Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO.

Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO

Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador direcional, etc. Deve ter dimensões finitas

Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais.

Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação propagando-se dentro do dispositivo.

A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes propriedades dielétricas.

As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas diretamente das equações de Maxwell.

Condições de Contorno nas Interfaces

meio 1

meio 2l

h

. .

. .

c s

c s

E dl B dst

H dl D dst

tan tan1 2

tan tan1 2

0

0

E l E l

H l H l

As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na interface entre dois meios.

Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno

Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2

Reflexão e Transmissão de Ondas Planas em Interfaces Dielétricas

z

y

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

Isto implica que,

rk tkik

.

.

.

i

r

t

j k ri i

j k rr r

j k rt t

E r Ae

E r A e

E r A e

Os vetores de onda são:

tan tan

0 , , 0 , , 0 , ,i r tE y z E y z E y z

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk zi r tAe e A e e A e e

Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam contínuos através da fronteira x = 0

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk zi r tAe e A e e A e e

Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz

Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num sistema inconsistente.A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda sejam iguais:

iy ry ty y

iz rz tz z

k k k k

k k k k

Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo plano.Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3.O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.

Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente, refletido e transmitido.

zy

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

i r

t

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zkk xk zkk xk zk

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zkk xk zkk xk zk

1

1

2

coscoscos

ix i

rx r

tx t

k kk kk k

1

1

2

sensensen

iz i

rz r

tz t

k kk kk k

1 1 1k 2 2 2k

Onde:

r tiDesta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente, refletido e transmitido:

zy

xik

rk

tk

Região 2

Região 1

1 1,

2 2,

i r

t

É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção x negativa.Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam iguais, tem-se:

sen sen i r 1 2sen sen i tk k Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como:

2 2 2

1 1 1

sen sen

i

t

kk

No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei de Snell.

0 22 2 2

1 0 1 1 1

sen sen

i

t

k nk n

1 2sen sen i tn n

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e = 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução:

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e = 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução: (a)

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

ˆ ˆˆ ˆ2 /3 4 /3 . 2 /3 4 /3j x z xx zz j x j ze e e

(b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois

2 21 0 0

222 0 0

2 22 22

2 / 3 4 / 3 2 / 3 5

4 / 3 2 2 / 3 10

2 / 3 10 4 / 3 2 / 3 6

tx

tx tz

k

k k

k k k

4 / 3iz tzk k

ˆ ˆ2 / 3 6 4 / 3tk x z

E

kk

H n

Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k.

Incidência Oblíqua

Transversal Elétrico(TE)

Senkrecht Polarized(s)

Transversal Magnético(TM)

Plane Polarized(p)

E E

Incidência Oblíqua: Polarização

Incidência Oblíqua: Considerações

2 2 21 1 1x zk k k

2 2 22 2 2x zk k k

2 21 2z zk k

Neste caso, percebe-se que independente do ângulo de incidência, a componente tangencial (z) estará no intervalo [ 0, k1 ] para incidência normal e rasante, respectivamente.

Todos os vetores de onda serão reais.

Então sempre haverá onda transmitida

1 2k k

Incidência Oblíqua: Considerações

1 2k k2 2 21 1 1x zk k k

2 2 22 2 2x zk k k

2 21 2z zk k

Neste caso, percebe-se que existirá um ângulo de incidência no qual, a componente tangencial (z) será igual ou maior que k2.Assim, a componente k2x será imaginária

2 22 2 2 2 2

2 2

2 22 2 2

, se

,

onde

x z z

x x

x z

k k k k k

k j

k k

Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante na região 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).

