Relaxação Lagrangeana

RelaxacaoLagrangiana

M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos

Heurısticalagrangiana

Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Relaxacao Lagrangiana

Margarida P. Mello

MT852 – 15 de maio, 2009


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

1 Contexto

2 Teoria

3 Aspectos praticos

4 Heurıstica lagrangiana

5 Reducao do problema

6 Aplicacoes

7 Referencias


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Contexto

Cotas superioressolucoes viaveis

Cotas inferioressolucoes inviaveis

Valor

Valor otimo

(minimizacao)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Heurısticas

Destinadas a classes especıficasBusca localTempera simuladaAlgoritmos geneticosRedes neurais. . .

Relaxacoes

LinearLagrangiana

Valor

Valor otimo

(minimizacao)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Usos

• como um metodo

• como um coadjuvante (e.g., R.L. + B&B)

• na avaliacao de resultados obtidos com outras heurısticas


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Usos

• como um metodo




M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Usos

• como um metodo




M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Ideia

Problema linear inteiro(PI ) min zPI = cx

s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z, ∀j

Se λ ≥ 0, zPI ≥ z ′:min z ′ = cx + λ(b1 − A1x)

s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z, ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Ideia


s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z, ∀j

Se λ ≥ 0, zPI ≥ z ′:min z ′ = cx + λ(b1 − A1x)

s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z, ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias


s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z+, ∀j

E z ′ ≥ z(λ):(PRλ) min z(λ) = cx + λ(b1 − A1x)

s.a A2x ≥ b2

xj ∈ Z+, ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias


s.a A1x ≥ b1

A2x ≥ b2

xj ∈ Z+, ∀j

E z ′ ≥ z(λ):(PRλ) min z(λ) = cx + λ(b1 − A1x)

s.a A2x ≥ b2

xj ∈ Z+, ∀j

}Q


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Resultado importante

Dual Lagrangiano (melhor cota inferior)

(DL) zDL = maxλ≥0

z(λ)

Teorema (Nemhauser & Wolsey, p. 327–328)

zDL = min{cx | A1x ≥ b1, x ∈ conv (Q)}


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Resultado importante

Dual Lagrangiano (melhor cota inferior)

(DL) zDL = maxλ≥0

z(λ)

Teorema (Nemhauser & Wolsey, p. 327–328)

zDL = min{cx | A1x ≥ b1, x ∈ conv (Q)}


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema

min 3x1 − x2

s.a x1 − x2 ≥ −1 (1)−x1 + 2x2 ≤ 5 (2)3x1 + 2x2 ≥ 3 (3)6x1 + x2 ≤ 15 (4)

x1, x2 ≥ 0x1, x2 ∈ Z


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

1

1

(2)(1)

(3)

(4)

• •

• •

• •

• •

•

c

•x∗PI

•x∗PL


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

1

1

(2)(1)

(3)

(4)

• •

• •

• •

• •

•

c

•x∗PI

•x∗PL


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

1

1

(2)(1)

(3)

(4)

• •

• •

• •

• •

•

c

•x∗PI

•x∗PL


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

1

1

(2)(1)

(3)

(4)

• •

• •

• •

• •

•

c

•x∗PI

•x∗PL


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

•

c

−A1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

••

• •

c

−A1

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = z(

53

)= −1

3


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

••

• •

conv(Q

) ∩ {x | A

1 x ≥ b1 }

c

−A1

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = z(

53

)= −1

3


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

• ••

• •

conv(Q

) ∩ {x | A

1 x ≥ b1 }

c

−A1

• x∗DL

• x∗PI

•x∗PL

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = cx∗DL = −13


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

• ••

• •

conv(Q

) ∩ {x | A

1 x ≥ b1 }

c

−A1

• x∗DL

• x∗PI

•x∗PL

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = cx∗DL = −13


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

• ••

• •

conv(Q

) ∩ {x | A

1 x ≥ b1 }

c

−A1

• x∗DL

• x∗PI

•x∗PL

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = cx∗DL = −13


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

x1

x2

conv(Q)

