REFERAT Crit

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

Analiza neliniara a structurilor

CRITERIUL MOHR-COULOMB

Referat

FLOAREA COSMIN GHEORGHE

Master Inginerie Structurala,An I,Grupa 2

Teoria lui Mohr pentru materiale granulare şi pământuri

Din punct de vedere formal teoria lui Mohr (1900) porneşte de la condiţia de

rezistenţă a efortului unitar tangenţial maxim: τmax < τk, însă valoarea limită a lui τk nu

este considerată numai o caracteristică a materialului, ci este funcţie şi de tipul de

solicitare, Modul cel mai convenabil de a pune în evidenţă acest punct de vedere îl

reprezintă cercurile lui Mohr (fig.ll). Cercul exterior are raza cea mai mare, egală cu τ

max(1).

τ max=σ3−σ1

2

Figura 1. Cercurile lui MOHR.

Dacă se presupune că tensiunile principale σ 1>σ 2>σ 3 reprezinta starea limita de

rezistenta pentru acest tip de solicitare,rezulta ca τ max=τ k ,iar cercurile interioare nu joaca

niciun rol in aceasta conditie limita.S-ar putea deduce ca tensiunea principala,σ 2 ,n-ar

juca un rol in definirea rezistentei materialului.In plus se constata ca in toate teoriile de

rezistenta s-a tinut cont numai de diferenta tensiunilor normale (σ 3 -σ 1),nu si de suma

lor (σ 3 -σ 1).Experientele efectuate cu materiale care rezista diferit la intindere si la

compresiune arata insa ca si aceasta suma joaca un rol important in definirea

rezistentei corpului de solicitat. Intrucât semi-suma tensiunilor determină pozitia (C) a

centrului cercului lui MOHR se poate spune că in genera! rezistenta unui material este

funcţie atat de marimea cercului mare, cât şi de poziţia acestuia pe epura grafică

„σ -τ" a lui Mohr.

- Pentru materialele ductile mărimea cercului mare este aceeaşi la limita de

curgere, atât ia solicitarea de întindere (σ 1) cât şi ia cea de compresiune σ 3) pură;deci

pentru aceste materialele poziţia cercului mare este indiferentă în ceea ce priveste

stabilirea rezistenţei materialului.

Cercurile limita pentru materiale ductile

- Pentru materialele cu proprietăţi de fragilitate, care rezistă nesatisfacător la

intindere şi bine la compresiune, mărimea cercurilor la limitele de rupere la întindere

şi la compresiune fiind mult diferită, rezultă că pentru astfel de materiale nu mai este

indiferentă poziţia cercului care reprezintă limita de rezistenţă.

Dacă se efectuează mai multe experienţe conduse până la limita de rezistenţă, la

solicitări cu tensiuni σ 1, σ3 diferite, se obţine o familie de cercuri maxime Mohr care

admit evident o „înfaşurătoare", sau cum i se mai spune „curba intrinsecă"; această

curbă este deschisă către tensiunea σ negativă.

Teoria lui Mohr concluzionează că materialul va ceda atunci când cercul

reprezentativ al stării de tensiune găsite (σ 1, σ3) în punctul M considerat va tăia această

înfaşurătoare.

S-au efectuat experienţe de laborator aspra unor carote (epruvete cilindrice) de

beton, de roca sau pământ dispuse în cilindrii de oţel (având pereţi groşi) şi supuse la

compresiune axială, σ 3. în felul acesta se exercită, ca o reacţiune: din partea pereţilor

de oţel, şi o compresiune radială asupra carotei de încercat. S-au efectuat şi experienţe

la întindere (σ 1=¿0 ; σ 2¿σ 3= 0 ) , compresiune pură (σ 1¿σ 2= 0 ; σ 3≠ 0 ) şi forfecare pură (

σ 2=τ ; σ 31=−τ ).

