CAPITOLUL 10 REPARTIŢII CLASICE 10.1. Repartiţii discrete 10.1.1. Repartiţia binomială DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X are o repartiţie binomială de parametrii n şi p dacă funcţia sa de probabilitate este dată de probabilitatea ) ( x p n din schema urnei lui Bernoulli, adică x n x x n q p C x f − = ) ( , } , , 0 { n x Κ ∈ , ) 1 , 0 ( ∈ p , 1 = + q p . Deci : ÷ ÷ ø ö ç ç è æ − x n x x n q p C x X : I. ) ( x f este o funcţie de probabilitate, deoarece: 1) 0 ) ( ≥ x f , evident deoarece 0 > x n C , 0 ≥ p , 0 ≥ q . 2) 1 1 ) ( ) ( 0 0 = = + = = = = − n n n x n x x n x x n q p q p C x f . II. Pentru calculul mediei şi dispersiei vom folosi funcţia generatoare de momente. ) ( ) ( tX e M t g = ; n x x f e e tx tX , , 1 , 0 , ) ( : Κ = ö ç ç è æ . Deci = = − − + = = = = n x n x n t x n x t x n x n x x n tx tX q pe q pe C q p C e e M t g 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( . 1 ) ( ) ( ' − + = n t t q pe npe t g ; np q p np g m n = + = = −1 1 ) ( ) 0 ( ' . 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ' ' − − + + + − = n t t n t t q pe npe q pe e p n n t g ; = + − = + + + − = = − − np np p n q p np q p p n n g m n n 2 2 2 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 ( ' ' npq p n p np p n + = − + = 2 2 2 2 ) 1 ( Deci: np X M = ) ( şi npq p n npq p n m m X D = − + = − = 2 2 2 2 2 1 2 ) ( .
rEPARTITII CLASICE - MATEMATICA PENTRU ECONOMIE ase
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CAPITOLUL 10
REPARTIŢII CLASICE
10.1. Repartiţii discrete
10.1.1. Repartiţia binomială
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X are o repartiţiebinomială de parametrii n şi p dacă funcţia sa de probabilitate estedată de probabilitatea )(xpn din schema urnei lui Bernoulli, adică
=+−=+++−== −− npnppnqpnpqppnngm nn 2221222 )()()1()0(''
npqpnpnppn +=−+= 2222 )1(
Deci: npXM =)( şi npqpnnpqpnmmXD =−+=−= 2222212)( .
Funcţia caracteristică:n
n
x
itxnxitxn
xnxxn
n
x
itxitX qepqepCqpCeeMtc )()()()(00
+⋅=⋅=== ��=
−−
=
Evident, npcXMm === )0(')(1 .
Analog se calculează npqpmci
m +== 2222 )0(''1 . Prin urmare,
npqmmXD =−= 212)( .
10.1.2. Repartiţia hipergeometrică
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X are repartiţiehipergeometrică dacă funcţia sa de probabilitate este dată deprobabilitatea )( XPn din schema urnei cu bilă nerevenită (Aceastăschemă presupunea că dintr-o urnă cu N bile, din care a erau albe şib erau negre, se extrag n bile. nP este probabilitatea ca din cele n
bile extrase x să fie albe.). Deci nN
xnaN
xa
CCCxf
−−=)( , },,0{ nx Κ∈ .
���
�
�
���
�
�−−
nN
xnaN
xa
CCCx
X :
I. )(xf este o funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0)( ≥xf , evident deoarece toate combinările sunt mai mari cazero.
2) 11)(00 0�� �
=
−−
= =
−− ===
n
x
xnaN
xan
N
n
x
n
xnN
xnaN
xa CC
CCCCxf .
Pentru a calcula suma �=
n
xxf
0
)( am folosit egalitatea �=
−− =
n
x
nN
xnaN
xa CCC
0
pe
care o vom demonstra în continuare.baba yyy ++=++ )1()1()1(
aaa
nna
nnaaa
a yCyCyCyCCy ++++++=+ −− ......1)1( 1110
bbb
nnb
nnbbb
b yCyCyCyCCy ++++++=+ −− ......1)1( 1110
bababa
nnba
nnbababa
ba yCyCyCyCCy ++++
−−+++
+ ++++++=+ ......1)1( 1110
Coeficientul lui ny din membrul stâng al ultimei relaţii este :
�=
−−− =++++n
x
xnb
xab
nab
na
nba
nba
n CCCCCCCCCCy0
011110 ]...[ .