1

1

• •

• •

• •

• •

• ••

• •

conv(Q

) ∩ {x | A

1 x ≥ b1 }

c

−A1

• x∗DL

• x∗PI

•x∗PL

λ (0, 5/3) (5/3, 3) (3,∞)

x∗(λ) (0, 2) (1, 0) (2, 0)

z(λ) −2 + λ 3− 2λ 6− 3λ

⇒ zDL = cx∗DL = −13


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Gap de dualidade

zPI − zDL = 1−(−1

3

)=

4

3

Comparando com relaxacao linear

xPL =

(1

5,

6

5

)⇒ zPL = −3

5

LogozPI > zDL > zPL

Note que x∗(λ∗) e viavel para (PI ), porem nao e otima para(PI ).


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Gap de dualidade

zPI − zDL = 1−(−1

3

)=

4

3


xPL =

(1

5,

6

5

)⇒ zPL = −3

5

LogozPI > zDL > zPL



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Gap de dualidade

zPI − zDL = 1−(−1

3

)=

4

3


xPL =

(1

5,

6

5

)⇒ zPL = −3

5

LogozPI > zDL > zPL



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Gap de dualidade

zPI − zDL = 1−(−1

3

)=

4

3


xPL =

(1

5,

6

5

)⇒ zPL = −3

5

LogozPI > zDL > zPL



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Gap de dualidade

zPI − zDL = 1−(−1

3

)=

4

3


xPL =

(1

5,

6

5

)⇒ zPL = −3

5

LogozPI > zDL > zPL



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Demonstracao

Fato (N&W, p. 106): se dados sao racionais, conv(Q) epoliedro racional e min{dx | x ∈ Q} = min{dx | x ∈ conv(Q)}.

conv(Q) = conv(P) + conic(R).

z(λ) = min{(c − λA1)x + λb1 | x ∈ Q}= min{cx + λ(b1 − A1x) | x ∈ conv(Q)}

=

+∞, se Q = P = ∅−∞, se ∃r j ∈ R | (c − λA1)r j < 0cxk + λ(b1 − A1)xk , c.c., para algum xk ∈ P


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Demonstracao




=



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Demonstracao




=



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

dem. — cont.

LogozDL = max

λ≥0min

x∈conv(Q){cx + λ(b1 − A1x)}

= maxz,λ

z

z ≤ cxk + λ(b1 − A1xk), ∀xk ∈ P

(c − λA1)r j ≥ 0, ∀r j ∈ R

λ ≥ 0= max

z,λz

z + λ(A1xk − b1) ≤ cxk , ∀xk ∈ P

λA1r j ≤ cr j , ∀r j ∈ R

λ ≥ 0


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

dem. — cont.

LogozDL = max

λ≥0min


= maxz,λ

z

z ≤ cxk + λ(b1 − A1xk), ∀xk ∈ P

(c − λA1)r j ≥ 0, ∀r j ∈ R

λ ≥ 0

= maxz,λ

z

z + λ(A1xk − b1) ≤ cxk , ∀xk ∈ P


λ ≥ 0


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

dem. — cont.

LogozDL = max

λ≥0min


= maxz,λ

z

z ≤ cxk + λ(b1 − A1xk), ∀xk ∈ P

(c − λA1)r j ≥ 0, ∀r j ∈ R

λ ≥ 0= max

z,λz

z + λ(A1xk − b1) ≤ cxk , ∀xk ∈ P


λ ≥ 0


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

dem. — cont.

Teor. de dualidade de PL ⇒

zDL = min c(∑

k αkxk +∑

j µj rj)

∑k αk = 1

A1(∑

k αkxk +∑

j µj rj)≥ b1 (

∑k αk)

αk , µj ≥ 0, ∀k , j

= mins.a

cxA1x ≥ b1

x ∈ conv(Q)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

dem. — cont.

