Repartido Laboratorio 1

Universidad de la Republica, Uruguay

Instituto de Fısica

LABORATORIO I

REPARTIDOS 2011

para el curso de las Licenciaturas en Fısica

Docentes:

Nicolas Benech,Nicolas Rubido,

[email protected]@fisica.edu.uy

Igua 4225, Facultad de Ciencias, Montevideo, Uruguay.

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

RESUMEN:

Las practicas de Laboratorio I estan relacionadas con los cursos teoricos de fısica dictados en el mismo semestre, es

decir, Mecanica Clasica y Fısica Moderna. Empezando por experiencias clasicas que permiten el calculo de momentos

de inercia y modos normales enre otros, para luego desarrollar experimentos de la Fısica Moderna relacionados con la

forma en que se desarrollaron las nuevas teorıas a principios del siglo XX. En este caso, el modelo semi-clasico de Bohr

para el atomo de Hidrogeno se estudia a modo de exhibir los problemas que los cientıficos de la epoca debieron afrontar

cuando se comenzaron a estudiar fenomenos donde la cuantica juega un papel fundamental.

El OBJETIVO del curso es el aprendizaje de las tecnicas experimentales, fundamentos teoricos y la manipulacion de

los distintos instrumentos que las practicas del Laboratorio I requieren. Luego de la finalizacion de cada practica, el

estudiante posee un plazo no mayor a 1 semana para la entrega de un informe. En el caso de que requieran correcciones,

el informe sera devuelto a los estudiantes para una ultima version del mismo. Luego de finalizado el plazo, la entrega

no sera considerada para su correccion.

Para la GANANCIA DEL CURSO, se deberan tener aprobados el 80% del total de informes que el curso requiere.

Ademas, se exige la asistencia casi completa de las clases dictadas, con una maxima de inasistencia permitida de 2 clases.

Finalmente, se debera presentar un proyecto de finalizacion que abarcara las ultimas semanas del curso basado en temas

relacionados a discutir en clase.

Los informes se deberan subir en fecha en la web de la plataforma EVA creada para el curso con este fin. Los informes

fuera de plazo no podran ser evaluados dado que la plataforma no permite el acceso y subida de archivos fuera de las

fechas establecidas en la siguiente tabla. Para acceder a la pagina del curso en la plataforma el estudiante debe crear un

usuario y buscar el curso de Laboratorio I, ademas de que se debera definir un grupo con el cual realizara las entregas

de los informes. Los enlaces para subir los informes se habilitaran una vez que cada practica se haya culminado y se

cerraran una vez culminada la semana de plazo para su entrega.

El EXAMEN sera un oral donde el estudiante debera demostrar solvencia en la manipulacion experimental, y buena

argumentacion en la exposicion de fundamentos. Ademas, se debera realizar la defensa del proyecto la cual constituye

una presentacion de la experiencia elegida con los resultados alcanzados.

FECHAS PRACTICA DURACION ENTREGAS

14/03–20/03 Operaciones en MatLab 1 semana 21/03–03/04

21/03–03/04 Osciladores acoplados 2 semanas 04/04–10/04

04/04–17/04 Pendulo Doble 2 semanas 18/04–24/04

Semana de Turismo

25/04–01/05 Radiacion termica 1 semanas 02/05–08/05

02/05–08/05 Atomo de Hidrogeno 1 semanas 09/05–15/05

09/05–22/05 Efecto Fotoelectrico 2 semanas 23/05–29/05

23/05–05/06 Resonancia de Espın 2 semanas 06/06–12/06

06/06–19/06 Experiencia de Frank-Hertz 2 semanas 20/06–26/06

20/06–03/07 Proyecto final 2 semanas 01/07–03/07

TOTAL de semanas: 15 semanas

2

Practica 1

OPERACIONES EN MATLAB

La idea fundamental de esta practica es profundizar en la utilizacion de las funciones del Matlab para el calculosimbolico e introducir algunas funciones basicas en este sentido. Todo el tratamiento de los resultados experimentalesque se realizara en el curso estara basado en la utilizacion de algunas de estas funciones, por lo que su manejo ycompresion es fundamental. A continuacion se expone una lista (no exhaustiva) de las funciones que se utilizaran enesta practica y a lo largo del semestre:

polyfit: se utiliza para calcular polinomios de ajuste sobre m puntos de cualquier grado n. Es necesario senalarque los polinomios con grados elevados, o que pasen por todos los puntos, no dan siempre el mejor ajuste posible.En la Fig. 1 se observa la imagen de una parte de la ayuda de MatLab para el uso de la funcion polyfit. Seobserva la lınea de comando necesaria y su explicacion para dos formas distintas.

Figura 1. Imagen de la ventana de comandos de MatLab con la ayuda de la funcion polyfit.

fminsearch: esta subrutina realiza un ajuste de datos utilizando una funcion cualquiera de varias variables. LaFig. 2 corresponde a una imagen de parte de la ayuda de MatLab para su uso.

Figura 2. Imagen de la ventana de comandos de MatLab con los primeros parrafos de la ayuda de la funcion fminsearch.

spline: realiza interpolaciones cubicas generando los coeficientes necesarios para la utilizacion del compandoppval. Se puede accesar a la ayuda analogamente a como se presenta en las figuras anteriores.

Interp: realiza un remuestreo de la serie de datos a una frecuencia mayor que puede ser elegida desde la lınea decomandos. La Fig. 3 muestra como se utiliza y da una expliacion de los argumentos de la funcion en la lınea decomando.

interp1: es una funcion de interpolacion lineal para una variable monotona, tal y como se observa de la Fig. 4.

Por otro lado, el MatLab permite la realizacion de calculo simbolico. Para acceder a la lista de funciones queeste presenta se puede consultar la ayuda: help toolbox/symbolic. Algunas de las que se utilizaran en esta practica yen el correr del curso son:

3

Figura 3. Ventana de comandos de MatLab con la ayuda de la funcion interp.

Figura 4. Idem que las figuras anteriores para la funcion interp1.

Diff: diferenciacion.

Int: integracion simbolica.

Simplify: simplificacion de una expresion algebraica.

Expand: expande una expresion algebraica.

Subs: substitucion simbolica.

Solve: solucion simbolica de ecuaciones.

Dsolve: solucion simbolica de ecuaciones diferenciales.

En este caso, la practica consiste en la entrega de los siguienes ejercicios mediante el uso de las funciones antesexpuestas.

EJERCICIOS

1. Realizar el ajuste de los datos experimentales que se encuentran en el archivo datos1a.mat utilizando la funcionpolyfit. Graficar los resultados experimentales y la curva obtenida en el ajuste con los errores asociados utilizandoel comando errorbar.

Observaciones: la serie corresponde a una serie de frecuencias pertenencientes a una cierta distribucion, porlo que cada dato corresponde al numero de veces que cierto valor ocurrio en la experiencia. En otras palabras,cada dato corresponde a la coordenada y del histograma de valores registrado. Para poder realizar el ajuste sedebe considerar una escala logarıtmica para las frecuencias de ocurrencia (coordenada y) en funcion de x (serieque debe ser generada por el estudiante). Para el uso del errorbar se debera utilizar los comandos de polyfit ypolyval con las estructuras completas que expone el help de MatLab.

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la funcion dsolve:

d2x

d t2+ ω2 x = 0 ,

d2x

d t2+ γ

d x

d t+ ω2 x = 0 . (1)

4

3. Realizar el ajuste de los datos experimentales de una oscilacion amortiguada que se encuentran en el archivodatos1b utilizando la funcion fminsearch, calcular los parametros γ y ω de la funcion dada por la Ec.(2). Laamplitud A de la oscilacion y la fase inicial φ0 pueden aproximarse directamente de la serie. La dependenciatemporal corresponde a la primer columna del archivo, mientras que la segunda columna se encuentran losdesplazamientos x(t) en unidades adimensionadas.

x(t) = Ae−γ t cos (ω t+ φ0) . (2)

Utilizar el comando resample para filtrar la serie de datos inicial y eliminar la mayor cantidad de ruido posiblesin perder la oscilacion. Graficar los resultados experimentales y la curva obtenida por medio del ajuste. Luego,graficar x(t) contra x(t) haciendo uso del comando diff para generar una aproximacion de la derivada temporalpara cada instante de la forma:

x(t) =d x

d t∼ ∆x

∆t.

