
21.- Descompón en factores primos los siguientes números:
Si es mayor que 10 se lee el número añadiendo la terminación “avos”. ( onceavos, doceavos treceavos,etc.)
2.- Escribe la fracción correspondiente:
Tres octavos Siete medios Cuatro novenos Cinco tercios
Nueve octavos Un quinto Ocho cuartos Un décimo
Siete onceavos Seis doceavos Ocho medios Dos sextos
3.- Lee las siguientes fracciones
2
5
7
3
3
15
8
5
13
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SIGNIFICADO DE UNA FRACCIÓN Una fracción es el resultado de dividir la unidad en partes iguales y tomar varias de esas partes.
En la fracción b
a
b el denominador: indica el número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo.
a numerador: indica el número de partes que se toman
Representación gráfica y Representación en la recta numérica
Ejemplo: Se han comido los 4
3 de un queque (las tres cuartas partes).
Significado si dividimos el queque en cuatro partes, se han comido tres
Representación gráfica
Además de la representación gráfica se puede representar la fracción en la recta numérica
Representación en la recta numérica fíjate en los ejemplos que hay a continuación
NUMERADOR:
Las partes que se toman.
DENOMINADOR:
Las partes en que se divide el todo o la unidad.
Tres cuartas partes o 3/4
b
a
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Ejemplos:
4.- Escribe el significado e indica la representación gráfica en los siguientes casos
a) Un depósito contiene 3
1 de gasolina.
Significado Si dividimos el depósito en . . . . partes iguales, la gasolina llena . . . . de las partes
Representación gráfica
Representación en la recta
b) He recorrido los 5
3 del trayecto
Significado Si dividimos el trayecto en . . . . . .
Representación gráfica
Representación en la recta
c) Se han comido 4
5 de pizzas
Significado
Representación gráfica
Representación en la recta
5.- Completa el significado de cada fracción y represéntala
2
1 Dividimos la unidad en . . . partes iguales y tomamos . . .
3
2 Dividimos la unidad en . . . partes iguales y tomamos . . .
5
2 Dividimos la unidad en . . . partes iguales y tomamos . . .
0 1
0 1
0 1
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Tipos de fracciones Una fracción puede ser:
• Menor que uno si el numerador es menor que el denominador: Fracción PROPIA • Igual a uno si el numerador es igual que el denominador. Fracción UNIDAD • Mayor que uno si el numerador es mayor que el denominador. Fracción IMPROPIA
FRACCIONES EQUIVALENTES Fracciones equivalentes son las fracciones que representan la misma cantidad.
Y podemos escribir 12
3
4
1
Si dos fracciones son equivalentes, los productos de los términos en cruz son iguales.
Dos fracciones b
a y
d
cson equivalentes si se cumple
8.- Escribe los términos que faltan para que las siguientes parejas de fracciones sean equivalentes.
a) 4
3 =
...
21 ; b)
5
.... =
45
27 ; c)
...
9
4
3 ; d)
18
10 =
9
... ; e)
...
14 =
5
7
f) 10
13 =
100
... ; g)
...
3
24
18 ; h)
...
64
3
8 i)
45
24
15
... j)
4
7
...
49
9- Averigua qué parejas de fracciones son equivalentes;
a) 3
2 y
15
10 b)
6
7 y
4
5 c)
12
8 y
23
16 d)
9
15 y
3
5
e) 6
4 y
12
8 f)
4
15 y
2
7 g)
45
63y
5
7 h)
8
6 y
49
36
Obtención de fracciones equivalentes
Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.
Para obtener una fracción equivalente a otra dada nos basta con multiplicar o dividir el numerador
y el denominador por el mismo número.
Ejemplo: 4
1y
12
3son fracciones equivalentes
12
3
4
1
a · d = b · c
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Por ejemplo, las tres fracciones 12
4
3
1
6
2 son equivalentes como puedes observar con su
representación y se pueden obtener unas de otras multiplicando o dividiendo numerador y denominador
por el mismo número
: 4 x 2
12
4
3
1 6
2
: 4 x 2
10 .- Escribe 2 fracciones equivalente a cada una de las siguientes:
a) 6
10 b)
9
12 c)
7
1 d)
3
4 e)
8
10
11.- Escribe una fracción equivalente con los términos menores y otra con los términos mayores
a) 8
12 b)
20
10 c)
6
9 d)
15
9 e)
8
6
12.- Completa los numeradores o denominadores de las fracciones equivalentes siguientes:
a) ...
...
3630...
4
...
