1. Diketahui (3x 2 + 2x + 1) dx = 25 Nilai a = … A. – 4 B. – 2 C. – 1 D. 1 E. 2 PEMBAHASAN : (3x 2 + 2x + 1) dx = x 3 + x 2 + x 25 = (3 3 + 3 2 + 3) – (a 3 + a 2 + a) a 3 + a 2 + a = 27 + 9 + 3 – 25 a 3 + a 2 + a – 14 = 0 (a – 2)(a 2 + a + 7) = 0 a = 2 atau a 2 + a + 7 = 0 jadi a = 1 JAWABAN : D 2. Nilai sin 2x cos x dx = … A. -4/3 B. -1/3 C. 1/3 D. 2/3 E. 4/3 PEMBAHASAN : sin 2x cos x dx = 2 sin x cos x cos x dx = 2 sin x cos 2 x dx misal u = cos x du = -sin x dx = 2 u 2 (-du) = - u 3 Substitusi u = cos x = - cos 3 x = - cos 3 + cos 3 0 = - (-1) 3 + .1 3
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
2. Nilai sin 2x cos x dx = …A. -4/3B. -1/3C. 1/3D. 2/3E. 4/3
PEMBAHASAN :
sin 2x cos x dx = 2 sin x cos x cos x dx
= 2 sin x cos2 x dxmisal u = cos x du = -sin x dx
= 2 u2 (-du)
= - u3 Substitusi u = cos x
= - cos3 x
= - cos3 + cos3 0
= - (-1)3 + .13
= +
= JAWABAN : D
3. Hasil dari 3x dx = …A. 7/2B. 8/3C. 7/3D. 4/3E. 2/3
PEMBAHASAN :
3x dx = …
misal u = 3x2 + 1 du = 6x dx
=
= u1/2 du
= . u3/2
substitusi u = 3x2 + 1, sehingga diperoleh
= (3x2 + 1)3/2
= (3.12 + 1)3/2 – (3.02 + 1)3/2
= 8 – .1
= JAWABAN : C
4. Hasil dari cos5 x dx = …
A. - cos6 x sin x + C
B. cos6 x sin x + C
C. –sin x + sin3 x + sin5 x + C
D. sin x – sin3 x + sin5 x + C
E. sin x + sin3 x + sin5 x + C
PEMBAHASAN :
cos5 x dx = cos x (cos2 x)2 dx
= cos x (1 – sin2 x)2 dx
= cos x (1 – 2 sin2 x + sin4 x) dxmisal u = sin x du = cos x
= (1 – 2u2 + u4) du
= u – u3 + u5 + Csubstitusi u = sin x,
= sin x – sin3 x + sin5 x + CJAWABAN : D
5. Hasil dari cos x (x2 + 1) dx = …
A. x2 sin x + 2x cos x + CB. (x2 – 1)sin x + 2x cos x + CC. (x2 + 3)sin x – 2x cos x + CD. 2x2 cos x + 2x2 sin x + CE. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + C
PEMBAHASAN :
dalam penyelesaian soal ini akan menggunakan Integral Parsialu = x2 + 1 du = 2x dxdv = cos x dx v = sin x
u dv = uv – v du
= sin x (x2 + 1) – sin x 2x dxparsial lagi
m = 2x dm = 2 dxdn = sin x dx n = -cos x
= sin x (x2 + 1) – (2x (-cos x) – -cos x 2 dx)= sin x (x2 + 1) – (-2x cos x + 2 sin x) + C= sin x (x2 + 1) + 2x cos x – 2 sin x + C= sin x (x2 – 1) + 2x cos x + C
JAWABAN : B
6. Diketahui (3x2 – 2x + 2) dx = 40. Nilai p = …A. 2B. 1C. – 1D. – 2E. – 4
21. Luas daaerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah … satuan luas
A. 54B. 32
C. 20D. 18
E. 10
PEMBAHASAN :
Sebelumnya kita harus mencari titik potong pada sumbu-x sebagai batas atas dan batas bawah integral. Yaitu dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garisnya sedemikian sehingga berbentuk y = 6 – x. Kemudianpersamaan kurva (y1) = persamaan garis (y2)x2 = 6 – xx2 + x – 6 = 0(x + 3)(x – 2) = 0x = -3 atau x = 2
26.Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 x 3 adalah …A. 5 satuan luasB. 7 satuan luasC. 9 satuan luas
27.Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …
A. satuan luas
B. satuan luas
C. satuan luas
D. satuan luas
E. satuan luas
PEMBAHASAN :cari terlebih dahulu batas atas dan batas bawahnya.x3 = xx3 – x = 0x(x2 – 1) = 0x = 0 atau x = 1jadi batas atas dan batas atasnya berturut-turut adalah x = 0 dan x = 1 serta x = 1 dan x = 2 [lihat gambar]
PEMBAHASAN :Perhatikan gambar diatas, dalam kasus ini kita pandang sebagai fungsi y [y sebagai variable bebas dan x sebagai variable terikat]Cari terlebih dahulu titik potongnya.y2 = y + 2y2 – y – 2 = 0(y – 2)(y + 1) = 0y = 2 atau y = -1
Luas = (y2) – (y + 2) dy
= y2 – y – 2 dy
= y3 – y2 – 2y
= ( 23 – 22 – 2.2) – ( (-1)3 – (-1)2 – 2(-1))
= ( – 2 – 4) – (- – + 2)
= – 6 + + – 2
= – 8 +
= -5 +
= -4
= 4 satuan luasJAWABAN : C