Deci nN
n
x
xnaN
xa
nba
n
x
xnb
xa CCCCCC =�= ��
=
−−+
=
−
00
.
II. Media şi dispersia:
�=
−−=
n
xnN
xnaN
xa
CCCxXM
0
)(
11)!()!1(
)!1()!()!1(
)!1()!(!
! −−=
−−−=
−−−=
−= x
axa aC
xaxaa
xaxxaax
xaxaxxC
11
1
11
10
−−
=
−−
−−
=
−−
=
−− === ���
nN
n
x
xnaN
xa
n
x
xnaN
xa
n
x
xnaN
xa aCCCaCxCCC
npNan
Nna
NnNnnNnNa
CaCXM n
N
nN ===
−−−−==
−−
!)!()!1()!(!)!1()(
11 ,
Nap= .
Pentru a calcula dispersia, vom calcula momentul de ordinul doi.xnaN
xa
n
x
n
xnN
xnaN
xan
N
n
x
xnaN
xan
N
CCxC
CCxxC
CCxC
XM −−
= =
−−
=
−− +−==
0 00
22 1)1(11)( , unde
xxxx +−= )1(2 .
= = =
−−
=
−=−−
−−=−
−=−n
x
n
x
n
x
xa
n
x
xa Caa
xaxaaa
xaxaxxCxx
2 2 2
22
0
)1()!()!2(
)!2()1()!(!
!)1()1(
=+−=+−= −−
=
−−
−− )()1()()1()( 2
20
22
2 XMCCaaXMCC
CaaXM n
NnN
n
x
xnaN
xan
N
=+−
−−=+−−
−−−=Nna
NNnnaa
Nan
nNnNNnNnaa
)1()1()1(
)!()!2(!)!2()!(!)1(
11
1)1)(1(
−+−−⋅=���
� +−
−−=N
NnaanNna
Nna
Nna .
=−−
+−−⋅=−= 2
2222
1)()()(
Nan
NNnaan
NnaXMXMXD
)1(1
2
−+−+−−⋅=���
� −−
+−−=NN
nanNNnNaNanNNna
Nna
NNnaan
Nna
1)1())((
−−⋅−⋅=
−−−⋅=
NnN
NaN
Nna
NNnNaN
Nan .
Dar N
aNNapqp
Na −=−=−== 11 .
Obţinem astfel 1
)(−−=
NnNnpqXD .
OBSERVAŢIE: Pentru N suficient de mare în raport cu n
putem face aproximarea Nn
NnN
NnN −=−≈
−− 11
. Atunci
���
� −≈NnnpqXD 1)( .
Deci dispersia variabilei aleatoare hipergeometrice diferă dedispersia variabilei aleatoare binomiale cu un factor subunitar cetinde către 1 când ∞→N .
10.1.3. Repartiţia uniformă discretă
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţieuniformă discretă dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
nxf 1)( = .
��
�
�
��
�
�
nnnn
nxX 1111
21: ΚΚ
ΚΚ
I. )(xf este o funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0)( ≥xf , evident
2) �=
==n
x nnxf
1
11)(
II. Media şi dispersia
21
2)1(111)(
1 1
+=+===� �= =
nnnn
xnn
xXMn
x
n
x
6)12)(1(
6)12)(1(111)(
1
2
1
22 ++=++⋅=== ��==
nnnnnn
xnn
xXMn
x
n
x
=−−++=+−++=−=12
)3324)(1(4
)1(6
)12)(1()()()(2
22 nnnnnnXMXMXD
121
12)1)(1( 2 −=−+= nnn
10.1.4. Repartiţia Poisson
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Poisson
dacă funcţia sa de probabilitate este de forma !
)(x
exfxλλ−= ,
Nx ∈ , 0>λ .
��
�
�
��
�
�−
!:
xe
xX xλλ
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:
1) 0!
≥−
xe
xλλ evident.
2) 1!! 00
=⋅== −∞
=
−∞
=
−��
λλλλ λλ eex
ex
ex
x
x
x, unde �
∞
=0 !x
x
xλ este dezvoltarea
lui λe în serie McLaurin.
II. Media şi dispersia le putem determina prin calcul direct:∞
=
−∞
=
−− =−
==0
1
0 )!1(!)(
x
x
x
x
xe
xxeXM λλλλ λλ .
∞
=
∞
=
∞
=
−−− =+−
=+⋅−==20 0
22 )()!2(
)(!