3
6
2
3
1 b)
5
2
...
...
45...
8
10
...
...
6
...
10
OPERACIONES CON FRACCIONES :
SUMA y RESTA
Suma y Resta de fracciones con el MISMO DENOMINADOR. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador: Ejemplo: 1º) Se coloca el mismo denominador. 2º) Se suman o se restan los numeradores.
3º) Se simplifica si se puede
5
7
5
2
5
5
72 =
5
9
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18
16.- Realiza las siguientes sumas y restas. Simplifica el resultado, es decir escríbelo como fracción irreducible.
a) 5
2 +
5
13= b)
4
2 +
4
1= c)
8
3 +
8
2 –
8
1=
d) 6
7 –
6
5 = e)
15
60 –
15
35 = f)
21
13 –
21
7 =
17.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de fracción irreducible.
a) 20
23 –
20
8
20
7 = b)
15
17
15
15 –
15
4
15
7 =
c)
5
4
5
7
5
13
5
15= d)
4
9
4
2
4
5
4
7
4
23=
Suma y Resta de fracciones con DISTINTO DENOMINADOR.
Pasos a seguir: Ejemplo:
Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores
- Cada denominador hay que descomponerlo en factores primos
- Se eligen los factores comunes elevados al mayor exponente y los no comunes
20:10=2 20:4=5
a) 3 b)3/4 c) 1/2
d) 1/3 e) 5/3 f) 2/7
a) 2/5 b) 7/5
c) 1 d) 5/2
4
6
10
3
10 2 4 2 5 5 2 2 1 1
10= 2·5 4=22 m.c.m.(4,10)= 22·5= 20
20
6·53·2
20
1º) Hay que reducir las fracciones a denominador común
que es el mínimo común múltiplo
2º) Se divide el denominador común, (m.c.m) por cada denominador del enunciado y lo que da se multiplica por el numerador correspondiente.
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19
10
3 +
4
6 =
20
10
3 +
4
6 =
20
6
4
6 =
20
306 =
20
36 = (Después de simplificar ) =
5
9
10
3+
18.- Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 6
1
4
10 b)
12
4
8
6
c) 9
6
3
7 d)
5
2
6
5
e) 10
4
6
2 f)
7
2
5
3
3º) Se suman o se restan los numeradores de las fracciones obtenidas
y se deja el denominador común.
4º) Se simplifica si se puede
20
306 =
20
36
:
x
:
5
9
20
36=
10
18=
=
=
x
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20
g) 6
1
3
7 h)
9
8
4
5
i) 9
4
6
3
8
2 j)
5
1
15
3
20
7
k) 10
3
8
62 l)
8
3
5
2
2
1
19.- Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible
a) 4
3+
2
1+
8
5= b)
9
7–
3
1+
6
5=
c) 6
7–
3
2 + 2 = d)
5
4–
10
3+
8
6=
e) 5
3+
20
13+
10
7= f)
15
13+ 5
30
24 =
a )8/3 ; b) 5/12
c) 3 ; d) 13/30
e) 11/15 ; f) 31/35
g) 13/6 ; h) 13/36
i) 11/36 ; j) 7/20 ;
k) 31/20 ; l) 21/40
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21
g) 12
13–
18
17= h)
12
6+
9
8+
6
5=
i) 9
6–
9
1–
3
2= j)
10
4+
5
1
10
8=
MULTIPLICACIÓN de f racciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo:
- numerador es el producto de los numeradores.
- denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplo 1: 5
3 ·
7
2 =
75
23
=
35
6
Ejemplo 2: 10
3 ·7 =
10
73 =
10
21
Al multiplicar hay que tener en cuenta las reglas de los signos:
- si se multiplican dos fracciones del mismo signo, el resultado queda positivo,
- si son de distinto signo, el resultado es negativo. Ver el esquema
20.- Realiza las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 2 · 5
3 = b)
2
7· 4 = c) 3 ·
6
5 =
d) 7
4·
4
7 = e) 9 ·
12
5 = f)
4
3·
3
2 · 6 =
g) 10
3
4
5 h)
5
3
7
2 i)
3
2
6
5
a) 15/8 b) 23/18
c) 5/2 d) 5/4
e) 39/20 f) -10/3
g) 5/36 h) 20/9
i) -1/9 j) -1/5
Para multiplicar una fracción por un número entero:
Se multiplica el numerador por el número entero. Se pone el mismo denominador
db
ca
d
c
b
a
·
··
+ · + = +
· = +
+ · – =
· + =
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22
j)
4
1
3
2
k) 4·
2
1·
5
3
l)
7
4.
