1. Sisteme hidraulice de urmarire In acest capitol este prezentata analiza stabilitatii unui sistem hidraulic de urmarire. Prima parte 1 prezinta analiza armonica a acest ui sistem, un studiu facut de T. Basta in care rezistentele conductelor hidraulice ale sistemului considerat sunt neglijate. Acest subcapitol reprezinta partea pregatitoare pentru contributiile proprii din subcapitolul 2. Noutatea adusa in subcapitolul 2 este ca pentru a realiza o simulare cat mai apropiata de comportamentul real al sistemului este necesar ca aceste rezistente sa nu fie in totalitate neglijate. Astfel se propune studiul in care doua dintre acestea sunt constante ia r celelalte sunt functii de presiune. Analiza stabilitatii este realizata prin gasirea punctului de echilibru utilizand metoda in prima aproximatie, respectiv prin gasirea unei functii Liapunov. Acest studiu este in curs de publicare. Paragraful 3 reprezinta un nou studiu original pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni in camp magnetic fiind posibil de a se aplica in domenii facand analogii pentru sistemul dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de libertate. 1 .1 . Studiul stabilitatii echilibrului unui sistem hidraulic de urmarire ' 1 0 2 2 2 1 = p p x kQ (1) ' 2 ' 2 2 2 2 2 = p p x kQ (2) 1 ' 1 2 1 3 = p p Q r(3) ' 2 2 2 2 2 = p p Q r(4) 0 2 1 1 = p p Q r(5) ' 2 2 2 4 = p Q r(6) Ne intereseaza studiul stabilitatii sistemului hidraulic in origine. Pentru aceasta se vor cauta punctele de echilibru ale sistemului (7) prin egalarea membrilor drepti cu zero, astfel: 0 = 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 = 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 = 0 = 0 2 4 2 2 2 2 2 0 0 1 3 1 2 2 2 2 0 2 1 z Ay VA p rry x l c y x cl Ay Vz Ay VA p p rry x l c y x cl Ay Vp m A p m A z m y m z (7)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
In acest capitol este prezentata analiza stabilitatii unui sistem hidraulic de urmarire.
Prima parte 1 prezinta analiza armonica a acestui sistem, un studiu facut de T. Basta in
care rezistentele conductelor hidraulice ale sistemului considerat sunt neglijate. Acestsubcapitol reprezinta partea pregatitoare pentru contributiile proprii din subcapitolul 2.
Noutatea adusa in subcapitolul 2 este ca pentru a realiza o simulare cat mai apropiata
de comportamentul real al sistemului este necesar ca aceste rezistente sa nu fie in totalitate
neglijate. Astfel se propune studiul in care doua dintre acestea sunt constante iar celelalte sunt
functii de presiune. Analiza stabilitatii este realizata prin gasirea punctului de echilibru
utilizand metoda in prima aproximatie, respectiv prin gasirea unei functii Liapunov. Acest
studiu este in curs de publicare.
Paragraful 3 reprezinta un nou studiu original pentru giroscoape, lagare pe
suport fluid, pendul dublu, electroni in camp magnetic fiind posibil de a se aplica in domenii
facand analogii pentru sistemul dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de
libertate.
1 .1 . Studiul stabilitatii echilibrului unui sistem hidraulic de urmarire
'
1022
2
1 = p p xk
Q (1)
'
2
'
222
2
2 = p p
xk
Q (2)
1
'
1
2
13 = p pQr (3)
'22222 = p pQr (4)
0
2
11 = p pQr (5)'
2
2
24 =
pQr (6)
Ne intereseaza studiul stabilitatii sistemului hidraulic in origine. Pentru aceasta se vor
cauta punctele de echilibru ale sistemului (7) prin egalarea membrilor drepti cu zero, astfel:
Deoarece solutia sistemului este asimptotic stabila rezulta ca si solutia sistemului
neliniar este asimptotic stabila. In urma verificarii daca functia V gasita mai sus este functie
Liapunov si pentru sistemul neliniar, se poate trage concluzia ca sistemul hidraulic este stabil.