)1(!
)(x
x
x x
xx
XMx
eXMx
exxx
exXM λλλ λλλ
λλλλλ λλλ +=+⋅=+−
⋅= −∞
=
−− 22
2
22 )()(
)!2(XMeeXM
xe
x
x.
λλλλ =−+=−= 2222 )()()( XMXMXD .
Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare Poisson:ite
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X , continuă, arerepartiţie uniformă dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
abxf
−= 1)( , ),( bax ∈ .
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:1) 0)( ≥xf evident, deoarece ab > .
2) =−−=
−=
−=
b
a
b
a
b
a ababdx
abdx
abdxxf 111)(
II. Media şi dispersia:
2)(2|
211)()(
222 baababx
abxdx
abdxxxfXM b
a
b
a
b
a
+=−−=⋅
−=
−== ��
3)(3)()(
223322 baba
ababxfxXM
b
a
++=−−== �
=++−++=−=4
23
)()()(2222
22 babababaXMXMXD
12)(
12363444 22222 bababababa −=−−−++= .
10.2.2. Repartiţia exponenţială negativă
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţieexponenţială negativă de parametru µ dacă funcţia sa deprobabilitate este de forma xexf ⋅−⋅= µµ)( , 0≥x , 0>µ .
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:1) 0)( ≥xf evident.
2) 110|)( 000=+=−=⋅= ∞⋅−∞ ⋅−∞
��xx edxedxxf µµµ
II. Media şi dispersia:=+−=⋅== ���
∞ ⋅−∞⋅−∞ ⋅−∞dxexedxexdxxxfXM xxx
0000|)()( µµµµ
µµµ 1|1
0 =− ∞⋅− xe .
În rezolvarea integralei am folosit metoda integrării prin părţi, undexxu =)( , dxdu = , xexv ⋅−−= µ)( , dxedv x⋅−⋅= µµ
=⋅+=+−=⋅= ���∞ ⋅−∞ ⋅−∞⋅−∞ ⋅−
0002
0
22 202|)( xxxx exxeexdxexXM µµµµ µµ
µ
2212
µµµ=⋅= .
Integrala a fost calculată tot prin metoda integrării prin părţi, unde2)( xxu = , xdxdu 2= , xexv ⋅−−= µ)( , dxedv x⋅−⋅= µµ .
22222 112)()()(
µµµ=−=−= XMXMXD .
µσ 1)()( == XDX .
Putem calcula media şi dispersia şi astfel:
��∞ ⋅−∞
⋅⋅==00
)()( dxexdxxxfXM xµµ
Făcând schimbarea de variabilă dydxyxyxµµ
µ 1=�=�=⋅ şi
observând că limitele de integrare se păstrează, obţinem:
µµµµµµ 1)2(111)(
00=Γ==⋅⋅= ��
∞ −−∞dyyedyeyXM yy
La fel, ==== ���∞ −∞ ⋅−∞
0 2
2
0
2
0
22 1)()( dyeydxexdxxfxXM yx
µµµµ µ
220
22
2)3(11µµµ
=Γ== �∞ − dyey y .
Prin urmare, 222
22 112)()()(µµµ
=−=−= XMXMXD .
Repartiţia exponenţială are proprietatea µ
σ 1)( == XXM .
Repartiţiile exponenţială şi Poisson sunt utilizate înmodelarea şi rezlovarea problemelor legate de firele de aşteptarecare apar în activitatea economică.
10.2.3. Repartiţia normală
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţienormală dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
2
21
21)(
��
���
� −−= σ
πσ
mx
exf , unde Rm ∈ , 0>σ (1)
Pentru a pune în evidenţă parametrii m şi σ , densitatea deprobabilitate se mai notează ),;( σmxn , Rx ∈ , 0>σ .I. )(xf este funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0),;( ≥σmxn , evident, din definiţie.
2) 1),;( =�∞
∞−dxmxn σ sau 1
21
2
21
=⋅��
���
� −−∞
∞−� dxemx
σ
πσ.
Notăm ymx =−σ
, dydxdydx ⋅=�= σσ1 .
122
21
21
21 22
2
21
21
21
===⋅⋅=⋅ ���∞
∞−
−−∞
∞−
��
���
� −−∞
∞− ππ
πσ
πσπσσ dyedyedxe
yymx
,
deoarece se ştie că integrala Euler-Poisson π22
21
=�∞
∞−
−dye
y.