Teor. de dualidade de PL ⇒

zDL = min c(∑

k αkxk +∑

j µj rj)

∑k αk = 1

A1(∑

k αkxk +∑

j µj rj)≥ b1 (

∑k αk)

αk , µj ≥ 0, ∀k , j

= mins.a

cxA1x ≥ b1

x ∈ conv(Q)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

CorolarioSe

conv(Q) ∩ {x | A2x ≥ b2} =conv{x | A1x ≥ b1,A2x ≥ b2, xj ∈ Z+},

entao cota fornecida por relaxacao lagrangiana coincide comcota fornecida por relaxacao linear.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Questoes importantes

• Estrategia: quais restricoes relaxar/dualizar?Levar em consideracao

• a qualidade da cota zDL

• a facilidade de solucao de (PRλ)• a facilidade de solucao de (DL)

• Tatica: como estimar/atualizar λ?

• metodo do subgradiente


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias


• Estrategia: quais restricoes relaxar/dualizar?Levar em consideracao• a qualidade da cota zDL





M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias



• a facilidade de solucao de (PRλ)

• a facilidade de solucao de (DL)




M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias







M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias







M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias




• Tatica: como estimar/atualizar λ?• metodo do subgradiente


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Metodo do subgradiente

(PRλ) max z(λ) = cx + λ(b − Ax)

s.a x ∈ X

• z(λ) e convexa, linear por partes.

• (b − Ax∗(λ)) ∈ ∂z(λ)

Passo 1 (Inicializacao)k ← 0Chuta λ0

Passo 2 (Iteracao)Enquanto nao satisfaz criterio de paradaλ← λk

Seja xk ∈ argmax{cx + λk(b − Ax) | x ∈ X}λk+1

i = [λki − µk(b − Axk)i ]

+

k ← k + 1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias



s.a x ∈ X


• (b − Ax∗(λ)) ∈ ∂z(λ)





+

k ← k + 1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias



s.a x ∈ X


• (b − Ax∗(λ)) ∈ ∂z(λ)





+

k ← k + 1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias



s.a x ∈ X


• (b − Ax∗(λ)) ∈ ∂z(λ)





+

k ← k + 1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias



s.a x ∈ X


• (b − Ax∗(λ)) ∈ ∂z(λ)





+

k ← k + 1


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema de cobertura

(PI ) min cxs.a Ax ≥ 1

xj ∈ {0, 1} ∀j

Dualizando restricoes de cobertura

(PRλ) min (c − λA)x +∑

i λi= Cx +∑

i λi

s.a xj ∈ {0, 1} ∀j

Solucao otima

x∗j (λ) =

{1, se Cj ≤ 00, c.c.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo



xj ∈ {0, 1} ∀j



i λi= Cx +∑

i λi

s.a xj ∈ {0, 1} ∀j

Solucao otima

x∗j (λ) =

{1, se Cj ≤ 00, c.c.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo



xj ∈ {0, 1} ∀j



i λi= Cx +∑

i λi

s.a xj ∈ {0, 1} ∀j

Solucao otima

x∗j (λ) =

{1, se Cj ≤ 00, c.c.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema da mochila

z = max 10y1 + 4y2 + 14y3

3y1 + y2 + 4y3 ≤ 4y ∈ B3.

Dualizando a restricao de capacidade

zDL = minλ≥0

z(λ),

z(λ) = max (10− 3λ)y1 + (4− λ)y2 + (14− λ)y3 + 4λy ∈ B3,

onde λ ≥ 0.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema da mochila

z = max 10y1 + 4y2 + 14y3

3y1 + y2 + 4y3 ≤ 4y ∈ B3.


zDL = minλ≥0

z(λ),

z(λ) = max (10− 3λ)y1 + (4− λ)y2 + (14− λ)y3 + 4λy ∈ B3,

onde λ ≥ 0.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema da mochila

z = max 10y1 + 4y2 + 14y3

3y1 + y2 + 4y3 ≤ 4y ∈ B3.


