Referat La Managementul Productiei

7/27/2019 Referat La Managementul Productiei

http://slidepdf.com/reader/full/referat-la-managementul-productiei 1/10

Referat Managementul Productiei

Utilizarea teoremei fundamentale a aritmeticii in cadrul

modelelor euristice de echilibrare a liniilor de productie in

flux

Studenti:

Cioalcu Giuliano – Marian

Iordache Iulian

Ioan Daniel

Universitatea din Pitesti

Facultatea de Stiinte Economice

Management

n II



Capitolul I si II - Teorema fundamentală a aritmeticii si Demonstrarea teoremei

fundamentale a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii

Teorema fundamentală a aritmeticii sau Teorema factorizării unice este o teoremăcare afirmă că orice număr întreg poate fi exprimat în mod unic ca produs de numere

prime. Este un corolar al teoremelor lui Euclid.

Teorema fundamentală a aritmeticii, cunoscută şi sub numele de teorema factorizării

unice afirmă că orice număr natural se descompune în factori primi în mod unic,exceptând ordinea factorilor.

De exemplu:

Cel mai simplu mod pentru a afișa n ca un anumit produs de numere prime este de a

scrie: pentru prime: si numerele naturale

Demonstrarea:

Vom demonstra existenţa descompunerii pentru . Pentru n=2, afirmaţia

este adevărata deoarece 2 este prim. Presupunem că pentru orice număr sedescompune în factori primi şi demonstrăm pentru k+1. Dacă k+1 este prim, afirmaţia areloc. Dacă k+1 este compus, atunci , unde şi,conform ipotezei de inducţie, cu prime,deci .Trecem la demonstrarea unicităţii descompunerii lui n.Fie şi două factorizări ale lui n, cu prime.Vom arăta că şi eventual după o reindexare a factorilor, .Din avem că divide un anumit . Fără a restrânge generalitatea,considerăm că deci . Aceasta conduce

la sau . Raţionândanalog, dacă ajungem la egalitatea . Cum sunt prime,rezultă şi .



Observaţie. Când se cunosc descompunerile în factori primi a două numere naturale a şi

b, se poate determina ca fiind ,unde şi , adică se aleg factorii comuni ai lui a şi bla puterea cea mai mică după care se înmulţesc.

Numere Prime.

Un număr n∈ℕ, n≥2 se zice prim dacă singurii săi divizori naturali sunt 1 şi n. Numărulnatural 2 este singurul număr prim par iar pentru n≥3 dacă n este prim atunci cunecesitate n este impar (condiţie insuficientă după cum se poate dovedi facil în cazul lui 9care este impar dar nu este prim).

S-a pus de foarte mult timp întrebarea câte numere prime există ? În cadrul acestui referatvom prezenta anumite rezultate ce r ăspund într-un fel la această întrebare. Vom nota prinP mulţimea numerelor prime.

Teorema numerelor prime descrie distribuția asimptotică a numerelor prime.

În linii mari, teorema precizează că, dacă N este un număr natural suficient de mare,

probabilitatea ca un alt număr natural, din vecinătatea lui N să fie prim, este , undeln N estelogaritmul natural al lui N. De exemplu, dacă N=10 000, aproximativ unul din 9

sunt prime, iar dacă N=1.000.000.000, numai unul din 21 numere (din vecinătatea lui N)sunt prime.

Definim "funcția număr prim"

, unde iar este mulțimea numerelor prime.

(Simbolul reprezintă numărul de elemente, cardinalul, mulțimii M. )

Așadar, definește numărul numerelor prime mai mici decât x.

Teorema numerelor prime susține că:

Sau, cu alte cuvinte, Funcțiile și sunt asimptotic echivalente.



TEOREMA 1.1.( Euclid ) Mulţimea P este infinită. Demonstra ţ ie Să presupunem prin absurd că mulţimea P este finită, P={p1, p2, … pn }(unde în mod evident p1=2, p2=3, p3=5, etc.).Vom considera p=p1p2…pn +1 şi să observăm că p >1 iar pi∤ p pentru 1≤ i≤ n. Ţinând contde teorema fundamentală a aritmeticii va exista un număr prim q >1 care să dividă pe p.

