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Toute reproduction sans a
B 5
64
0
11
- 1
992
Rducteurs de vitesse engrenages
par Robert LE BORZECProfesseur de Construction mcanique lcole
Nationale Suprieuredes Arts et Mtiers de Lille
1. Rle dun rducteur de vitesse
............................................................ B 5
640 - 3
2. Rducteurs lmentaires
.......................................................................
52.1 Rducteur engrenage cylindrique
extrieur........................................... 52.2 Rducteur
engrenage cylindrique
intrieur............................................ 82.3 Rducteur
engrenage conique
................................................................
92.4 Rducteur engrenage
spatial...................................................................
11
3. Rducteurs lmentaires drivs
........................................................ 113.1
Rducteur roue intermdiaire (ou roue parasite)
............................... 113.2 Rducteur coaxial arbre
intermdiaire ...................................................
123.3 Rducteur picyclodal plan lmentaire
.................................................. 133.4 Rducteur
picyclodal sphrique
lmentaire......................................... 17
4. Discussion et analyse des caractristiques des
engrenagescylindriques
...............................................................................................
18
5. Groupement en srie de rducteurs lmentaires
......................... 19
6. Groupement en parallle de rducteurs lmentaires
.................. 24utorisation du Centre franais dexploitation du
droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur,
trait Gnie mcanique B 5 640 1
ans cet article, les units des dimensions linaires ne sont pas
indiquesmais, sauf mention contraire, sont en millimtres.
Le lecteur se reportera utilement larticle Engrenages. lments
pratiquesde dfinition, de dessin et de calcul [B 636] dans ce
trait.
7. Groupements composs mixtes
.......................................................... 287.1
Trains picyclodaux en srie
.....................................................................
287.2 Trains picyclodaux gnraliss
...............................................................
297.3 Groupements imbriqus
.............................................................................
317.4 Rducteurs grand rapport de rduction
................................................. 34
8. Conclusion
.................................................................................................
35
Pour en savoir
plus...........................................................................................
Doc. B 5 642
D
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
__________________________________________________________________________________________________
TouteB 5 640 2
Notations et Symboles
Symbole Dfinition Symbole Dfinition
B0 Bti rfrentiel dV 1m, dV 2m Diamtres primitifs de lengrenage
cylindriqueCm , Cs Couples ct moteur et ct sortie quivalent au
coniqueC1 , C2 Couples exercs sur le pignon(1), sur la roue (2) im
, ir Rapport global de multiplication ou de rduction
Cr Coefficient de rapport de transmission k Rapport intermdiaire
de transmissionen cylindrique m n , m n0 Modules rels de
fonctionnement et de fabricationCoefficient de rapport en
cylindrique quivalent m t , m t0 Modules apparents de
fonctionnementau conique et de fabrication
Ea Module dlasticit longitudinal de lacier m , m0 Modules de
fonctionnement et de fabricationFn , F t , Fa , Fr Actions
mcaniques entre dentures (normale, en denture droite
tangentielle, axiale, radiale) rb Rayon du cylindre de baseF tm
Composante tangentielle entre dentures u Rapport de multiplication
ou de rduction
au diamtre moyen en conique dun engrenageGV Grande vitesse vt
Vitesse linaire tangentielle
Hh , H Dure probable du mcanisme v12 Vitesse de glissement de
(1) sur (2)KB Coefficient de service x1 , x2 , x3 Coefficients de
dport de denture
KGF , KGH Coefficient gnral de calcul en flexion xij Axe
concidant entre les pices i et jet en pre
KLi CoefficieKS CoefficieKVi Coefficie
Nm0 , Ns0 Vitesses (en tr/mi
Oij Point coPV Petite vitP PuissancR0 Longueu
S lat Surface lVol Volume m
Z1 , Z2 , Z3 NombresZ1 v Nombre
Nombres dentureet au con
a0 Entraxe db Longueu
d1 , d 2 , d 3 Diamtred 01 , d 02 , d 03 Diamtre
da Diamtred b Diamtredf Diamtre
d1m, d2m Diamtre
C*r
Z *1 , Z *2 reproduction sans autorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
ssion superficielle n , n0 Angles de pression rels en
fonctionnementnt dencombrement linaire et au taillagent spcial de
calcul t , t0 Angles de pression apparents en fonctionnementnt de
volume et au taillageangulaires de moteur et de sortie , 0 Angles
de pression en fonctionnement et au taillagen) en denture
droitencidant entre les pices i et j , 0 Angles dhlice aux
primitifs de fonctionnementesse et de taillagee transmise b Angle
dhlice sur le cylindre de baser de gnratrice dun engrenage conique
1 , 2 Angles primitifs de cnesatrale dune roue dente Rapport de
conduite apparente
atire de lengrenage Rapport de recouvrement ou de conduite
axiale de dents des roues (1), (2), (3) Rendement dun mcanismede
dents valu du pignon Rapport de base dun train picyclodal de dents
fictifs de lengrenage cylindrique 1 , 2 , eq Rayons de courbure sur
(1), sur (2) et quivalent droite quivalent au cylindrique hlicodal
en modle de Hertzique denture droite ou spirale 0 Angle des axesun
engrenage 0 Critre de rsistance la racine
r de denture F lim Contrainte limite en fatigue la flexions
primitifs de fonctionnement H lim Contrainte limite en fatigue la
pressions primitifs de taillage superficielle de tte H Contrainte
maximale en pression superficielle, de base modle de Hertz de pied
Coefficient de longueur dun pignons primitifs moyens en coniques m0
, s0 Vitesses angulaires de moteur et de sortie
0 Critre de rsistance superficielle
-
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RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
1. Rle dun rducteurde vitesse
Une transmission de puissance est installe entre un moteur etune
machine commander.
Un moteur vitesse de fonctionnement unique et couple
nominalunique est utilis, dans la majorit des cas, quil soit
lectrique,thermique, hydraulique ou pneumatique, car cest la
solution co-nomiquement acceptable. Ces deux caractristiques
voluent entredeux valeurs voisines : vitesse en charge (Nm0 Nm0),
couple encharge (Cm Cm), les variations acceptes se situant entre 2
%et 10 % suivant le type de moteur et le rendement
nergtiquesouhait.
La machine commander fonctionne en gnral vitesse et couple
uniques dits caractristiques dutilisation : (Ns0 Ns0),(Cs Cs), avec
des variations de lordre de 2 % 20 %.
Il est donc ncessaire dadapter les caractristiques du moteur
celles de la machine et pour cela llment dadaptation entremoteur et
machine est un rducteur de vitesse ou un multiplica-teur de vitesse
de rapport i constant. Il se nomme aussi rducteurde couple ou
multiplicateur de couple de rapport constant i avec,si lon admet un
rendement unit :
rducteur ir = |Nm0|/|Ns0| = |Cs|/|Cm| = Cte ir > 1
multiplicateur im = |Ns0|/|Nm0 | = |Cm|/|Cs| = Cte im > 1
Le rducteur et le multiplicateur tant deux mcanismes
rci-proques, seul le rducteur sera tudi par la suite.
Diffrents types de transmissions existent : mcaniques,
hydrau-liques, pneumatiques, lectriques, etc. Parmi les
transmissionsmcaniques, on rencontre les roues de friction, les
poulies etcourroies, les roues dentes et chanes et les engrenages,
utilisablessuivant les critres de fonctionnement impodans ce
trait).
Lengrenage est la solution la plus rpand il assure une scurit
cinmatique, car il
de glissement ; la rsistance aux efforts est trs imp
bonne fiabilit ; la puissance transmise par unit de m
obtenue parmi toutes les solutions : avec plusnage ralis avec
des aciers de cmentation,il est possible dvaluer le rapport du
covitesse PV) en rducteur de vitesse la masvaleurs de lordre de 15
40 N m/ kg ;
lencombrement est trs rduit ; le rendement mcanique est trs
voisi
dune bonne fabrication ( = 0,96 0,99) ; le prix est trs variable
suivant la prc
en gnral lev.
Le cahier des charges dun rducteur doit tla puissance
transmettre ntant quun lLe rapport de transmission apparat soit
cinvitesse dentre et la vitesse de sortie, soicouple dentre et le
couple de sortie et le
gomtrie impose est dcrire : axes parallles, axes
concourantsperpendiculaires ou dangle quelconque, axes orthogonaux,
axesconcentriques ou position quelconque. Lenvironnement est
carac-triser tant au point de vue chimique quau point de vue
physique.Fiabilit, scurit, maintenance sont prciser. Le maintien
delappareil est dfinir : maintien rigide par semelle lie au bti,
lieau moteur ou monte articule ou flottante sur laxe du moteur
oulaxe li au bti.
Dans une premire partie, les rducteurs lmentaires seronttudis en
dtail. Le rducteur lmentaire ou train dengrenage estlensemble de
base nomm engrenage compos dun pignon (petiteroue), dune roue
(grande roue dente) et dun carter ou bti. Suivantla gomtrie des
axes, il sagit :
de lengrenage cylindrique extrieur en gomtrie de paral-llisme
;
de lengrenage cylindrique intrieur en gomtrie de paral-llisme
;
de lengrenage conique en gomtrie de concourance desaxes ;
de lengrenage spatial (cylindrique, roue et vis, hypode, etc.)en
gomtrie quelconque.
Ensuite seront prsents les rducteurs lmentaires drivs : uneou
plusieurs roues dentes intermdiaires ou un arbre
intermdiaireinterviennent pour complter les rducteurs lmentaires
dans le butdobtenir une gomtrie particulire (entraxe important en
go-
De nombreux constructeurs proposent leurs gammes defabrication
assorties des conditions de montage, de rglage etdentretien [Doc. 5
642]. Si lon ne trouve pas cependant en cata-logue la transmission
souhaite, une tude particuliresimpose dont les principaux lments
sont proposs dans cetarticle.utorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 3
ss (articles spcialiss
ue : ne peut pas se produire
ortante avec une trs
asse est la plus forte de prcision, en engre- trempe et
rectification,uple de sortie (petitese de lensemble des
n de lunit dans le cas
ision demande, il est
re tabli avec prcision,ment parmi les autres.matiquement avec
la
t statiquement avec le rendement espr. La
mtrie parallle, gomtrie de concentricit, etc.) ou une
cinma-tique choisie (rapport entier, sens de rotation, etc.) :
utilisation dune roue intermdiaire ou roue parasite en
cylin-drique extrieur ;
utilisation dune ou plusieurs roues intermdiaires en
cylin-drique intrieur ;
utilisation dun arbre intermdiaire en rducteur coaxial ;
utilisation de roues et arbres intermdiaires en train pi-
cyclodal cylindrique ou conique.
Enfin, les solutions prcdentes ne permettant pas de dpasserdes
rapports de transmission de 8 20 et imposant des encombre-ments
importants et des masses trs leves, des groupements derducteurs
lmentaires interviendront :
groupement en srie pour obtenir des rapports importants(jusqu 6
000 8 000) ;
groupement en parallle pour rduire lencombrement, levolume et la
masse ;
groupement compos associant lobtention de rapports impor-tants
et une rduction des dimensions et des volumes.