zDL = minλ≥0

z(λ),

z(λ) = max (10− 3λ)y1 + (4− λ)y2 + (14− λ)y3 + 4λy ∈ B3,

onde λ ≥ 0.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

Logo

z(λ) = max{0, 10− 3λ}+ max{0, 4− λ}+ max{0, 14− 4λ}+ 4λ

z(λ) = funcao convexa, linear por partes


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

Logo

z(λ) = max{0, 10− 3λ}+ max{0, 4− λ}+ max{0, 14− 4λ}+ 4λ

z(λ) = funcao convexa, linear por partes


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λ

y

1

1415

28 •

••

•

(10/3, 44/3) (7/2, 29/2)

(4, 16)

y = z(λ)

λ (0, 10/3) (10/3, 7/2) (7/2, 4) (4,∞)

y∗ (1, 1, 1) (0, 1, 1) (0, 1, 0) (0, 0, 0)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 1

1 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/2

2 max{4− 12 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 1

2 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

λk+1 = max{λk − µk(4− 3y∗1 − y∗2 − 4y∗3 ), 0}

µk = µoρk , com λ0 = 0, µ0 = 1 e ρ = 1/2

k λ µ

0 0 11 max{0− 1(4− 3− 1− 4), 0} = 4 1/22 max{4− 1

2 (4− 0− 1− 0), 0} = 2 12 1/4

3 max{52 −

14 (4− 3− 1− 4), 0} = 3 1

2 1/8

4 max{72 −

18 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 5

8 1/16

5 max{298 −

116 (4− 0− 1− 0), 0} = 3 7

16 1/32

6 max{5516 −

132 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 15

32 1/64

7 max{11132 −

164 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 31

64 1/128

8 max{22364 −

1128 (4− 0− 1− 4), 0} = 3 63

128 1/256


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

Embora λ3 = 7/2 = λ∗, o subgradiente

(b − Ay∗(λ3)) = 4− 0− 1− 4 6= 0

⇒ otimalidade nao e detectada

Inducao ⇒ λk = 3 + 716 + 1

32

k−6∑i=0

(1

2

)i

, para k ≥ 6

Logo

λk −→k →∞

3 +7

16+

2

32=

7

2


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont


(b − Ay∗(λ3)) = 4− 0− 1− 4 6= 0


Inducao ⇒ λk = 3 + 716 + 1

32

k−6∑i=0

(1

2

)i

, para k ≥ 6

Logo

λk −→k →∞

3 +7

16+

2

32=

7

2


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont


(b − Ay∗(λ3)) = 4− 0− 1− 4 6= 0


Inducao ⇒ λk = 3 + 716 + 1

32

k−6∑i=0

(1

2

)i

, para k ≥ 6

Logo

λk −→k →∞

3 +7

16+

2

32=

7

2


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont


(b − Ay∗(λ3)) = 4− 0− 1− 4 6= 0


Inducao ⇒ λk = 3 + 716 + 1

32

k−6∑i=0

(1

2

)i

, para k ≥ 6

Logo

λk −→k →∞

3 +7

16+

2

32=

7

2


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Problema simetrico do caixeiro viajante (Held & Karp)

(PI ) min∑

e∈E cexe

s.a∑

e∈δ(i) xe = 2 ∀i ∈ V∑e∈E(S) xe ≤ |S | − 1 ∀2 ≤ |S | ≤ |V | − 1

xj ∈ {0, 1} ∀j

Dualizando restricoes de dupla incidencia no no i , para i 6= 1

(PRλ) min∑

e∈E (ce − λi − λj)xe + 2∑

i∈V λi

s.a∑

e∈δ(1) xe = 2∑e∈E(S) xe ≤ |S | − 1 ∀2 ≤ |S | ≤ |V | − 1, 1 /∈ S∑e∈E xe = n

xj ∈ {0, 1} ∀j

Solucao de (PRλ) e 1-arvore


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo


(PI ) min∑

e∈E cexe

s.a∑


xj ∈ {0, 1} ∀j


(PRλ) min∑


i∈V λi

s.a∑


xj ∈ {0, 1} ∀j



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo


(PI ) min∑

e∈E cexe

s.a∑


xj ∈ {0, 1} ∀j


(PRλ) min∑


i∈V λi

s.a∑


xj ∈ {0, 1} ∀j



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Grafo completo com 5 nos. Matriz de custos

