Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Relations Relations

trigonométriques dans trigonométriques dans

le triangle le triangle rectanglerectangle

Sommaire :

I- Les différents côtés d’un triangle rectangle :L’hypoténuseLe côté opposé à un angleLe côté adjacent à un angleRésumé

II- Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle :Le sinus d’un angleLe cosinus d’un angleLa tangente d’un angleRésumé

III- Exemples d’utilisation : ex. n°1 ; ex. n°2 ; ex. n°3

IV- L’essentiel du cours.

Suite

Introduction

Qu’appelle-t-on dans un triangle rectangle :

- l’hypoténuse ?

- le côté opposé à un angle ?

- le côté adjacent à un angle ?

SuiteSommaire

L’hypoténuse

B

AC

B

AC

BC est l’hypoténuse

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

C’est toujours le côté le plus long.

Le côté opposé à un angle

B

AC

B

AC

AB est le côté opposé

Le côté opposé à l’angle C

est le côté de l’angle droit du triangle qui

n’est pas un côté de l’angle C.

Le côté adjacent à un angle

B

AC

B

ACAC est le côté adjacent

Le côté adjacent à l’angle C

est le côté de l’angle droit du triangle qui

est aussi un côté de l’angle C.

I - Définitions :

Dans un triangle rectangle :

- l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le côté le plus long.

- le côté opposé à l’angle est le côté de l’angle droit du triangle qui n’est pas un côté de l’angle .

- le côté adjacent à l’angle est le côté de l’angle droit du triangle qui est aussi un côté de l’angle .

hypoténusecôté opposé

côté adjacent

SuiteSommaire

Activité doc

Relations trigonométriques

Dans un triangle rectangle, qu’est-ce que :

- le sinus d’un angle ?

- le cosinus d’un angle ?

- la tangente d’un angle ?

SuiteSommaire

Le sinus d’un angle

Généralisation avec GéoplanW

Activité de découverte doc

g2w

BC

ABCsin

hypoténusecôté opposé

hypoténuse

opposé côtésin

B

AC

SuiteSommaire

Le cosinus d’un angle

Généralisation avec GéoplanW

Activité de découverte doc

g2w

BC

ACCcos

hypoténuse

hypoténuse

adjacent côtécos

B

ACcôté adjacent

SuiteSommaire

La tangente d’un angle

Généralisation avec GéoplanW

Activité de découverte doc

g2w

AC

ABCtan

côté opposé

adjacent côté

opposé côtétan

B

ACcôté adjacent

SuiteSommaire

II - Relations trigonométriques :

hypoténusecôté opposé

côté adjacent

hypoténuse

opposé côtésin

hypoténuse

adjacent côtécos

adjacent côté

opposé côtétan

A

B

C

AC

ABCtan

BC

ACCcos

BC

ABCsin

Pour s’en souvenir :

Sinus = Opposé / Hypoténuse

Cosinus = Adjacent / Hypoténuse

Tangente = Opposé / Adjacent

S O H

C A H

T O A

S O H C A H T O A

SuiteSommaire

III - Quelques applications :

N

M

P5 cm

30°

Dans le triangle MNP, on demande de calculer la longueur du côté MN.

Choix de la formule à utiliser

On connaît le côté NP adjacent à l’angle P.

On connaît l’angle P.On peut donc calculer :- son sinus,- son cosinus,- sa tangente.

On veut calculer le côté MN opposé à l ’angle P.

La formule à utiliser est donc :

NP

MNPtan

1) Exemple n°1 :S O H C A H T O A

N

M

P5 cm

30°

Dans le triangle MNP, on demande de calculer la longueur du côté MN.

NP

MNPtan

5

MN30tan

MN30tan5

30tan5MN

577,05MN

cm 89,2MN Calcul de la longueur MN

1) Exemple n°1 :

III - Quelques applications :

SuiteSommaire

R

T

S

6 cm

40°

Dans le triangle RST, on demande de calculer la longueur du côté RT.

Choix de la formule à utiliser

On connaît le côté ST opposé à l’angle R.

On connaît l’angle R.On peut donc calculer :- son sinus,- son cosinus,- sa tangente.

On veut calculer le côté RT hypoténuse du triangle.

La formule à utiliser est donc :

RT

STRsin

2) Exemple n°2 : S O H C A H T O A

R

T

S

6 cm

40°

Dans le triangle RST, on demande de calculer la longueur du côté RT.

Calcul de la longueur RT

RT

STRsin

2) Exemple n°2 :

RT

640sin

640sinRT

40sin

6RT

643,0

6RT

cm 33,9RT

SuiteSommaire

I J

K

11,3 cm

Dans le triangle IJK, on demande de calculer la mesure de l’angle J.

Choix de la formule à utiliser

On connaît le côté JK adjacent à l’angle J.

On veut calculer l’angle J.On doit donc calculer :- son sinus,- ou son cosinus,- ou sa tangente.

On connaît le côté IJ hypoténuse du triangle.

La formule à utiliser est donc :

IJ

JKJcos

3) Exemple n°3 :

6,5 cm

S O H C A H T O A

I J

K

11,3 cm

Dans le triangle IJK, on demande de calculer la mesure de l’angle J.

Calcul de la mesure de l’angle J

IJ

JKJcos

3) Exemple n°3 :

6,5 cm 3,11

5,6Jcos

575,0Jcos

9,54J

SuiteSommaire

EN RÉSUMÉ

Dans un triangle rectangle, on utilise les relations trigonométriques :

- pour calculer la longueur d’un côté quand on connaît la mesure d’un angle aigu et la longueur d’un autre côté.

- pour calculer la mesure d’un angle aigu quand on connaît la longueur de deux des côtés.

FIN