Regla de la cadena

La Regla de la Cadena

Tomado de UNIMET Prof. Antonio SyersPara el curso de cálculo Multivariable de

Marcos Sandoval

Introducción

Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivble, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:

dtdx

dxdy

dtdy

Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones

Caso 1

Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:

dtdy

yf

dtdx

xf

dtdz

Veamos esta fórmula de manegra gráfica:

Caso 1Z =f (x,y)

x y

t t

x

y

dtd

dtd x

fdtdz

dtdx

yf

+dtdy

Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva

Ejemplo42 xy3yx)y,x(T

senty;ex t

T

x

y

t

t

xT

dtdT

dtdx

yT

+dtdy

yT

xT

dt

dx

dtdy

Ejemplo

t cos xy 12 x e y3 xy 2dtdT3 2 t 4

Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces

0t))0(y),0(x(0t))0(y),0(x(0t dtdy

yf

dtdx

xf

dtdz

10cos1e0dtdz 0

0t

Caso 1 ( General)

Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:

dtdx

xz

...dt

dx

xz

dtdx

xz

dtdx

xz

dtdz n

n

3

3

2

2

1

1

Caso 2

Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:

sy

yf

sx

xf

sz

ty

yf

tx

xf

tz

Caso 2

x y

t t

x

y

t

t

s s

s

s

sz

xf

sx

+yf

sy

tz

xf

tx

+y

f

ty

Z =f (x,y)

Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y de z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen . Entonces

sz

zf

sy

yf

sx

xf

sw

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tw

x y

t t

x

y

t

t

s s

s

s z

t

t

s

s

zw=f (x,y,z)

sz

zf

sy

yf

sx

xf

sw

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tw

Ejemplo

Demuesrtre que

rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si

222

2

2

yf

xfz

r

1rz

x y

x

y

r r

r

r

Z =f (x,y)

ejemplo…

ry

yf

rx

xf

rz

senyf

cosxf

yyfx

xfz

cosryf

rsenxf

ejemplo…

2

22cos

xf

rz

22

2 senyf

sencosyf

xf

22

22cosr

yfz

222

22 senrxf

sencosryf

xf

ejemplo…

2

22

21

cosxfz

r

22

2 senyf

sencosyf

xf

Por lo tanto

22

222

2

2 1sencos

yf

xfz

rrz

22

yf

xf

Segunda derivadaLa segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original. Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).

Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo…

Muestre que cualquier función de la forma )atx(g)atx(fz

Donde a es una constante, cumple con la ecuación:

2

22

2

2

x

za

t

z

Solución:Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces

)v(g)u(fz

xv

)v(gxu

)u(fx

)v(gx

)u(fxz

)v(g)u(f

)v(g)u(fxx

z

2

2

xv

dv)v(gd

xu

du)u(fd

)v(g)u(f

Calculemos ahora2

2

t

z

tv

)v(gtu

)u(ft

)v(gt

)u(ftz

)v(g)u(faa)v(ga)u(f

)v(g)u(ft

at

z

2

2

tv

dv)v(gd

tu

du)u(fd

a

)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2

2

222

2

2

x

za)v(g)u(fa

t

z

Ejemplo rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si

Demuestre que: 22

2

2

22

2

yf

xf

rz

r1z

r

1

r

z

senyf

cosxf

rz

Del ejemplo anterior, tenemos que

cosr

yf

rsenxfz

ejemplo…

sen

yf

cosxf

rr

z2

2

senr

fcos

rf yx

cossenyf

cosxf xx

sensen

y

fcos

x

f yy

ejemplo…

yy2

xyxx2 fsenfsencos2fcos

cosr

yf

rsenxfz

2

2

Por otra parte,

xf

rsenxf

cosr

yf

cosryf

rsen

ejemplo…

xf

cosr

cosrfrsenfrsen xyxx

xf

yf

rsen

rsenfcosrfcosr yxyy

yf

ejemplo…

Simplificando resulta,

xx22

yx2

2fsenrfrsenfcosr

z

yy22

yx fcosrfsencosr2

Así,22

2

2

22

2

yf

xf

rz

r1z

r

1

r

z

COMPRUEBELO!!

Ecuación de Laplace

Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el LaplacianoLaplaciano de f

Y se denomina la ecuación de Laplaceecuación de Laplace a:

2

2

2

22

y

f

x

ff

0y

f

x

f0f

2

2

2

22

Ejemplo

Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,

0y

f

x

f2

2

2

2

Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.Demostración:Lo que queremos probar es que:

0y

z

x

z2

2

2

2

Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces

u v

y y

u

v

y

y

x x

x

x

Z =f (u,v)

vf

2uf

xv

vf

xu

uf

xz

xv

uvf

xu

u

f

x

z 2

2

2

2

2

xv

v

fxu

vuf

22

22

2

22

2

2

2

2

v

f4

vuf

4u

f

x

z

vf

uf

2yv

vf

yu

uf

yz

yv

uvf

yu

u

f2

y

z 2

2

2

2

2

yv

v

fyu

vuf

2

22

2

22

2

2

2

2

v

fvuf

4u

f4

y

z

Entonces,

2

2

2

2

2

2

2

2

v

f5

u

f5

y

z

x

z

0v

f

u

f5

2

2

2

2

Ecuación de Laplace para f

Derivación Implícita

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:Tenemos la ecuación 0)y,x(F

dx

)0(ddx

)y,x(dF

Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y

0dxdy

yF

xF

0dxdy

yF

dxdx

xF

0)F( FF

yFxF

dxdy

yy

x

Supongamos que queremos calcular z/ x 0)z,y,x(F

x)0(

x)z,y,x(F

0dxdz

zF

dxdy

yF

dxdx

xF

0dxdz

zF

xF

0)F( FF

zFxF

xz

zz

x

Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:

0)F( F

F

zFyF

yz

zz

y

Ejemplo

Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y.Calcular z/ x.Solución:Sea u=xy, v = z/y

0yxz

vF

yuF

0dxdv

vF

xu

uF

)0vF

(

vF

uF

y

vF

uF

y

xz

22