Graficul funcţiei de probabilitate depinde de parametrii mşi σ , forma curbei rămânând (structural) aceeaşi, şi anume formacunoscută sub numele de clopotul lui Gauss.
EXEMPLU: ),0;( σxn
- πσ 2
14,0 =≈
-1 0 1
1) Faţă de parametrul m , curbele ),,( σmxn reprezintă de fapttranslaţii de-a lungul axei ox, menţinându-şi forma şi mărimea.
| |
23−=m 0=m
23=m
2) Faţă de parametrul σ , curbele sunt mai ascuţite sau mai plate,astfel încât aria cuprinsă între graficul curbei şi axa ox să fie egalăcu 1 (unitatea de suprafaţă). Aici 321 σσσ << .
1σ
2σ 3σ
23=m
OBSERVAŢIE: Curba se apropie repede de axa ox . Înraport cu o abatere σ3<− mx , diferenţa faţă de ox este de ordinula 0,003 unităţi. Astfel, repartiţia normală poate fi consideratădefinită într-un interval închis şi finit.
Pentru determinarea mediei şi dispersiei vom utiliza funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare normale.
�∞
∞−== dxmxneeMtc itxitX ),;()()( σ (2)
Calculăm pentru început funcţia caracteristică a variabilei
aleatoare normale normate: 2
21
21)1,0;(
yeyn
−=
π (3)
���
�
�
���
�
�− 2
21
21: y
e
yY
π�
���
�
�
���
�
�− 2
21
21: y
ity
itY
e
ee
π.
==== ���∞
∞−
−−∞
∞−
−∞
∞−
− dyedyeedyynetcityyy
ityity )2(21
22
2
21
21)1,0;()(
ππ
=== ��∞
∞−
+−−∞
∞−
++−−dyedye
tiitytitiityy 22222222
21)(
21
21)2(
21
21
21
ππ
���∞
∞−
−−
∞
∞−
−−−
∞
∞−
−−−==== dzeedyeedyee
ztity
ttity
221
)(212
1
21)(
21 22
22
22
2221
πππ2
2
212
1
22 t
t
ee −−
==π
π , unde am folosit substituţia dzdyzity =�=− .
Observăm, de asemenea, că utilizând această substituţie limitele deintegrare nu se schimbă.
Ultima integrală este integrala Euler-Poisson. Ea este egalăcu π2 şi se calculează astfel:
π222
220
21
0022
22
==== ����∞ −−∞∞ −∞
∞−
−dtet
tdtedzedze tit
zz
.
În calculul de mai sus am folosit substituţia :
zdtdzdtzdztz =�=�=2
21 ;
tdtdztztz2
22
2
=�=�= .
Prin urmare, funcţia caracteristică a variabilei aleatoare
normale normate )1,0;( yn este 2
21
)(t
Y etc−
= (4)
Fie variabila aleatoare βα +⋅= YX . Atunci )()( tcetc Yti
)1,0;( yNY = . Aşa cum am văzut, pentru variabila aleatoare
normală normată, funcţia caracteristică este 2
21
)(t
Y etc−
= .Deci conform (5) avem:
== + )()( tctc mYX σ
22
21
)(timt
Yimt eetce
σσ
−=⋅ .
În concluzie, funcţia caracteristică a variabilei normale
),;( σmxn este 22
21
)(timt
X etcσ−
= (6)
Calculul mediei: 1)( mXM =
icm )0('
1 =
22
21
2 )()('titm
X etimtcσ
σ−
−= � imimec X == 0)0(' � mm =1 .Deci mXM =)( .
Calculul dispersiei: 212
22 )()()( mmXMXMXD −=−=
22)0(''
icm =
2222
21
2221
2 )()(''titmtitm
etimetcσσ
σσ−−
−+−=22002 )()0('' meimec −−=+−= σσ
222
22
22)0('' m
im
icm +=−−== σσ (întrucât, evident, 12 −=i )
Deci 2222)( σσ =−+= mmXD .
OBSERVAŢIE: Parametrii m şi σ ai repartiţiei normalereprezintă media şi respectiv abaterea medie pătratică.
Funcţia de repartiţie ; funcţia integrală a lui Laplace:
Fie variabila aleatoare normală de parametrii m şi σ :
0,),;(
: >���
����
� σσmxn
xX , Rm ∈ , unde, aşa cum ştim,
2
21
21),;(
��
���
� −−= σ
πσσ
mx
emxn . Funcţia de repartiţie este :
dtedtmtnxXPxFmt
xx2
21
21),;()()(
��
���
� −−
∞−∞− �� ==<= σ
πσσ (7)
Notăm: � ∞−=
xdtmtnmxN ),;(),;( σσ funcţia de repartiţie a
variabilei aleatoare normale.