Finalmente, agregar el tiempo a esta grafica mediante la utilizacion del comando plot3.

4. Utilizar las funciones int y diff con las siguientes funciones generadas mediante el uso del comando sym para lavariable x.

y(x) = 10−4(

10−2

x12 − 1x6

)

y(x) =∑n=4n=0

12n+1 sin [(2n+ 1) x]

y(x) = x e−x2

, x2

2 e−x2

, x3

6 e−x2

. (3)

Graficar las funciones, y los resultados de aplicar int y diff sobre las mismas, utilizando el comando ezplot.

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

d2ψa

d t2 + ω20 ψa + ω2

k (ψa − ψb) = 0 ,

d2ψb

d t2 + ω20 ψb + ω2

k (ψb − ψa) = 0 .

(4)

Este sistema representa el movimiento de 2 pendulos acoplados de masa m, unidos por un resorte de constante

k. ω0 corresponde con la frecuencia natural de oscilacion de cada uno de los pendulos, y ωk =√

km .

[1] S. Nakamura, Analisis numerico y visualizacion grafica con Matlab. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.[2] P. Denbigh, System analysis and signal processing. Ed. Addison-Wesley.[3] J. McClellan, et al., Signal processing using Matlab 5. Ed. Prentice Hall.

5

Practica 2

OSCILADORES ACOPLADOS

Consideremos un sistema dinamico que consiste en 2 masas iguales M unidas por un resorte de constante elasticak. Cada una de las masas a su vez esta unida a la pared por otro resorte de constante elastica k, como se muestra enla Fig. 5.

Figura 5. Esquema del sistema de dos osciladores acoplados mediante un resorte.

El comportamiento de este sistema se puede describir mediante las siguientes ecuaciones de movimiento (despre-ciando el rozamiento):

x1 + k x1 + k (x1 − x2) = 0 ,

x2 + k x2 − k (x1 − x2) = 0 ,

(5)

donde x1 y x2 representan los desplazamientos de las masas respecto a su posicion de equilibrio. El conjunto deecuaciones (5) representa un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, es decir la solucion para x1 depende dex2 y viceversa. Ademas es un conjunto de ecuaciones lineales y homogeneas. Por lo tanto las soluciones deben sercombinaciones lineales de exponenciales complejas (ya que k > 0):

x1(t) = Aei α t ,

x2(t) = B ei α t .

(6)

Sustituyendo las soluciones de la Ec.(6) en la Ec.(5), encontramos:

(

2ω20 − α2

)

A− ω20 B = 0 ,

−ω20 A+

(

2ω20 − α2

)

B = 0 ,

(7)

donde hemos definido ω20 ≡ k/m. Notemos que hemos pasado de un sistema de ecuaciones diferenciales a un sistema

de ecuaciones algebraicas. El problema ahora se reduce a hallar los valores de α que den solucion al sistema de laEc.(7). Para que la solucion sea diferente a la trivial (A = B = 0) el determinante de la matriz formada por loscoeficientes de la Ec.(7) se debe anular. Por lo tanto los posibles valores de α surgen de:

(

2ω20 − α2

)2 − ω40 = 0 .

Es facil comprobar que las soluciones a esta ecuacion son:

α21 = ω2

0 ,

α22 = 3ω2

0 = ω2c ,

(8)

Los valores de α negativos no tienen sentido fısico aquı. Se puede comprobar que los valores de α hallados en laEc.(8) son los valores propios de la matriz de coeficientes de la Ec.(7). Los vectores propios asociados a ω0 y

√3ω0

6

son de la forma (A, A) y (A, −A) respectivamente. Estos modos de oscilacion se conocen como modos normales

del sistema. De manera que el primer modo normal de oscilacion es (x1, x2) = A0

(

ei ω0 t, ei ω0 t)

, y el segundo modo

es (x1, x2) = Ac(

ei ωc t, −ei ωc t)

. Por lo tanto, la solucion mas general al sistema de osciladores acoplados se puedeescribir como combinacion lineal de los modos normales. Esto es:

x1(t) = A0 ei ω0 t +Ac e

i ωc t ,

x2(t) = A0 ei ω0 t −Ac e

i ωc t .

(9)

Las constantes A0 y Ac pueden ser complejas de modo de satisfacer las condiciones iniciales del sistema (desplazamientoy velocidad inicial).En la practica mediremos las oscilaciones de las 2 masas mediante sensores de movimiento. Los objetivos de la

practica los podemos resumir en:

1. Interpretar fısicamente cada modo normal de oscilacion.

2. Determinar las condiciones iniciales para que el sistema se mueva unicamente en cada uno de los modos normales,y estimar las respectivas frecuencias ω0 y ωc.

3. A partir de la Ec.(5) podemos ver que la suma del movimiento de los osciladores equivale al primer modo normaly la resta al segundo. Por lo tanto, podemos obtener nuevamente las frecuencias ω0 y ωc a partir de la suma yla resta de un movimiento arbitrario de los osciladores. ¿Cual es el resultado en la practica?

4. Una forma de movimiento particular de los osciladores acoplados es lo que se conoce como batido. Si las condi-ciones iniciales del sistema son:

x1(0) = x0 , x1(0) = 0 ,

x2(0) = 0 , x2(0) = 0 ,

mostrar que la solucion es:

x1(t) =x0

2 [cos (ω0 t) + cos (ωc t)] = x0 cos(

ω0+ωc

2 t)

cos(

ω0−ωc

2 t)

,

x2(0) =x0

2 [cos (ω0 t)− cos (ωc t)] = x0 sin(

ω0+ωc

2 t)

sin(

ω0−ωc

2 t)

.

Vemos entonces que en el batido la oscilacion de cada pendulo consiste en una vibracion de alta frecuencia((ω0 + ωc) /2) modulada en amplitud por una baja frecuencia ((ωc − ω0) /2). Ademas, la vibracion de las 2masas esta desfasada en π/2 entre sı, de modo que cuando la amplitud de una es maxima la otra es cero yviceversa. Es decir que se produce una transferencia de energıa de un pendulo a otro con un perıodo asociado ala menor frecuencia.

Montaje Experimental y Sensores de movimiento

En la Ec.(5) hemos despreciado los efectos del rozamiento sobre el sistema de osciladores acoplados. Para lograrque nuestras condiciones experimentales se asemejen lo mas posible al modelo propuesto, montaremos los osciladoressobre un banco de aire (PASCO 2.0 m AirTrack SF-9214, ver Fig. 6) que reduce notablemente la friccion entre lamasa y su soporte.Para medir el movimiento de los osciladores utilizaremos un sensor de posicion por ultrasonido (Vernier GoMotion!,

Fig. 6 derecha). Este sensor se basa en medir el tiempo de vuelo de una onda de ultrasonido (50 KHz) que se propagaen aire a velocidad constante c = 340 m/s. El sensor emite un pulso breve que se refleja en el objetivo y retorna alsensor donde es captado. De esta forma, la posicion x del objetivo se puede conocer a partir de tiempo de vuelo τ deida y vuelta mediante la formula de modo ecografico:

x =c τ

2. (10)

7

Figura 6. (a) Imagen del banco de aire para montar los osciladores acoplados. Este riel contiene pequenas perforaciones porlas que puede circular el aire proveniente de una bomba de aire. Este efecto reduce notablemente la friccion entre el banco ylas masas. (b) Fotografıa de un sensor de movimiento ultrasonico. Este sensor permite registrar la posicion de un objetivo enfuncion del tiempo mediante el tiempo de vuelo de un pulso de ultrasonido. Para ver las especificaciones tecnicas consultar elmanual.

El software que acompana al sensor directamente registra los datos (posicion en funcion del tiempo) de modo que noes necesario aplicar la Ec.(10) en nuestros calculos.

[1] A. P. French, Vibraciones y ondas, Ed. Reverte (Barcelona, 1974).[2] S. Crawford Jr., Berkeley Physycs Courses Vol III: Waves, McGraw-Hill, (1975).

8

Practica 3

PENDULO DOBLE

En la Fig. 7 se exhibe una representacion esquematica de un pendulo doble. En general, un pendulo doble es unsistema compuesto por dos pendulos, con el segundo con su punto de apoyo sujeto al extremo del primero, y que sesupone restricto a oscilar en un mismo plano. Por lo tanto, este sistema fısico posee dos grados de libertad y exhibe uncomportamiento dinamico de gran variedad. Su movimiento esta gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinariasacopladas, que por encima de cierta energıa, resultan en un movimiento caotico.