Le tableau 1 regroupe lensemble des caractristiques
principalesde ces diffrentes familles.
(0)
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
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TouteB 5 640 4
Tableau 1 Rducteurs et multiplicateurs de vitesse
caractristiques
Rducteurs lmentaires
Engrenage extrieur : Engrenage intrieur : Engrenage conique :
Engrenage spatial :vitesses de sens contraire vitesses de mme
sens
u jusqu 100 200 rduit = 0,95 0,5
= 0,98 0,96 = 0,98 0,96 = 0,98 0,95
Rducteurs lmentaires drivs
Engrenages extrieurs avintermdiaire :
a0 peut tre importantvitesses de mme sens
Gr
rapport
nombre de trains n de 2
rendement = 0,96 0,9
u 6 8u 6 8 u 6 8vt 100 150 m/s vt 10 25 m/s vt 10 25 m/s
i 6 000 8 000 reproduction sans autorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
ec roue Arbre intermdiaire daxe x i : Train picyclodal
cylindrique : Train picyclodal sphrique :
gomtrie de concentricit axe x i in termdia i re avecsatellite
(s)
engrenages coniques et axe(s) x i intermdiaire(s)
Groupements de rducteurs lmentaires
oupements en srie Groupement en parallle
Gomtrie de paralllisme
Gomtrie de concentricit
= 0,96 0,98
Groupements composs
Gomtrie dangularitGomtrie de concentricit
Gomtrie de concentricit
nombre de trains n = 2 5
= 0,98 0,92
Gomtrie dangularitet de concentricit
Gomtrie de perpendicularitet de concentricit
nombre de trains n = 2 5
6 = 0,98 0,900
i 8 12
i 5 000 10 000
i 5 000 10 000
-
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RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
2. Rducteurs lmentaires
Les rducteurs lmentaires sont les lments de base les plussimples
forms dun engrenage unique (pignon et roue) avec lesguidages et le
maintien de contact assurs par un carter ; ils sontcaractriss par
leur gomtrie et leur cinmatique (figure
1
) :
avec
a
0
entraxe linaire,
0
position angulaire,
lindice 0 signifiant simplement : par rapport au rfrentiel :
2.1 Rducteur engrenage cylindrique extrieur
tude gnrale des caractristiques pteur
. Le rducteur engrenage cylindriqu
convient une
gomtrie de paralllisme elarbre de sortie
:
0
= 0 et
a
0
=
Cte
Les sens des rotations
N
m0
et
N
s0
sont o
Les surfaces primitives ou axodes sont desde diamtres
d
1
et
d
2
tangents extrieurememalise, profil ISO en hlicodes dvelopparente
en dveloppante de cercle (article
Engre
droite ou denture hlicodale.
Les caractristiques de dfinitions demodule
m
n0
, langle dhlice
0
, les nombre
coefficients de dports de dentures
x
1
et
x
2
,
et lentraxe a0. Ces lments sont dtermindes charges comprenant
essentiellement la pP (kW) ou le couple de sortie en petite
vitesvitesses nominales (Nm0 ) et (Ns0 Ns0), le cet la dure espre
de fonctionnement H (h
Le comportement, en rsistance des matriaux, est gr par lesdeux
relations ISO pour la rsistance en pression superficielle, dfi-nie
dans ltude dynamique de larticle Engrenages [B 636] :
et pour la rsistance la rupture la racine, dfinies dans
ltudedynamique de larticle Engrenages [B 636] :
Ces relations, trop complexes en avant-projet, peuvent
scriresous forme simplifie :
(1)
avec (2)
Figure 1 Rducteur lmentaire : gomtrie
O10, x 10( ), O20, x20( ) a0, 0( )=
10 10 x 10=
20 20 x20=
rapport i 10 /20=
ZH ZE Z Z Ftbd1------------ u 1+
u--------------- KAKVKHKH
1/2
H lim ZN ZLZR ZV ZW
Ftbmn0----------------- YFaYSaYY KAKV KFKF( ) F lim YST YNTY rel
T YR rel T YX
Ft 0bd1u
u 1+--------------- Z P
2 Z V2
K KV KB----------------------------
0H lim( )2
Z E2 Z H
2 Z 2 Z
2----------------------------------------=
1utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique B 5 640 5
rincipales du rduc-e extrieur (figure 2)
ntre larbre dentre et
pposs.
cylindres de rvolutionnt. La denture est nor-bles, de section
appa-nages [B 636]), denture
lengrenage sont les de dents Z1 et Z2 , lesla longueur de roues
b
,
er en fonction du cahieruissance transmettre
se (PV) :
C
s
(N m), les
oefficient de service
K
B
).
et
(3)
avec
(4)
Y
=
Y
rel T
Y
R rel T
Y
X
avec
F
t
(N) composante tangentielle transmise,
b
(mm) longueur de roues dentes,
m
n0
(mm) module normal de taillage,
d
1
(mm) diamtre primitif de fonctionnement du pignon,
u
rapport de rduction :
u
=
N
10
/
N
20
=
d
2
/
d
1
,
K
V
facteur dynamique de vitesse,
K
B
facteur de service correspondant ou (
K
A
/
Y
NT
),
K
facteur de rpartition des charges sur les dents,correspondant
(
K
H
K
H
) ou (
K
F
K
F
),
Z
V
facteur de film dhuile,
Z
P
facteur de rugosit correspondant (
Z
L
Z
R
Z
W
),
les diffrents facteurs
Z
E
,
Z
H
,
Z
,
Z
et
Y
ST
,
Y
relT
,
Y
R relT
,
Y
X
,
Y
Sa
,
Y
Fa
,
Y
,
Y
tant tous dfinis dans larticle
Engrenages
[B 636].
et cinmatique
Figure 2 Rducteur engrenage cylindrique extrieur
Ft 0bmn0 KKV KB----------------------------0
F lim YSTYYSaYFaYY------------------------------------=
KA /Z N2( )
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
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TouteB 5 640 6
Il faut remarquer que les deux quations de rsistance (1) et
(3)font intervenir les dimensions b, d1 et mn0 ainsi que le nombre
dedents du pignon Z1 tel que d1 = mZ1.
Lquation (3) caractrise le risque de ruine par cassure de
dentset lquation (1) caractrise un risque dcaillage superficiel ou
depiqres. Dans le but dviter des dommages importants dus unecassure
de dents, il est prfrable dobtenir un caillage superficielgnrateur
de bruit avant datteindre la cassure la racine, ce quipermet dcrire
:
aboutissant :
(5)
Cette inquation limitera le choix du nombre de dents
envisagerpour le pignon. Il ne reste plus, en prdtermination,
quelinquation (1) de rsistance la pression superficielle dans
laquellela composante tangentielle F peut tre remplace par 2C
/davec C1 (en N mm) couplepignon :
Deux dimensions intervide calculer b si lon conna
Dans le cas gnral dunsions nest connue mais, lment, le pignon,
il est ptions entre b et d1 ; ce seb = d1 .
Ainsi, une seule inconnuedtermin par linquation
est de lordre de 1, varutiliss et le type de constvitesses,
matriaux de haumatriaux de faible rsistanlavant-projet peut se
dro
Un choix de matriauxune dcision sur la prcisio(droite ou
oblique) permrsistance 0 et 0 .
Les valeurs des contraincielle et F lim en flexion de larticle
Engrenages [B 6
Lvaluation de fait i
ZE tant le facteur dlastic
ZH tant le facteur gomtrique (article Engrenages [B 636]) ; il
estpossible dvaluer b # 0 , angle dhlice dfini partir du choix
durapport de recouvrement : = 1 ou 2 ou 3 (entier si possible)
:
avec b = d1et d1 = m t Z1
soit tan 0 = / Z1. Il faut simposer une valeur de (voisin de
1)et une valeur de Z1 (20 40).
t langle apparent de fonctionnement est, en gnral, suprieur 20o
: 21 22o en denture droite et 21 25o en denture hlicodale ;
en denture droite ;
en denture hlicodale, pour des dentures trs charges
(contraintes
0bd1u
u 1+---------------
Z P2 Z V
2
K KV KB------------------------------ 0bmn0
1K KV KB------------------------------ 0 et
Les dports de dentures caractriss parsont choisis, dune part,
pour assurer un engun entraxe donn a0 et, dautre part, pour qen
glissements relatifs (article Engrenages [Bdusure, soit en rapport
de glissement aux exconduite apparente.
Les lments danalyse (article Engrenagela fabrication :
mn0 , 0 , n0 = 20omn0 = m t0 cos 0tan n0 = tan t0 cos tan b =
tan 0 cos t0
lentraxe a0 tant fix :
On rappelle que inv = tan .
Lquilibrage des produits dusure (H v12)mits du segment de
conduite apparente sela vitesse de glissement est proportionnellede
contact par rapport au centre instantanEngrenages [B 636]) :
(v12)A = 12 |IA| (v12)B =
La pression superficielle est proportionnelle linverse du
rayonquivalent (1/eq)1/2, ce rayon quivalent en relation de Hertz
tantdfini par :
(article Engrenages [B 636]) qui, exprim en A ou en B, devient
:
(10)
Il est souhaitable que lon obtienne les deux tests t gaux (ce
quicorrespond galiser les glissements relatifs maximaux) :
Ce calcul impose lanalyse de la conduite apparente pour x1 et
x2fixs, donc un bouclage ou un calcul itratif, le calcul direct de
x1et x2 , ntant pas possible.
m t2a0
Z1 Z 2+( )--------------------------- et mt tcos m t0= =
x1 x2+( ) inv t inv t0( )Z(
2 t-------=
1eq( ) M
------------------
12----- bcosT1M---------------------
bcosT2M
---------------------+ T1M T2M+( ) bcos2 T1M( ) T2M(
)----------------------------------------------------------= =T1T2(
) bcos
2 T1M( ) T2M( )-----------------------------------------=
eq( )A2 T1A( ) T2A( )T1T2( )
bcos----------------------------------------= et eq( )B
2 T1B( ) T2B( )T1T2( )
bcos----------------------------------------=
tA IA/ eq( )A1/2 et tB IB/ eq( ) B
1/2= = moins de 5 % prs
utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
B 5 640
7
l de fabrication ; gn-dents pour un matriel
qui reprsente le casau choix de cet entraxeents :cid ; il se
situe dans
2
m
n0
)
(8)
1
et
x
2
seront adapts
ts
x
1
et
x
2
, partir des
B 636] et lentraxe sera
x
2
> 0).
les coefficients
x
1
et x2rnement sans jeu pour
uilibrer la denture soit 636] ), soit en produits
trmits du segment de
s [B 636]) sont issus de
0
(9)
A = (H v12)B aux extr- simplifie aisment car la position du
point de rotation I (article
12 |IB|
Il ne reste plus qu adapter la longueur de roues dentes b toutes
les autres caractristiques. Le diamtre de fonctionnementest
calculable : d1 = m t Z 1 , et la composante tangentielle vautF t =
2C1/d1.