Fie X o variabilă aleatoare normală cu densitatea deprobabilitate ),;( σmxn şi funcţia de repartiţie ),;( σmxN . Dacă
facem schimbarea de variabilă σ
mXZ −= , ştim că Z este o
variabilă aleatoare normală normată cu media 0=m şi dispersia1=σ . Deci Z are densitatea de probabilitate )1,0;(zn şi funcţia de
repartiţie )1,0;(zN .
dtemxNxXPxFmt
x2
21
21),;()()(
��
���
� −−
∞−�==<= σ
πσσ (8)
Pentru calculul integralei (8) facem substituţia:
dydtymt ⋅=�=− σσ
.Dacă xt = , atunci σ
mxy −= , iar pentru t
tinzând către ∞− şi y tinde către ∞− . Astfel, vom obţine:
��
���
� −==⋅=−
∞−� 1,0;)1,0;(21)(
2
21
σσ
πσmxNyNdyexF
yy .
Prin urmare, putem scrie:
)1,0;(),;()( zNmxNxXP ==< σ , unde σ
mxz −= .
Reprezentarea grafică a funcţiei de repartiţie normală
normată de forma � ∞−
−=
z ydyezN
2
21
21)1,0;(π
, unde σ
mxz −= este:
)1,0;(zN 1
21
OBSERVAŢIE: Curba )1,0;(zN este simetrică faţă de punctul
��
���
�
21,0 . Dacă facem o translaţie de axe:
21)1,0;()( −=Φ zNz
(translaţie datorată lui Laplace), obţinem:
)(zΦ
21
z
21−
OBSERVAŢIE: )(zΦ este o funcţie simetrică faţă deorigine, şi deci funcţia Φ este o funcţie impară . Prin urmare estesuficient să cunoaştem )(zΦ pentru 0>z .
)1,0;(zn
=Φz
dttnz0
)1,0;()(
z
În toate cărţile şi manualele de teoria probabilităţilor şistatistică matematică, funcţia )(zΦ este tabelată.
Prin urmare, avem: )(21)1,0;( zzN Φ+= este funcţia de
repartiţie a variabilei aleatoare normală normată şi
��
���
� −Φ+=σ
σ mxmxN21),;( este funcţia de repartiţie a variabilei
aleatoare normală nenormată (de parametrii m şi σ ).
Calculul momentelor centrate :
Momentele centrate ale variabilei aleatoare normale suntdes utilizate, în special în statistica matematică. Astfel, momentulcentrat de ordinul r :
dxemxdxmxnmxmx
rrr
2
21
21)(),;()(
��
���
� −−∞
∞−
∞
∞−� � −=−= σ
πσσµ
Am văzut că:11),;()( 0
00 =�=−= �
∞
∞−µσµ dxmxnmx .
−=−= ��∞
∞−
��
���
� −−∞
∞−
��
���
� −−dxexdxemx
mxmx 22
21
21
1 21
21)( σσ
πσπσµ
0021
121 2
=�=�∞
∞−
��
���
� −−µ
πσσ dxem
mx
Notăm : dydxymxymx ⋅=�⋅=−�=− σσσ
şi întrucât
0>σ , limitele de integrare se păstrează. Obţinem:
+��
���
�−==⋅= ∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
��
���
� −−
�� |222
1 222
21
21
21
yrryr
rmxrr
r eydyeydyeyπ
σπ
σσπσ
σµ σ
=−+ �∞
∞−
−− dyeyryr
r 2
21
2)1(2π
σ2
221
222 )1(21)1(
2
−
∞
∞−
−−− −=�− � rr
yrr rdyeyr µσµπ
σσ
În rezolvarea acestei integrale am aplicat metoda integrării
prin părţi, unde 1−= ryf 2)1(' −−=�ryrf ,
22
21
21
'yy
egyeg−−
−=�= .
Deci: 22
2 )12( σσµ =−= 0)13( 1
23 =−= µσµ
42
24 31)14( σµσµ ⋅⋅=−=
05 =µ ………………………………. 012 =+qµ q
q q 22 )12(31 σµ −⋅⋅⋅= Κ
10.2.4. Repartiţia Gamma
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Gammadacă funcţia sa de repartiţie este de forma:
��
��
�
≤
>+Γ=
−
+
0,0
0,)1(1
),;( 1
x
xexbabaxf
bx
aa , unde �
∞ −=+Γ0
)1( dxexa xa
şi 1−>a , 0>b .