Figura 7. A la izquierda se expone el diagrama de un pendulo doble simple, mientras que a la derecha uno de doble brazo.

Para establecer las ecuaciones de movimiento se pueden observar dos situaciones ideales: el pendulo doble formadopor masas puntuales unidas por hilos sin masa inextensibles e infelxibles (imagen izquierda), y el pendulo dobleformado por dos brazos inflexibles (imagen derecha) con masa. Dado que el primer caso se puede pensar como uncaso particular del segundo, donde las masas puntuales se ubican en el centro de masas de cada brazo y los momentosde inercia son despreciables, entonces se propone el analisis de la segunda situacion dinamica. Ademas, el pendulo autilizar en el Laboratorio sera similar al de la figura derecha. Para este caso, las coordenadas del centro de masas decada brazo son:

x1 = L1

2 sin (θ1) , y1 = −L1

2 cos (θ1) ,

x2 = L1 sin (θ1) +L2

2 sin (θ2) , y2 = −L1 cos (θ1)− L2

2 cos (θ2) ,

(11)

donde los angulos son medidos respecto de la vertical. Luego, la energıa del sistema sera:

E =m1

2

(

x21 + y21)

+m2

2

(

x22 + y22)

+I12θ21 +

I22θ22 −m1 g y1 −m2 g y2 , (12)

siendo m1 (m2) la masa e I1 (I2) el momento de inercia del pendulo 1 (2), y donde no supondremos existen efectosdisipativos sobre el movimiento del sistema.La Ec.(12) puede ser expresada unicamente por los angulos θ1 y θ2, los cuales corresponden a los dos grados de

libertad del sistema. Mediante operaciones algebraicas, la energıa cinetica del sistema expresada en funcion de losangulos respecto de la vertical es:

T = (m1 + 4m2)L21

8θ21 +m2

L22

8θ22 +

I12θ21 +

I22θ22 + L1 L2 θ1 θ2 cos (θ2 − θ1) , (13)

mientras que la energıa potencial con la eleccion del nivel cero acorde al plano horizontal resulta en

V = (m1 + 2m2) gL1

2cos (θ1) +m2 g

L2

2cos (θ2) . (14)

La evolucion del sistema para amplitudes con suficiente energıa, se aparta apreciablemente de las aproximacioneslineales de Movimientos Armonicos Simples (MAS), tal y como se observa en la Fig. 8 correspondiente a una exposicionde varios segundos de un pendulo doble.

9

Figura 8. Fotografıa de larga exposicion de un pendulo doble.

Los objetivos de la practica son basados en el analisis de un pendulo de doble brazo por medio de una camaraCCD que registra videos del movimiento del pendulo para distintas condiciones. Estos se pueden enumerar en lossiguientes items :

1. calcular los parametros fısicos del pendulo a utilizar (momento de inercia, longitud del brazo, masa del pendulo).

2. la medicion cuantitativa del desplazamiento del centro de masa (o un punto bien definido de algun brazo) paradistintas condiciones iniciales.

Calculo de la ley horaria,

energıa cinetica, potencial y total.

3. comparacion de trayectorias para iguales condiciones iniciales (en la practica, se deberan realizar medidas paracondiciones iniciales lo mas similares posibles) en el regimen de angulos grandes (θi(0) > 1 rad).

Calculo de θ1(t)− θ2(t),

calculo de x1(t)− x2(t).

4. utilizar condiciones iniciales en la aproximacion de angulos pequenos, y calcular la ley horaria resultante paracomparar con los resultados que predice la teorıa.

Camara CCD

Una camara CCD (Charge-Coupled Device) se podrıa pensar como una especie de camara digital. La CCD es uncircuito integrado que contiene un numero determinado de condensadores enlazados o acoplados. Bajo el control de uncircuito interno, cada condensador puede transferir su carga electrica a uno o a varios de los condensadores que estena su lado en el circuito impreso. De esta forma, la imagen real es “pixelada” acorde a la distribucion y sensibilidad dereceptores organizados en una grilla para detectar los fotones arribando en cada pixel (ver Fig. 9), y transformandosu energıa en diferencias de potencial acorde al efecto fotoelectrico (efecto que se estudiara en el Laboratorio en laPractica 5).

Figura 9. Esquema de la arquitectura de una CCD y la forma en que las cargas se transmiten dentro.

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La alternativa digital a los CCD son los dispositivos CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) utilizadosen algunas camaras digitales y en numerosas Webcam. En la actualidad las CCD son mucho mas populares enaplicaciones profesionales y en camaras digitales.Las caracterısticas relevantes de las camaras CCD a la hora de tomar medidas son:

1. las camaras digitales y CCDs poseen una frecuencia de muestreo. Es decir, que los videos que registranno son una secuencia continua de imagenes, sino que corresponden a una serie de fotografıas equiespaciadascuya diferencia sucesiva corresponde con el tiempo de muestreo de la camara (i.e., inverso de la frecuencia demuestreo). Este tiempo es generalmente ajustable. Como en toda experiencia fısica, los valores de los parametrosa considerar dependen de que sistema se este analizando. En nuestro caso, la eleccion de este tiempo debe sertal de que la serie de snapshots que realiza la camara para generar el video recuperen el movimiento del pendulolo mejor posible.

2. Ademas del tiempo de muestreo, la camara permite variar el tiempo de exposicion entre fotografıas, i.e.,snapshots. Esto es, el tiempo en que la CCD recolecta fotones del ambiente antes de cerrar el obturador. A mayortiempo de exposicion mayor nitidez en la imagen, aunque debe cuidarse de no saturar la misma (la saturacionocurre cuando uno de estos pixels ha llegado al tope de su almacenaje). Una imagen saturada no presenta toda lainformacion que se requiere en muchas instancias. Ademas, si se fotogafıa un objeto en movimiento, el resultadosera una imagen desenfocada o corrida. Por lo tanto, esta cantidad debera ser ajustada en la practica acorde ala velocidad en que oscile el pendulo doble.

3. Variables relacionadas a los efectos de incrementar la sensibilidad de los pixeles son la ganancia y la apertura.El primer parametro corresponde a un incremento en la amplificacion de los voltajes detectados por los con-densadores, mientras que el segundo corresponde a realizar este aumento en una forma mas directa, dejar quela camara reciba mas o menos luz. Estos parametros afectan directamente la sensibilidad de la camara y puedegenerar saturacion o imagenes en negro si no son bien fijados.

Finalmente, se debe destacar que para poder registrar cualquier imagen que posteriormente permita algun tipode analisis cuantitativo se deben registrar escalas. Las escalas corresponden a colocar algun tipo de objeto, cuyasdimensiones sean conocidas, en el plano que se quiere analizar. De esta forma, las imagenes o videos luego extraıdospueden relacionarse con las escalas reales a traves del tamano que los pixeles toman para cubrir dicho objeto. Esclaro que, una vez sacada la escala, todo el sistema debe permanecer estatico, es decir, NO SE MUEVE MAS LA

CAMARA.

[1] http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html[2] P. Denbigh, System analysis and signal processing. Ed. Addison-Wesley.[3] J. McClellan, et al., Signal processing using Matlab 5. Ed. Prentice Hall.

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http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html

Practica 4

RADIACION TERMICA

La radiacion termica es la radiacion emitida por los cuerpos en funcion de su temperatura. Si al cuerpo se leaumenta la temperatura, emitira energıa; si se encuentra en equilibrio termico con el medio, la rapidez con que emitees igual a la que absorbe; y al bajar la temperatura, el cuerpo absorbera energıa. La intensidad de la radiacion termicaI, es la energıa radiada por unidad de area por unidad de tiempo. Esta, aumenta al aumentar la temperatura, y sufrecuencia se vuelve cada vez mayor entrando ası en la region del espectro visible.