Le critre de rsistance superficielle 0 peut tre actualis puisque
t et b sont connus, ainsi que et de fonctionnement(tan b = tan cos
t). Il est alors possible de dterminer, partir dela relation (1)
:
(11)
Un bouclage sur K (inverse de ) est possible et permet dechoisir
la longueur b ; une vrification simpose quant au rapportde
recouvrement .
t0cos d o t
1 Z2+ ) n0an
---------------------
Exemple numrique dun rducteur transmettant une puis-sance de 100
kW avec une vitesse motrice N10 = 2 100 tr/min, unevitesse de
sortie N20 = 500 tr/min 3 %, un coefficient de serviceKB = 1,4 et
une dure H = 40 000 h (la dure tant trs importante, lescoefficients
ZN et YNT ont la valeur asymptotique de la courbe deWhler gale 1).
Un acier alli de cmentation 20 MC 5 est choisi, ila pour
caractristiques : H lim = 1 400 N/mm
2, F lim = 400 N/mm2
qualit ISO 6. Lvaluation des critres de rsistance permet
dobtenir, avec une
denture hlicodale :
avec
soit 0 = 12opour = 0,8, Z1 = 20 et = 1
t valu 23o et v = 1,6
avec Y = 1,et (YSa YFa ) correspondant, a priori, Z0 = 30 et x0
= + 0,4 [1] 0 = 12oet = 1,6.
bK------------
Ft KV KB
0d1 Z2/ Z1 Z2+( )[ ]Z P2 Z
V2--------------------------------------------------------------------------
C B5
1
01 400 ( ) 2
36 750 5,44 0,625 0,98
----------------------------------------------------------------------------------------------
16 N/mm 2 = =
0tan 0,8 20---------------------------=
0400 2,1 1
4,14 0,72
0,9-------------------------------------------------------- 310
N/mm 2 = =
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
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TouteB 5 640 8
2.2 Rducteur eintrieur
La gomtrie est encore larbre de sortie : 0 = 0 et
Les sens de rotation son
Le mme type de denture normalise ISO est utilis mais les
sur-faces primitives sont des cylindres de rvolution de diamtre
d1et d tangents intrieurement.
Le rapport de rduction vaut u = 2 100/500 = 4,2 et le
coefficientde rapport Cr = u /(u + 1) = 0,81 :
do
avec une scurit de 10 20 %, Z1v = 19 22. Avec une vitesse dentre
10 = 220 rd/s, un couple moteur
C1 = 455 N m, lvaluation du diamtre du pignon est telle que
:
do d1 = 57,avec le choix de K = 1,25 ; et KV = 1,2.
Le bouclage est possible puisque vt = 6,3 m/s, b # 45 et Z1 #
18,ce qui permet dobtenir :
[1]
K = 1/0,8 = 1,25do d1 = 56.
Les dcisions suivanteset d1v = 56 :
0 = 13o (avec = 0,8m n0 = 3, Z1 = 18, Z2 =
Ltude de ladaptation
t0 = 20,483 m t0 = 3
x1 + x2 = 1,35
avec x1 = 0,600 et x2 = 0 = 1,46.
Il ne reste plus que le
d1 = 56,84 F t = 16 010
et
si K = 1,23, , ce qLes caractristiques de module mn0 = 3 angle
dhlice 0 = 13 pignon : Z1 = 18, x1 = roue : Z2 = 77, x2 = + entraxe
a0 = 150 mm longueur de denture
Z P2 1 (rectification du pignon et de la roue) et Z V
2 1= =
Z1max310
16 0,81 1
1------------------------------------------------------ 24= =
d 13 2 455 103 1,25 1,2 1,4
16 0,8 0,81 1
1------------------------------------------------------------------------------------------------------=
Z V2 1=
C3 Z V2 /K V 0,88= =
bK--------------
15,4-----------------
b 45
Figure 3 Rducteur engrenage cylindrique intrieur
reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation
du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
ngrenage cylindrique
de paralllisme entre larbre dentre et
a
0
=
Cte
(figure
3
).
t les mmes.
2
Lencombrement gnral est rduit par rapport la solutionprcdente
mais le pignon, en gnral, est en porte faux, ce quiinterviendra sur
le coefficient de porte des dentures sous forme,par exemple, dun
coefficient spcial
K
S
= 0,9.
Les
lments nouveaux,
diffrents de ceux vus prcdemment,sont :
la relation dentraxe :
a
0
= (
d
2
d
1
)/2 =
m
t
(
Z
2
Z
1
)/2
connaissant les caractristiques
0, mn0 , Z1, Z2, x1, x2, a0 ; le coefficient de rapport :
Cr = u /(u 1) avec u = d2 /d1 = Z2/Z1 = N10 /N20
car le contact entre dentures est de nature convexo-concave ; la
relation dfinissant les coefficients de dports sous la forme :
(12)
Les caractristiques dimensionnelles de la roue denture
int-rieure sont dfinies dans larticle Engrenages [B 636]. La
conduitesanalyse sous une forme analogue celle utilise en
engrenageextrieur mais T1T2 = IT2 IT1 et les relations relatives
aux rayonsde courbure quivalents prennent la forme :
interviennent partir de Z1 v = 19 22
, Z1 choisi = 19 et = 1)77 et Ns0 = 2 100 18/77 = 491 tr/min
(inclus dans 500 15)
a0 = 150 mm
permet de calculer :
,078 9 m t = 3,157 9 t = 24,028 6
7 b = 12,204 = 13,322,757, les dentures sont quilibres avec
calcul de la longueur b, avec :
N
0 = 15,4 N/mm2
ui permet dassurer =1. fabrication du rducteur sont alors :
o
+ 0,6 0,757
b = 45
Z H2 5,26 Z
2 0,68= = Z 2 0,97=
16 010 1,4 56,84
0,81
1
0,88
--------------------------------------------------------------------------------
36 =
x2 x1( ) inv t inv t0( ) Z2 Z1( )/2 n0tan= avec n0 20o=
a0mn0 Z2 Z1( )
2 0cos--------------------------------------- 0 2 m n0 ( )
+=
m
t
2
a
0
Z
2
Z
1
( )
------------------------=
m
t
t
cos
m
t0
t0
cos
=
1eq( )M
--------------------
12----- bcosT1M---------------------
bcosT2M
--------------------- bcos2--------------------T1T2( )
T1M( ) T2M( )--------------------------------------= =
-
_________________________________________________________________________________________________
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
ceci devenant, en A et en B :
(13)
2.3 Rducteur engrenage
Un rducteur engrenage conique (figursphrique utilis dans le cas
dune gomtraxes :
Les surfaces primitives sont des cnes de rvolution de mmesommet,
tangents extrieurement (article Engrenages [B 636]) etle rapport de
rduction u vaut :
u = N10 /N20 = d2 /d1 = R0 sin 2/R0 sin 1
Exemple numrique : un rducteur de mmes caractristiques
queprcdemment peut tre tudi : puissance 100 kW, vitesse dentreN10 =
2 100 tr/min, vitesse de sortie N20 = 500 tr/min 3 %, coeffi-cient
de service KB = 1,4, dure probable H = 40 000 h. Le mme typede
matriau ne peut pas tre choisi pour la roue denture intrieure carla
rectification nest pas possible, do le choix dun acier tremp dansla
masse 35 NCD 12 (HV10 = 360) avec H lim = 900 N/mm
2 et, pourle p ignon , un ac ie r 42 CD 4 cment e t rec t ifi
avec
F lim = 340 N/mm2, (ou C6) = 0,87, qualit ISO 7.
De mme que prcdemment, avec = 0,8, Z 1 = 25, 0 = 9o, = 1, t =
23o et = 1,5 :
Avec C r = u /(u 1) = 4,2/3,2 = 1,31 :
et Z1 v = 28 32
Avec C3 = 0,86, b = 60,
Les premires dcisions imposent :
= 9o, mn0 = 3, Z1 = 25,
Ns0 = 495,3 tr/min et a0 = 1
Ladaptation suit :
m t0 = 3,037 395 t0 = 20,229 2 mt = 2
t = 23,640 b = 8,453 et x2et ltude dquilibrage de lusure en
extrconduite permet dobtenir : x1 = + 0,590, x2 =
Il reste le calcul de la longueur de roues :
d1 = 77,78 Ft = 11 700 N 0
et
b = 60 pour que = 1.
eq( )A2 T1A( ) T2A( )T1T2( )
bcos---------------------------------------= et eq( )B
2 T1B( ) T2B( )T1T2( )
bcos---------------------------------------=
Z P2
0900( )2
36 750 5,5 0,67 0,99
--------------------------------------------------------------------------------------
6 N/mm 2 = =
0
340 2,1
1
4,14 0,75 0,93
------------------------------------------------------------ 250
N/mm 2 = =
Z1max250
6 1,31 0,87---------------------------------------------------
36= =
d 13 2 455 103 1,4 1,4
6 0,8 1,31 0,87 0,87
0,9--------------------------------------------------------------------------------------=
C3 Z V2 /KV 0,85 et C B5= =C B5 0,7 1/1,43 (ISO= =
0
bK-----------
11 700 1,4 6 77,78
1,31
0,87
0,85
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
O, x 10( ), O, x 20( ) 0,(=
Figure 4 Rducteur engrenage conique
utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
B 5 640
9
conique
e
4
) est un mcanisme
ie de concourance des
donc
u
= sin
2
/sin
1
et
1
+
2
=
0
do lon tire tan
1
= sin
0
/(
u
+ cos
0
)
(14)
Seules les dentures extrieures peuvent tre tailles en
rouesconiques, avec pour limite la roue plate : .
Les
relations de rsistance de la denture adoptent toujours lamme
forme en assimilant lengrenage conique lengrenagecylindrique
quivalent dfini sur les diamtres moyens (articleEngrenages [B 636])
:
dV1m = d1/ cos 1 dV 2m = d2/cos 2Les relations compltes sont
donnes dans ltude dynamique
de larticle Engrenages [B 636] ; elles peuvent, l encore,
scriresous une forme simplifie :
(15)
avec
(16)
avec
Ces relations correspondent celles vues en engrenage
cylin-drique (1) et (3), les lments diffrents tant le coefficient
dhomo-thtie de lengrenage conique :
(R0 b)/R0
et le coefficient de rapport qui correspond Cr = u /(u + 1)
delengrenage cylindrique devenant :
= u /(u cos 1 + cos 2) (17)
,.
Z2 = 106
26 mm
126/81 = 3,111 11
x1 = 1,078
mits de segment de + 1,668 avec = 1,44.
= 6 N/mm2
--- d o d1 75=
1/1,4, v t 8,3 m/s= = 7) et d 1 75 mm=
,9------- 40,3 et b 58=
0)
2 /2
Ft 0bd1C*rZ P
2 Z V2
K KV KB------------------------------
R0 b( )R0
------------------------
0H lim( )2
Z E2 Z H
2 Z 2 Z
2------------------------------------------=
Ft 0bmn01
K KV KB------------------------------
R0 b( )R0
------------------------
0F lim( )YST YYSaYFa Y Y
-----------------------------------------=
C*r
C*r
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
__________________________________________________________________________________________________
TouteB 5 640 10
Le facteur de rpartition des charges K est diffrent ; il est
donndans ltude dynamique de larticle Engrenages [B 636]. Enfin,
pourque le rayon de raccord constant en pied de dent ne soit pas
tropimportant par rapport la hauteur de dent, la longueur b ne
doitpas dpasser R0 /3.