Cercurile limita pentru materiale fragile

De remarcat că pentru betoane această metodă simplificatoare este prea

acoperitoare,deoarece cercul lui Mohr pentru solicitarea de întindere este prea mic faţă

de cel de la compresiune şi înfăşurătoarea reală trece destul de mult peste tangenta la

cele două cercuri; de aceea pentru betoane curba înfâşurătoare trebuie determinată

mai exact pe baza experienţelor ia solicitare plană: σ 1şi σ 3diferite. Leon (1935)

recomandă o ecuaţie parabolică de gradul doi.

Curba intrinseca infasuratoare

La pământuri, pentru care se determină experimental cu suficientă aproximare

rezistenţa la întindere şi la compresiune pură, înfâşurătoarea lui Mohr se va construi

tinand seama că cercul cu centrul în originea axelor ( σ , τ ) defineşte limita de

forfecare pură, iar celălalt cerc se construieşte supunând proba de sol la solicitarea

triaxiala.

Curba înfăşurătoare din figura de mai sus se determină pentru fiecare material cu

comportare diferită la întindere/compresiune centrică. Deoarece curba este greu de

obtinut, s-a propus o variantă simplificată în care înfăşurătoarea se aproximează cu o

dreapta tangentă la cercurile întinderii şi compresiunii centrice, conf. fig.2.

In fig.2 s-au folosit următoarele notaţii:

-cercul cu centrul în O1 este cercul întinderii centrice;

-cercul cu centrul în O2 este cercul compresiunii centrice;

-cercul cu centrul în O3 este cercul ce reprezintă starea de tensiune limită într-un punct

al corpului;

-din asemănarea de triunghiuri rezultă relaţiile (1).

Se obtine:

σ ech=σ 1-kσ 3≤σ 0

Pentru |σ 0c| = σ ot,, rezultă k = 1, de unde se deduce chiar criteriul de plasticitate a lui Tresca.

Dacă se construieşte suprafaţa limită dată de relaţia anterioara se obţine o

piramidă cu şase muchii având axa egal înclinată faţa de sistemul axelor principale,

Fig.2. Dacă tensiunea σ 3=0, deci apare o stare plană de tensiune, atunci suprafaţa

limită este reprezentată de un hexagon, conf. fig. 2b.

Piramida şi hexagonul lui Mohr (figura2)

Teoria lui Mohr, care de fapt este o generalizare a teoriei efortului unitartangential, a împrumutat defectele acesteia; în plus mai are şi un defectesential, anume acela de a neglija efectul efortului unitar intermediar, σ 2. Rezultatele

testelor experimentale la solicitări spaţiale arată că abaterile faţă de teoria lui Mohr

13

2

c3

1

= c- tg

sunt de ordinul a (10-15)%. De aceea se caută în continuare mereu noi teorii, adesea complicate, pentru a fi folosite relativ simplu în practica inginerească.

Criteriul de curgere Mohr-Coulomb

Acest criteriu poate fi considerat o generalizare a criteriului Tresca. Ambele considera valoare tensiunii tangentiale maxime max ca masura a cedarii unui material. Totusi exista o diferenta. Criteriul Tresca considera k o valoare constanta in timp ce criteriul Mohr Coulomb il considera ca o valoare dependenta de .

Functia f() se determina experimental.

Intr-o reprezentare grafica cu cercul lui Mohr, daca cercul de raza maxima

σ1−σ3

2 este tangent la curba intrinseca f() inseamna ca s-a atins starea limita.

Cu alte cuvinte criteriul lui Mohr depinde de tensiunea medie. Cea mai simpla forma

pentru curba intrinseca este o dreapta. Ecuatia acestei drepte este cunoscuta ca

ecuatia lui Coulomb (1773)

unde c este factorul de coeziune iar este unghiul intern de frecare. Acesti doi

parametrii se determina experimental. Daca = 0 criteriul se reduce la criteriu Tresca

cu = c si coeziunea devine egala cu k de la forfecarea pura.

