Régression robuste - cedric.cnam.frcedric.cnam.fr/~saporta/Regressionrobuste.pdf · • Rousseeuw, P.J. and Leroy, A.M. (1987), Robust Regression and Outlier Detection, New York:

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Régression robuste

Gilbert Saporta Conservatoire National des Arts et Métiers http://cedric.cnam.fr/~saporta Décembre 2012

• En présence de contamination par une fraction d’observations ne suivant pas le modèle (données « aberrantes ») les moindres carrés sont peu robustes

• Les méthodes robustes ont pour but de trouver le modèle correspondant à la majorité des observations

2

3

1.Les moindres carrés

• Fonction de perte: • Minimisation de E(L) f optimal: f(x)= E(Y/x) • Hypothèse de régression linéaire:

E(Y/x)=β0+β1x en régression multiple: E(Y/x)=x’ β

( )2( ; ( )) ( )L y f x y f x= −

4

• Estimateur des moindres carrés ˆ

0 Equations normales

projecteur

W⊥ = ∀

-1

-1

y = Xb = Ayy - Xb (y - Xb)'Xu uX'y = X'Xb b = (X'X) X'y

A = X(X'X) X'

• b estimateur de variance minimale de β parmi les estimateurs linéaires sans biais • estimateur du maximum de vraisemblance si résidus gaussiens iid

2 1( ) (V σ −=b X'X)

5

• Démo

cours de Marc Bourdeau (Montréal) sur le modèle linéaire

http://www.agro-montpellier.fr/cnam-

lr/statnet/cours_autre.htm

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• Sensibilité aux valeurs extrêmes

– Ne pas confondre observations aberrantes et observations influentes (au sens de l’écart au modèle)

• Différents types de points aberrants:

7 D’après E.Cantoni et C.Dehon

8

Résidus et influence des observations

• Résidu : vecteur • La « hat matrix » ou projecteur

• Les termes diagonaux hi

ˆy - y

ˆ' = =-1A X(X'X) X y Ay

1

1 1 1n

i ii

h h pn =

≤ ≤ = +∑

9

• Résidu: – espérance nulle,

• Résidu studentisé

• Résidu prédit (en enlevant i)

• Press: somme des carrés des résidus prédits • Influence d’une observation sur les estimations

des coefficients: la distance de Cook

– Devrait rester <1

2ˆ( ) (1 )i i iV y y hσ− = −ˆ

ˆ 1i i

i

y yhσ

−−

( )ˆˆ

1i i

i ii

y yy yh−

−− =

−

( ) ( ) ( )'

2( ) ( )2

1 ˆ ˆˆ( 1) 1 1

i i ii i i

i

hD y yp p hσ

− −−

− −= = −

+ + −

b b X'X b b

• Insuffisants pour détecter toutes les valeurs aberrantes: – effet de masque – estimations non robustes

• Nécessité d’utiliser des indicateurs robustes de tendance centrale et de dispersion pour calculer une variante robuste de la distance de Mahalanobis

10

11 D’après E.Cantoni et C.Dehon

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2.Régression en norme L1 (LAD)

• Fonction de perte:

• Minimisation de E(L) f optimal: f(x)= Med(Y/x) • En régression linéaire simple sur

échantillon

( ; ( )) ( )L y f x y f x= −

1min

n

i ii

y a bx=

− −∑

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• http://www.math.wpi.edu/Course_Materials/SAS/lablets/7.3/7.3c/index.html

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• 50 ans plus ancien que les moindres carrés: Boscovitch 1757

• Résolution plus difficile (surtout en régression multiple) – Pas de solution analytique – Nécessité d’un algorithme

• Propriété: – La droite de régression L1 passe par deux des

points

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• Algorithme LAD simple (Birkes & Dodge, 1993) – Prendre un point (x1,y1), trouver la meilleure droite passant par

ce point. Elle passe par au moins un autre point noté (x2,y2) – Trouver la meilleure droite passant par (x2,y2) . Elle passe par