En el ano 1900, Max Planck presento un trabajo sobre la “distribucion de energıa del espectro normal”. Estetrabajo fue el precursor de cambios importantes en las teorıas fısicas existentes hasta ese momento y la fecha desu presentacion suele ser considerada como el nacimiento de la Fısica cuantica. Por primera vez Planck introduceuna constante, que luego sera conocida como la “constante de Planck” con el objetivo de explicar las propiedadesobservadas experimentalmente en la radiacion termica.Este resultado fue establecido en forma empırica por Stefan y Boltzmann en 1879, estableciendo la siguiente relacion

entre la potencia radiada u y la temperatura T :

u = σ T 4 . (15)

El objetivo de esta practica es verificar que la intensidad de la radiacion termica de un cuerpo sigue la Ec.(15),relacion que constituye la conocida ley de Stefan-Boltzmann (SB). Ademas, se intentara verificar el valor de la constantede dicha relacion, la cual actualmente se acepta como: σ = 5,67× 10−8 W/m2 ◦K4.

1. ¿Como determinarıa la temperatura del filamento? Discutir y proponer algun modelo sencillo para obtener latemperatura en funcion de las magnitudes medidas experimentalmente.

2. Disene el sistema experimental que le permitira realizar las medidas necesarias para el calculo de la temperatura.

3. Utilice un tratamiento de datos adecuado para comprobar la Ley de SB haciendo uso de las funciones que utilizoen la primer practica del curso.

Ley de Planck

Un cuerpo negro es un objeto idealizado que absorbe toda la radiacion electromagnetica que incide sobre el. Nadade la radiacion incidente se refleja o pasa a traves del cuerpo negro. Debido a esta absorcion perfecta en todas laslongitudes de onda, un cuerpo negro es tambien el mejor emisor de radiacion termica, la cual es radiada en formaincandescente en un espector continuo que depende solo de la temperatura del cuerpo.La intensidad de la radiacion emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:

I (ν, T ) =2h ν3

c31

eh ν/kB T − 1, (16)

donde I(ν) δν es la cantidad de energıa por unidad de area, unidad de tiempo y unidad de angulo solido (i.e., es elangulo espacial que abarca el objeto visto desde un punto dado, corresponde con la zona del espacio limitada por unasuperficie conica) emitida en el rango de frecuencias entre ν y ν + δν.La longitud de onda λ = c/ν en la que se produce el maximo de emision viene dada por la ley de Wien (la

cual dice que existe una relacion de proporcionalidad inversa entre la temperatura del cuerpo y la longitud de ondaemitida) y la potencia total emitida por unidad de area viene dada por la ley de Stefan-Boltzmann. Por lo tanto,a medida que la temperatura aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al azul. Estas observacionesse pueden observar de la Fig. 10.De la integracion angular y en frecuencia de la Ec.(16) se obtiene la expresion de la ley SB, Ec.(15), y la relacion

de σ con los parametros kB (constante de Boltzmann), h (constante de Planck) y c (velocidad de la luz en el vacıo).Esto es:

σ =2π5 k4B15h3 c2

.

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Figura 10. En la figura izquierda se expone la ley de Stefan-Boltzmann con una figura interior que representa la ley de Planckpara la radiacion de un cuerpo negro en funcion de la longitud de onda. A la derecha se expone la distribucion de energıaradiada por longitud de onda (ley de Planck), y como decrece la longitud de onda maxima a medida que baja la temperaturadel cuerpo. En esta figura se superpone el espectro visible como referencia.

Procedimiento Experimental

El dispositivo experimental para realizar la comprobacion cualitativa de la Ley de SB es muy sencillo. Como cuerporadiante se utilizara un filamento de tungsteno por el cual se hara circular una corriente de intensidad variable. Elvoltaje maximo que soporta es de 13 V y la corriente maxima es de 3 A. La temperatura puede ser calculada enfuncion de la resistencia del filamento a partir de la formula:

R (T ) = R (T0) eα (T−T0) , (17)

la cual se aproxima por Taylor en primer orden a: R(T ) ≃ R(T0) [1 + α (T − T0)], donde T0 es la temperatura ambientecon que se tomaron las medidas, T la temperatura y R la resistencia. Se considera que el coeficiente de resistividadno varia al cambiar la temperatura. El coeficiente de resistividad del tungsteno es α = 4,5× 10−3 K. Mediante el usode un fotosensor podemos obtener una medida proporcional a la intensidad de la radiacion.

Figura 11. Dispositivo experimental para la deteccion de la radiacion termica producida por una lampara de tungsteno.

[1] A.C. Melissinos, Experiments in modern physics, Ed. Academic Press.[2] Eisberg y Resnik, Fısica Cuantica, Ed. Limusa.

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Practica 5

ATOMO DE HIDROGENO

Un elemento en estado gaseoso puede emitir luz cuando es excitado, por ejemplo, por el pasaje de una corrienteelectrica. Si se analiza la luz emitida por esta sustancia, puede observarse que el espectro presenta ciertas longitudesde onda discretas y bien definidas (llamadas lıneas) que son caracterısticas de dicha sustancia. A fines del siglo XIX sedescubrio que las longitudes de onda presentes en los gases monoatomicos tienen valores que estan relacionados entresi constituyendo series algebraicas. Esta propiedad contribuyo en forma decisiva para la comprension de la estructuraatomica y la elaboracion de modelos atomicos mas completos.

En 1885 Balmer obtuvo una formula que relacionaba las longitudes de onda del espectro de hidrogeno con numerosenteros constituyendo una serie algebraica. Utilizo para ello 4 lıneas espectrales que habıan sido medidas con granprecision por Amstrong. La formula presentada por Balmer es:

λ = bm2

m2 − n2, (18)

donde b es una constante, n = 2 y m = 3, 4, 5, . . .. La concordancia de las predicciones de Balmer con los resultadosexperimentales fue notable. Es interesante notar que la generalizacion de esta formula permitio prever la existenciade otras series espectrales no observadas hasta el momento, utilizando valores de n superiores a 2 (n = 3, 4, 5, . . .).

Figura 12. Esquema correspondiente a algunas lıneas del espectro de hidrogeno en el rango de frecuencias correspondiente a laluz visible.

En la Fig. 12 se puede ver que el espaciamiento entre lıneas adyacentes disminuye a medida que disminuye la longitudde onda y las lıneas convergen hacia cierto valor. Este punto de convergencia es difıcil de observar experimentalmentedebido a la proximidad de las lıneas entre sı. Ademas no es posible observarla a simple vista o con una placa fotograficapues la convergencia en este caso se encuentra en la region ultravioleta del espectro (λ < 380 nm).

Es posible expresar la formula de Balmer, Ec.(18) en terminos del inverso de la longitud de onda:

1

λ=

4

b

[

(

1

4

)2

−(

1

m

)2]

, (19)

donde se ha utilizado n = 2. La constante RH ≡ 4/b se conoce como constante de Rydberg.

Atomo de Bohr

El origen de los espectros discretos de las sustancias era desconocido en dicha epoca. Si aceptamos un modeloplanetario para los atomos, la radiacion electromagnetica emitida por los electrones acelerados (movimiento central)deberıa tener un espectro continuo. Ademas un modelo de este tipo es, segun la electrodinamica clasica, inestablepues el electron pierde energıa a medida que irradia, de manera que el radio de la orbita serıa cada vez menor hastacolapsar en el nucleo.

14

En el ano 1913 el fısico danes Neils Bohr propuso un modelo atomico del tipo planetario basado en tres postulados(h es la constante de Planck y ~ = h/2π):

1. El electron esta en orbita circular en torno al nucleo. La fuerza de interaccion entre el electron y el nucleo estadada por la ley de Coulomb:

F = −k q Qr2

.

2. De todas las orbitas posibles, el electron solo se mueve en aquellas en las que el momento angular L es igual aun numero entero de veces ~, es decir, L = n ~ con n = 1, 2, 3, . . .. Ademas en estas orbitas no hay radiacionelectromagnetica, es decir, la orbita es estable.

3. El electron emite radiacion cuando cambia de estado entre dos orbitas. La frecuencia ν0 de la radiacion es:

ν0 ≡ Ei − Efh

.

Veamos como el modelo de Bohr puede explicar las observaciones experimentales. Para ello vamos a suponer unatomo de hidrogeno, esto es, un electron orbitando en torno a un proton. Segun el primer postulado, la fuerza centrala la que esta sometido el electron es:

Fc = me ac ⇒ k e2

r2=mv2

r, (20)

donde e es el modulo de la carga electrica del electron (y el proton). A su vez del segundo postulado tenemos:

L = mv r = n ~ ⇒ v = n~

mr. (21)

Sustituyendo esta expresion para v en la Ec.(20) se obtiene:

n2 ~2

mr= k e2 .