Analiza numerica
Studiul analizei numerice este realizat cu ajutorul softului matematic Matlab care
utilizeaza procedura ode55 bazata pe metoda Runge-Kutta. Valorile folosite in simularea
numerica sunt prezentate mai jos, studiul fiind facut pentru cazul laminar precum si pentru cel
turbulent:
Fig. 1 Influenta rezistentelor conductelor hidraulice asupra sistemului hidraulic de
urmarire
In figura 1 rezistentele conductelor hidraulice produc perturbatii, astfel in timp ceraspunsul servomecanismului oscileaza timp indelungat raspunsul sertarasului este stabilizat
in jurul valorii m x 18.0 . Presiunea din camera activa a pistonasului variaza intre limite
largi. In practica aceste oscilatii sunt atenuate prin transformarea semnalelor treapta in
semnale rampa.In cazul neglijarii rezistentelor conductelor hidraulice, analiza numerica a sistemului
hidraulic arata ca acesta se stabilizeaza pentru toate marimile care influenteaza comportarea
dinamica a acestuia. Se constata ca pentru obtinerea unor rezultate apropiate de realitate este
necesara modelarea matematica tinand cont de cele patru rezistentele hidraulice care apar in
sistemul hidraulic de urmarire.
Situatia acoperirii pozitive pentru cazul in care se tine cont derezistentele hidraulice ale
conductelor este aproape de comportarea reala a servoamplificatorului hidraulic. Se remarca
\variatia presiunilor icatorului. Presiunile oscileaza cu amplitudini foarte mari, practic cu
valoarea presiunii de alimentare 1p si se ating valori chiar mai mari 2p.
1.3. Influenta structurala a fortelor asupra sistemelor dinamice hidraulice
Consideram un sistem dinamic autonom liniar sau liniarizat cu doua grade de libertate.
Exemplele alese sunt pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroniin campul magnetic si alte exemple din diferite domenii facand analogii pentru sistemul de
ordinul patru.
In sistemul de ecuatii de ordinul al patrulea apar forte structurale generalizate: )(qK -
forte conservative, )(q N - forte neconservative, )(q D forte disipative, )(qG forte giroscopice. In
sistemul liniar, aceste forte din diferite combinatii structurale pot produce stabilitatea sau
instabilitatea solutiei nule. In acest sens sunt cunoscute teoremele lui Thomson - Tait - Cetaev
(T-T-C) pentru configuratiile ),,( G DK . Vor fi introduse fortele neconservative N , iar
stabilitatea va fi studiata cu ajutorul criteriului Routh – Hurwitz sau construind functia
Liapunov, obtinand cateva teoreme cu aplicatii practice.
0=
0=
2221212221212221212221212
2121112121112121112121111
xn xn xg xg xc xc xk xk x
xn xn xg xg xc xc xk xk x
(17)
La baza acestei structuri de forte )(),(),(),( qGq Dq N qK vom analiza stabilitatea,
facand cateva combinatii ale acestor forte, si vom obtine astfel o serie de teoreme pentru
sistemul G DK ,, , Thomson - Tait - Cetaev (T-T-C).
Exemplele sunt pentru giroscoape, lagare pe suport fluid, pendul dublu, electroni in
campul magnetic, dinamica automobilului si alte exemple din diferite domenii facand analogii
pentru sistemul de ordinul patru.
Vom nota in teoremele urmatoare cu DK sistemul (ex. ),(DK? - sistemul compus din K si D), cu S
cazul stabil, cu SA. cazul asimptotic, si cu I cazul instabil, folosind direct polinomul caracteristic
In primul paragraf al capitolului 2.1 este efectuat un studiu al comportarii sistemului
hidraulic echipat cu supapa. Supapa considerata este una cu ventil conic. Analiza stabilitatii
este realizata prin crearea unei functii de transfer secventiale
In cel de-al doilea paragraf 2.2 este considerat un sistem hidraulic de urmarire cu
acoperire perfecta. Modelul considerat s-a dovedit a fi unul instabil, analiza stabilitatii fiind
efectuata atat numeric cat si cu ajutorul criteriului algebric al lui Routh Hurvitz. Acest studiu
impreuna cu cel din paragraful 1.1 urmeaza sa fie publicate intr-o revista de specialitate.