6
1
m)
3
2
5
3
4
1 n)
10
5
3
5
2 ñ)
3
2
7
4
Fracción inversa Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.
8
5 y
5
8 son fracciones inversas porque
8
5·
5
8 =
40
40 = 1
21.- Escribe las fracciones inversas de:
a) 5
2 b)
4
3 c)
9
7 d)
13
1 e) 6
DIVISIÓN de f racc iones
Para hallar el cociente de dos fracciones hay dos métodos:
Multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.
o
Multiplicar en cruz, es decir multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda,
siendo el producto el nuevo numerador.
Luego multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo
denominador. Después si podemos se simplifica.
5
3 :
7
4 =
5
3·
4
7 =
20
21
Al dividir hay que tener en cuenta las reglas de los signos:
22.- Calcula los siguientes cocientes y expresa los resultados en forma de fracción irreducible.
a) 6
5:
3
2 = b)
21
10 :
3
2 = c) 10 :
3
4 =
d) 10
9 :
5
3 = e)
4
1 :
3
1 = f)
35
6 :
5
3 =
a) 6/5 b) 14
c) 5/2 d) 1
e) 15/4 f) 3
g)3/8 h) 6/35
i) 5/9 j) -1/6
k)-6/5 l) 2/21
m) 1/10 n) -12/5
ñ) -8/21
5
3 :
7
4 =
5
3·
4
7 =
20
21
cb
da
d
c
b
a
·
·:
+ : + = +
: = +
+ : =
: + =
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23
g) 12
8:
5
4 h)
5
2:
6
4 i) 3:
3
2
j) 2:6
5 k) 10:
3
5 l)
4
3:
5
2
m)
5
3:
7
2= n)
4
1:
3
1 = ñ)
4
5:
2
5
o)
5
3:
3
2 p)
2
5:
3
1 q)
3
4:5
r) 9
3:5 s) 5:
7
1
=
OPERACIONES COMBINADAS con fracciones.
Se siguen los mismos pasos que para los Números Naturales o Enteros:
1º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones.
(si son seguidas se sigue el orden en el que están)
2º Se realizan las sumas y las restas
3º Se simplifica si se puede
23.- Resuelve, paso a paso, estas operaciones y simplifica el resultado.
a) 3
8
5
1
3
1 .b)
8
2
3
1:
6
3
c) 5
25:
2
3
2
1 = d)
7
5
2
12:
7
15
2
3·
4
7:
2
1 =
a) 5/4 b) 5/7 c)15/2
d) 3/2 e)3/4 f) 2/7
g)6/5 h) 5/3 i) 2/9
j) 5/12 k) 1/6 l) 8/15
m) -21/10 n) - ¾ ñ) 2
o)10/9 p) -2/15 q) -15/4
r) 15 s) 1/35
5
3
2
5
4
3
10
15
4
3
20
3015
20
45=
4
9
Cálculo mcm (4,10)
4=22
10=2·5
mcm(4,10)= 22·5= 20
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
24
e) 6
1
3
4
2
1
5
2 f)
2
1:
5
2
6
1:
3
2 =
g) 3
2
2
1
6
1
8
5 h)
2
1:
5
2
3
4
2
3
i) 6
5
2
1
9
4 j)
2
3
5
1
2
5:
3
1
k) 15
7+
10
9
2
3:
4
5 =
CON PARÉNTESIS 1º Las operaciones que están entre paréntesis.
2º Las multiplicaciones y las divisiones.
3º Se realizan las sumas y las restas
4º Se simplifica si se puede 24
22 12
11
24.- Resuelve, paso a paso, estas operaciones y si es posible simplifica el resultado.