De esta ultima expresion vemos que si asumimos que el momento angular esta cuantizado, el radio de la orbita tambienlo estara:

rn = n2~2

mk e2≡ n2 a0 . (22)

Al valor de rn para n = 1 se lo conoce como radio de Bohr, a0. Si queremos conocer la frecuencia de emision (y porlo tanto la longitud de onda) debemos calcular, segun el tercer postulado, la energıa de cada orbital.La energıa potencial U del electron es:

U = −∫ r

∞

k e2

s2ds = −k e

2

r, (23)

mientras que la energıa cinetica T esta dada por:

T =mv2

2=

1

2

k e2

r, (24)

donde hemos usado la expresion de la Ec.(20) para esta ultima igualdad. Entonces, la energıa total del orbital es:

E = −1

2

k e2

r. (25)

Sustituyendo en la Ec.(25) el valor de r hallado en la Ec.(22) encontramos:

E = −1

2

mk2 e4

n2 ~2≡ E1

n2. (26)

15

El atomo emite cuando cambia de estado. La frecuencia de emision es la diferencia de energıa entre los estadodividido por h, por lo que se tiene:

ν0 =c

λ=

1

2

mk2 e4

h ~2

(

1

n2f− 1

n2i

)

⇒ 1

λ=mk2 e4

4π c ~3

(

1

n2f− 1

n2i

)

. (27)

Se debe notar la similitud de esta expresion con la formula de Rydberg (Ec.(19)) en el caso de que el estado final delatomo correspondiera al segundo orbital (nf = 2). Entonces, tenemos:

RH =mk2 e4

4π c ~3. (28)

Los valores de estas constantes aceptados hoy en dıa son:

m = masa del electron = 9,109× 10−31 Kg.

e = carga electron = 1,602× 10−19 C.

c = velocidad de la luz en el vacıo = 2,998× 108 m/s.

k = constante de Coulomb = 8,99× 109 N m2/C2.

~ = constante de Planck/2π = 1,054× 10−34 J s.

Sustituyendo en la Ec.(28) encontramos: RH = 1,0966477× 107 m−1.

nf ni ν0 [Hz]

2 3 4,554× 1014

2 4 6,148× 1014

2 5 6,886× 1014

2 6 7,286× 1014

Cuadro I. Frecuencias de radiacion de algunos estados excitados.

Los valores de frecuencia de esta tabla corresponden al espectro visible. Los colores son rojo, verde azul y violeta,respectivamente. Para valores de ni > 6 la frecuencia corresponde al ultravioleta, y por lo tanto, no es observable asimple vista o con placas fotograficas comunes. La serie de la tabla anterior se conoce como serie de Balmer. Notemosque existe otro tipo de series posibles variando los valores de ni y nf . Ası, la serie para nf = 3 y ni = 4, 5, 6, . . ., seconoce como serie de Paschen. Las frecuencias de esta serie se encuentran en el infrarrojo. La serie para nf = 1 yni = 2, 3, 4, . . ., se conoce como serie de Lyman. Las frecuencias de esta serie se encuentran en el ultravioleta.Notemos que a medida que el valor de ni aumenta, la distancia entre lıneas del espectro es menor. Para valores

de ni >> 1 el espectro pasa a ser un contınuo. La maxima diferencia de energıa ∆Emax entre estados se da para unnf = 1 (estado fundamental) y ni = ∞ (atomo ionizado). A esta diferencia energetica se la conoce como energıa de

ionizacion del atomo de hidrogeno. Su valor, que se suele expresar en electron-Voltios, es: ∆Emax = −13,6 eV .El modelo atomico de Bohr fue un exito para el atomo de hidrogeno ya que las predicciones coincidieron perfecta-

mente con los resultados experimentales conocidos y los obtenidos posteriormente (aunque el origen de los postuladosno estaba claro). Por este trabajo Bohr obtuvo el premio Nobel en 1922. Sin embargo el modelo de Bohr no explicasatisfactoriamente las lıneas observadas para elementos de mayor numero atomico. ¿Por que?.


El objetivo de esta practica es medir experimentalmente la constante de Rydberg. Para ello disponemos de untubo de vidrio que contiene hidrogeno enrarecido (conocido como lampara de Balmer) que se somete a un alto voltaje(3500 V ). La corriente electrica que circula por el gas brinda energıa a los atomos de hidrogeno de manera quepasan de su estado fundamental (n = 1) a estados excitados (n > 1). Los electrones en estados excitados decaenespontaneamente a estados de menor energıa. Algunos de ellos realizan la transicion comprendida en la serie deBalmer, es decir pasan de un estado con n > 2 a n = 2.

16

Figura 13. Dos representaciones esquematicas de las series de emision para el Hidrogeno en distintos estados excitados.

Usando una red de difraccion es posible descomponer la luz de la lampara de Balmer. Cada longitud de onda λ seemite en una direccion especıfica θ de acuerdo a la ecuacion de la red de difraccion:

d sin (θ) = λ , (29)

donde d es el inverso del factor de calibracion de la red, h = numero de lıneas/unidad de longitud dada por elfabricante. La medida del angulo para cada longitud de onda se realiza utilizando un espectrometro como el que semuestra en la Fig. 14. Este instrumento permite medir con gran precision (δθ = 1′ en nuestro caso) el angulo deincidencia para cada longitud de onda. De esta forma podemos construir una tabla donde se muestre el valor de lalongitud de onda para cada valor de ni = 3, 4, 5 y 6. Segun la expresion de la Ec.(27), la grafica de 1/λ en funcion de1/n2i es lineal, con pendiente RH .

Para poder usar el espectrometro es necesario calibrarlo con anterioridad. Para ello se recomienda consultar elmanual del mismo disponible en el laboratorio.

Figura 14. Imagen de un espectrometro. Este permite medir con gran precision el angulo entre el colimador y el telescopio.En esta practica la lampara de Balmer se coloca contra el colimador de haz. La luz arriba a la red de difraccion donde sedescompone en sus diferentes longitudes de onda. El brazo movil del telescopio permite ver cada color y medir el angulo dedesvıo.


17

Practica 6

EFECTO FOTOELECTRICO

En el efecto fotoelectrico, electrones son emitidos desde un material (e.g., solidos metalicos y no metalicos,lıquidos o gases) como consecuencia de la absorcion de energıa proveniente de radiacion electromagnetica de muycorta longitud de onda, tal como la luz visible o ultra-Violeta (UV). A los electrones emitidos de esta forma se les

refiere como “fotoelectrones” (ver Fig. 15). Este efecto fue observado en 1887 por Heinrich Hertz, por lo que el mismotambien se conoce como “efecto Hertz”. Lo que Hertz observo y demostro, fue que los electrodos iluminados con luzUV producen un “chispazo” electrico con mayor facilidad que de otras maneras.

Figura 15. Esquema representativo de la emision de electrones por una placa de potasio para diferentes radiaciones.

El mecanismo de emision que regula el efecto fotoelectrico posee las siguientes caracterısticas. Los fotones del hazde luz incidente poseen una energıa caracterıstica determinada por su frecuencia. En el proceso, sı algun electrondel material absorbe la energıa de un foton y resulta con una energıa superior a la funcion trabajo (i.e., energıa deligado del electron) del material, entonces es eyectado. Sı por el contrario, la energıa del foton no es lo suficientementealta, el electron permanecera atrapado o ligado al material. Aumentando la intensidad del haz incidente, solo se lograaumentar el numero de fotones inicidentes sobre el material, y por lo tanto, aumentar el numero de fotoelectrones,pero no se incrementa la energıa que cada electron posee. Esta, solo depende de la energıa o frecuencia de cada fotonindividual.La energıa que los electrones absorben en general sigue el principio del “todo o nada”. Toda la energıa del foton

incidente es absorbida y usada para liberar un electron del ligamiento atomico, o esta es re-emitida. Sı la energıa esabsorbida, parte de la misma se utiliza para liberar al electron del material, y la restante constituye la energıa cineticade la partıcula libre.El objetivo de esta practica es verificar cuantitativamente las observaciones de Philipp Lenard, que en el 1900

descubrio la ionizacion de gases debido a luz UV, y mas precisamente, comprender el efecto fotoelectrico. Como elefecto se generaba en una capa de aire de varios centımetros y creaba una gran cantidad de iones positivos y negativos,fue interpretado como un efecto Hertz del gas como el existente sobre la superficie de un solido o lıquido. Sin embargo,el “efecto Lenard” posee ademas de un efecto fotoelectrico otras caracterısticas a las cuales no especificaremos.Para ello se estudiara la dependencia de la corriente de saturacion con la intensidad de la luz y se relevara la curva

de voltaje en funcion de la intensidad de corriente para cada una de las longitudes de onda del espectro de Hg (i.e,Mercurio). De la experiencia, se obtendra tambien la constante de Planck.Los siguientes hechos de la emision fotoelectrica son reportados experimentalmente:

Para un metal y una radiacion incidente de frecuencia dada, la razon en que los fotoelectrones son emitidos esdirectamente proporcional a la luz incidente.