Lavant-projet suit un droulement analogue celui dcrit
pourlengrenage cylindrique avec, comme diffrences :
le choix du coefficient de longueur b, utilis dans lquation (7)
:b = d1 , devient en conique :
donc
une tude cinmatique est ncessaire pour valuer 1 et 2 ,angles
intervenant dans la valeur de et dans celle de ;
le coefficient (R0 b )/R0 peut tre estim au minimum 2/3 ;
le coefficient ou C6 est dfini dans ltude dynamique delarticle
Engrenages [B 636], le rodage remplaant la rectificationen finition
de denture.
Ainsi, nous obtenons les deux relations dvaluation :
Puis les dcisions sont p
Il est habituel de choisir et x2 assurant lgalit derelatifs aux
extrmits dulengrenage cylindrique q
ZV 1 = Z1 /cos
avec
1
= arctan [
Z
1
sin
0
/
Le dernier calcul est ce
rsoudre une quation du
comme longueur
b
et dans
devenant :
b2 R0b + K = 0
Lquation a deux racinescurit se situe entre ces infrieure R0 /3.
Une expliparadoxal dobtenir deux vation utilise F t en I tel que
Fcoefficient (R0 b )/R0 fait autre partie caractrise d
(figure 5). la valeur b , la pfaible et fort alors qupondent
im
b R0/3 et d1 # 2R0 1sin
1/ 6 1sin( )
C*r
Z P2
Z1v 0(=
d1v 0--------------=
Ft 0d1C=
d 1mF t 2C1/d 1m=
Exemple numrique : lexemple le plus classique correspond
unengrenage conique denture droite car la normalisation est
assezprcise et souvent respecte.
Soit les donnes suivantes : P = 80 kW, N10 = 1 460 tr/min,N20 =
500 tr/min 3 %, KB = 1,2 et 0 = 80o.
Ltude cinmatique utilise u = 1 460/500 = 2,92 et 0 = 80o :
tan 1 = sin 80/(2,92 + cos 80)soit 1 = 17,7 et 2 = 62,3puis =
1/(6 sin 17,7) = 0,55et
Un acier de nitruration est choisi : 31 CDV 9, avec rodage,
prcisionISO 6 :
H lim = 1 290 N/mm2
F lim = 425 N/mm2 et possible
Do
C*r 2,92/(2,92 cos 17,7 + cos 62,3) = 0,9=
Z P2 1=
01 290 ( ) 2
36 750 6,22 0,75
--------------------------------------------------------------------
9,7 N/mm 2 = =
reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation
du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
(18)
(19)
rendre :
0
,
m
n0
,
Z
1
,
Z
2
,
1
,
2
,
x
1
et
x
2
.
x
1
+
x
2
= 0, les coefficients de dports
x
1
s produits dusure ou des glissements segment de conduite dans
ltude deuivalent :
1
Z
V
2
=
Z
2
/ cos
2(Z2 + Z1 cos 0)] et 2 = 0 1.lui de b mais, ici, ce calcul
aboutit second degr puisque b apparat en (15) le coefficient [(R0 b
)/R0] :
avec (20)
s positives et la longueur adopter endeux valeurs, la plus
petite devant trecation rapide simpose car il peut paratreleurs, et
de choisir la plus petite. La rela-
t = 2C1/d1 mais, en ralit, une partie duintervenir Ftm au
diamtre moyen, une
1m , diamtre moyen correspondant
lus faible, correspondent la valeur b , la plus grande,
corres-portant et plus faible.
,8 0,9) 00C *r Z P
2 Z V2
----------------------------------------
2C1K KV KBC *r Z P
2 Z V2 R0 b( )/R0
------------------------------------------------------------------1/3
*rZ P
2 Z V2
K KV KB------------------------------ b
R0 b( )R0
------------------------
KFtR0 K KV KB0d1C *r Z P
2 Z V2
----------------------------------------------=
F t 2C1/d 1m=
d 1m
Le calcul des lments valus donne, avec 10 = 152,9 rd/s etC1 =
523 N m :
et :
do d1 = 90
Avec v t = 6,9 m/s, b = 50, et K = 1,42, lebouclage permet
dobtenir d1 = 86, do le choix :
mn0 = 3 Z1 = 31 Z2 = 91 (Ns0 = 497 tr/min)
1 = 17,575 2 = 62,425 ZV 1 = 32,52 ZV 2 = 196,58x1 = + 0,27 x 2
= 0,27 avec = 1,73
d1 = 93 F t = 11 250 N 0 = 9,6 N/mm2 et R0 = 154
b2 154b + 4 115 = 0 b = 35 < 51
Si une denture spirale est utilise pour rduire le bruit et
amliorer larsistance, le projet est beaucoup plus dlicat, chaque
type de denturespirale ayant sa dfinition propre donc assujettie un
calcul particulierdes dimensions (article Engrenages [B 636]).
Un acier de cmentation est choisi 20 MC 5 avec rodage et
prcisionISO 6 :
H lim = 1 400 N/mm2 et F lim = 480 N/mm
2
Avec 0 = 30o, = 1,2 (denture hlicodale), t = 22o :
et
0425 2,1 14,12 0,68
--------------------------------------------- 320 N/mm 2 = =
Z1v320
9,7 0,9------------------------------ 0,8 0,9( ) 29 33= =
d1v 2 523 103 1,45 1,2 1,25 39,7 0,55 0,9 1 1
2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1/
3
=
C3 Z V2 /KV 0,93= =
01 400 ( ) 2
36 750 5 0,83 0,87
-------------------------------------------------------------------------------
14,8 N/mm 2 = =
0
400 2,1
4,12 0,88
0,75
------------------------------------------------------------ 310
N/mm 2 = =
Z1v310
14,8 0,9---------------------------------- 0,8 0,9( ) 19 21=
=
d 1v3 2 523 103 1,42 1,2 1,25
14,8 0,55 0,9 1
1----------------------------------------------------------------------------------------------------------
32------- d o d1 77= =
-
_________________________________________________________________________________________________
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
2.4 Rducteur engrenage spatial
Cest ici le cas dune gomtrie quelconque dans laquelle lesaxes ne
sont ni parallles ni concourants. La seule particularitpossible
dans la position :
est celle de lorthogonalit pour laquelle 0Plusieurs solutions
sont utilises : lengrenage gauche hlicodal (article E lengrenage
globique dans lequel des su
loppent mutuellement et la denture est de pr lengrenage vis sans
fin utilisant d
(article Engrenages [B 636]) ; lengrenage hypode dont les
surfaces
des cnes de rvolution nayant pas le mmprofils sont particuliers
[2] [3].
Dans tous ces cas, le rapport u = Z2 /Z1 peles lments de
rsistance des matriaux soet grer, le contact tant en gnral
polinique.
Le rendement est aussi, dans de nombrecelui obtenu en engrenage
cylindrique et enfabrication est aussi trs dlicate et ne pequelques
spcialistes peu nombreux, dans lede puissance.
3. Rducteurs lmentaires drivs
Sans en arriver aux groupements dengrenages simples, il
estpossible de constituer des rducteurs de base forms de plus
dedeux roues dentes.
3.1 Rducteur roue intermdiaire(ou roue parasite)
Le pignon (1) de diamtre d1 nest pas en contact avec la roue
(2)de diamtre d2 (figure 6), lentraxe tant suprieur la
demi-sommedes diamtres de ttes :
a0 > (da1 + da2)/2
Une roue intermdiaire (3) de diamtre d 3 engrne avec lepignon
(1) en A et avec la roue (2) en B par adaptation des deuxentraxes
a13 et a23 . Lengrnement impose, en denture normalise :
Avec v t = 5,9 m/s, b = 42, et K = 1,41, onobtient : d1 = 74, do
les dcisions :
0 = 30o(article Engrenages [B 636]) pour un rapport de
recouvrement lev :
> 1et m n0 = 4 Z1 = 17 Z2 = 50 Ns0 = 496,4 tr/min
1 = 17,545 2 = 62,455x1 = + 0,3 x2 = 0,3 et = 1,32
Figure 5 Rducteur engrenage conique : c
C 3 Z V2 /KV 0,93= =
O10, x10( ), O20, x20( ) a0, 0( )=
utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
B 5 640
11
=
/2.
ngrenages
[B 636]) ;rfaces toriques senve-ofil trs spcial [2] [3] ;es
profils trs varis
pseudo-primitives sonte sommet et dont les
ut tre trs vari maisnt trs dlicats tablirnctuel et
quelquefois
ux cas, trs infrieur engrenage conique. Laut tre gre que par cas
dune transmission
le mme module
m
n0
, le mme angle dhlice
0
puisque
n0
= 20
o
.Chaque contact extrieur en A et B change le sens de rotation.
Onobtient donc, ainsi, un rducteur lmentaire form de roues dentures
extrieures dont les vitesses sont de mme sens.
Le prix est rduit par rapport une denture intrieure et la
pr-cision est plus grande.
Si les nombres de dents sont
Z
1
,
Z
2
,
Z
3
, le rapport de vitesse vaut :
ce rapport est indpendant de
Z
3
, do le nom de
roue parasite
pourla roue (3).
Le choix des caractristiques de la roue (3)
:
Z
3
,
d
3
paratalatoire. Il nen est rien car la roue (3) tant monte libre
sur son axe,les composantes tangentielles en A et en B sont de mme
valeur :
|
F
nA
| = |
F
nB
| = 2
C
1
/
db1
hoix de la longueur b
Figure 6 Rducteur roue intermdiaire (ou roue parasite)
uN10N20------------
N10N30------------
N30N20
-------------
Z3Z1---------
Z2Z3
---------
Z2Z1---------= = = =
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
__________________________________________________________________________________________________
TouteB 5 640 12
Le diamtre d1 tant le plus petit vis--vis de d 3 et de d2 , le
pointfaible est en A entre (1) et (3). Lvaluation de d1 correspond
larelation :
(21)
avec k = Z3 /Z1 et
Le diamtre du pignon d1 , pour une transmission de
caractris-tiques dfinies, varie en fonction du rapport k sous la
forme de[(k + 1)/k ]1/ 3. Si lon souhaite optimiser la
transmission, il fautrechercher la masse minimale ou le volume
minimal. Ce volume destrois roues a pour expression :
avec b = d1 ; d3 = kd1 et d2 = ud1
Ce volume varie sous la forme de :
puisque est constant.Le rapport u tant dfini,
correspond au minimum dencore lquation rsoud
2k 3
La valeur de k nous raboutit au choix de : 0 , mcoefficients de
dports x1 eau choix de x2 et de a32, simple adaptation puisque lou
bien une adaptation srdusure et un matriau mroue (2) ou une
longueur b
Il est remarquer que, si 0 ) sont les mmes pour lristiques de
fonctionnemen
en A, engrnement en
m t
cos
do x1 + x3 = (inv
en B, engrnement en
do
sont les deuxde la roue (3), respectivem
3.2 Rducteur coaxial arbre intermdiaire
2C1 0d 13 kk 1+--------------- KGH=
KGHZ P
2 Z V2
K KV KB------------------------------=
Vd 1
2b4
------------------
d 32b
4------------------
d 22b
4------------------+ +=
V 4
----------d 13 1 k 2 u 2+ +( )=
f k( ) =
d3( )
m*t*tcos
d3( )Bx3 x2+ inv (=
d*3 et d**3
Exemple numrique : si lon reprend lexemple du paragraphe 2.1,u =
4,2 permet le calcul de k = 1,95 ; un mme choix de matriaudfinit
Z1v = 22 ; d1v = 60 ; do les dcisions :
0 = 11o mn0 = 2,5 Z1 = 23 Z2 = 97 Z3 = 45 Ns0 = 498 tr/mina13 =
90 avec x1 = + 0,7 x3 = + 0,837 et b = 46
et par approximations successives :
a23 = 185,5 et x2 = + 1,197
Il reste dfinir lentraxe a12 = 163 avec .Une longueur b2 = 25
suffirait sur la roue (2) constitue du mme
matriau.Il est remarquer que, si le pignon moteur fonctionne
toujours dans
le mme sens, la position de la roue intermdiaire doit tre telle
quelaction sur les guidages soit de la plus faible intensit
(analyse de
).
