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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINAFACULTAD DE ECONOMA Y
PLANIFICACINDEPARTAMENTO ACADMICO DE GESTIN EMPRESARIALUnidad 5:
Tcnicas de proyeccin en estudios de mercado: Regresin no
lineal.Por: Ampelio Ferrando PereaFORMULACIN Y EVALUACIN DE
PROYECTOS DE INVERSIN
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MODELOS DE REGRESIN NO LINEALLa regresin lineal no siempre da
buenos resultados, porque a veces la relacin entre Y y X no es
lineal sino que exhibe algn grado de curvatura. La estimacin
directa de los parmetros de funciones no-lineales es un proceso
complicado. No obstante, a veces se pueden aplicar las tcnicas de
regresin lineal por medio de transformaciones de las variables
originales. Cmo ajustar modelos de regresin lineal cuando la funcin
no es lineal?
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REGRESIN NO LINEAL
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REGRESIN PARABLICA Recordemos que la ecuacin de mejor ajuste
corresponde aquella que presenta los Coeficientes de determinacin y
Correlacin mas prximo a la unidad, bajo este criterio, se dan casos
donde la serie de Informacin obtenida no se puede explicar por
ninguno de las medidas de Regresin vistas hasta el momento; ante
esta situacin y asumiendo que la serie tiene una curva parablica
cuyo comportamiento se describe matemticamente por una ecuacin de
segundo grado ( parbola ).La regresin se expresa as: Y = a + bx +
cx2 Donde: Y = Estimacin de la variable dependiente A,B,C =
constantes numricas X = Valores de la variable independiente. Los
valores "A", "B" y "C" se encuentran resolviendo un sistema de tres
ecuaciones con tres incgnitas.
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REGRESIN PARABLICA
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REGRESIN PARABLICA Los valores "A", "B" y "C" se encuentran
resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas.
y = Na + b x + c x 2
xy = a x + b x 2 + c x3
x2y = a x 2 + b x3 + c x4
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REGRESIN PARABLICA Las ecuaciones normales se reducen cuando se
utiliza como origen el trmino medio de los valores de x, ya que: x
y x3 se anulan quedando:
y = Na + c x 2
xy = b x 2
x2y = a x 2 + c x4
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METODO ABREVIADO DEL TRMINO MEDIO DE LOS VALORES DE X Consiste
en abreviar el clculo de los parmetros, cuando se toma cmo origen
el trmino medio de los valores cronolgicos. De esta forma se
eliminan los trminos de ellas ecuaciones normales que contienen
sumas de las potencias impares de X. Esto es debido a que la
primera propiedad de la media aritmtica dice: La suma de las
desviaciones de los valores de la serie con respecto a su media es
igual acero Con nmero impar de trminos : se toma el valor central
de la serie cronolgica como cero. Con numero par de trminos: se
toman dos valores centrales ( - 1 y +1)
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PRODUCCIN ANUAL DE ALCACHOFA en toneladasREGRESION PARABLICA
AoXYXYx 2x2yx 4y
22003-3234-7029210681547562004-2171-342468416292412005-1147-14711471216092006012400001537620071140140114011960020082144288457616207362009320661891854814243601166-145285507196203754
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REGRESION PARABLICAPara el calculo de los coeficiente a, b y c
reemplazamos los datos en las ecuaciones normales:(1) 1166 = 7a +
28c
(2) -145 = 28b
(3) 5507 = 28a + 196cDe (2) se obtiene que:28b = -145Luego: b=
-145/28 b= -5.179
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REGRESION PARABLICALuego de (1) y (3) se obtiene que:(1) 1166 =
7a + 28c (-4)(3) 5507 = 28a + 196c(4) -4664 = -28a -112c (-4) 5507
= 28a + 196c_____________________ 843 = 84cLuego: c = 843/84 c=
10.0357