Cum toate numerele prime sunt presupuse a fi doar p1,…, pn deducem că q=pi cu 1≤ i≤ n, ceea ce este absurd căci pi p pentru orice 1≤i≤n. Deci P este mulţime infinită.Observa ţ ie În continuare pentru fiecare număr natural n≥1 vom nota prin pn al n-uleanumăr prim, astfel că P={p1, p2, …,pn,…} (evident p1=2, p2=3, p3=5, etc).O altă întrebare firească legată de mulţimea numerelor prime a fost dacă anumitesubmulţimi infinite ale lui conţin sau nu o infinitate de numere prime.

În acest sens merită amintit un rezultat celebru al lui Dirichlet :TEOREMA 1.2. (Dirichlet) Dacă a, b∈ℕ* iar (a, b)=1, atunci mulţimea {an+b |

n∈ℕ} conţine o infinitate de numere prime.

TEOREMA 1.3. Există o infinitate de numere prime de forma 4n-1cu n∈ℕ*.

Demonstra ţ ie Să presupunem prin reducere la absurd că mulţimea {4n-1| n∈ℕ*} conţinenumai un număr finit de numere prime, fie acestea q1,…, q t şi să consider ăm numărulq=4q1q2…q t – 1.

Numărul q trebuie să aibă un factor prim de forma 4k-1 (căci dacă toţi factorii primi ai luiq ar fi de forma 4k+1 atunci şi q ar trebui să fie de forma 4k+1. Deci ar trebui ca qi sădividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunţ.

TEOREMA 1.4. Există o infinitate de numere prime de forma 6n-1, n∈ℕ*. Demonstra ţ ie Să presupunem prin absurd că există doar un număr finit de numere primede forma 6n-1 şi anume q1, q2,…,qk. Să consider ăm numărul q=6q1q2…qk -1. Cum unnumăr prim este de forma 6t-1 sau 6t+1, deducem că q trebuie să conţină un factor primde forma 6t-1 (căci în caz contrar ar trebui ca q să fie de forma 6k+1. Deci ar trebui ca unqi să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunţ.

TEOREMA 1.5. (Cebî şev)

Dacă n∈ℕ

, n≥4, atunci între n şi 2(n-1) avem cel puţin un număr prim. Demonstra ţ ie Pentru n=4 şi n=5 teorema este adevărată în mod evident deoarece între 4şi 6 se află 5 iar între 5 şi 8 se află 7. Pentru n≥6, conform Lemei 3.15. între n şi 2n seaflă cel puţin două numere prime distincte p şi q cu p<q.Dacă cel mai mare dinte acestea este q=2n-1, celălalt trebuie să fie <2n-2 căci 2(n-1) este

par şi compus pentru n≥6. Deci n<p<2(n-1). Dacă q<2n-1, cum p<q, din p<q deducem căn<p<2n-2 şi cu aceasta Teorema lui Cebîşev este complet demonstrată.



În continuare vom prezenta câteva corolare la Teorema lui Cebîşev:COROLARUL 1. Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci între n şi 2n se află cel puţin un număr

prim. Demonstra ţ ie Dacă n≥4 totul rezultă din teorema lui Cebîşev. Dacă n=2 între 2 şi 4 seaflă 3 iar dacă n=3 atunci între 3 şi 6 se află 5. Astfel Corolarul este demonstrat pentru

orice n≥2.Observa ţ ie În anul 1892 J. J. Sylvester a demonstrat următoarea generalizare aCorolarului 1.:Dacă n, k ∈ℕ, n>k, atunci în şirul n, n+1, …n+k -1 se află cel puţin un număr

admiţând un divizor prim > k

COROLARUL 2. Dacă k ∈ℕ, k>1, atunci pk <2k (unde pk este al k-lea număr prim).

Demonstra ţ ie Facem inducţie după k. Pentru k=2 avem p2=3<22. Dacă pk<2k, conformCorolarului 1. există cel puţin un număr prim p a.î. 2k<p<2·2k=2k+1 şi astfel corolaruleste demonstrat.