Para un metal dado, existe una frecuencia mınima de la radiacion inicidente por debajo de la cual no existeefecto Hertz. Esta es conocida como la frecuencia de corte.

Dada una funcion trabajo, el incremento de la intensidad del haz incidente incrementa la magnitud de la corrientefotoelectrica, aun cuando el voltaje de frenado permanece constante.

18

Para un metal y funcion trabajo, el incremento en la frecuencia del haz incidente incrementa la maxima energıacinetica con la cual los fotoelectrones son emitidos, pero la corriente generada permanece constante mientrasque el potencial de frenado se incrementa.

Por encima de la frecuencia de corte, la energıa cinetica maxima del fotoelectron depende de la frecuencia dela radiacion incidente, pero es independiente de la intensidad de la luz siempre y cuando esta no sea demasiadoelevada.

El retraso entre la incidencia de la radiacion y la emision del fotoelectron es muy pequena, siendo menor que10−9 ns.

Estas experiencias iban no solo en contra de la teorıa del electromagnetismo en cuanto a que esta predecıa que laenergıa del electron debıa ser proporcional a la intensidad de luz incidente, sino que la teorıa clasica preveıa ademasque la energıa luminosa se distribuıa uniformemente sobre el frente de onda, por lo que debıa existir un tiempo deretraso entre el instante en que la luz empieza a incidir sobre la superficie y la expulsion del fotoelectron.Fue imposible explicar las discrepancias de las predicciones con los trabajos experimentales por medio de la teorıa

ondulatoria de la luz. Einstein en 1905, encontro una explicacion satisfactoria a las experiencias de Lenard asumiendola naturaleza corpuscular de la luz. El considero que la energıa contenida en un foton estaba relacionada con lafrecuencia de la luz por la siguiente relacion:

E = h ν . (30)

donde h es la Constante de Planck. Esta hipotesis constituyo una generalizacion de las ideas de Planck sobre laradiacion de cuerpo negro, donde ahora ya no se aplicaban a una cavidad, sino que Einstein consideraba la naturalezacorpuscular de las ondas viajeras. Por lo tanto, la intensidad de la radiacion no esta relacionada con la energıaindividual de cada foton sino con la cantidad de estos. Ademas, se asume que los electrones estan ligados al metal conuna energıa eΦ, donde Φ se conoce como funcion de trabajo del metal y e es la carga del electron. Por lo tanto, sila frecuencia de la radiacion incidente es tal que h ν > eΦ, sera posible desprender electrones del metal, mientras quesi h ν < eΦ esto ultimo no es posible.En el primer caso el exceso de energıa del foton aparece como energıa cinetica del electron, de modo que:

Emax = h ν − eΦ , ⇒ h ν =m

2V 2max + eΦ , (31)

que es la famosa ecuacion del efecto fotoelectrico formulada por Einstein en 1905. Al escribir la ecuacion de esta formaasumimos que la energıa se intercambia entre el foton y el electron solamente. Sin embargo, en cualquier evento deeste tipo el electron se emite en la direccion opuesta a la radiacion incidente y un tercer “cuerpo” debe intervenirpara conservar el momento lineal. En este caso se trata de la red cristalina que conforma el metal, que retrocede conenergıa despreciable.La confirmacion experimental de esta relacion fue hecha por Millikan en 1916, quien separo varias lıneas espectrales

de una lampara de mercurio y las uso individualmente como fuente de luz monocromatica, midiendo los potencialesde corte para cada una de ellas. Correlacionando los datos obtuvo la ecuacion de una recta cuya pendiente era laconstante de Planck.La Ec.(31) ha sido verificada para muchos materiales y en un amplio rango de frecuencias. Lo que experimentalmente

se puede medir es la energıa de los fotoelectrones emitidos. Como la funcion de trabajo del metal no es conocida apriori, la energıa cinetica de los electrones E = 1

2mV 2 se obtiene como funcion de la frecuencia de la radiacionincidente. La pendiente de esta recta es h y el corte con el punto extrapolado a ν = 0 nos da eΦ. Ademas, el cortecon el eje horizontal nos brinda la frecuencia umbral νc o de corte por debajo de la cual no se produce el efectofotoelectrico. Por lo que la expresion de la Ec.(31) a trabajar sera la primera.


En esta practica mediremos la energıa cinetica E de los fotoelectrones en funcion de la frecuencia ν. De esta formausando la primer expresion de la Ec.(31) podemos obtener la constante de Planck h. Para variar la frecuencia de laradiacion incidente utilizaremos una lampara de mercurio y una red de difraccion para descomponer su luz en lasdiferentes longitudes de onda. Al igual que en la practica de espectro de hidrogeno, se debera medir el espectro delmercurio utilizando el espectrometro. El espectro de mercurio presenta 4 colores bien visibles: amarillo, verde, azul yvioleta, por lo que dispondremos de 4 puntos en la grafica E (ν).Para medir la energıa cinetica de los fotoelectrones utilizaremos un montaje que se muestra esquematicamente en la

Fig. 16 (a). La celda fotoelectrica es un dispositivo formado por dos conductores (catodo y anodo) que se encuentran

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encerrados al vacıo en una ampolla de vidrio transparente a la radiacion ultravioleta. El catodo es una pelıcula depotasio y el anodo es un anillo de platino que colecta los fotoelectrones emitidos desde el catodo. Los electrodos sesometen a una diferencia de potencial (variable) cuyo valor V se registra junto con la corriente I del circuito. La curvaI (V ) que se obtiene se muestra esquematicamente en la Fig. 16 (b).

Figura 16. En la imagen de la izquierda se exhibe el diseno del dispositivo experimental utilizado para estudiar el efectofotoelectrico. A la derecha se esquematiza la curva de corriente detectada debido a la fotoemision en funcion de la diferenciade potencial aplicada entre catodo y anodo.

Analicemos la grafica de corriente versus diferencia de potencial. La luz incidente desprende electrones del catodoque eventualmente llegan hasta el anodo registrandose una corriente en el amperımetro. Entre el catodo y el anodo seaplica una diferencia de potencial externa. Si esta diferencia es positiva (es decir, si el anodo esta a mayor potencial queel catodo, se llama potencial directo), los electrones desprendidos se aceleran en direccion al anodo. Cuanto mayores el potencial directo, mayor es la corriente registrada en el amperımetro. Esto es ası hasta que se llega a un estado desaturacion donde todos los electrones desprendidos del catodo llegan hasta el anodo y la corriente ya no aumenta. Si ladiferencia de potencial es negativa (en este caso hablaremos de potencial retardador), los electrones desprendidosdel catodo se frenan en el camino y solo los mas energeticos llegaran al anodo, de manera que la corriente registradadisminuye. Existe un valor umbral o crıtico de potencial retardador por debajo del cual ya no se registra corriente enel circuito. Podemos afirmar entonces que para ese potencial retardador crıtico solo llegan al anodo aquellos electronescuya energıa cinetica inicial cumpla con:

Ec = e Vc = h νc − eΦ . (32)