a12 da1 da2+( )/2
F nA F nB F O 30+ + 0= reproduction sans autorisation du Centre
franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
donc invariant, le choix de la variable ke la fonction f (k ),
soit df (k )/dk = 0 oure est :
+ k 2 (1 + u2) = 0 (22)
amne au projet classique ( 2.1) etn0 , Z1 , Z2 , Z3 , puis de
lentraxe a13 , dest x3 , et de la longueur de roue b. Quant
bien des solutions sont possibles : unees contraintes sont plus
faibles (d3 > d1),ieuse : x2 et a32 quilibrant les produitsoins
cher pouvant tre utilis pour la
2 plus faible tant prvue.
les caractristiques de taillage (mn0, n0 ,es trois roues (1),
(2) et (3), les caract-t sont trs diffrentes car :tre (1) et (3)
:
= 2a13 /(Z1 + Z3)
t = (m t0 cos t0)/m t
t inv t0)(Z1 + Z3)/2 tan 20o (23)
tre (3) et (2) :
(24)
diamtres primitifs de fonctionnementent ct (1) et ct (2).
Ce type de rducteur (figure 7a) permet dassurer une gomtriede
coaxialit conomique, puisquil ny a que des roues denturesextrieures
et, de plus, il est possible dviter les porte--faux :
Par contre, deux engrenages sont ncessaires ainsi quun
arbreintermdiaire parallle aux deux autres. Chaque engrenage a
unrapport de valeur :
u1 = d21/d11 = N10 /Ni0 et u2 = d22 /d12 = N i0 /N20
soit u = N10 /N20 = u1u2
et lentraxe est le mme pour les deux engrenages :
2a 0 = (d11 + d21) = (d12 + d22)
Si, par souci dhomognit, en plus dun mme matriau, onadopte un
mme coefficient de longueur = b1 /d11 = b2 /d12 , il serapossible
de dterminer u1 et u2 pour u impos.
Les calculs dvaluation du diamtre des pignons sont de la forme
:
soit
en admettant .
Les relations dentraxe scrivent :
2a0 = d11 (1 + u1) = d12 (1 + u2)
devenant
ou encore (25)
Ce systme dquations se rsout aisment par itration. Il ne
resteplus qu traiter un projet classique sur lengrenage de rapport
u1 ,puis adapter le deuxime engrenage lentraxe a0 et au rapportu2
fixs.
k 1+( )k
------------------- 1 k2 u2+ +( )
A mtZ3 d*3= =
2a23 / Z3 Z2+( )=m t0 t0 cos( )/m*t=m*t Z3 d**3= =
*t inv t0 ) Z2 Z3+( )/2 tan 20 o
O10, x 10( ), O20, x 20( ) a0 0, 0 0= =( )=
2Cm 0d 113 u1
u1 1+-------------------KGH1=
2C i 2u1Cm 0d 123 u2
u2 1+-------------------KGH2= =
pour le premier engrenage
pour le second engrenage
d 113 proportionnel
u1 1+u1
------------------- et d 123 proportionnel
u2 1+( )u1u2
------------------------------
KGH1 # KGH2
d 113 1 u1+( )3 d 123 1 u2+( )3=
u1 1+( )4u1
2--------------------------
u2 1+( )4u2
-------------------------- avec u1u2 u= =
-
_________________________________________________________________________________________________
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
Pour des raisons trs particulires, il lengrenage intrieur, ce
qui, la limite, csolutions supplmentaires (figure 8). Une hypothses
que prcdemment, aboutit aux
avec le signe (+) dans le cas de lengrenage dans le cas de
lengrenage intrieur.
Enfin, dans la solution classique (figure roues dentures
extrieures, il est possible dsite sur lun des deux engrenages de
rapporobtenir des vitesses Nm0 et Ns0 de sens cont
3.3 Rducteur picyclodalplan lmentaire
Cest un groupement particulier de roupermettant dassurer une
transmission dearbres coaxiaux avec des combinaisons dcorrespondant
des rapports de rduction ovariables. Il comprend quatre pices
mobilefixe B0 ; trois pices sont guides par assem
unique : le plantaire solaire (1), le pet le porte-satellite (4)
; la pice intermdia
guide par assemblage rotode daxe
Une tude cinmatique aboutit la relatlarticle Engrenages [B 636].
Elle se traite en arelatif des diffrentes pices par rapport au
Exemple numrique : tudions un rducteur coaxial de caract-r i s t
iques imposes : P = 100 kW ; N m 0 = 2 100 t r /m in ;Ns0 = 140 tr/
min 3 % ; KB = 1,4 et lacier 20 MC 5 choisi comme auparagraphe
2.1.
Ltude initiale et particulire consiste rsoudre :
avec u1 u2 = 15 ; on obtient u1 = 5,85 et u2 =
2,56.Lavant-projet se traite sur le premier engrenage :
u1 = 5,85 C r = 0,85 10 = 220 rd/s C1 = 455 N m
0 = 16 N/mm2 0 = 290 N/mm2 = 0,8
on obtient Z1 v = 17 et d11 = 55
do les dcisions :
( 0 )1 = 14o (mn0)1 = 3 Z11 = 17 Z21 = 100 et a0 = 184Les dports
de dentures sont adapter, la longueur b1 est calculer.Le second
engrenage est adapter partir lentraxe : d12 + d 22 = 2a0 = 368 ; le
rapport u 2 rvalu partir de u et d
u2 = d22/d12 ; le nombre de dents du pignon
C r = u2/(u 2 + 1) = 0,72 ; Z12 v = 21.Le choix de 0 est
classique de mme que
les dcisions sur les valeurs de Z12 et de Z22est ncessaire
dassurer un rapport correct, unet les particularits sur les nombres
Z12 et Zconviennent ; Ns0 = 140 tr/min et les dports ecalculent
aisment : (0)2 = 12o et (mn0)2 = 5
Il est remarquer que les hlices devront troues dentes de larbre
intermdiaire pouaxiales des efforts supports soient en oppos
u1 1+( )4/u 12 u 2 1+( )4/u2=
u1u2 u= et u1 1( )4/u 12 u(=
O, x0( )
O24 ,(
utorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie
est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
B 5 640
13
est possible dutiliser
onduit proposer trois
tude, avec les mmes deux relations :
(26)
extrieur et le signe ()
7
a
) nutilisant que dese placer une
roue para-
t
u
1
ou
u
2
, et cela pour
raires (figure
7
b
).
es dentes
(figure
9
) puissance entre deuxutilisations multiplesu de multiplication
trss par rapport un bti
blages rotodes daxe
lantaire couronne (3)ire (2), ou satellite, est
.
ion de Willis cite dansnalysant le mouvementporte-satellite (4)
pour
de trois conditions :
e u1 = Z21 /Z11 devient :
est valuer avec
celui de mn0 ; par contre, sont plus dlicates car il
renforcement des dents
22 : Z12 = 20 et Z22 = 51t longueur de denture se
.re de mme sens sur lesr que les composantesition.
2 1 ) 4/u2
x24)
Figure 7 Rducteur coaxial arbre intermdiaire :engrenage
extrieur
Figure 8 Rducteur coaxial arbre intermdiaire :engrenage
intrieur
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
__________________________________________________________________________________________________
TouteB 5 640 14
que lon se retrouve dans le cas dun engrenage classique axes
fixeset roue intermdiaire (2) entre roues dentures extrieures
(contacten A) et roues intrieures (contact en B) :
(N14 /N34) = (N10
dans laquelle les vitesses sorapport dit rapport de batif
puisque le contact en A cen B conserve le sens. Lqsous la forme
:
N10
Cette quation montre qest de deux puisque deux vitre fixes pour
que tous lesla troisime vitesse parmi
Lanalyse directe du mcaest de deux, ceci sans hypemouvement
spatial ; il fautcinmatiques (trois compode translation pour
chaquedegrs dobstacles ou resantes cinmatiques :
cinq pour un assemblaici ;
une pour un assemdentures bombes, en A e
Il y a donc (5 4) + (2 1[4].
Dans le cas gnral, un sy24 inconnues et 22 relatioconsiste
choisir arbitrairdeux inconnues dans le bu
Pour ramener ce mcla solution gnrale consisment asservi et un
lment
Llment asservi peut l un second moteur,
lment vitesse constant un variateur entrane l
est variable ; elle peut mmde sens ;
llment asservi est immanent sur le bti B0 , cest
picyclodaux.
Le tableau 2 rsume les six cas possibles lorsque les fonctionsde
(1), (4), (3) sont permutes entre lment moteur, rcepteur oufrein.
On obtient six courbes exprimant le rapport u i = Nm0 /Ns0
enfonction de dans le cas gnral. Les zones utilisables, en
trans-mission lmentaire, sont celle qui correspond < 1 dans
laquelleZ3 > Z1 et celle qui correspond > 1 dans laquelle il
y a deux rouesparasites pour que soit positif.
Si u i > 1 lappareil est un rducteur de mme sens.Si 1 > u
i > 0 lappareil est un multiplicateur de mme sens.Si 0 > u i
> 1 lappareil est un multiplicateur de sens contraire.Si 1 >
u i lappareil est un rducteur de sens contraire. (0)
Ltude statique dans le but de connatre les efforts transmis
estaise dans le cas du frottement nglig et dune denture droite ;
elleconsiste analyser lquilibre du satellite (2) (figure 10) :
les actions mcaniques de contact ponctuel entre dentures profils
en dveloppantes de cercles sont tangentes au cercle de basedes
dveloppantes du cercle de base de (2) de diamtred b2 = m0 Z2 cos 0
avec langle de taillage 0 = 20
o et le module detaillage normalis m0 . Par contre, suivant le
choix des coefficientsde dports de dentures (x1 , x2 , x3), les
angles de fonctionnement : (en A) et * (en B) sont frquemment
diffrents et autres que 20o ;
laction mcanique de contact au guidage de laxe en O24
Figure 9 Rducteur picyclodal plan lmentaire reproduction sans
autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est
strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
N40)/(N30 N40) = = Z3 /Z1 (27)
nt exprimes en valeurs algbriques ; lese est indpendant de Z2 et
il est nga-hange le sens de la rotation et le contactuation
caractristique peut aussi scrire
N30 + ( 1)N40 = 0 (28)
ue le degr de mobilit du mcanismetesses de valeurs indpendantes
doivent mouvements soient dfinis, entre autresN10 , N30 , N40 .
nisme confirme que le degr de mobilitrstatisme, puisque quatre
pices sont en donc dterminer 6 4 = 24 paramtressantes de rotation
et trois composantes pice) ; chaque assemblage dfinit deslations
dobstacles entre les compo-
ge rotode (ou pivot), il y a quatre pivots
blage ponctuel du type contact entret en B.