I. )(xf este funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0),;( ≥baxf , evident
2) =+Γ
=+Γ
=−∞ ∞
+
−
+
∞
∞− � �� dxexba
dxexba
dxbaxf bx
aa
bx
aa0 0 11
1)1(
1)1(1),;(
Notăm dybdxybxybx ⋅=�⋅=�=
1)1()1(
)1(11
)1(1
00 1 =+Γ+Γ=
+Γ=⋅
+Γ= ��
∞ −∞ −+ a
adyeya
dybeybba
yayaaa
Amintim câteva proprietaţi ale integralei Γ :
P1. )1()1()( −Γ−=Γ aaaP2. )!1()( −=Γ nn
P3. π=��
���
�Γ21
Demonstraţiile acestor proprietăţi se găsesc în cursurile deanaliză matematică.
Funcţia generatoare de momente pentru variabila aleatoareGamma:
01,)1(1),;()()(
0 10>−>
+Γ===
∞ −
+
∞badxex
baedxbaxfeeMtg b
xa
atxtxtX
Facem substituţia : dybdxybxbxy ⋅=�⋅=�= .
Avem:
=⋅⋅+Γ
=⋅+Γ
= −∞∞
+ �� dyeyea
dybybba
etg yabtyaaa
bty
00 1 )1(1
)1(1)(
1011
110
)1(
)1(1
11)1(
1)1(1
)1(1
+
∞−
−
++
∞ −−
−=
��
���
�
−+Γ
−=
+Γ= �� a
abt
y
aaabty
btdyye
bta
btdyye
a,
deoarece 1
11)1(
10
11
1�∞
−
−
+ =
��
���
�
−+Γ
dyye
bta
abt
y
a , fiind densitatea de
probabilitate a repartiţiei Γ .Prin urmare, putem scrie că funcţia generatoare de
momente pentru Γ este )1()1()( +−−= abttg .
Momentele iniţiale:
Calculăm momentele iniţiale din relaţia ,....2,1,|)( 0)( === rmtg rt
r
)1()0(')1)(1()()1)(1()(' 1)2()2( +==�−+=−−+−= +−+− abgmbtabbbtatg aa
10.2.6. Repartiţia 2χDEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie 2χ dacă
funcţia sa de repartiţie este de forma:
��
�
��
�
�
≤
>��
��
Γ=
−−
0,0
0,2
2
1
);(
21
2
2
x
xexkkxf
xk
k, unde *Nk ∈ reprezintă
numărul gradelor de libertate.
Mai jos prezentăm graficele funcţiei );( kxf pentru15,6,4,2=k .
k=2
k=4 0,2-
0,15- k=6
0,1- k=15
0,05- | | | | | 0 5 10 15 20 25
Se vede că graficele sunt asimetrice, dar, pentru valori mariale gradelor de libertate )30( >k , graficul repartiţiei 2χ se apropiede graficul repartiţiei normale.
OBSERVAŢIE: 2χ se poate obţine din Γ pentru 12
−= ka
şi 2=b .
Funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare Γ
este de forma )1(1 )1(
)1(1)( +−
+ −=−
= aa bt
bttg şi ,....2,1,)0()( == rmg r
r .
Prin urmare, pentru 12
−= ka şi 2=b , vom obţine funcţia
generatoare de momente a variabilei 2χ de forma:
2)21()(k
ttg−
−= .
kmgtktktgkk
==−=−−−=−−−−
1
12
12 )0(')21()2()21(
2)('
−+=−−���
� +−=−−−− 1
21
2 )21)(2()2()21(2
2)(''kk
tkktkktg
)2()0('' 2 +== kkmg
kkkkmmD 22)( 22212
2 =−+=−=χ
10.2.7. Repartiţia Student
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Studentdacă funcţia sa de repartiţie este de forma:
ℜ∈���
����
�+
��
���
�Γ⋅
��
���
� +Γ=
+−
tkt
kk
k
ktf
k
,1
2
21
),(21
2
π
Se poate arăta că variabila aleatoare „t” este dată de raportul
Vkzt = , unde z este variabila aleatoare )1,0;(xn , iar variabila
aleatoare V este un 2χ cu k grade de libertate, independentă de z.