Relasi Rekurensi Matematika Informatika 4 Dr. Ahmad Sabri
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Relasi RekurensiMatematika Informatika 4
Dr. Ahmad Sabri
Relasi rekurensi
• Barisan bilangan 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑘 , … membentuk sebuah relasi rekurensijika setiap suku merupakan fungsi dari suku sebelumnya.
• Contoh:
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 2
Problem Menara Hanoi
Berapakah banyaknya langkah yang dibutuhkan untuk memindahkansemua tumpukan cakram di tiang A ke tiang C dengan syarat:1. Satu langkah hanya
memindahkan satu cakram2. Hanya cakram teratas yang dapat
dipindahkan3. Cakram yang lebih kecil harus
berada di atas cakram yang lebihbesar
4. Tiang B dapat dipergunakansebagai perantara
A B C
A B C
21
3
21
3
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 3
Solusi masalah Menara Hanoi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 4
• Relasi rekurensi untuk masalah Menara Hanoi diberikan oleh:
𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 1
di mana 𝑎𝑛 adalah banyaknya langkah yang dibutuhkan untukmemindahkan 𝑛 cakram dari sebuah tiang ke sebuah tiang lainnya
• Pada masalah Menara Hanoi original, banyak cakram = 64
• Untuk menghitung 𝑎64 dibutuhkan banyak sekali perhitungan rekursif(tidak praktis).
• Solusi: ubah bentuk rekurensi menjadi bentuk formula eksplisit
• Bentuk formula eksplisit yang dimaksud disebut solusi dari relasirekurensi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 5
Solusi dari problem Menara Hanoi
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 6
Jenis-jenis relasi rekurensi
Cakupan pembahasan:
1. Relasi rekurensi linier homogen dengan koefisien tetap:𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑟𝑎𝑛−𝑟 = 0
2. Relasi rekurensi linier non-homogen dengan koefisien tetap𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑟𝑎𝑛−𝑟 = 𝑓(𝑛)
di mana 𝑐𝑖 adalah konstanta (tidak bergantung pada 𝑛), dan 𝑓 𝑛 ≠ 0.
Jika 𝑐0, 𝑐𝑟 ≠ 0, 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, maka relasi rekurensi di sebut relasirekurensi linier orde 𝑟 dengan koefisien tetap
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 7
Persamaan karakteristik RRLHKT
Diberikan relasi rekurensi linier homogen dengan koefisien tetap(RRLHKT)
𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑟𝑎𝑛−𝑟 = 0
Persamaan karakteristik relasi rekurensi tersebut diberikan oleh:𝑐0𝑥
𝑛 + 𝑐1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑟𝑥
𝑛−𝑟 = 0
atau jika 𝑛 = 𝑟:𝑐0𝑥
𝑟 + 𝑐1𝑥𝑟−1 +⋯+ 𝑐𝑟 = 0
Solusi dari persamaan karakteristik disebut akar-akar karakteristik
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 8
Contoh RR dan persamaan karakteristiknya
Relasi rekursi Persamaan karakteristik Akar-akar karakteristik
𝑎𝑛 − 9𝑎𝑛−1 = 0 𝑥 − 9 = 0 𝛼 = 9
𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 12𝑎𝑛−2 = 0 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 𝛼1 = 4, 𝛼2 = 3
𝑎𝑛 = −6𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + 30𝑎𝑛−3 𝑥3 + 6𝑥2 − 𝑥 − 30 = 0 𝛼1 = 2, 𝛼2 = −3, 𝛼3 = −5
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 9
Solusi umum dari relasi rekurensi
Teorema. Diberikan relasi rekurensi linier homogen dengan koefisientetap
𝑐0𝑎𝑛 + 𝑐1𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑐𝑟𝑎𝑛−𝑟 = 0
dengan akar-akar karakteristik 𝛼1, 𝛼2, …𝛼𝑟 yang berbeda, maka solusiumum dari relasi rekurensi tersebut diberikan oleh :
𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1𝑛 + 𝐴2 𝛼2
𝑛 +⋯+ 𝐴𝑟 𝛼𝑟𝑛
Catatan: Jika relasi rekurensi disertai nilai awal, maka selain solusiumum diperoleh solusi khusus
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 10
Teorema. Jika 𝛼 adalah sebuah akar dengan multiplisitas 𝑚 daripersamaan karakteristik, maka solusi umum juga diberikan oleh 𝑛𝛼𝑛, 𝑛2𝛼𝑛, … , 𝑛𝑚−1𝛼𝑛.
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 11
Contoh relasi rekurensi dengan nilai awal
1. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−1 + 21𝑎𝑛−2; 𝑎0 = 9, 𝑎1 = 13.
2. 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2; 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1.
3. 𝑎𝑛 = 11𝑎𝑛−1 − 39𝑎𝑛−2 + 45𝑎𝑛−3; 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 11, 𝑎2 = 25.
4. 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 12𝑎𝑛−2 + 8𝑎𝑛−3; 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 4, 𝑎2 = 12.
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 12
Barisan Fibonacci
Barisan Fibonacci termasuk relasi rekurensi linier homogen dengankoefisien tetap, didefinisikan sebagai
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2dengan nilai awal 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 13
Solusi dari relasi rekurensi pada barisanFibonacci• Relasi rekurensi: 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 = 0
• Persamaan karakteristik: 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
• Akar-akar karakteristik: 𝛼1 =1+√5
2, 𝛼2 =
1−√5
2
• Solusi umum: 𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1𝑛 + 𝐴2 𝛼2
𝑛 = 𝐴11+ 5
2
𝑛
+ 𝐴21− 5
2
𝑛
• Substitusi nilai awal 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1, diperoleh: ቐ𝐴1 + 𝐴2 = 0
𝐴11+√5
2+ 𝐴2
1−√5
2
= 1
• Diperoleh: 𝐴1 =1
√5, 𝐴2 = −
1
√5
• Substitusi ke solusi umum, diperoleh solusi khusus: 𝑎𝑛 =1
5
1+ 5
2
𝑛
−1− 5
2
𝑛
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 14
Barisan Lucas
Barisan Lucas memiliki formula rekursif yang sama dengan Fibonacci, namun dengan nilai awal yang berbeda
Didefinisikan sebagai𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2
di mana 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 1
Tentukan solusi dari relasi rekurensi di atas
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 15
Solusi dari relasi rekurensi
1. Relasi rekurensi:
2. Persamaan karakteristik:
3. Akar-akar karakteristik:
4. Solusi umum: 𝑎𝑛 = 𝐴1 𝛼1𝑛 + 𝐴2 𝛼2
𝑛 =
5. Substitusi nilai awal 𝑎0 = , 𝑎1 = , diperoleh:
6. Diperoleh: 𝐴1 = , 𝐴2 =
7. Substitusi ke solusi umum, diperoleh solusi khusus:
Dr. Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma 16
Related Documents