(x3,y3) – Continuer jusqu’ à ce que (xk,yk) = (xk-1,yk-1)

• Possibilité de non-unicité ou de dégénérescence

• Régression LAD multiple – Programmation linéaire – p+1 résidus sont nuls

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• Erreurs standard asymptotiques

avec f densité de ε

( )( ) 1

21ˆ( ) '

4 (0)V

f−β X X

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3.M-régression

• Issue des M-estimateurs de Huber • Exemple: fonction de perte quadratique

jusqu’à c, linéaire au delà

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• Pour c grand, on retrouve les mco, pour c=0 la régression L1

• Si σ= 1, c=1.5 donne une estimation d’efficacité asymptotique 95% dans le cas gaussien

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• ρ fonction convexe paire

– M-estimateur: maximum de vraisemblance avec erreurs de densité proportionnelle à exp(- ρ(u))

• En dérivant: • Notation usuelle ψ = ρ’ • Moindres carrés pondérés

( )1

minn

i ii

yρ=

−∑ x β

( )1

ˆ' ' 0n

i i ii

yρ=

− =∑ x β x

( ) ( )1

ˆ'ˆ ' 0 avec ˆ

n i ii i i i i

i i i

yw y w

y

ρ

=

−− = =

−∑

x βx β x

x β

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Propriétés

• Si σ est inconnu on minimise avec a>0 • La matrice de covariance des estimateurs

est asymptotiquement proportionnelle à celle des moindres carrés

1

ni i

i

y aρ σσ=

− + ∑ x β

21

22

Weight Function Option Default a, b, c

andrews WF=ANDREWS<(C=c)>

bisquare WF=BISQUARE<(C=c)>

cauchy WF=CAUCHY<(C=c)>

fair WF=FAIR<(C=c)>

hampel WF=HAMPEL<( <A=a> <B=b> <C=c>)>

huber WF=HUBER<(C=c)>

logistic WF=LOGISTIC<(C=c)>

median WF=MEDIAN<(C=c)>

talworth WF=TALWORTH<(C=c)>

welsch WF=WELSCH<(C=c)>

4.Fonction de poids Proc ROBUSTREG de SAS

23

24

5.Régression LTS (Least Trimmed Squares) de Rousseuw

• Basée sur le sous ensemble de h individus (parmi n) où les mco donnent la plus petite somme des carrés des résidus. h est choisi entre n/2 et n . La valeur h=(3n+p+1)/4 est recommandée.

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Complément: notion de « point de rupture» d’un estimateur • Fraction des données qui peuvent être arbitrairement

changées sans changer arbitrairement la valeur de l’estimateur.

• Deux cas : n fini, n infini (pt de rupture asymptotique) – Ne peut être > 0.5 – Asymptotiquement:

• Nul pour la moyenne (si une valeur deveint infinie, la moyenne aussi)

• 0.5 pour la médiane – n fini

• 1/n pour la moyenne, (n-1)/2n pour la médiane, (n-h)/ h pour la régression LTS

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Bibliographie • Birkes, D., Dodge, Y. (1993) Alternative methods of regression,

Wiley • Rousseeuw, P.J. and Leroy, A.M. (1987), Robust Regression and

Outlier Detection, New York: John Wiley & Sons, Inc.

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Régression non-paramétrique

Gilbert Saporta Conservatoire National des Arts et Métiers http://cedric.cnam.fr/~saporta Décembre 2012

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• Estimation de l’espérance conditionnelle E(Y/x0)= f(x0) , ou fonction de régression.

