Rencontres GDR AMC2 décembre 2010 COMPORTEMENT DE DISPERSIONS COLLOÏDALES HÉTÉROGÈNES EN TAILLE - INVERSION DES DONNÉES SAXS- Robert Botet Martine Meireles, Marie-Laure Rami, Bernard Cabane
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
COMPORTEMENT DE DISPERSIONS COLLOÏDALES HÉTÉROGÈNES EN TAILLE
- INVERSION DES DONNÉES SAXS-
Robert BotetMartine Meireles, Marie-Laure Rami, Bernard Cabane
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
LES SPHÈRES POLYDISPERSES…
structure aléatoire la plus compacte possible avecune distribution log-normale des rayons des grains
On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses
mais c’est difficile…
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
LES SPHÈRES POLYDISPERSES…
bien qu’on sache calculer numériquement le I(q)… donc fit, etc…
On voudrait analyser les courbes SAXS d’un empilement compact de sphères très polydisperses
mais c’est difficile…
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
LES SPHÈRES POLYDISPERSES…
système dilué de sphères avecune distribution log-normale des rayons des grains
Alors, on commence par un système très diluéde sphères très polydisperses
c’est plus facile…
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…
Si dilué que le facteur de structure = 1, et donc…
0
26 )(cossin)( drrfqrqrqrqIq
avec f(r) = distribution des rayons
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
INVERSION DE L’INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…
0
26 )(cossin)( drrfqrqrqrqIq
et… un miracle mathématique!…
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
INVERSION DE L’INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…
0
26 )(cossin)( drrfqrqrqrqIq
et… un miracle mathématique! il existe une formule d’inversion exacte
0
42 )()()( dqqrBqIqrfr
avec: )(lim 4 qIqq
uuuuuu
uB 2sin)21(2cos)2(2
)( 223
(Titchmarsh, 1924)
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
INVERSION DE L’INTENSITÉ SAXS PAR DES SPHÈRES POLYDISPERSES…
0
26 )(cossin)( drrfqrqrqrqIq
et… un miracle mathématique! il existe une formule d’inversion exacte
0
42 )()()( dqqrBqIqrfr
…mais elle n’est malheureusement pas utilisée…
(Titchmarsh, 1924)
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
POURQUOI LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX N’EST PAS UTILISÉE…
0
42 )()()( dqqrBqIqrfr
Connaître les valeurs exactes de f(r) demande une quantité infinie d’information
…et les données expérimentales n’en fournissent qu’une quantité finie… q=1.0552 10-2 nm-1
q=1.0966 10-2 nm-1
q=1.1380 10-2 nm-1
q=1.1794 10-2 nm-1
q=1.2208 10-2 nm-1
q=1.2622 10-2 nm-1
q=1.3036 10-2 nm-1
q=1.3450 10-2 nm-1
q=1.3864 10-2 nm-1
q=1.4278 10-2 nm-1
…
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
UNE AUTRE FAÇON D’UTILISER LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX…
0
42 )()()( dqqrBqIqrfr
0
4 )()()( dqqrqIqrf r
… où <f(r)> est la valeur moyenne de la distributionsur un petit intervalle Dr centré en certaines valeurs de r
n’essayez pas de calculer exactement f(r): une bonne valeur moyenne suffit…
r r+Dr/2r-Dr/2
<f(r)>f(r)
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
UNE AUTRE FAÇON D’UTILISER LA FORMULE BATEMAN-TITCHMARSH-FOX…
0
4 )()()( dqqrqIqrf
r
<f(r)>
théorie de l’information →# optimum de valeurs de r et écart minimum entre ces valeurs, cohérents avec la quantité d’information contenue dans les données de SAXS
…r1 rmax
…(Taupin et Luzzati, 1982)
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C
connaissant qmin=1.10-2 et qmax=4.10-4,la théorie de l’information donne:
rmax=300nmDr=2.7nm
et la <distribution des rayons>:
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C
théorie de l’information:
rmax=300nmDr=2.7nm
et la <distribution des rayons>:
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C
théorie de l’information:
rmax=300nmDr=2.7nm
donc pas d’information pourr < 2.7nm et r > 300nm
…
si on en veut, il faut utiliserd’autres expériences
par exemple: Surface spécifique : 15.6m2/gPression osmotique: 1 kPa pour =10f %
compatibles avec le loi trouvée et extrapolée entrer0=1.5nm et r1=50nm
3/4
43
2
r
r
Tkr
rB
3/4 3
0
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C
théorie de l’information:
rmax=300nmDr=2.7nm
… et si on veut une précision plus grande que Dr ?... Dr=1nm
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
EXEMPLE: L’ÉCHANTILLON 17C
théorie de l’information:
rmax=300nmDr=2.7nm
… et si on veut une précision plus grande que Dr ?...
…et si on rajoute un bruit à I(q)?...
Dr=1nm
<(DI)2>=0.05I(q)
Rencontres GDR AMC2 décembre 2010
CONCLUSION…
Il semble que la formule de Bateman-Titchmarsh-Fox donne de bons résultatspour l’inversion de l’intensité SAXS par des systèmes très dilués de billes polydisperses,si l’on veut bien se limiter à la précision déduite de la théorie de l’information
on a alors accès à une valeur moyenne de la distribution en taille en des valeurs imposées des rayons (dépendantes du domaine des valeurs expérimentales de q utilisées)