) = 22 quations ou relations dobstacles
stme dquations linaires comprenantns est indtermin dordre 2, ce
qui iciement des valeurs indpendantes pourt de dfinir toutes les
autres.
anisme un seul degr de mobilit,te choisir un lment moteur, un l-
rcepteur parmi les pices (1), (4), (3).
tre de trois faons diffrentes :indpendant du premier, entrane
cete ;lment asservi, ainsi la vitesse de sortiee, dans certains
cas, sannuler et changer
mobilis (vitesse nulle) par blocage per-la solution la plus
courante en rducteurs
est .
Nous sommes en statique plane, donc :
ltude statique des autres pices en dcoule rapidement si lon
recherche la valeur des couples transmis puisque est gnr
par le couple transmis par le solaire (1) :
est gnr par le couple transmis par la couronne (3) :
et est gnr par le couple transmis par le porte-satellite
(4).
Lquilibre de lensemble correspond :
(figure 10) ; sont de mme sens et est de sens oppos.
Les relations sont simples tablir, car amne :
|C3| = |C1| (db3 /db1) avec db3 /db1 = Z3 /Z1 =
soit
et, enfin (29)
Il est remarquer que le thorme des puissances virtuellesscrit
:
et remplaant par leur valeur en fonction de , on a :
nous retrouvons ainsi la relation cinmatique de base (28).
F n42
F n32 F n12 et Fn42 Fn32 Fn12+ + 0= =
Fn12
C1
C1 Fn12 db1/ 2( )=Fn32 C3
C3 Fn32 db3 / 2( )=Fn42 C4
C1 C3 C4+ + 0=
C1 et C3 C4
Fn32 Fn12=
C3 C1=
C4 C1 C3 C1 1( )= =
C1 10 C3 30 C4 40+ + 0=
C3 et C4 C1
C1 10 C1 30 C1 1( ) 40+ 0=
-
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RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
Tableau 2 Diffrentes solutions pour ramener le mcanisme un seul
degr de mobilit
Moteur Rcepteur Frein Relation Rapport u i1 4 3 Nm0 = (1 )Ns0 u1
= (1 )1 3 4 Nm0 = Ns0 u2 = ()4 3 1 Nm0( 1) = Ns0 u3 = /( 1)4 1 3
Nm0( 1) = Ns0 u4 = 1/(1 )3 1 4 Nm0 = Ns0 u 5 = 1/3 4 1 Nm0 = (
1)Ns0 u6 = ( 1)/
Reprsentation symbolique
Figure 10 Rducteur picyclodal plan lmefforts transmisutorisation
du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement
interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640
15
Parmi les six solutions gnrales, les deux les plus utilises
cor-respondent au train couronne fixe et au train porte-satellite
fixe.
tude dun train couronne fixe et satellite unique (figure 11)
:les trois roues dentes (1), (2) et (3) sont tailles au mme module
etau mme angle de pression. Si, dans une premire valuation,
nousngligeons les dports de dentures, les diamtres
primitifsimposent :
d3 = d1 + 2d2
et la relation de Willis devient :
(m0 s0)/(0 s0) = Z3 /Z1
ou m0 /s0 = (Z3 /Z1) + 1 et Z3 /Z1 = u 1 (30)
Le point faible de la transmission est en A car, si les actions
nor-
males transmises sont gales , les rayons quiva-lents en relation
de Hertz [1] [3] sont trs diffrents. Pour un lmentcommun (2), le
satellite, il y a contact convexo-convexe en A avecune petite roue
de diamtre d1 et contact convexo-concave en B avecune grande
couronne de diamtre d3 . Le coefficient de rapport estde la forme
:
Cr = k /(k + 1) avec k = Z2/Z1 (31)
dans lutilisation des quations davant-projet.
entaire :
Fn12 Fn32=
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
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TouteB 5 640 16
Avec les donnes habituel les : P (kW), Nm0 (tr /min) ,Ns0 Ns0
(tr/min), KB et un choix de matriaux prcis permettentdvaluer 0
(N/mm2) et 0 (N/mm2).
Ltude cinmatique dfinit :
u = Nm0/Ns0 Z3 /Z1 = u 1
et comme Z3 = Z1 + 2Z2 ou Z3/Z1 = 1 + 2Z2 /Z1 :
k = Z2 /Z1 = (u 2)/2 (32)
et Cr = k /(k + 1)
Les deux quations sont de la forme :
et
vues en (5) et (7) et cela avec deux particularits :
et KV (ou les coefficients C3 et CB3) dpendent de la
vitessetangentielle en A : (v t)A = (
le coefficient de proporoue (1) ou (2) :
si k > 1, le solaire (1) normalement et ,
si k < 1, le sateb = d2 = (d2d1)/d1 = (
linconnue dimensionnelle tion * (* = k ) sera utili
Les dcisions dcoulent enormalis, voisin de (d1v /puis Z3 = Z1(u
1) ; Z3 essuprieur 100.
Le choix de Z2 est aussiintressant que Z2 soit prquemment, il
sera choisi invoisin.
Le choix de la valeur de leparagraphe 3.1 car cet entr(1)/(2)
extrieur et (2)/(3) in
a0 = [m0 (Z1 + Za0 = [m0 (Z3 Z
une valeur est choisie dan
Il reste appliquer les relations correspondantes avec 0 = 20o
:
m = 2a0 /(Z1 + Z2) et cos = (m0 cos 0)/m
x1 + x2 = (inv inv 0)(Z1 + Z2)/2 tan 0
(9)
m* = 2a0 /(Z3 Z2) do *x3 x2 = (inv * inv 0)(Z3 Z2)/2 tan 0
(12) (34)
Dans ce cas, le point faible tant en A entre (1) et (2), un
quilibragedes produits dusure peut seffectuer comme au paragraphe
2.1, cequi fixe x1 et x2 ; ensuite, x3 se dduit de ltude de (2) et
(3) maisles produits dusure ne seront pas quilibrs en B, ce qui
nest pasgnant en gnral, les dentures tant beaucoup plus rsistantes
duct de la couronne. Si, par contre, il est souhait dquilibrer
lesproduits dusure en A et en B, il faut travailler sur les
relations (33)et (34), puis sur les relations vues aux paragraphes
2.1 et 2.2. Lesbouclages sont multiples, bass sur la valeur
correcte de a0 et lestests dusure en A et en B. Une application est
traite auparagraphe 6.
tude dun train porte-satellite fixe (figure 12) : ce train
estsouvent utilis pour les grandes vitesses (3 000 8 000 tr/min)
car ilest plus facile quilibrer dynamiquement que le train vu
prcdem-ment ; le porte-satellite de formes complexes est fixe ; de
plus, un
Figure 11 Train couronn
Z1v # 0,7 0,9( )00---------
k 1+( )k
--------------------
1
Z P2 Z V
2---------------------
d1v # 2C1K KV KB0 k / k 1+( )[ ] Z P2 Z
V2------------------------------------------------------------------1/3
Z V2
u 4
reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation
du droit de copie est strictement interdite. Techniques de
lIngnieur, trait Gnie mcanique
m0 s0)d1/2 dans ce cas ;rtion doit correspondre la plus
petite
est le plus petit et b = d1 ; est choisi
llite (2) est le plus petit etk )d1 ,
tant d1, un coefficient fictif de propor-s et .
nsuite, toujours en denture droite : m0Z1v), puis Z1 entier
voisin de (d1v/m0),t un entier non premier absolu sil est
particulier car, si Z2 # (Z3 Z1)/2, il estemier avec Z1 et
premier avec Z3 ; fr-frieur (Z3 Z1)/2, tout en demeurant
ntraxe a0 est beaucoup plus dlicat quauaxe est commun aux deux
engrenagestrieur. Utilisant la mthode classique :
2)/2] + (0 2m0) (8)
2)/2] + (0 2m0) (12) (33)
s lintersection des deux intervalles.
carter en deux parties spares par un joint parallle la semelle
etpassant par laxe gnral permet une surveillance et une
mainte-nance plus faciles.
La relation cinmatique est simple :
Nm0/Ns0 = = |u | = Z3/Z1Gomtriquement, on utilise encore : d3 =
d1 + 2d2.
Le droulement du projet est aussi de la mme forme deuxdiffrences
prs :
k = Z2/Z1 = (u 1)/2
et le choix de est normal si et * = k si k < 1ou u <
3.
Le tableau 2 montre les deux combinaisons possibles de telle
sortequen plaant un seul satellite (2) entre (1) et (3), avec deux
contacts A
et B, on obtient < 1 ( ne sont pas de mme sens) ; parcontre,
en plaant deux satellites en srie (21) et (22), il y a trois
contacts A, B et C et lon obtient > + 1( sont de mmesens) ;
le satellite (22) complmentaire doit tre plus grand que laplus
petite des deux roues (1) ou (21) pour que lengrnement en Areste le
plus faible, donc utilis pour les calculs. Une application
esttraite au paragraphe 6.
e fixe et satellite unique
u 4
Figure 12 Train porte-satellite fixe
x0
k 1 ou u 3
14 et 34
14 et 34
-
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RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
3.4 Rducteur picyclodalsphrique lmentaire
Ainsi quen rducteur picyclodal plan, un groupement de
rouesdentes est utilis mais ce sont des coniques (figure 13). Par
contre,
il y a toujours coaxialit daxe entre lentre et la sortie.
Trois
pices sont guides en rotodes daxe : le plantaire-solaire (1), le
plantaire-couronne (3) et le porte-satellite (4) ; le satel-
lite (2) est guid en rotode daxe . Il y a contacts
ponctuelsentre les dentures en A et B.
La relation de Willis a la mme forme :
(N10 N40)/(N30 N40) = = Z3 /Z1 (27)
et cela avec les mmes discussions et les mmes utilisations. Il y
aaussi deux degrs de mobilit lorsque le bti B0 est distinct
desautres pices.