• Approche similaire à l’estimation de densité par la méthode du noyau

• Premières tentatives inspirées des moyennes mobiles: – les k plus proches voisins: moyenne de y pour

les k-ppv de x0

– moyenne des y sur une fenêtre de largeur fixe centrée sur x0

Inconvénient majeur: discontinuité

29

30

Méthode de la fenêtre mobile

• Moyenne des yi dans un voisinage autour de x0: [x0-h/2; x0+h/2]

[ ]

[ ]

0 0

0 0

/2; /21

0

/2; /21

1 ( )ˆ ( )

1 ( )

n

i ix h x hi

n

ix h x hi

y xf x

x

− +=

− +=

=∑

∑

31

Utilisation d’un noyau continu: l’estimateur

de Nadaraya-Watson Noyaux classiques:

– Epanechnikov

– Tricube

0

10

0

1

ˆ ( / )

ni

ii

ni

i

x xK yhE Y X x

x xKh

=

=

− = =

−

∑

∑

23( ) (1- ) si 1, 0 sinon4

K u u u= ≤

( )33( ) 1 si 1, 0 sinonK u u u= − ≤

32

33

• http://www.cs.uic.edu/~wilkinson/Applets/smoothers.html

34

35

• Biais et variance pour des xi fixés

( )( )

( )

0

01

0 0

1

2

2 10 2

2

1

( ) ( )ˆ ( ) ( )

ˆ ( )i

i

ii

n

i ii

n

ii

n

i

n

i

x xw Kh

w f x f xE f x f x

w

wV f x

wσ

=

=

=

=

− =

−− =

=

∑

∑

∑

∑

36

Si les xi sont nombreux et équidistants sur [a;b]

Valable si la fenêtre est incluse dans [a;b]

( ) ( )0 0 0 0

22

0

ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

"( ) ( )2

E f x f x K u f x uh f x du

h g x u K u du

− + −∫

∫

37

• Problèmes d’estimation aux bornes

38

• Régression linéaire locale – Résout le problème de l’asymetrie du noyau

tronqué aux bornes. Enlève le biais à l’ordre 1 – On résout en chaque point x0 le problème de

moindres carrés pondérés:

– Nota: formules globales (pour tout x), mais chacune utilisée seulement en x0

[ ]0 0

200 0( ), ( ) 1

min ( ) ( )n

ii ix x i

x xK y x x xhα β

α β=

− − −

∑

39

40

• Les creux et les bosses – La régression linéaire locale est biaisée dans

les zones de courbure forte

41

• Régression polynomiale locale

0 0

2

00 0( ), ( ) 1 1

min ( ) ( )i

n dji

i jx x i j

x xK y x x xhα β

α β= =

− − −

∑ ∑

42

• Estimation linéaire et noyau équivalent – moindres carrés pondérés X matrice à n lignes et d+1 colonnes des xj

( ) 1'0 0 0 0

01

ˆ ( ) ( ) ( )

( ) = n

i ii

f x x x

l x y

−

=

=

∑

x X'W X X'W y

00 ,( ) matrice diagonale de terme in n K

x xxh−

W

43

44

• Choix de h – validation croisée

• Méthode proche: LOESS ou LOWESS • Extension possible à la régression

logistique

45

SAS INSIGHT

46

47

48

49

Avantages et inconvénients

• Utile si la forme de la régression est totalement inconnue

• Méthode adaptative qui s’ajuste automatiquement mais • Pas de formule explicite, prévision délicate en

dehors du domaine (extrapolation) • Généralisation difficile en régression multiple

« curse of dimensionality »

50

Bibliographie • Cleveland, W.S.; Devlin, S.J. (1988). Locally-Weighted Regression:

An Approach to Regression Analysis by Local Fitting . Journal of the American Statistical Association 83 (403): 596–610.

• Droesbeke, J.J., Saporta G. (éditeurs) (2011) Approches non paramétriques en régression, Editions Technip

• Hastie, T., Tibshirani,R., Friedman, J.( 2009): The Elements of Statistical Learning , 2nd edition, chapitre 6, Springer, http://www-stat.stanford.edu/~hastie/Papers/ESLII.pdf

• Lejeune, M. (1985), Estimation non paramétrique par noyaux : régression polynomiale mobile, Revue de Statistique Appliquée, 33, 43-68.