COROLARUL 3. Dacă n∈ℕ, n≥2, atunci în descompunerea lui n! în factori primi

găsim cel puţin un număr prim cu exponentul egal cu 1. Demonstra ţ ie Corolarul este în mod evident adevărat pentru n=2 şi n=3. (2!=2, 3!=2·3) .Fie acum n≥4. Dacă n este par, n=2k, atunci k ≥2 şi conform Corolarului 2. între k şi 2k=ngăsim cel puţin un număr prim p a.î. k<p<2k=n.Vrem să demonstr ăm că p apare cu exponentul 1 în descompunerea în factori primi a luin!. Într-adevăr, următorul număr din n! ce ar fi multiplu de p este 2p însă din k<p⇒2k<2p⇔2p>n.Dacă n este impar, n=2k+1⇒k ≥2 şi din nou conform Corolarului 3.17. între k şi 2k găsim

cel puţin un număr prim p (k<p<2k). Avem deci p<2k<n şi 2p>2k⇒

2p>2k+1=n şi dinnou ajungem la concluzia că p apare în descompunerea lui n! cu exponentul 1.

Numere prime gemene

Dacă p şi p+2 sunt simultan numere prime, vom spune despre ele că sunt gemene.Exemple : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), etc.În 1949, Clément [Clement, P. A. : Congruences for sets of primes, Amer. Math.

Monthly, 56, 1949, 23-25] a prezentat următorul rezultat legat de numerele gemene : Pentru n ≥ 2, n şi n+2 sunt simultan prime ⇔4[(n-1)!+1]+n≡0 (mod n(n+2)). (din păcatedin punct de vedere practic acest rezultat nu are nici o utilitate).Problema principală este de a decide dacă există sau nu o infinitate de numere gemene.

Dacă notăm pentru x > 1 prin π2(x)=numărul numerelor prime p a.î. p+2 este prim şi p+2≤x, atunci Brun a demonstrat în 1920 că există un numărnatural x0 (efectiv calculabil) a.î.

pentru orice x≥x0 să avem x



Într-un alt articol celebru din 1919 ( La serie.... , oules denominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie din Bull.

Sc. Math., vol.43, pp. 100-104 şi 124-128 ) tot Brun a demonstrat că seria

(unde suma este extinsă după perechile de numere gemene (p, p+2)) este convergentă sau mulţimea acestor numere gemene este finită. Numărul B poartă numele de constanta lui Brun iar Shanks şi Wrench (în 1974) iar Brent (în 1976)

au ar ătat căCele mai mari numere prime gemene cunoscute sunt 1706595·211235±1 şi571305·27701 ±1.De aici rezultă că mulţimea numerelor prime gemene, dacă este infinită, (lucru neprobat

până acum), atunci ele se apropie foarte mult unele de altele.



Capitolul III

Contributii personale

Am ales in cadrul acestui capitol sa prezentam asa numita “ipoteza a lui Rieman ”.

Problema a fost formulata pentru prima oara in 1859 de Bernhard Riemann, fiind una dincele mai celebre probleme de matematica, a carei rezolvare a ramas deschisa de peste 150de ani. Unii matematicieni iau in considerare ipoteza legata de numerele prime, in timp cealtii sunt sceptici referitor la adevarul ei.

Oficial, ipoteza Riemann este o supozitie privind distributia zerourilor functiei zetaRiemann. Functia zeta Riemann ofera si raspunsuri legate de intervalele dintre numerele

prime. Numerele prime sunt considerate caramizile fundamentale ale matematicii, pentruca toate numerele pot fi generate prin inmultirea numerelor prime.

De exemplu 63=1x3x3x7. Numerele prime nu respecta niciun tipar, exemplu 3163, 3167,3169, 3187 ...ele apar brusc intr-o succesiune rapida neexistand nicio modalitate de aspune unde se gaseste urmatorul numar prim fara a verifica toate numerele precedente.

Distributia acestor numere prime reprezinta un mare mister: uneori ele sunt vecine, deexemplu 342.047 si 342.049, alteori sunt la mari distante unele de altele 396.733 si396.833. Multe alte probleme matematice ce depind de ipoteza Riemann vor putea fiastfel rezolvate, iar unele domenii ale stiintei, cum este mecanica cuantica, vor putea face

progrese pe baza aceleiasi ipoteze, odata confirmata. O aplicabilitatea a ipotezei luiRiemann este criptarea informatiilor securizate.