Lanalyse statique est toujours base sur lisolement du
satellite,analyse simplifie par les dports de dentures utiliss
(mmes cnesprimitifs de taillage et de fonctionnement) ; on obtient,
par analogie :
La gomtrie de coaxialit et de tangence des cnes primitifsimpose
:
1 + 2 2 + 3 = Le module est le mme pour toutes les roues : d1 =
m0Z1 ,
d2 = m0Z2, d3 = m0Z3 et le roulement sans glissement des
cnesprimitifs peut scrire :
soit
Si lon introduit langle 0 du porte-satellite tel que :
0 = 1 + 2 = (2 + 3)lquation (14) a deux critures :
tan 2 = sin 0 /(u1 + cos 0)avec u1 = Z1/Z2 = 24 /14 = sin 1/sin
2
tan 2 = sin ( 0) [u2 + cos ( 0)]
Figure 13 Rducteur picyclodal sphrique
O, x0( )O, x0( )
O, x 24( )
F t12 F t32 C3 C1= = C4 1( )= C1
14 1sin 24 2sin 34 3sin= =
14 Z1 24 Z2 34 Z3= =
Tableau
0 /2
Axes fixes < 1 Cutorisation du Centre franais dexploitation
du droit de copie est strictement interdite. Techniques de
lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 17
avec u2 = Z3 /Z2 = 24 /34 = sin 3 /sin 22 et 0 sont invariants
donc u1 + cos 0 = u2 cos 0soit cos 0 = (u2 u1)/2 = (Z3 Z1)/2Z2
(35)
Une dcision tant prise sur Z1, | | tant impos, Z3 est
dterminpour la cinmatique gnrale. Z2 nintervient pas dans le
rapport ||cinmatique mais, dans ce cas, il a cependant une
influence double :
une premire influence sur les caractristiques gomtriques :1 , 2
, 3 , 0 sont calculables et, pour que le taillage soit
possible,
; une seconde influence sur les dimensions, car le choix de
Z2
et les valeurs des angles interviennent sur lencombrement et
surle volume gnral dengrenage.
Le cas particulier dutilisation dun tel rducteur, en gnral
beau-coup plus cher que le rducteur plan, est dtre capable dassurer
= 1 avec 0 = /2 et Z1 = Z3 beaucoup plus simple quen engre-nage
cylindrique (tableau 3). (0) lmentaire
i /2
3 Diffrentes dispositions en fonction de
0 = /2
ouronne fixe < 1 Axes fixes = 1 Couronne fixe = 1
et 0
-
RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
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TouteB 5 640 18
4. Discussion et analysedes caractristiquesdes engrenages
cylindriques
Dans le cas dun cahier des charges habituel sont prcises
lesvaleurs suivantes : puissance transmise P (kW), vitesse motrice
Nm0 ,vitesse de sortie Ns0 Ns0 , coefficient de service KB et dure
H (h) ;deux relations permettent dvaluer :
le nombre de dents du pignon :
(0,7 0,9 tant le facteur de scurit) ;
le diamtre primitif du pignon :
2C1 = 0 (d1 v)3 Cr KGHle coefficient de rapport Cr dpendant du
type dengrenage lmen-taire choisi.
Que choisir comme nature de matriaux ? Que choisir commerapport
de proportion ? Y a-t-il une limite au rapport u = N10 /N20impos
?
Une premire analyse se traite dans le cas dun rapport u
fixconstant et de coefficients de fonctionnement constants. Ainsi,
lana-lyse dimensionnelle du diamtre du pignon correspond :
(36)
avec d2v = ud1v et (2a0)v = (u + 1) d1v
et signifiant correspon
Ces caractristiques dimcit de taillage des outillagcontrle,
traitement curviennent aussi en encombr
Une deuxime analysela finition et les traitemefabrication :
Une troisime analyseposant, a priori, des roues p
soit
cela intervient sur le prix davec les problmes de tran
Le dernier lment tudier est lintensit de la
composantetangentielle |F t | car elle conditionne tous les organes
auxiliaires delengrenage : arbres en flexion et roulements en
capacit radiale (oucoussinets en rsistance) :
(39)
Si lon dresse un premier bilan, il nous faut retenir que :
lorsque le couple sur le pignon C1 augmente, le volume matire
est directement proportionnel ce couple ; laire de la surface
usineet lintensit de la composante tangentielle augmentent aussi,
maisun peu moins, ainsi que la dimension des roues dentes
etlencombrement gnral, ces derniers beaucoup plus faiblement ;
le choix dun matriau haute rsistance superficielle 0 esten gnral
bnfique, car il rduit considrablement le volume dematire utilis, il
rduit aussi laire de la surface latrale usine doncle prix de
fabrication ; il rduit un peu moins les dimensions etlencombrement
; par contre, la composante tangentielle augmenteavec les
consquences sur les arbres et les guidages ;
le choix dun rapport de proportion = b /d1 nintervient passur le
volume et sur la masse de lengrenage, ce qui est importanten
mcanique gnrale ; il permet de rduire les dimensions
doncladaptation aux moyens de fabrication (capacit des
machines-outils et des fours de traitement) ; il accrot, par
contre, laire de lasurface usine, donc le prix de la ralisation
(important en ce quiconcerne les trs grandes sries avec couple
assez faible, du typesries vhicules automobiles) ; il accrot aussi
lintensit de lacomposante tangentielle donc les dimensions des
lments deguidage.
Z1v 0,7 0,9( )0KGF
0CrKGH---------------------------=
d1v C 11/3 0
1/3 1/3
Slat d1=
S lat d 12
Vol d 12b/4( ) +=
Remarque : un matriau haute rsistance superficielleconduit un
nombre de dents du pignon assez rduit (Z1 = 15 25), un rapport de
conduite apparente rduit ( = 1,4 1,6), des produits dusure
importants aux grandes vitesses. Les
F t 2C1/d1 soit F t C 12/3 0
1/31/3= reproduction sans autorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
d .
ensionnelles interviennent dans la capa-es de fabrication
(taillage, rectification,, traitement en surface, etc.), elles
inter-ement (sur site et en transport).
permet dvaluer la surface de taillage,nts, laire intervenant
dans le prix de
(37)
dfinit un coefficient de volume en sup-leines :
(38)
u matriau, sur linertie et sur la massesport et de
manutention.
La transmission doit ensuite sadapter au rapport de
transmissiongnral : Nm0 /Ns0 = i et au couple support en petite
vitesse Cs0 enrducteur de vitesse :
un rapport i important risque dimposer une dimension
inac-ceptable pour la roue et pour le carter ; un groupement en
srie derducteurs lmentaires (figure 14a) est envisager ( 5) ;
un couple important Cs en petite vitesse conduit une dimen-sion
de roue et de carter trop importante ; un groupement en paral-lle
(figure 14b ), divisant les puissances, permet de rduire
lesdimensions ( 6) ;
si, enfin, le rapport i et le couple Cs augmentent
simultanment,un groupement mixte ou compos (figure 14c) savre
ncessairepour raliser une transmission de dimensions acceptables (
7).
b d2b+ d 12 1 u+( )=
ou Slat C 12/3 0
2/3 1/3
d 22b/4( ) /4( )d 13 1 u2+( )=
Vol C1 01
matriels de traitement superficiel et de finition limitent
lesdimensions des diamtres de lordre de 1 1,5 m.
-
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RDUCTEURS DE VITESSE ENGRENAGES
Toute reproduction sans a
5. Groupement en sde rducteurs l
Ce type de groupement a surtout pour busation de rapports de
rduction trs implencombrement et la masse. Le schma dsapplique
aussi bien un rducteur qu un mavec :
Nm0 /Ns0 = ir ou Ns0 /Nm0 = im
Si chaque rducteur lmentaire a un rappvaleur ui (i 1, 2, ...,
n), la loi cinmatique
i = u1u2u3 ... un
le rapport global est gal au produit des rap
Si, en tude dynamique, on admet un ren
Chaque lment de base (figure 15) a une en rducteur de vitesse
:
(i + 1)0 = i 0 /ui et Ci +
en multiplicateur de vitesse :
(i + 1)0 = i 0 ui et Ci +
Si, par contre, il est tenu compte dun redant lengrenage
lmentaire de rang i, lvalable sil ny a pas arc-boutement ; la
losimple : Ps = Pm(1 2 3 ... i ... n ), et la lollment de base de
rang i devient :
en rducteur :
(i + 1)0 = i0 /ui et Ci +
Pm Cm m0 Ps C s s0= = = =utorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique B 5 640 19
riementaires
t de permettre la rali-ortants en optimisante structure (figure
15)ultiplicateur de vitesse
avec i > 1
ort de transmission descrit :
(40)
ports lmentaires.
dement de i = 1 :
loi de comportement :
1 = Ciui
1 = Ci /ui
ndement i correspon-a loi cinmatique restei dynamique est assezi
de comportement de
1 = Ciuii
en multiplicateur :
(i + 1)0 = i 0 ui et Ci + 1 = (Ci i )/ui
Analyse prliminaire : cest la comparaison, dans le cas
dunrducteur de vitesse, entre une solution A nutilisant quun
seulengrenage lmentaire cylindrique extrieur et une solution B
uti-lisant deux engrenages cylindriques extrieurs placs en srie.
Lerapport de rduction i = m0 / s0 , la nature des matriaux, la
puis-sance transmettre, les vitesses et les conditions gnrales
dutili-sation sont les mmes dans les deux cas (figure 16).
La solution A est trs classique :
u = m0/s0 = d2/d1 = Z2 /Z1 et = b /d1 avec C1 = P /m0la relation
de prdtermination, vue au paragraphe 2.1, scrit :
Figure 14 Diffrents types de groupements de rducteurs lmentaires
: srie, parallleet compos
Pi C i i0=
Figure 15 Groupement en srie de rducteurs lmentaires
Ltude a pour but de dterminer le nombre n dlments debase placer
en srie, puis de prciser la forme dagencementsouhaitable en ce qui
concerne les valeurs des rapports inter-mdiaires ui .
2C1 0d 13 u / u 1+( )[ ]KGH et, en simplifiant, d 13 u 1+(
)/u=
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TouteB 5 640 20
car u est la seule variable, ce qui nous permet dexprimer les
varia-tions des diffrentes caractristiques :
dimensions linaires (encombrement, capacit des
machines,transport, etc.) :
d1 (u + 1)1/3u 1/3 d2 = ud1 (u + 1)
1/3u 2/3
et lentraxe devient :
2a0 = d1 (u + 1) (u + 1)4/3u 1/3
aire des surfaces latrales (prix de lusinage, finition,
traitementde surface, etc.) :
volume gnral en considrant les roues pleines (prix de lamatire,
inertie, masse, etc.) :
La solution B est tout aussi classique avec les particularits
:
= b1/d11 = b2/d12 u1 = m0/ i0 = d21/d11u2 = i0 /s0 = d22/d12
i = u1u2 et, si le rendemen
P1 = Cm
ce qui nous donne :
et :
La comparaison principaque gnrale, il conditionn
do les deux graphes de l
Une optimisation du volume en solution B consiste annuler
ladrive dKV2 /du1, ce qui revient rsoudre lquation :
(42)
soit u1 # 7,25 pour i = 30 (KV1 = 931, KV2 = 224)
u1 # 2,80 pour i = 8 (KV1 = 73, KV 2 = 47)
S d 12 u 1+( ) Slat u 1+( )5/3u 2/3 =
V /4( )d 13 u2 1+( ) Vol u 1+( ) u 2 1+( )/u=
2Cm 0d 113 u1/ u1([=
2Ci 2u1C1 u10d 123
= =
en solution A, le coefKV1 u 1+( ) u2(=
en solution B :
K
V
2
u
1
1
+
( )
u
12
+
([=e
u 13 i 1+( ) u 12i+ i i 2 1+( )/ 2= reproduction sans
autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est
strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie
mcanique
t est trs voisin de 1 :
m0 = Ci i0 = Css0
le porte sur le volume car, en mcani-e le prix de la matire
:
(41)
a figure 17.