a)
4
3+
6
5·
3
1 = b)
4
3+
12
7–
8
5:
3
2 =
a) 13/15 b) 5/4
c) 11/20 d) -1
e) 9/10 f) 16/5
g) 29/24 h) 13/30
i) 19/18 j) – 1/6
k) 1/6
Ejemplo:
2
1+
3
2 ·
8
1+
4
2
2
1+
3
2 ·
8
41 =
2
1+
8
5
3
2
24
10
2
1
24
1012
24
22
Cálculo mcm (4,8)
4=22
8=23
mcm(4,8)= 23·=8
Cálculo mcm (2,24)
2=2
24=23·3
mcm(2,24)= 23·3=24
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25
c)
3
4
9
11:
3
4 = d)
5
7+
10
9–
2
3 :
3
5 =
e) 2
3·
15
8
5
3 = f)
3
1
6
5
4
3
g) 3
4:
4
5–
6
2 = h)
3
5
4
2
3
72:
5
1
i) 5
3:
10
3
2
1
3
2:
5
4
Otra forma de expresar operaciones entre fracciones es mediante la raya de fracción que indica división
Ejemplo:
3
1
6
5:
4
1
2
3= es lo mismo que escribir
3
1
6
54
1
2
3
Resolución: Se multiplican entre sí los extremos formando el numerador; Y se multiplican entre sí los medios formando el denominador
3
1
6
54
1
2
3
6
254
16
6
34
7
= 6
21
12
42
3·4
6·7 =
2
7
simplificación 25.- Resuelve paso a paso y expresa el resultado como fracción irreducible.
a)
2
13
3
1
4
3
b)
6
5
3
73
4
2
1
a) 19/36 b) 17/16
c) -1/12 d) 12/25
e) 1/10 f) 3/8
g) 16/11 h) 6/25
i) 1/2
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26
c)
2
1·
3
54
3
2
1
d)
2
1
8
33
2
e)
14
3·
5
43
2
f)
4
12
3
1
4
31
g)
4
3·22:
3
15
41
5
2
= h)
4:3
2
3
1
3
4
2
11
PROBLEMAS CON FRACCIONES
- La Fracción como parte de la unidad Consideraremos dos tipos de problemas: - La Fracción como operador
La fracción como PARTE de la UNIDAD
Una fracción puede expresar un valor con respecto a un total que llamamos unidad.
En este caso el denominador representa el número de partes iguales en que dividimos la unidad,
y el numerador el número de partes que se toman.
Ejemplo: Nos comemos las 4
3 partes de un queque.
▪ Significa que si dividimos el queque en cuatro partes, nos vamos a comer tres ▪ Se representa así:
▪ El queque completo equivale a 4
4 que es la unidad
▪ Lo que no hemos comido representa el resto es decir 4
4
4
3=
4
1
a) 1/6 b) 4/9
c) -3/10 d) -16/3
e) 5/12 f) -1/3
g) 3/25 h) -10
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
27
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
261.- Un depósito contiene 3
2 de gasolina. Representación
a) ¿Qué fracción equivale a todo el depósito? . . . . . .
b) ¿Qué fracción del depósito está vacía? (Escribe la operación) . . . . .
262 .- He recorrido los 5
3 del trayecto. Representación
a) ¿Qué fracción equivale a todo el trayecto? . . . . .
b) ¿Qué fracción del trayecto aún no ha sido recorrida? (Escribe la operación) . . . .
263.- Escribe debajo de cada figura la fracción que se pregunta.
- Fracción que equivale a todo . . . . . . . . . . . . . . . .
- Fracción que equivale al resto (zona clara) . . . . . . . . . . . . . . . .
264.- Un niño bebió de un sorbo6
1 de agua de una botella y en otro sorbo
5
1
a) ¿Cuánto bebió entre los dos sorbos?
b)¿Cuánto queda en la botella? { a)11/30 ; b)19/30 }
265.- A Juan le dieron 3
1 de pastel y a Montse
9
2. ¿Cuánto comieron entre los dos? { 5/9 }
266.- Marta ha comprado 8
5 de una empanada y Luis
8
2
a) ¿Qué fracción de empanada ha comprado Marta más que Luis?
b) ¿Qué fracción de empanada han comprado entre los dos? {a) 3/8 ; b) 7/8 }
267.- Ayer llené el depósito de gasolina y a continuación hice dos viajes: en el primero gasté 9
2 de
la capacidad del tanque y en el segundo viaje 6
1.
a) ¿Qué fracción total del tanque gasté en los dos viajes?
b) ¿Qué fracción me queda? { a) 7/18 ; b) 11/18 }
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
28
268.- Andrés se comió 5
1de los bombones de una caja y Carmen
2
1 de la misma.
a) ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos?
b) ¿Qué parte queda sin comer en la caja? { a)7/10 ; b) 3/10 }
269.- Un ciclista ha recorrido 10
3 de un trayecto por la mañana y por la tarde
4
1.
¿Qué parte del trayecto le falta por recorrer? { 9/20}
2610.- La suma de dos fracciones es 18
15. Si una de ellas es
6
1 ¿Cuál es la otra? { 2/3}
2611.- ¿Cuánto le falta a 4
3 para valer
3
5? { 11/12}
2612.- Los ingresos de una comunidad de vecinos se gastan de la siguiente manera: 6
1 en electricidad,
5
2 en mantenimiento del edificio,
10
1 en la recogida de basuras y el resto se emplea en limpieza.
¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? { 1/3}
La fracción COMO OPERADOR
El uso de las fracciones en la vida real suele ser el tomar de un número la parte que la fracción nos indica.
Entonces la fracción se dice que funciona como operador, ya que opera sobre una cantidad y la transforma
y se puede leer como "la fracción del número".
Ejemplo 1: Tengo 15 € y me gasto las 5
2 partes ¿Cuánto dinero gasto?
Aquí el todo son los 15 € , los cuales tengo que dividir entre 5 partes y tomar 2 de esas partes. 15 : 5 = 3 3 · 2 = 6 €
Hallar los 155
2de es la operación €6
5
30
5
15·215·
5
2
Cuando una fracción va seguida de la preposición “de” y de una cantidad o de otra fracción, esa preposición “de” indica la multiplicación.
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo dividimos por el denominador.
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
29
27.- Calcula:
a) 5
4 de 50 = . . . . . . b)
3
2 de 18 = . . . . . . c)
7
2 de 35= . . . . . .
d) 12
7 de 60 = e)
3
1 de
5
3= . . . . . f) La mitad de la mitad
g) 2
1 de
5
3= h) La mitad de
4
1= i)
3
2 de
8
6=
{ a) 40 ; b) 12 ; c) 10 ; d) 35 ; e) 1/5 ; f) 1/4 ; g) 3/10 ; h) 1/8 ; i) 1/2 }
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
Ejemplo 2: He comprado unos patines por 85 € , de los cuales pagué al contado los 5
4
a) ¿Cuántos euros entregué al contado?
b) ¿Cuánto me queda por pagar?
281.- En una merienda se sirvieron 63 bocadillos y se comieron los cinco novenos..
a) ¿Cuántos bocadillos se comieron?
b) ¿Cuántos sobraron? { a) 35 ; b) 28 }
282.- Si en una compra nos gastamos 5
3 de 150 €.
a) ¿Cuánto nos gastamos?
b) ¿Cuánto nos sobró? { a) 90 € ; 60 € }
283.- Entre tres hermanos deben repartirse 120 euros. El primero se lleva 15
7del total, el segundo
12
5
del total y el tercero el resto.
a) ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?
b) ¿Qué fracción corresponde a lo que se lleva el tercer hermano? { a) 56 , 50 y 14 € ; b) 7/60 }
Solución a) €685
340
5
85·485·
5
4
Solución b) Lo podemos resolver de dos formas:
Iª) Hallando la diferencia entre el coste total y lo que pagué 85 – 68 = 17 €
IIª) Sabiendo que lo que me queda por pagar es 5
1 , hallo
5
1 de 85 €17
5
8585·
5
1
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
30
284.- Se han construido los 8
5de la Variante del Norte. Sabiendo que la variante tiene una longitud
total de 16 km, calcula los kilómetros que quedan por construir. { 6 km }
285.- De un trozo de alambre de 60 metros, se han cortado los 4
3. ¿Cuánto mide el trozo sobrante? { 15 m }
286.- En un grupo de personas mayores hay 32 personas y tres octavos de ellos saben bailar isas y folías.
¿Cuántas personas no saben bailar isas y folías?. { 20 personas }
287.- Al tostarse el café pierde un quinto de su peso. Un comerciante tiene 80 kg. de café verde.
¿Cuánto café le queda después de tostarlo? { 64 kg }
FRACCIÓN DE OTRA FRACCIÓN
Ejemplo: Laura gasta 5
2 de su sueldo en pagar el alquiler y
7
4 de lo que queda en el supermercado.
El resto lo ahorra. ¿Qué fracción corresponde a lo que ahorra?
Solución: Laura gasta en alquiler 5
2; Después de pagar el alquiler le quedan:
5
5
5
2=
5
3
Gasto en el supermercado: los7
4 de
5
3 son:
7
4·
5
3=
35
12
Gastos totales : 35
1214
35
12
5
2 =
35
26 (fracción del sueldo que gasta)
Quedan: 35
26
35
35 =
35
9 fracción del sueldo que ahorra
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
291.- Jacinto se come los 5
2 de una tarta y Pepita
2
1 del resto.
a) ¿Qué fracción se ha comido Pepita?
b) ¿Qué fracción de tarta queda para que se la coman otros? { a) 3/10 b) 3/10 }
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
31
292.- María va de compras con 180 €. Se gasta 5
2 de esa cantidad en ropa y
4
1 de lo que le queda en
comida.
a) ¿Cuánto dinero gasta en ropa y en comida
b) ¿Qué fracción corresponde al dinero que le queda y cuánto es? { a) 72 € en ropa; 27 € en comida ; b) 9/20 ; 81€ }
293.- Berta realiza un viaje de 480 Km por etapas. El primer día recorre 8
3 del camino, el segundo día
5
2
de lo que recorrió el primer día .
a) ¿Qué fracción le corresponde al camino que le queda por recorrer?
b)¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer?
