Relaciones en Flujo Turbulento

RELACIONES PARA FLUJO TURBULENTO

PROMEDIO TEMPORAL

En el flujo turbulento las fluctuaciones aleatorias de cada componente de velocidad y el termino de presión en las ecuaciones. Hacen que el análisis exacto sea muy difícil, si no imposible, aun con métodos numéricos. Es mas conveniente separar las cantidades en valores medios o promedios en el tiempo y en partes fluctuantes. Por ejemplo, la componente x de la velocidad u se representa por

Tal como se nuestra en la figura, en la cual el valor medio es la cantidad promedia en el tiempo, definida por

El limite t0 en la integral es el periodo de tiempo promedio, adecuado para el problema particular, el cual es mayor que cualquier periodo de las variaciones turbulentas de escala fina. Se nota en la figura

Y en la definición de que la fluctuación tiene un valor medio de cero

Sin embargo, el promedio cuadrado de cada fluctuación no es cero

La raíz cuadrada de esta cantidad, la raíz media cuadrada de los valores medidos de la fluctuaciones, es una mediada de la intensidad de la turbulencia. Reynolds partió cada propiedad en variables medias y fluctuantes.

En cada caso el valor medio de la fluctuaciones es cero y la media cuadra no lo es. Tampoco lo son los productos medios de las fluctuaciones, tales como , etc., cero.Sustituyendo las partes medias y fluctuaciones de las variables en la ecuación de continuidad.

Las ecuaciones de momentun promedio temporalmente contiene el producto de las componentes de velocidad fluctuantes x, y, z. en dirección x la ecuación se convierte en

Debido a que uu , uv y uw representan promedio temporales de los términos de aceleración inercial no tiene una forma manejable. Es necesario tenerlos en forma de productos de promedio mas no como promedios de productos; tal como se noto, estos tipos de promedio no son iguales. Dieron como resultado lo siguiente

P u’u’, p u’v’ y p u’w’ son términos físicamente complejos pero para los flujos turbulentos simples analizados por Reynolds, se demostró (y fue verificado por otros desde entonces) que estos términos proveen un efecto parecido al esfuerzo. Consecuentemente, estos términos, al igual que aquellos en las ecuaciones Y y Z, se conocen como los esfuerzos de Reynolds. Estos términos son los responsables de una considerable mezclas e intercambio de momentun en flujo turbulento, y su magnitud domina completamente los términos de esfuerzos viscosos en flujos turbulentos.

Debido a que, en general, los esfuerzos de Reynolds son desconocidos, se utilizan métodos empíricos basados en razonamiento intuitivo , análisis dimensional, o experimentos físicos para ayudar en su análisis. En un flujo unidimensional, en la direccional x, el esfuerzo turbulento -p u’v’ es el mas importante. Y la ecuación de momentun lineal puede aproximarse por

En la cual

Es un esfuerzo total formado por componentes laminar t1 y turbulento t2. debido a la dificultad de evaluar –p u’v’, la teoría de longitud de mezcla, la cual relación el esfuerzo cortante con la distribución media temporal de velocidades.

El esfuerzo cortante aparente en flujo turbulento se expresa en forma similar a la ley de viscosidad de newton, es decir

Donde n es un coeficiente empírico conocido como la viscosidad de remolino. Lo que se que es una corta explicación de un procedimiento para cerrar las ecuaciones de flujo turbulento, encontrado una forma de relacionar la velocidad promedio con las cantidades fluctuantes. Con el fin de evitar confusión con la notación vectorial, todas las barras que denotan promedios temporales serán dejadas de lado.

Longitud de mezcla de prandtl

En la teoría de prandtl se obtiene expresiones para u’ y v’ en términos de una distancia de longitud de mezcla y del gradiente de velocidad du/dy, en la cual u es la velocidad media temporal en un punto ( la barra encima de u se ha dejado de lado) y Y es la distancias perpendicular a u, usualmente medida desde la frontera.

Lo cual significa que la cantidad de cambio en la velocidad depende de las variaciones en la velocidad media temporal, en dos puntos apartados a una distancia L en la dirección y. utilizado la ecuación de continuidad, el dedujo que debe existir una correlación entre u’ y v’, de tal manera que v’ sea proporcional a u’

Sustituyendo para u’ y v’ y dejando que l absorba el coeficiente de proporcionalidad, la ecuación que define la longitud para mezcla se obtiene como

T siempre actúa en el sentido que hace que la distribución de velocidad se vuelva mas uniforme. Cuando se compara con la ecuación, se encuentra que la viscosidad de remolino es

Pero N no es una propiedad del fluido tal como la viscosidad dinámica; en lugar de esto, N depende de la densidad, del gradiente de velocidad y de la longitud de mezcla L, y en general varia de punto a punto en el campo de flujo. Después de considerar relaciones de similitud en un flujo turbulento, que

Donde k es una constante universal en el flujo turbulento, sin importar la configuración de la frontera o el valor del numero de Reynolds. El coeficiente de von karman, k, tiene un valor de 0.4.

Distribución de velocidades

En flujos turbulentos , las condiciones cercanas a una superficie son considerablemente mas complejas que en flujos laminares. Es conveniente visualizar la capa de esfuerzo turbulento cerca de una pared lisa como dividida en tres capas. En la capa viscosa cercana a la pared o subcapa laminar, el esfuerzo cortante en el fluido es esencialmente constante e igual al esfuerzo cortante en la pared to.

Aquí S es el espesor de la subcapa laminar y el termino tiene dimensiones de velocidad y se cono ce la velocidad de esfuerzo cortante o velocidad de fricción uo . Por consiguiente

Muestra una relación lineal entre u y Y en la película laminar. Este se extiende hasta un valor de u y/v = 5 es decir,

En la capa de translapo se supone que el esfuerzo cortante es aproximadamente igual al esfuerzo cortante en la pared, pero la turbulencia domina y el esfuerzo cortante viscoso expresado en la ecuacion no es importante. Por lo siguiente

Debido a que L tiene dimensiones de longitud, y basados en consideraciones dimensional, debería ser proporcional a y ( la única dimensión lineal importante), se supone L = KY. Sustituyendo en la ecuación y reordenando

Y la integración lleva a