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REGRESION PARABLICALuego reemplazando los valores de c en (1) se
tiene:1166 = 7a + 28(10.0357)Luego:1166 = 7a + 280.9966a = 1166 -
280.9966/ 7 = 885.0004/7Entonces: a= 126.428
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REGRESION PARABLICAPor consiguiente la Ecuacin parablica
resultante es:Valores de los coeficientes:a= 126.428b= -5.179c=
10.0357
Y = 126.428 - 5.179x + 10.0357x2
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COEFICIENTE DE DETERMINACIN PARABLICAr2 = ( x y - x y/n)+ c ( x
2 y - x 2 y/n) y 2 - ( y) 2 /n
COEFICIENTE DE CORRELACIN PARABLICA
r= r2
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COEFICIENTE DE DETERMINACIN PARABLICAr= 0.98 r2 = -5.179( -145
-0*1166/7)+ 10.0357 (5507 - 28 *1166/7)=203754 - 1359556/7r2 =
9211.0501 = 0.966358 9531.7114286COEFICIENTE DE CORRELACIN
PARABLICA
r= r2 r= 0.966358
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REGRESIN PARABLICAY = 126.428 - 5.179x + 10.0357x2(2010) Y =
126.428 - 5.179(4)x + 10.0357(4)2(2010) Y = 266.28 toneladas(2011)
Y = 126.428 - 5.179(5)x + 10.0357(5)2(2011) Y = 351.43
toneladas(2012) Y = 126.428 - 5.179(6)x + 10.0357(6)2(2012) Y =
456.64 toneladas
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REGRESIN POTENCIALTeniendo los datos Histricos observados sobre
la Demanda, Oferta o la variable que se quiera Proyectar, podemos
graficar la nube de puntos y poder apreciar la distribucin de los
mismos y poder apreciar si los puntos se aproximan a alguna funcin,
en el caso de la funcin exponencial se puede recurrir a la
siguiente relacin: Y =axb*
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REGRESIN POTENCIAL*
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La ecuacin potencial puede resolverse a travs de las siguientes
ecuaciones normales: REGRESIN POTENCIAL*
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REGRESIN POTENCIALUna vez realizada la sustitucin, los
resultados se escriben en la forma: *
Y = axb
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REGRESIN POTENCIAL*
AoXY: Consumo de fideos en miles de
TM2001112200221420033162004415200551820066172007719200882120099202010102155173
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TABLA DE DATOS/REGRESIN POTENCIAL*
AoXYLog XLog YXlogYLogX*
LogY(LogX)2(LogY)220011120.001.081.080.000.001.1720022140.301.152.300.350.091.3220033160.481.203.600.580.231.4420044150.601.184.720.710.361.3920055180.701.266.300.880.491.5920066170.781.237.380.960.611.5120077190.851.288.961.090.721.6420088210.901.3210.561.190.811.7420099200.951.3011.701.240.901.69201010211.001.3213.201.321.001.74551736.5612.3269.808.325.2115.23
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ECUACIONES NORMALESREEMPLAZANDO:*
log y= n loga + blogxlogx*log y= loga* logx+ b(logx)
12.32= 10loga + 6.56b8.32= 6.56loga + 5.21b
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CLCULO DE LOS DETERMINANTES*
10 6.56 = 10x5.21 6.56x6.56 =52.1 43.03= 9.07 6.56 5.21
log a 12.32 6.56 = 12.32x5.21 8.32x6.56 = 64.19 54.58= 9.61 8.32
5.21
b 10 12.32 = 10x8.32 6.56x12.32 = 83.20 80.82 = 2.38 6.56
8.32
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CLCULO DE LOS VALORES DE a y bluego:*Log NCLCULO DEL
ANTILOGARITMO
b= b = 2.38 = 0.26 9.07
Log a= log a = 9.61 = 1.059537 a = antilog de 1.0595537 = 11.47
9.07
ECUACIN: y= 11.47 x 0.26
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CLCULO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r 2FMULA DEL COEFICIENTE
DE DETERMINACIN r2INTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN
r2Significa que el 80% de la variacin de Y se explica por la
variacin de X (el tiempo) *
____r 2 = blogx * logy + loga * log y n(log y) 2 _______ (log y)
2 -n(log y) 2
r 2 = 0.26 *8.32 + (1.06* 12.32) 15.18 = 2.16 + 13.06 15.18 =
0.04 = 0.80 15.23 - 15.18 0.05 0.05