1+ )]KGH d o d 113 u1 1+( )/u1
u2 / u2 1+( )[ ]KGH et d 123 u1 u2 1+( )/u2
ficient de volume correspond : 1+ )/u et u i m0 /s0= =
1)
/
u
1
]
u
1
u
2
1
+
( )
u
22
1
+
( )
/
u
2
[ ]
+
u
1
u
2
i
=
t
Figure 16 Comparaison entre deux groupements en srie : solutions
A et B
Figure 17 Coefficient de volumeen fonction du rapport
u
pour les deux solutions A et B
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Une
optimisation sur lencombrement gnral
peut aussi trerecherche :
en solution A, elle correspond
K
L
1
= (
u
+ 1)4/3u 1/3 (aveclentraxe 2a0 tudi ci-dessus) ;
en solution B, il est possible destimer lencombrement (2a02 +
a01) en bonne approximation, ce qui correspond, en fonctiondes
rapports intermdiaires u1 et u2, avec u1u2 = i :
et, pour dKL2 /du1 = 0 :
(43)
ainsi, par exemple :
u1 # 8 pour i = 30 (KL1 = 31,3, KL2 = 15)
u1 # 3,3 pour i = 8 (KL1 = 9,4, KL2 = 8,1)
Les solutions aboutissant sur les valeurs de u1 au volume
minimalet lencombrement minimal correspondent bien. Si lon
souhaiteobtenir des surfaces usines daire minimale, les solutions
sont dif-frentes et donc tudier.
Pour des valeurs i plus nombreuses et si, au prix de lusinage
des roues dentes, on ajoauxiliaires tels que les arbres et les
guidagnombre augmente lorsquon passe de la solil est possible de
tirer quelques concdutilisation.
En engrenage cylindrique, le train lmlmentaire) a un rapport qui
ne doit pas d
Pour raliser une rduction ou une multiplirieur cette valeur u 0
(i > u0), il est ncessairelmentaires groups en srie, le nombre n
dayant une valeur minimale respectant la rel
Lagencement ou lorganisation des diffredoit permettre dassurer
une optimisation volume et en prix. En gnral, la solution conports
importants en grande vitesse (GV) et den petite vitesse (PV), soit
:
uGV = u1 > u2 > u3 > ... > un
en vitant de dpasser la valeur maximale
Ltude mathmatique a t traite (solutinages en srie et avec des
roues pleines. Ldlicate pour n = 3 ou 4 (gnralement, on mais elle
peut tre traite de proche en prochmisation souhaite.
Ltude peut aussi tre organise avec deroues vides lorsque le
rapport lmentaircertains cas de couples levs ; lpaisseur dforme e =
km0 avec k = 5 8, le volume de
mais
cela est aussi valable dans le cas, peu frquenintrieure.
Solutions en gomtrie de paralllismpour lengrenage cylindrique
utilis en sschmas des figures 18a et b . Dans la pluptout pour ceux
de grandes dimensions, les ax
plan qui est utilis comme plan de joint entre les deux parties
ducarter, ce qui permet un montage et un dmontage aiss
parsous-ensembles, ainsi quune maintenance facile. Lorsque le
rduc-teur est de petites dimensions, dans le but de rduire
lencombre-ment, lensemble peut senrouler autour de laxe PV (figure
18c) ouautour de laxe GV ; le joint assurant le montage des
sous-ensemblesest perpendiculaire aux axes (il peut mme y avoir
plusieurs jointsperpendiculaires aux axes).
Les catalogues des constructeurs offrent lventail suivant :n = 2
pour i = (6 ou 8) (25 ou 30)n = 3 pour i = (20 ou 30) (100 ou 160)n
= 4 pour i = (100 ou 125) (500 ou 800)n = 5 pour i = 560 2 500n = 6
(cas trs particulier) permet daboutir
i u1+( )4/3i 1/3 u 1 2/3 u1 1+( )4/3u 1 1/3/2+ KL2=
4 i u1( )3u1 1( )
--------------------------- u1 1+( )iu1i u1+(
)--------------------------------1/3
=
u 0n 1( ) i u 0
n< uPV ;
lengrenage conique en GV est suprieure lauGV > ui conique ;
ui # uPV ;
lengrenage conique uGV > ui > uPV , en gnra
x m0 , x s0( ) 0=
O10 x1(
Figure 19 Rducteurs cylindroconiques : solutions classiquesen
gomtrie dangularit reproduction sans autorisation du Centre franais
dexploitation du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
ages cylindriques (pour des raisons de
passer en engrenage lmentaire est
V sont plus importants que les rapports
placer lengrenage conique du ct obles (ct GV) et cela sans que
la vitesseur limite tolre (10 20 m/s suivant le
ements classiques sont schmatissosition de lengrenage conique et
lesrapports des diffrents trains. Trs fr-nt dans un mme plan, le
plan horizontal maintenance aiss, le plan vertical tant
tie est vertical. Des solutions avec arbres majorit, en faible
puissance et arbreslus rarement, en forte puissance et arbre
nd celui qui a t vu avec les arbres
(16 ou 25)
ou 500)
ques exemples de rducteurs avec grou-
, sont noter :e deux arbres quelconques telle que 2) est
toujours ralisable en rducteur
en utilisant, ene et un ou plusieurs engrenages cylin-
rendement suprieur celui obtenu par
utilisation de lengrenage roue et vis ; seul lencombrement
risquedtre un peu plus important pour les transmissions de rapport
i trslev (figure 20) ;
dans certains cas, trs peu frquents, deux engrenagesconiques
placs en srie peuvent tre utiliss (figure 22) lorsquelentraxe a0 a
une trs grande valeur vis--vis de la dimension desengrenages.
Solution en gomtrie de coaxialit : il reste assurer la go-mtrie
de coaxialit : , les arbresdentre et de sortie sont coaxiaux. Deux
lments de base inter-viennent : le rducteur coaxial arbre
intermdiaire ( 3.2, figure 7)et le rducteur picyclodal plan
lmentaire [( 3.3), figures 11et 12].
Seul le rducteur coaxial arbre intermdiaire peut tre utilisen
groupement srie et les cas sont peu frquents, si ce nest enbotes de
vitesses (figure 23). Compte tenu des relations tablies
(25) et u0 = 6 7, le rducteur coaxialne permet dobtenir quune
rduction limite uc0 # 20 (avec u1 = 7et u2 = 3). On ne dpasse pas n
= 2 dans ce cas de groupement.
Les trains picyclodaux plans groups en srie (figure 24)
sontsurtout utiliss en groupements complexes, que nous aborderonsau
paragraphe 7.1.
Notons, enfin, quun groupement mixte peut tre envisag,faisant
intervenir engrenage cylindrique, engrenage conique etengrenage
coaxial arbre intermdiaire (figure 25).
rcis dans le cas dun rducteur cylindro- en srie, permettant
dassurer un rapport i
PV :est plac en GV si et u GV # ui ;
est plac en inter si la vitesse tangentielle vitesse limite et
si , puis
est plac en PV si vt inter > v t lim avecl, en petite vitesse
: v t < vt lim.
v t v lim
v t inter v t lim
0), O20 x20( ) a0, 0( )=
Figure 20 Rducteur cylindroconique avec arbres enrouls
Om0 xm0( ), Os0 xs0( ) 0, 0( )=
u1 1+( )4/u 12 u2 1+( )4/u2=
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Figure 21 Rducteurs avec groupement en
Figure 22 Deux engrenages coniques en srie avec un entraxe
importantutorisation du Centre franais dexploitation du droit de
copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait
Gnie mcanique B 5 640 23
srie
Figure 23 Deux rducteurs coaxiaux arbre intermdiaire en srie
Figure 24 Deux trains picyclodaux plans en srie
Prenons lexemple dun engrenage cylindrique en GV si la
vitessetangentielle est assez leve (v t > 10 20 m/s et uGV = 7),
un engre-nage conique en intermdiaire si suivant le type dedenture
(u i = 5) et un engrenage cylindrique coaxial en PV tel queuPV = 8
(uPV1 = 4 et uPV2 = 2) pour rduire lencombrement ; le rapportainsi
obtenu est de i = 280 correspondant bien un groupementde n = 4
trains en srie.
v t 10 20 m/s
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TouteB 5 640 24
6. Groupement en paralllede rduct
Si le groupement en sritants, lencombrement, mdes carters est
trs dissymaugmente. Le groupement eet couple dans le but de
rensembles plus compacts. forme de la figure 26.
La premire loi, dordre
i = Nm0 /Ns0 = u1 = u2
Tous les rapports interm
La seconde loi, dordre d si les rendements inter
si lon nomme P1 , P2
, ...,
P
n
teurs lmentaires 1, 2, ...,
P
m
=
P
1
+
P
2
+
P
3
+ ...
par contre, rien ne permet,
puissance lmentaire qui
si lon tient compte dsances dentre tant
P
1
,
P
la perte de puissance scr
et lon obtient :
Chaque puissance Pi daque (positive ou ngative)peut qutre
positive, dorelation (49).
Il est remarquer que si, pbien tudie, toutes les puiil y a
division de puissanc
est correct (proche de 1). Par contre, si certaines puissances
sontpositives et dautres sont ngatives parmi les Pi , Ps restant
positive,il y a circulation de puissance et la somme des pertes P
devientimportante ; le rendement global est beaucoup plus faible
que dans
le cas prcdent ( la limite, , toute la puissance est
Figure 25 Groupement mixte dengrenages cylindrique,conique et
coaxial arbre intermdiaire
Pm P1 P+=
Ps =
Figure 26 Groupement en parallle de rducteurs lmentaires
Pm Pi ii n=
=
reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation
du droit de copie est strictement interdite.
Techniques de lIngnieur, trait Gnie mcanique
eurs lmentaires
e permet dobtenir des rapports
i
impor-me optimis, est assez grand et la formetrique surtout
lorsque le couple en PV
n parallle essaye de partager puissanceduire les dimensions et
daboutir des
Le schma de structure obtenu prend la
cinmatique,
est simple mais prcise :
= ... =
u
n
en rducteur de vitesse
(47)
diaires sont
parfaitement
gaux.
ynamique
, est plus complexe :mdiaires
1
,
2
, ...,
n
sont voisins de 1,
les puissances transmises par les rduc-n, il est vident que
:
+ Pn = Ps en valeurs algbriques
a priori, de connatre la valeur de chaquepeut tre positive,
ngative ou nulle ;
es rendements intermdiaires, les puis-2 , P3 , ..., Pi , ...Pn ,
on a :
(48)
it :
(49)
ns la relation (48) est en valeur algbri- ; par contre, la perte
de puissance ne la valeur absolue |Pi | utilise dans la
ar une organisation interne du rducteurssances intermdiaires Pi
sont positives,e et le rendement global G = |Ps|/ |Pm|
transforme en chaleur !).
Une analyse prliminaire