Incidência Oblíqua: Polarização TE

16meio 2

meio 1

z

x

x = 0

1 1,

2 2,

1 1 1k

2 2 2k

i r

t

rE

rH

rk

tE

tktH

iE

ik

iH

17

• Campo Elétrico Tangencial na Região 1

• Campo Magnético Tangencial na Região 1


1 11 10 0

1 1

ˆ cosx xz zjk x jk xjk z jk zi ri r i

E EH H z e e e e

1 11 10 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rE E y E e e E e e

18




2 20ˆ x zjk x jk z

t tE yE e e

2 20

2

ˆcos cosx zjk x jk ztt t t

EH z e e

19

• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0:

Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x


20

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Definindo o coeficiente de reflexão como:

• Definindo o coeficiente de transmissão como:

0

0

r

i

ER

E

0

0

t

i

ET

E


0 0 0i r tE E E

0 0 0

1 1 2

cos cosi r ti t

E E E

0 0 0i i iE RE TE

0 0 0

1 1 2

cos cosi i ii t

E RE TE


1

2

1cos1cos

t

i

R T

R T

0 0 0i i iE RE TE

0 0 0

1 1 2

cos cosi i ii t

E RE TE


2 1

2 1

2

2 1

cos coscos cos

2 coscos cos

i t

i t

i

i t

R


1

2

1cos1cos

t

i

R T

R T

1 1 1 21

2 2 2 2 1

1 2 2 1 2 1 1

1 2 22 1 2 1

cos coscoscos cos cos

cos coscoscos

t tt

i i i

t t tx

i ixi

k kk k


1

2

1

1 tx

ix

R TkR Tk

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

EXEMPLO

Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e ε1= ε0

Solução:

11

tx ix

tx ix

k kR

k k

1

22 2

11 2

2

22 1 2

2 22 1 2 1 2

2 11

2 22 1

cos

cos 1 sen

como, sen sen sen

1 sen

1 sen 1 sencos cos

sen 1 2 sen 300.577

cos cos30

ix i

tx t t

t i r r i

tx r r i

r r i r r itxr r

ix i i

r r itx

ix i

k k

k k k

kk

k k

kkk k

kk

1 0,577 0,2681 0,577

R

Incidência Oblíqua: Polarização TM

27meio 2

meio 1

z

x

x = 0

1 1,

2 2,

1 1 1k

2 2 2k

i r

t tE

tH

rE

rH

rk

tk

iE

iH

ik

28




1 11 10 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rH H y H e e H e e

1 11 11 0 1 0ˆcos cos cosx xz zjk x jk xjk z jk z

i i r r i r iE E z H e e H e e

29




2 22 0ˆcos cosx zjk x jk z

t t t tE z H e e

2 20ˆ x zjk x jk z

t tH yH e e

30


Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x


31




0

0

r

i

HR

H

0

0

t

i

HTH


0 0 0i r tH H H

1 0 1 0 2 0cos cosi r i t tH H H

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH


2

1

1cos1cos

t

i

R T

R T

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH


1 2

1 2

1

1 2

cos coscos cos

2 coscos cos

i t

i t

i

i t

R

2 1

2 1

2

2 1

cos coscos cos

2 coscos cos

i t

i t

i

i t

R


2

1

1cos1cos

t

i

R T

R T

2 2 2 12

1 1 1 1 2

2 1 2 1 2 1 1

1 2 21 2 2 1

cos coscoscos cos cos

cos coscoscos

t tt

i i i

t t tx

i ixi

k kk k


1

2

1

1 tx

ix

R TkR Tk

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

37

Coeficientes de Reflexão e Transmissão em função dos vetores de onda

• Polarização TE:

• Polarização TM:

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

1 2

1 2

11

r r tx ix

r r tx ix

k kR

k k

1 2

21 r r tx ix

Tk k

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Lei de Snell

Considerando o caso,

Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90

Isto acontece quando: , nesse caso temos reflexão total.