(ce) =

30 26 50 40

24 40 5024 26

30

Se λ = (0, 0,−15, 0, 0) e ce = ce − λiλj

(ce) =

30 42 50 40

39 40 5039 41

30


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

Grafo completo com 5 nos. Matriz de custos

(ce) =

30 26 50 40

24 40 5024 26

30

Se λ = (0, 0,−15, 0, 0) e ce = ce − λiλj

(ce) =

30 42 50 40

39 40 5039 41

30


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

1-arvore e solucao otima

1 2

3

4

5

30

39

3930

40


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont.

1-arvore e solucao otima

1 2

3

4

5

30

39

3930

40


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Decomposicao lagrangiana

min cxs.a Ax ≥ b

Bx ≥ dxj ∈ Z ∀j

Introduzindo copias das variaveis

min cxs.a Ax ≥ b

y = xBy ≥ dxj , yj ∈ Z ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Decomposicao lagrangiana

min cxs.a Ax ≥ b

Bx ≥ dxj ∈ Z ∀j

Introduzindo copias das variaveis

min cxs.a Ax ≥ b

y = xBy ≥ dxj , yj ∈ Z ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

Dualizando as igualdades

min cx + λ(x − y)s.a Ax ≥ b

By ≥ dxj , yj ∈ Z ∀j

Problema pode ser decomposto

min (c + λ)xs.a Ax ≥ b

xj ∈ Z ∀je

min −λys.a By ≥ d

yj ∈ Z ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo — cont

Dualizando as igualdades

min cx + λ(x − y)s.a Ax ≥ b

By ≥ dxj , yj ∈ Z ∀j

Problema pode ser decomposto

min (c + λ)xs.a Ax ≥ b

xj ∈ Z ∀je

min −λys.a By ≥ d

yj ∈ Z ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

Melhorando o problema relaxadoProblema de cobertura


xj ∈ {0, 1} ∀j

Se A e m× n, 1 ≤∑

j xj ≤ m e redundante para (PI ), mas naopara (PRλ)Introduzindo esta restricao temos cota melhor


i λi= Cx +∑

i λi

s.a 1 ≤∑

j xj ≤ m

xj ∈ {0, 1} ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo



xj ∈ {0, 1} ∀j

Se A e m× n, 1 ≤∑

j xj ≤ m e redundante para (PI ), mas naopara (PRλ)

Introduzindo esta restricao temos cota melhor


i λi= Cx +∑

i λi

s.a 1 ≤∑

j xj ≤ m

xj ∈ {0, 1} ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo



xj ∈ {0, 1} ∀j

Se A e m× n, 1 ≤∑

j xj ≤ m e redundante para (PI ), mas naopara (PRλ)Introduzindo esta restricao temos cota melhor


i λi= Cx +∑

i λi

s.a 1 ≤∑

j xj ≤ m

xj ∈ {0, 1} ∀j


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Heurıstica lagrangiana

x∗(λ) x , solucao viavel para (PI )(fornece cota superior para zPI )

Exemplo: problema de cobertura

• S = {j | x∗j (λ) = 1}• N = {i | Ai.x∗ = 0}• Para i ∈ N

Seja j ∈ argmin{cj | aij = 1}Faca S ← S ∪ {j}


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Heurıstica lagrangiana

x∗(λ) x , solucao viavel para (PI )(fornece cota superior para zPI )


• S = {j | x∗j (λ) = 1}• N = {i | Ai.x∗ = 0}• Para i ∈ N

Seja j ∈ argmin{cj | aij = 1}Faca S ← S ∪ {j}


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

(cj) = (2, 3, 4, 5)