En esta experiencia mediremos la curva I (V ) para 4 frecuencias de radiacion incidente provenientes de la lampara demercurio. En particular nos interesa el valor de Vc (ν). De esta curva obtendremos la constante de Planck, la frecuenciade corte y la funcion trabajo. Analicemos con mas cuidado ahora el montaje experimental de esta experiencia. Lacorriente fotoelectrica es en general muy pequena, del orden de 10−9 – 10−12 A, dependiendo de la intensidad de la luzincidente. No es posible medir estos valores con amperımetros comunes. En la practica utilizaremos un amplificador decorriente contınua que en combinacion con un voltımetro se utiliza como amperımetro. Para construir la curva Vc (ν),nos interesa adquirir una cantidad importante de datos en torno a Vc. Para poder variar el potencial en forma “fina”en torno a este punto utilizaremos una resistencia variable (conocida como multivueltas) conectada a una fuente fija.El montaje incluyendo el amplificador y la resistencia variable se muestra en la Fig. 17.Discutiremos ahora un ultimo detalle acerca de la diferencia de potencial entre el catodo y el anodo. Los electrones

superficiales o “libres” de estos electrodos tienen a una energıa negativa con respecto al exterior por estar ligados a lared cristalina que conforma el metal (encontramos un caso similar por ejemplo en el electron del atomo de hidrogenoen el modelo de Bohr. La energıa del electron ligado al atomo es negativa respecto al electron libre). Esta es la razonpor la cual hay que entregarles una energıa eΦ a cada uno de ellos para extraerlos del metal. El nivel mas energeticoocupado en el metal se llama nivel de Fermi. El trabajo de extraer un electron es la diferencia de energıa entre elnivel de Fermi del metal y el nivel cero.El nivel de Fermi de un metal depende de su estructura cristalina interna y por lo tanto es diferente para cada uno.

La Fig. 18 (a) muestra un esquema de los niveles de energıa de cada electrodo cuando no hay potencial externo aplicadoentre ellos. Si ahora aplicamos un potencial retardador V ap entre el catodo y el anodo, lo que estamos haciendo desdeel punto de vista del diagrama energetico es aumentar el nivel de Fermi del catodo como se muestra en la Fig. 18 (b).Como los electrones van desde el nivel de Fermi del catodo al nivel de Fermi del anodo, el potencial que los frena no

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Figura 17. Diseno esquematico de la experinecia a realizar en la practica de Laboratorio.

es V ap sino V T. De la Fig. 18 vemos que se cumple:

V T = ΦA − ΦC + V ap . (33)

Combinando esta expresion con la Ec.(32), se tiene finalmente:

e V apc = h νc − eΦA . (34)

Como consecuencia, la funcion trabajo que obtenemos en la experiencia no es la del catodo sino la del anodo.

Figura 18. Esquema de los niveles de energıa en un metal.(a) Cuando no hay potencial aplicado entre el catodo y el anodo. (b)Cuando hay una diferencia de potencial V T

− V ap entre catodo y anodo.

[1] http://museovirtual.csic.es/salas/luz/luz23.htm[2] A.C. Melissinos, Experiments in modern physics, Ed. Academic Press.[3] Eisberg y Resnik, Fısica Cuantica, Ed. Limusa.

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http://museovirtual.csic.es/salas/luz/luz23.htm

Practica 7

RESONANCIA DE ESPIN

En mecanica cuantica existe un efecto llamado efecto Zeeman, el cual consiste en el desdoblamiento de niveles deenergıa en un atomo cuando se aplica un campo magnetico externo. Cuando el campo es lo bastante debil, se puedeaplicar la teorıa de perturbaciones para obtener el valor del desdoblamiento. El resultado al que se llega, es que elaumento (o disminucion) en la energıa de un nivel concreto (estado cuantico) depende de los numeros cuanticos S (deespın), L (momento angular orbital), J (momento angular total) y MJ (componente z del momento J) de ese nivel.Si se considera un campo magnetico de magnitud B paralelo a la direccion espacial z, se obtiene que la variacion

de energıa correspondiente a un estado propio del hamiltoniano de estructura fina |γ L S; J MJ〉 es:

∆E = µB B gMJ ,

donde µB es el magneton de Bohr (momento dipolar magnetico) y g es el factor de Lande. Este no es un resultadodesconocido en la Mecanica Clasica, y se puede entender como la energıa que se requiere para alinear un dipolomagnetico con un campo magnetico.El factor de Lande es una constante de proporcionalidad entre el momento magnetico de un sistema y el corres-

pondiente numero cuantico. Esto es:

~µ = −µB g~J

~⇒ µz = −µB g

MJ

~⇒ ∆E

~= −~µ · ~B . (35)

El factor de Lande viene dado por la expresion:

g =3

2+S (S + 1)− L (L+ 1)

2J (J + 1). (36)

En esta practica se determinara experimentalmente el valor del factor g de Lande. Para ello montaremos una expe-riencia de resonancia de spin. Se utilizaran moleculas de Diphenyl-Picryl-Hydrazyl (DPPH) en el estado fundamental

que seran colocados en una region en presencia de radiacion electromagnetica de frecuencia ν y campo magnetico ~B.Cuando los fotones tengan una energıa h ν igual a la separacion entre los niveles de energıa desdoblados por efectoZeeman, se producira el fenomeno de resonancia, y sera posible determinar el valor del factor de Lande.

Magneton de Bohr

Un electron de masa m y carga e que se mueve con velocidad V en una orbita circular de Bohr de radio r, generauna corriente I. Como se puede esperar de dicha dinamica, este movimiento define una espira de radio r, resultandoen una corriente dada por:

I =e V

2π r. (37)

Se puede demostrar que esta corriente produce un campo magnetico equivalente, a grandes distancias de la espira,a un dipolo magnetico localizado en el centro de la misma y orientado perpendicular a su plano, ~µ, tal y como seobserva en la Fig. 19. Si consideramos que el area de la espira es 2π r, se puede demostrar que el modulo del momentodipolar magnetico µl del dipolo equivalente esta dado por:

µl = 2π r I ,

donde el subındice l indica que corresponde con un momento dipolar debido a un movimiento orbital. Sustituyendola expresion para la corriente, Ec.(37), en la del dipolo, se tiene:

µl =e V

2r , (38)

Por otro lado, la magnitud del momento angular orbital viene dada por:

L = rmV , (39)

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Figura 19. Representacion esquematica de las lıneas magneticas producidas por una espira circular.

donde su direccion es tambien perpendicular al plano de la espira, aunque posee sentido opuesto (ver Fig. 20).El cociente entre el momento dipolar magnetico y el momento angular orbital puede expresarse en terminos de

constantes universales como:

µl = gl µBL

~, con µB =

e ~

2m= 9,27× 10−24 Am2 , (40)

donde µB es llamado magneton de Bohr y gl se denomina factor orbital, que en este caso vale 1.El analisis clasico realizado para obtener la expresion de µl puede ser facilmente utilizado para obtener la expresion

cuantica del mismo. En particular, el modulo del momento angular L y su proyeccion en la direccion expacial z, en laMecanica Cuantica estan dados respectivamente por:

{

L = ~√

l (l + 1)

Lz = ml ~, (41)

siendo ml = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l, y l un numero entero que caracteriza el estado orbital. Luego, el modulo delmomento dipolar magnetico orbital resulta en:

µl = µB gl√

l (l + 1) , (42)

y la componente perpendicular a la espira, la cual notamos como z, es:

µlz = −µB glml . (43)

Experiencia de Stern-Gerlach

En 1920, Stern y Gerlach disenaron una experiencia para determinar los valores posibles del momento dipolarmagnetico para atomos de plata. Para ello hicieron que un haz de atomos de plata (neutros) en la direccion xatravesaran una region de campo magnetico (segun la direccion z). La unica fuerza resultante que actua sobre losatomos sera la debida al campo magnetico en la direccion z. Esta fuerza es proporcional a µlz, y por lo tanto, cadaatomo se desviara de la direccion original, una distancia proporcional al modulo de ~µl. Cuanticamente se esperabaque el haz se deflectara en varias componentes discretas. El numero de valores posibles de µlz es el numero de valoresposibles de ml, es decir 2l + 1. Como l es un numero entero, el numero de valores posibles de ml es impar.

En la experiencia se obtuvieron solamente 2 componentes (una segun +z y la otra segun −z). El hecho de haberencontrado estos unicos resultados fue un indicio de que la teorıa desarrollada hasta ese momento estaba incompleta.En 1927 Phipps y Taylor repitieron la experiencia de Stern-Gerlach, pero utilizando atomos de hidrogeno. Los atomos

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fueron mantenidos a baja temperatura, a fin de garantizar que se encontraran en el estado fundamental, l = 0. Eneste caso hay un unico valor posible para ml, 0. Se esperaba que el haz no se deflectara debido al campo externo,ya que µlz es nulo. Sin embargo no fue esto lo que observaron. Phipps y Taylor, observaron que el haz se deflectabasimetricamente en relacion al haz inicial.