Un alt model hidraulic echipat cu supapa este cel al unui lift hidraulic. Analiza este unacomparativa cu cea existenta in literatura de specilaitate insa este studiata influenta
masei unui grup de 5 persoane plus bagaje, respectiv cea a unei singure persoane cu bagaj
.
Ultimul paragraf al capitolului prezinta o contributie originala la studiul problemei
vibroizolatoare , este evidentiata o aplicatie a vibratiilor sistemelor mecanice cand efectul
acestora are ca scop transportul de materiale, utilizate in cernerea de minerale, cereale sau
procese mecanice de taiere, gaurire, lovire, etc.
2.1. Modelul matematic al unui sistem hidraulic pompa –-motor - supapa
Consideram un sistem hidraulic format dintr-o pompa volumica, un motor volumic si o
supapa de limitare a presiunii. O analiza dinamica completa a sistemului necesita considerarea
dinamicii tuturor elementelor componente. Pentru evidentierea dinamicii supapei se
neglijeaza dinamica pompei si a motorului, urmand ca acestea sa fie considerate ulterior,
In acest studiu s-a lucrat cu supape cu ventil conic.
2.1.1. Stabilirea functiei de transfer a supapei Modelul matematic complet al supapei este format din urmatoarele ecuatii, :
eeesshscscsss F xK p xK p A xm
cs
e
cscscsscs pV
x A p pK
)(
s
e
t ssscsscsslmmm p p p
V p xK p pK pK V nV n
)( .
Daca forta elastica este mentinuta constanta si debitul t Q este variabil se poate defini functia
de transfer a supapei in raport cu debitul disponibil in ansamblul pompa, motor si supapa:
ct F t
s
Q
e
sQ
s ps H
)(
)()(
Daca t Q este constant si se modifica precomprimarea resortului supapei, se poate defini
functia de transfer a supapei in raport cu forta elastica:
ct Qe
s
F
t
sF
s ps H
)(
)()(
In continuare, analiza elementelor ce intervin in expresia functiei de transfer este facuta
Astfel se observa ca, constanta de timp este influentata de volumul de lichid supus variatiilor
de presiune intre pompa, motor si supapa, de panta caracteristicii statice a supapei si de
coeficientul de scurgeri a pompei si motorului.
Deoarece constanta de intarziere a elementului de executie este semnificativa nu vom neglija
niciunul din termenii care apar in functia de transfer.
Se doreste obtinerea functiei de transfer a sistemului in circuit inchis de forma :
.
11)(
1)(
1)(
sss
sk s H
P E T (
Deescompunerea numitorului a fost facuta dupa radacinile ecuatiei de gradul 3 in necunoscuta
s rezultata prin interconectarea in serie dintre:
Traductorul de masura (element al unui sistem cu reglare automata care transforma in
semnal unificat o marime pe care este construit sa o masoare) cu functia de transfer
1s
k
T
T
Elementul de executie aproximat printr-un element cu intarziere cu functia de transfer
1s
k
E
E
Procesul reglat de conducta prin care circula debitul de fluid cu functia de transfer
1s
k
P
P
Constanta k cu care este direct proportionala functia de transfer a sistemului considerat
este egala cu produsul celor trei coeficienti ai celor trei fuctii de transfer considerate mai
sus.
Deoarece sistemele de reglare sunt neinertiale, frecventa cu care sunt scoase din regimulstationar este relativ mare, astfel ca este necesar un studiu de stabilitatea sistemului din
care vor rezulta conditiile utile de proiectare.