A =

1 0 1 01 0 0 10 1 1 1

λ = (1.5, 1.6, 2.2)

x∗(λ) = (1, 0, 0, 0)

Aplicando o procedimento:S = {1}, N = {3} e j = 2⇒ x = (1, 1, 0, 0) (solucao otima!)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

(cj) = (2, 3, 4, 5)

A =

1 0 1 01 0 0 10 1 1 1

λ = (1.5, 1.6, 2.2)

x∗(λ) = (1, 0, 0, 0)



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

(cj) = (2, 3, 4, 5)

A =

1 0 1 01 0 0 10 1 1 1

λ = (1.5, 1.6, 2.2)

x∗(λ) = (1, 0, 0, 0)



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

(cj) = (2, 3, 4, 5)

A =

1 0 1 01 0 0 10 1 1 1

λ = (1.5, 1.6, 2.2)

x∗(λ) = (1, 0, 0, 0)



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Exemplo

(cj) = (2, 3, 4, 5)

A =

1 0 1 01 0 0 10 1 1 1

λ = (1.5, 1.6, 2.2)

x∗(λ) = (1, 0, 0, 0)



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Reducao do problema

Dimensao reduzida via fixacao de variaveis


• x∗ = x∗(λ) inviavel

• xH = x∗ + y viavel, y obtido com algoritmo guloso, comona heurıstica lagrangiana

• N1 = {j | cj −∑

i λiaij > 0}N0 = {j | cj −

∑i λiaij < 0} ⊆ {j | x∗j = 1}

• z = melhor cota superior conhecida (valor de melhorsolucao viavel conhecida)


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Reducao do problema





• N1 = {j | cj −∑

i λiaij > 0}N0 = {j | cj −

∑i λiaij < 0} ⊆ {j | x∗j = 1}



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Reducao do problema





• N1 = {j | cj −∑

i λiaij > 0}N0 = {j | cj −

∑i λiaij < 0} ⊆ {j | x∗j = 1}



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Reducao do problema





• N1 = {j | cj −∑

i λiaij > 0}N0 = {j | cj −

∑i λiaij < 0} ⊆ {j | x∗j = 1}



M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Proposicao (Wolsey, p. 178)Se k ∈ N1 e∑

i

λi +∑j∈N0

(cj −∑

i

λiaij) + (ck −∑

i

λiaik) ≥ z

entao xk = 0 em qualquer solucao viavel melhor do que a atualcandidata.Se k ∈ N0 e∑

i

λi +∑

j∈N0\k

(cj −∑

i

λiaij) + (ck −∑

i

λiaik) ≥ z

entao xk = 1 em qualquer solucao viavel melhor do que a atualcandidata.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes

Line segmentation problem

Problema de designacao generalizado

Problema de localizacao com capacidades

Problema de entregas

Problema do caixeiro viajante assimetrico generalizado

Problema do particionamento de operacoes

Problema de cobertura com capacidade

Problema de designacao multi-recurso

Problema de designacao com restricoes adicionais

Problema de distribuicao


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Aplicacoes












M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Referencias

J.E. Beasley, Lagrangean relaxation, in Modern Heuristic Tech-niques for Combinatorial Problems, C. Reeves (ed.), BlackwellScientific Publishing (1993) 143–303.

M. Held, R.M. Karp, The traveling salesman problem and mini-mum spanning trees, Operations Research 18 (1970), 1138–1162.

M. Held, R.M. Karp, The traveling salesman problem and mini-mum spanning trees: part II, Mathematical Programming 1(1971), 6–25.

G.L. Nemhauser, L.A. Wolsey, Integer and Combinatorial Opti-mization, Wiley, New York, 1988.


M.P. Mello

Roteiro

Contexto

Teoria

Aspectospraticos


Reducao doproblema

Aplicacoes

Referencias

Referencias — cont.

L.A. Wolsey, Integer Programming, Wiley, New York, 1998.

Relaxação Lagrangeana

Documents