30.Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 x 5 sama dengan …A. 30 satuan luasB. 26 satuan luas
PEMBAHASAN :titik potong6x – x2 = x2 – 2x2x2 – 8x = 02x(x – 4) = 0x = 0 atau x = 4perhatikan gambar diatas, bahwa luas yang dimaksud terbagi menjadi dua yaitu antara 0 x 4 dan 4 x 5
32.Tentukan dengan menggunakan metode substitusi aljabar :∫ (2x + 10)3 dx
Pembahasan
33. Tentukan hasil dari:
∫ √(3x + 6) dx
Pembahasan
34. Tentukan hasil dari:
∫ 3√(3x + 6) dx
Pembahasan
35. Tentukan hasil dari:∫ (3x3 + 5)7 x2 dx
Pembahasan
36. Tentukan hasil dari:
∫ 3√(12 x5 − 7) x4 dx
Pembahasan
37. Hasil dari
adalah....
Sumber soal : Ebtanas Matematika 1999
Pembahasan
38. Hasil dari:
∫ cos3 3x sin 3x dx
adalah.... (Modifikasi UN 2011)
Pembahasan :Buat dulu permisalannya:v = cos 3x
Turunkan v nya:dv/dx = −3 sin 3x
sehingga jika diperlukan dxdx = dv/−3 sin 3x
Kembali ke soal, sambil memasukkan permisalan tadi, ganti cos 3x dengan v dan dx dengan dv/−3 sin 3x, sin 3x biarkan saja, nanti bisa dicoret,
Sehingga
Kembalikan v jadi cos 3x lagi
39. Hasil dari ∫ cos2 x sin x dx adalah....A. 1/3 cos3 x + CB. − 1/3 cos3 x + CC. − 1/3 sin3 x + CD. 1/3 sin3 x + CE. 3 sin3 x + C(Integral Substitusi Trigonometri - UN 2008)
PembahasanSetipe dengan contoh pertama, misalkan:v = cos x
Menemukan dx nya
Pasang lagi
40. Hasil dari
∫ 5x sin x2 dx = ....
(Modifikasi UAN 2006)
Pembahasan
Berbeda tipe dengan dua soal sebelumnya. Jika sebelumnya sin atau cos nya yang dipangkat, yang ini x di dalam yang dipangkatkan.Misalkan x2 sebagai v.
pasang v dan dx nya, biarkan saja 5x nya
41. ∫ 2x cos (x2 + 1)dx = ....
PembahasanMisal:v = x2 + 1
Jadi:
Kembali ke soal,
Ganti (x2 + 1) dengan v dan dx dengan dv/2x, sementara itu 2x biarkan saja, nanti dicoret:
Kita edit soal diatas:∫sin3x cos2x dx = ∫sin2x sin x cos2x dx= ∫[(1 − cos2x)sinx cos2x ]dx= ∫[sinx cos2x − sinx cos4x]dx= ∫ sinx cos2x dx − ∫sinx cos4x dx
Kemudian gunakan integral substitusi seperti soal-soal sebelumnya:
Misal cos x jadi v
Kembali ke soal, substitusikan
43. Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + CB. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + CC. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + CD. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + CE. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C
PembahasanBeberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =..... |____| |__________| u dv
Langkah pertama, tentukan dulu mana u mana dvMisalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,u = (x + 3) ...(Persamaan 1)dv = cos (2x − π)dx ...(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,u = (x + 3) du/dx = 1du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v, dv = cos (2x − π)dxatau dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :u = (x + 3)v = 1/2 sin (2x − π)du = dx
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16= uv − ∫v du= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Cara Kedua16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertamax + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika diturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom keduacos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)
Langkah KeduaKalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, danbaris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2, lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga:=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.
49. ∫ (x2 + 1) cos x dx =......A. x2 sin x + 2x cos x + CB. (x2 − 1) sin x + 2x cos + CC. (x2 + 3) sin x − 2x cos x + CD. 2x2 cos x + 2x2 sin x + CE. 2x sin x − (x2 − 1) cos x + C