Fie 1 2 3. Criteriul Mohr Coulomb poate fi scris:

σ1−σ3

2cos ϕ=c−[ 12 (σ1+σ3 )+ 1

2 (σ 1−σ3)sin ϕ] tg ϕ

Sau ,daca redactam rezulta: σ 1−σ3 =2c cosӨ –(σ 1+σ3 )sin Ө (relatia 3)

Fig.3 Reprezentarea geometrică a suprafeţelor de curgere

1 - Piramida hexagonală Mohr-Coulomb; 2 - Prisma hexagonala Coulomb-Tresca)

Locul geometric dat de relaţia (3) reprezintă o piramidă hexagonală,

caracterizata prin distanţa de la vârf la centrul axelor principale egală cu c · ctg Ө. în

interiorul acestei piramide raportată la axele octaedrice se înscrie prisma

hexagonala a lui Coulomb. Corespunzător unei stări plane de tensiune σ 1≠σ 2≠0 si σ 3=0,

reprezentarea grafică a stării limită se obţine prin intersecţia unui plan (σ 3=0) cu

piramida hexagonală, care conduce la un hexagon neregulat; dacă pianul de intersecţie

este un pian deviatoric, perpendicular pe axa piramidei, se obţine un hexagon regulat.Diagrama constitutivă „σ , τ " pentru criteriile de curgere Mohr-Coulomb şi respectiv von Mises, se prezintă comparativ în figura de mai jos:

Cu urmatoarele notatii:

si

relatia (3.19) se scrie:

Daca 1 0 si 3 = 0 atunci este vorba de o solicitare uniaxiala si se poate pune

in evidenta semnificatia numitorilor: reprezinta rezistenta la compresiune si

rezistenta la intindere.

De multe ori este convenabil sa se introduca un parametru “m”

Cu aceasta noua notatie ecuatia poate fi scrisa:

pentru 1 2 3.

Considerand 1 - 3 = 0 curbele de cedare in planul 1 - 2 pot fi trasate pentru

diferite valori ale lui m.

De exemplu:

Forma in spatiu a suprafetei de cedare necesita folosirea relatiilor:

{σ1 ¿} {σ2 ¿}¿{}=¿ { p ¿ } { p¿ }¿{}+2√J 2

√3¿ {cosθ ¿ }{cos (2 π

3−θ)¿}¿{}= 1

√3¿ {ξ ¿ } {ξ ¿ }¿{}+√ 2

3ρalignl {cosθ ¿ }{cos( 2 π

3−θ)¿}¿{}¿

se obtine:

f ( I1 , J2 , θ )=13

I 1sin ϕ+√J 2sin(θ+ π3 )+ √

J 2

√3cos (θ+ π

3 )sin ϕ−c⋅cosϕ=0 sau:

f (ξ , ρ , θ)=√2ξ sin ϕ+√3 ρsin (θ+ π3 )+ρ cos(θ+ π

3 )sin ϕ−c √6⋅cosϕ=0 (4)

cu 0 60.

Suprafata limita corespunde unei piramide hexagonale neregulate. Meridianele

sunt linii drepte si sectiunile printr-un plan sunt hexagoane neregulate. Sunt necesare

numai doua caracteristici pentru a trasa acest hexagon t0 si c0.

Inlocuind in relatia (4) = 0 si = 0 se obtin t0 si c0. Se procedeaza analog si pentru = 0 si = 60.

respectiv

O famile de curbe Mohr - Coulomb obtinute cu sectiuni transversale in planul ,

pentru diferite valori ale lui sunt date in figura de mai jos normalizate in raport cu .

Hexagonul din planul 1 - 2 este intersectia piramidei cu planul de coordonate 3 = 0.

Daca , hxagonul va deveni hexagon regulat si este identic

cu ceea ce se obtine utilizand modelul Tresca. Pentru a obtine o mai buna aproximatie

cand apar tensiuni de intindere, de cele mai multe ori se combina criteriul Mohr -

Coulomb cu rezistenta maxima la intindere. Astfel se obtine un criteriu cu trei

parametrii. Sunt necesare doua stari de tensiune pentru a determina c si (doua

solicitari) si numai una pentru a determina rezistenta maxima de intindere.

BIBLIOGRAFIE:

-Analiza neliniara a structurilor vol II – Mircea Ieremia

-Suport de curs