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CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r FMULA DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIN rINTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r =
0.89Significa que existe una alta correlacin entre las variables X
y Y *
r = r 2
r = 0.80
r = 0.89
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REGRESIN POTENCIAL(2011) Y = 11.47 (11)0.26(2011) Y = 21.40
TM(2012) Y = 11.47 (12)0.26(2012) Y = 21.89 TM(2013) Y = 11.47
(13)0.26(2013) Y = 22.35 TM(2014) Y = 11.47 (14)0.26(2014) Y =
22.78 TM(2015) Y = 11.47 (15)0.26(2015) Y = 23.19
TMN=PotenciacinExponente
ECUACIN: y= 11.47 x 0.26
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MODELO DE REGRESIN EXPONENCIALSi aplicamos logaritmos, esta
funcin tambin puede ser expresada con la frmulas:
Este modelo es interesante, porque el exponente x en una funcin
exponencial mide la elasticidad de Y respecto de X.Una funcin
no-lineal que tiene muchas aplicaciones es la funcin
exponencial:
Y= abx*
logY = nloga + logbXX logY = loga X+ logbX
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REGRESIN EXPONENCIAL La funcin exponencial tiene aplicacin en el
anlisis de Regresin, cuya ecuacin se representa por la expresin: Y
= ABX
*
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REGRESIN EXPONENCIAL
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REGRESIN EXPONENCIAL La ecuacin exponencial (logartmica) puede
resolverse a travs de ecuaciones normales:
*
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REGRESIN EXPONENCIAL*
AoXY: Exportacin de nctar de maracuy congelado en miles de
litros200413220052242006338200745420085422009666201078428340
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TABLA DE DATOS/REGRESIN EXPONENCIAL*
AoXYLog YX2X*
LogY(LogY)220041321.5111.512.2820052241.3842.761.9020063381.5894.742.5020074541.73166.922.9920085421.62258.102.6220096661.823610.923.3120107841.924913.443.692834011.5614048.3919.29
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ECUACIONES NORMALESREEMPLAZANDO:*
11.56= 7loga + 28logb48.39= 28loga + 140logb
logY = nloga + logbXX logY = loga X+ logbX
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CLCULO DE LOS DETERMINANTES*
7 28 = 7x140 28x28 = 980 784= 196 28 140
log a 11.56 28 = 11.56x140 48.39x28 = 1,618.40 1,354.92= 263.48
48.39 140
log b 7 11.56 = 7x 48.39 28x11.56 = 338.73 323.68 = 15.05 28
48.39
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CLCULO DE LOS VALORES DE a y bluego:*Log NCLCULO DEL
ANTILOGARITMO
Log a= log a = 263.48 = 1.344286 a = antilog de 1.344286 = 22.09
196
Log b= log b = 15.05 = 0.0767857 b= antilog de 0.0767857 = 1.19
196
ECUACIN: y= 22.09*1.19 x
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CLCULO DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN r 2FMULA DEL COEFICIENTE
DE DETERMINACIN r2INTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE DETERMINACIN
r2Significa que el 91% de la variacin de Y se explica por la
variacin de X (el tiempo) *
____r 2 = logb*XlogY + loga * log y n(log y) 2 _______ (log y) 2
-n(log y) 2
r 2 = 0.077*48.39 + (1.344* 11.56) 7(1.65) 2 = 3.73 + 15.54
19.06 = 0.21 = 0.91 19.29 - 19.06 0.23 0.23
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CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r FMULA DEL COEFICIENTE DE
CORRELACIN rINTERPRETACIN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN r =
0.95Significa que existe una alta correlacin entre las variables X
y Y *
r = r 2
r = 0.91
r = 0.95
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REGRESIN EXPONENCIAL(2011) Y = 22.09*1.198(2011) Y = 88.83
TM(2012) Y = 22.09*1.199(2012) Y = 105.71 TM(2013) Y =
22.09*1.1910(2013) Y = 125.80 TM(2014) Y = 22.09*1.1911(2014) Y =
146.70 TM(2015) Y = 22.09*1.1912(2015) Y = 178.14
TMNPotenciacinExponente=
ECUACIN: y= 22.09*1.19 x
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