Figura 20. A la izquierda se representa esquematicamente la experiencia de Stern-Gerlach. A la derecha, se representa eldesplazamiento de un dipolo magnetico y el momento angular orbital bajo el efecto de un campo magnetico. La frecuencia degiro se conoce por frecuencia de Larmor.

Estos resultados llevaron a proponer la hipotesis de que el electron tiene un momento dipolar magnetico intrınseco~µl, s asociado a un momento angular intrınseco S, denominado espın. Supondremos que el modulo S y la componenteSz del momento angular de espın tienen asociados dos numeros cuanticos s y ms, dados por:

{

S = ~√

s (s+ 1)

Sz = ms ~, (44)

siendo ms = −s, −s+ 1, . . . , s− 1, s, y s un numero entero que caracteriza el estado orbital. Para fermiones, s = 12 ,

por lo que los estados “verticales” solo pueden ser ms = − 12 po 1

2 . Este resultado tambien se obtiene de las experienciasde Phipps y Taylor.Suponiendo que la relacion entre el momento dipolar magnetico de espın y el momento angular de espın satisfacen

una relacion analoga que en el caso del momento angular orbital, se tiene que:{

µs = µB gs√

s (s+ 1)

µsz = −µB gsms

, (45)

donde gs es el factor de espın.Estas conclusiones fueron confirmadas por diferentes experiencias. Por ejemplo, en el efecto Zeeman, se aplica un

campo magnetico externo uniforme a un conjunto de atomos de hidrogeno y se mide la energıa potencial debido a lasorientaciones de los momentos dipolares magneticos de los atomos. La experiencia mostro que la energıa del estadofundamental se desdobla debido a la presencia del campo magnetico aplicado en dos componentes simetricas respectoal nivel fundamental en ausencia de campo. La energıa potencial asociada a un campo magnetico uniforme, esta dadapor:

∆E = ~µ · ~B .Si llamamos z a la direccion del campo, se obtiene que esta diferencia en energıa es:

∆E = ~µs · ~B = ±µB gsB

2. (46)

El hecho de que el nivel fundamental se desdobla en dos estados en esta experiencia, confirma la conclusion de quems = ± 1

2 , y la medida de la intensidad del desdoblamiento confirma el valor de la constante gs = 2.

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El montaje experimental utilizado sera discutido en clase. Aquı solo daremos algunos detalles tecnicos necesarios paralos calculos. El campo magnetico necesario para producir el desdoblamiento del nivel fundamental de los atomos seragenerado utilizando dos bobinas de Helmholtz en paralelo. Este campo sera modulado con una frecuencia de 50 Hz.La radiacion electromagnetica, responsable de la resonancia, sera generada por un circuito oscilante de frecuenciavariable, y para ello se dispone de tres bobinas cuyos rangos varıan entre 10 mHz y 130 mHz.

Datos para calcular el campo magnetico:

Radio de las bobinas = 6,8 cm,

Numero de vueltas de las bobinas: 320,

µ0 = 1,2566× 10−6 V/A.


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Practica 8

EXPERIENCIA DE FRANK-HERTZ

Las idead de Bohr sobre la cuantizacion de los niveles de energıa en los atomos fueron demostradas experimental-mente por James Frank y Gustav Ludwing Hertz en 1914, quienes verificaron la existencia de los estados estacionariosde energıa con valores discretos. Por ello este experimento es uno de los pilares de la mecanica cuantica. Por estaexperiencia ambos recibieron el premio Nobel de fısica en 1925. El metodo desarrollado por Frank y Hertz (FH)permite realizar una medida directa de las diferencias de energıa entre los estados estacionarios del atomo.

Figura 21. En la figura iquierda se muestra un esquema del dispositivo experimental utilizado por Frank y Hertz. A la derechase expone una representacion de la dinamica atomica que se sucede debido a las diferencias de potencial aplicadas.

El tubo T contiene vapor de mercurio a baja presion (ver Fig. 21). El catodo C al ser calentado actua como fuente deelectrones de baja energıa (termoelectrones). Estos electrones son acelerados hacia el anodo A debido a una diferenciade potencial variable V aplicada entre los electrodos. El anodo tiene forma de rejilla de modo que los electrones laatraviesan y son colectados por la placa P . Entre esta placa y el anodo se aplica un potencial de retardo Vr de modoque los electrones que alcanzan la placa son solamente aquellos cuya energıa cinetica es suficiente como para venceral potencial de retardo.En la experiencia se registra la corriente por el amperımetro como funcion del voltaje acelerador V . A medida que

este voltaje se aumenta el numero de electrones que llegan a la placa P aumenta y como consecuencia la corriente en elamperımetro tambien lo hace. Para un cierto valor de V algunos electrones adquieren la energıa necesaria para excitara los atomos del gas produciendose una colision inelastica. Es decir que los electrones pierden toda su energıa en esteproceso. Si la colision se produce cerca del anodo, los electrones no tienen energıa como para vencer el potencial deretardo y llegar a la placa colectora. Como resultado se produce una caıda en la corriente registrada. Si el potencialacelerador continua aumentando, a pesar de la perdida de energıa que sufren los electrones en la colision, llegan alanodo con energıa suficiente para vencer el potencial retardador y alcanzar la placa colectora. De esta forma comienzaa registrarse nuevamente un aumento en la corriente. Esta seguira aumentando hasta que la diferencia de potencialentre los electrodos sea tal que choquen 2 veces inelasticamente con 2 atomos: el primer choque se producira enla mitad del recorrido (aproximadamente) y el segundo sobre el anodo. De esta forma estamos nuevamente ante lasituacion de que los electrones no tienen energıa suficiente como para vencer el potencial retardador y se produce unacaıda en la corriente registrada.En la Fig. 22 se muestra la curva que se espera obtener en la experiencia de FH. El tercer pico corresponde a la

situacion donde se producen 3 colisiones inelasticas en el recorrido y ası sucesivamente. La diferencia en el valor deV entre maximos es constante y vale 4,9 V en el mercurio que se corresponde con la excitacion electronica de menorenergıa en el atomo de mercurio entre el estado fundamental 1S0 y el primer estado 3P1.


El equipamiento a utilizar en esta practica consiste en el tubo T que contiene mercurio (tubo de Frank-Hertz).Como el mercurio a temperatura ambiente esta en estado lıquido es necesario calentar el tubo para obtener vapor de

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Figura 22. Grafica de la evolucion de la corriente regitrada para la experiencia de FH a medida que se aumenta la diferencia depotencial aplicada.

mercurio. Para ello se dispone de un horno tubular con un control de temperatura que permite mantener el rango detemperatura adecuado para la experiencia.Atencion: Bajo ninguna circunstancia la temperatura en el tubo debe ser inferior a 180 ◦C mientras se realiza la

experiencia. Bajo esta temperatura el mercurio entra en su fase lıquida y se produce un cortocircuito en el tubo!!! Latemperatura tampoco puede exceder los 220 ◦C ya que la presion del vapor por encima de esta temperatura es tal queexiste el riesgo de explosion del tubo.El tubo contiene ademas el filamento emisor de electrones y los electrodos necesarios en la experiencia, catodo, anodo

y placa colectora. Al igual que en la experiencia de efecto fotoelectrico, las corrientes registradas en esta experienciason muy pequenas por lo que usaremos el amplificador de corriente continua para medirlas. Como en la practica nosinteresa medir la diferencia de potencial entre maximos, en la zona de los picos es necesario registrar una cantidadimportante de datos con un paso muy fino. Para ello utilizaremos un multivueltas conectado a una fuente fija.

Se recomienda leer en el manual del tubo de Frank-Hertz, los datos tecnicos del mismo, y en particular, la tensiony corriente maxima que soportan los electrodos. En el manual se puede consultar ademas un diagrama del circuitoelectrico a ser utilizado.Precauciones:

Peligro de implosion del tubo ante golpes, caıdas, etc.

No aplicar ninguna tension al tubo frıo: peligro de cortocircuito.

Realizar cualquier modificacion al circuito con la fuente apagada.

No encender la fuente hasta que el docente verifique las conexiones.


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Repartido Laboratorio 1

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