2.1.2. Studiul stabilitatii - Criteriul lui Nyquist Functia de transfer pentru js :
111
1)(
j j j
jk j H
P E T
.
Aceasta reprezentare se poate exprima cu partea reala si cea imaginara a lui
)()()( jV U j H , care da informatii despre comportamentul hodografului
sistemului. Conditia 0)( U , specifica pulsatiile 1 la care hodograful taie axa
imaginara:P E
E T T PT
1 , iar 0)( V specifica pulsatiile in care hodograful
taie axa reala:PT E T P E T
T
2 . Deoarece )(s H nu are poli in semiplanul
drept, sistemul in circuit inchis este stabil daca hodograful H( jw) nu inconjoara punctul
Fig. 6 Instabilitatea sistemului unui servomecanism dotat cu sertaras cu acoperire negativa
2.3. Modelul matematic al unui lift hidraulic echipat cu supapa Exista doua modele de tipuri de lift folosite : lifturile hidraulice si lifturile cu cablu. Sistemul
lifturilor hidraulice utilizat la ridicarea masinii prevazut cu un piston instalat in interiorul
unui cilindru. In figura de mai jos avem posibilitatea de a vedea functionarea acestui sistem .
Cilindrul este conectat la un sistem de pompare a fluidului ( de obicei sistemele
hidraulice folosesc ca fluid de lucru uleiul, dar si alte fluide incompresibile pot fi utilizate).
Sistemul hidraulic are trei parti:
Rezervorul de fluid O pompa actionata de un motor electric
O valva intre cilindru si rezervor
2,
2,0,0 aa p p
M . Ne intereseaza sa studiem stabilitatea solutiei nule.
Pentru studiul stabilitatii sistemului neliniar (27) vom folosi stabilitatea in prima
aproximatie. Pentru liniarizarea sistemului vom dezvolta in serie Taylor termenii radical.
Forma liniarizata a
Simularile numerice au fost facute cu ajutorul softului matematic Matlab, utilizand functia
ode46. Numeric, concluzia obtinuta este aceeasi cu studiul cazului analitic: sistemul
considerat este instabil. Analiza numerica poate fi comparata cu cea obtinuta de A. Halanay
si C. Safta.
Egaland cu zero ecuatiile diferentiale de ordinui I din sistemul (25) se obtine punctul de
Vom analiza simularea numerica cu ajutorul mediului Simulink din mediul de programare
Matlab. Simularea dinamica are doua obiective: unul este de a investiga caracteristicile
dinamice ale valvei pentru a gasi si analiza problemele existente, precum si pentru a regla
parametrii valvei. Un al doilea obiectiv este de a compara caracteristicile dinamice ale valvei
cand parametrii sunt diferiti si sa analizam influenta factorilor asupra valvei.
Modelul matematic
Ecuatia presiunii este, [H5]:2
)( VsVc f pt QQK p p (23)
Ecuatia de continuitate este:
)( t ssVssss p pC Q
dt
dx A
dt
dpV
(24)
Ecuatia diferentiala a debitului si presiunii este, [H5]:
2
2
2
2
22 1
2 AC QQK p p VcVcd t c
(25)
Ecuatia de echilibru a valvei este:
Rvs f p F F F F F F dt
xd m 212
2
(26)
Ecuatia de continuitate a debitului este, [H5]:
ct t cvVccc
c
c pC p pC Qdt
dy A
dt
dpV )(
(27)
Ecuatia de echilibru din cilindru este:
cccccc F dt
dy B A pgm
dt
yd m
2
2
(28)
Studiul simularii numerice a fost efecatuat pentru un grup de 5 persoane plus bagaje a
carui masa totalizeaza 500kg (se considera ca greutatea medie a unei persoane este de 80kg) sipentru o persoana plus bagaj. Observam ca in cazul urcarii liftului la incarcatura maxima
punctul de extrem maximal al presiunii se realizeaza in jurul valorii de 4Mpa intr-un timp de
t=0.25s, pe cand in cazul incarcaturii minime punctul de extrem maximal se obtine la
jumatatea valorii pentru incarcatura maxima intr-un timp mai mare t=0.38s. In cazul coborarii
liftului hidraulic cu incarcatura maximala presiunea maxima atinsa este de 5.8Mpa intr-un
timp de 0.38 s, iar in cazul incarcaturii minime este de 3.80 Mpa atinsa intr-un timp de 0.42s.