Análise: Polarização TE ou TM

2 1 1 2

2 1 1 2

cos cos cos coscos cos cos cos

i t i t

t t t t

n nRn n

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e, r rr rn n

1 2 t in n

2

1

sen inn

1 2sen seni tn n

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Considerando os dois casos,

O numerador de será nulo se:

Isto acontece quando: , conhecido como ângulo de Brewster

Análise: Polarização TM

1 2

1 2

cos coscos cos

t i

t i

n nRn n

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e, r rr rn n

1 2cos cost in n 2

1

tan inn

1 2

i t

n n

1 2

i t

n n

Análise: Polarização TM1 2

1 2

cos cos 0cos cos

t i

t i

n nRn n

2

1

tan inn

1 2cos cos 0t in n

1 2cos cost in n 2 2 2 21 2cos cost in n

2 2 2 21 21 sen cost in n

2

2 2 2 211 22

2

1 sen 1 seni inn nn

4 2

2 1 14 2

2 2

sen 1 1in nn n

2 2 22 1 1 1

2 2 22 2 2

sen 1 1 1in n nn n n

22 1

22

sen 1 1inn

22 2

1 2

sen in

n n

41

Coeficientes de Reflexão e Transmissão na Reflexão Total Interna

• Polarização TM:

• Polarização TE:

jR R e jT T e

12 tanTE tx

ixk

1 1

2

2 tanTM txr

r ixk

22 1sen

cosi r rtx

ix ik

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

0 30 60 900.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

TE

RTE

i

0

30

60

90

120

150

180

MODOS TM; Paralelo ou p

MODOS TE; Perpendicular ou s

Incidência Normal

43

meio 2

meio 1

z

xPlano incidência xzPlano interface yz

1 1,

2 2,

iE

rE

iH

rH

tEtH

ik

tk

rk

1 1 1k

2 2 2k

44

• Onda incidente conhecido

11 1 1 1

1

k

Incidência Normal

iEiH

ik

1

1

0

0

1

ˆ

ˆ

jk xi i

jk xii

E yE eEH z e

45

• Onda refletida

Incidência Normal

desconhecido

rE rH

rk 1

1

0

0

1

ˆ

ˆ

jk xr r

jk xrr

E yE eEH z e

11 1 1 1

1

k

46

• Onda transmitida

2

2

0

0

2

ˆ

ˆ

jk xt t

jk xtt

E y E eEH z e

desconhecido

22 2 2 2

2

k

Incidência Normal

tEtH

tk

47

• Campo Elétrico Total na Região 1

• Campo Magnético Total na Região 1

Incidência Normal

1 10 0

1 1

ˆ jk x jk xi ri r

E EH H z e e

1 10 0ˆ jk x jk x

i r i rE E y E e E e

48

• Campo Elétrico Total na Região 2

• Campo Magnético Total na Região 2

Incidência Normal

20ˆ jk x

t tE y E e

20

2

ˆ jk xtt

EH z e

49


Da geometria do problema, o campo elétrico e magnético

total nas duas regiões são tangenciais ao plano yz

1 2tan tan

1 2tan tan

0 0

0 0

E x E x

H x H x

Incidência Normal

50

Incidência Normal• Das condições de contorno, obtem-se:

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

colocando em evidência Er0 e Et0

012

200

12

120

2, itir EEEE

51




0 2 1

0 2 1

r

i

ER

E

0 2

0 2 1

2t

i

ETE

52


• Observar que• As definições dos Coeficientes de Reflexão e

Transmissão se aplicam também no caso de meios com perdas.

• Em meios sem perdas, R e T são reais.

• Em meios com perdas, R e T são complexos.

1 R T

1 1, 0 2R T

1, 2R T

53

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias

• O campo total no meio 1 é parcialmente uma onda propagante e parcialmente uma onda estacionária.

• O campo total no meio 2 é apenas onda propagante.

54

• O campo elétrico total no meio 1 é dado por,

1 1

1 1 1

1

1 0

0

0 1

ˆ

ˆ 1

ˆ 1 2 se n

jk x jk xi r i

jk x jk x jk xi

jk xi

E E E zE e Re

zE R e Re Re

zE R e j R k x

onda propagante

onda estacionária

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias

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