{ a) 19/40; b) 228 km }
La fracción como razón Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando las fracciones como razones.
Así por ejemplo, cuando decimos que la proporción entre chicas y chicos en el Instituto es de 2 a 3,
estamos diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son
chicos y 2 son chicas. La fracción de chicas es 5
2
38.- Hallar la fracción que se pide en cada apartado:
a) Si un curso está compuesto por 22 hombres y 16 mujeres. Halla la fracción que representa el número de hombres del curso. . . . . . .
b) ¿Qué fracción de un siglo son 40 años? . . . . .
c) ¿Qué fracción de día representa el trabajo de un obrero durante 8 horas diarias? . . . . .
d) En un curso de 45 alumnos, 25 practican baloncesto. ¿Qué fracción representa a los que no practican ese deporte? . . . . .
e) Un matrimonio decide pasar su luna de miel en Maspalomas durante 4 días. ¿Cuál es la fracción de semana que duró su luna de miel? . . . . . .
f) ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando son las siete de la tarde? . . . . .
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
32
Un caso particular de aplicación de las fracciones como razón son los porcentajes, ya que éstos
no son más que la relación que se establece entre un número y 100.
39.- Escribe en forma de fracción:
a) 50% b) 25% c) 20 %
d) 15 % e) 5 % f) 9 %
g) 22 % h) 18 % i) 40 %
CONSEJOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS:
• Lee atentamente el enunciado del problema. Si lo haces más de una vez mejor.
• Fíjate qué es lo que te pide que calcules.
• Mira los datos con los que cuentas.
• Haz un esquema o dibujo del problema.
• Decide las operaciones que debes realizar hasta llegar al resultado.
• Resuélvelo con orden.
• Pon las unidades en el resultado, es decir de qué cosa se trata.( €, litros, metros, etc. )
• Observa el resultado, mira si es un resultado lógico o no. (Puede ser que en algo te hayas confundido).
Números decimales son aquellos números cuyas cifras estén separadas por una coma.
Las cifras a la izquierda de la coma corresponden a la parte entera del número, mientras que las cifras
a la derecha de la coma son la parte decimal.
Los números decimales son necesarios para expresar cantidades cuyo
valor es mayor que un número entero dado, pero menor que el número
entero siguiente.
Por eso aparecen en múltiples ocasiones en la vida diaria, como por ejemplo al manejar moneda
fraccionaria o al efectuar cualquier medida.
Ejemplo 2,25 € 2 euros y 25 céntimos 2 < 2,25 < 3
Ejemplo:
372,25
parte entera parte decimal
C.E.P.A. VALLECAS Matemáticas Nivel II Aplicadas
33
Nombre y valor de las cifras decimales Al igual que en la parte entera, en la parte decimal el valor de cada cifra depende de la posición que
ocupa respecto a la unidad.
Si tomamos el número 125,255942 vemos que está compuesto de:
PARTE ENTERA PARTE DECIMAL
1 2 5 , 2 5 5 9 4 2 unidad
de millar
UM
Centena
C
Decena
D
Unidad
U
,
décima
d
centésima
c
milésima
m
diezmilésima
dm
cienmilésima
cm
millonésima
mm
ACTIVIDADES
1.- Descomponer los números siguientes (en centenas, decenas, unidades,.décimas, centésimas, ...) utilizando las abreviaturas.(UM, C, D , U , d , c , m , dm , cm , mm) ( leer solo los números distintos de 0) a) 5,27 5 U 2d 7 c b) 0,4 c) 5,08 d) 0,007 e) 0,05178 f) 7,8359
Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los
exponentes
Ejemplo 32 ·33 = 3
2 +3 = 3
5
Demostración Si desarrollamos ambas potencias como producto tenemos 32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 ·3 = 35 Se obtiene una potencia de la misma base y exponente la suma de los exponentes
5.- Calcula los productos siguientes, dejando el resultado en forma de una única potencia.