Studiul poate fi extins si pentru alte mase, dar caracteristicile esentiale au fost evidentiate in
Coeficientul de transfer cK caracterizeaza calitatea vibroizolatiei astfel:• daca legatura dintre m s i M este rigida atunci 1=c
K
• pentru 1<cK vibroizolatia este eficienta; pentru 1>cK vibroizolatia devine factor
perturbator la fundatia M
Alaturi de cK (coeficientul de transfer al fortelor) se mai foloseste coeficientul efectiv
al vibroizolatieicmax
ef K Q
M K
1== .
2.4.1. Sistemul hidro-electro vibroizolator
Sistemele regulatoare sau de control actviv sunt acele sisteme de vibroizolatie in careizolarea efectiva fata de vibratii se obtine compensand fortele perturbatoare (compensarea
dupa perturbatie)
2.4.2.Ecuatiile de miscare ale sistemului
In sistem avem doua variabile: z y, , dar datorita legaturii (30), prin eliminare va
ramane un grad de libertate y sau z si deci vom obtine o ecuatie diferentiala. Astfel putem
scrie ecuatiile de miscare:
0=)(
0=)()(
zmF z yk
ym yc z yk kyt F
y p y
y
(31)
unde ym este masa pistonului, iar pF forta de presiune care actioneaza asupra pistonului.
Daca forta de excitatie )(t F este armonica, adica t HsinF = atunci22
=)(
ss X
este transformata sa Laplace. In aceasta situatie avem functia de transfer:
)(
)(=
)()()(
)(=
5
2322sP
sK
kK scK k k smK cmss
sK W t
t t yt
t
(32)
Fig. 11. Vibroizolator pentru miscarea mase m relativ la pozitia statica
Deci functia de transfer in cazul legaturii pozitive, respectiv negative are forma:
sk k csmsK s
K ssW
sk k csmsK s
K ssW
yt
t
yt
t
)()(=)(,
)()(=)(
22 (37)
A carei descompunere in fractii simple este:
111)(
sk
sk
sk sW
P
P
E
E
T
T
(38)
Deci functia de transfer este formata din: traductorul de masura1s
k
T
T
, elementul de
executie1s
k
E
E
si procesul de reglare al sistemului vibroizolator
1s
k
P
P
.
Revenind in plan real obtinem solutia prin transformarea inversa:
t
P
Pt
E
E t
T
T P E T ek
ek
ek
t x
t yt w
111
)(
)()(
(39)
Observatie: In general la frecvente joase se recomanda masurarea deplasarilor sau a
vitezelor, iar la frecvente inalte masurarea acceleratiilor. Aceasta se datoreaza atat limitariireaspunsului in frecventa al aparatelor de masura cat si sensibilitatii specifice a diferitelor tipuri
de traductoare.
Fig. 14. Sistemul vibrioizolator fortat
Observam ca vibratiile incep sa se amortizeze in jurul valorii de t=2s deci sistemul
considerat este unul stabil. Simularea numerica a fost realizata cu softul Matlab cu procedura
ode45 ce analizeaza numeric folosind metoda Runge – Kutta.
Stabilitatea cu ajutorul criteriuluilui Nyquist
Analiza structurii, analiza functionala, spectrala a sistemului
Sistemul vibrizolatorului este un sistem liniar cu o legatura de tip intrare - iesire, unde
raportul
x
yimplica analiza
X
Y W = . In acest sistem marimea de intrare )(t x se aduna sau se
scade cu )(t x y (interactiunea piston-resort yF ). Semnalul se transmite catre iesirea )(t y prin