Functia zeta RiemannÎn matematică, funcția zeta Riemann, numită după matematicianul german BernhardRiemann, este o funcție cu semnificație importantă în teoria numerelor din cauza relației pe care o are cu distribuția numerelor prime. Are aplicații și în alte domenii cum arfi fizica, teoria proba bilităților, și în statistică aplicată.

Funcția zeta Riemann ζ( s) este o funcție de variabilă complexă s inițial definită prinurmătoarea serie infinită pentru anumite valori ale lui s și apoi continuată analitic la toate

numerele complexe s ≠ 1:

Următoarea serie infinită converge pentru toate numerele s complexe cu parte reala, maimare de 1, și definește ζ (e) în acest caz:



Funcția zeta Riemann este definită ca o continuare analitică a funcției definită pentruσ> 1 prin suma seriei precedente.

Leonhard Euler a considerat seria de mai sus în 1740 pentru valori întregi pozitive ale lui

s , și mai târziu Chebyshev extins definiția la real, s> 1.

Seria de mai sus este o serie Dirichlet prototip care converge absolut pentru o functie

analitic pentru s astfel încât σ> 1 si este divergenta pentru toate celelalte valori ale lui s.

Riemann a arătat că funcția definită prin seria pe semiplanul de convergență poate fi

continuată analitic pentru toate valorile complexe s ≠ 1. Pentru s = 1 ser ia este seriaarmonic care diverge la + ∞, și:

Această serie Dirichlet converge pentru toate valorile reale ale lui s mai mari ca 1.

De la lucrarea Despre numerele prime mai mici decât un număr dat din 1859 alui Bernhard Riemann, a devenit standard să se extindă definiția funcției ζ( s) lavalori complexe ale variabilei s, în două etape. Întâi, Riemann a arătat că seria esteconvergentă pentru orice s complex cu partea reală Re( s) mai mare ca unu și defineșțeo funcție analitică de variabilă complexă s pe regiunea { s ∈ C : Re( s) > 1} a planuluicomplex C. Apoi, el a demonstrat cum se extinde funcția ζ( s) la toate valorile complexeale lui sdiferite de 1. Ca rezultat, funcția zeta devine funcție meromorfică de variabilăcomplexă s, care este olomorfă în regiunea { s∈C: s≠ 1} a planului complex și are un polsimplu în s=1.

Procesul de continuare analitică are ca rezultat o funcție unică, și, pe lângă a extinde ζ( s)dincolo de domeniul de convergență al seriei originale, Riemann a stabilit o ecuațiefuncțională pentru funcția zeta, care pune în legătură valorile din punctele s cu cele din

punctele 1 − s.

Celebra ipoteză Riemann, formulată în aceeași lucrare a lui Riemann, se ocupă dezerourile acestei funcții extinse analitic. Pentru a accentua faptul că s este văzut canumăr complex, el este scris de obicei de forma s = σ + it , unde σ = Re( s) este partea realăa lui s și t = Im( s) este partea imaginară a lui s.



Valorile specifice ale acestei functii:

-Pentru orice 2n chiar întreg pozitiv:

, unde B2n este un numar Bernoulli.

-Pentru numere întregi negative:

, pentru n ≥ 1, astfel încât, în particular ζ dispare la cele negative,chiar și numerele întregi pentru că Bm = 0 pentru orice m impar, altele decât 1.

-Pentru un număr întreg impar :

Produsul lui Euler

Conexiunea între funcția zeta și numerele prime a fost descoperita de către Euler, care audovedit identitatea (formula):

unde, prin definiție, în partea stângă este ζ (s) și produsul infinit privind partea dreaptă se

extinde peste toate numerele prime p (astfel de expresii sunt numite produse Euler):



Articolul lui Bernhard Riemann cu privire la numărul de numere prime.

In incheiere cu privire la aceasta ipoteza Institutul Matematic Clay, Massachusetts, SUA,ofera un premiu de 1 milion de dolari pentru prima demonstratie corecta a Ipotezei luiRiemann.

Referat La Managementul Productiei

Documents