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160
LECCIN 7: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN REDUCIBLES A HOMOGNEAS.
JUSTIFICACIN
En esta leccin centraremos nuestro estudio en aquellas ecuaciones
diferenciales homogneas mediante la aplicacin de operaciones elementales y ciertos
cambios de variable, en cuyo caso se dir que son ecuaciones diferenciales
reducibles a homogneas.
Dichas ecuaciones diferenciales tienen la forma:
(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0
donde
a1x + b1y + c1 = 0 y a2x + b2y + c2 = 0
son rectas.
Con base en la posicin relativa de dos rectas en el plano se estudiarn dos
casos, cuando las rectas se cortan (tienen un punto en comn) y cuando las rectas son
paralelas.
OBJETIVOS:
El estudiante podr:
1- Identificar si la ecuacin diferencial es reducible a homognea.
2- Transformar la ecuacin diferencial dada en una ecuacin diferencial
homognea.
-
161
3- Obtener la solucin general de ecuaciones diferenciales reducibles a
homogneas.
PROCEDIMIENTO DE ENSEANZA Y APRENDIZAJE
INTRODUCCIN:
En la Leccin 6 Qu estudiamos?
c Estudiamos las funciones homogneas.
Pueden decirme cul es el criterio por medio del cual se establece que una
funcin dada es homognea con grado n de homogeneidad?
c Una funcin F(x,y) ser homognea de grado n de homogeneidad si se satisface
la igualdad F(x, y) = n F(x,y).
Muy bien Qu ms estudiamos?
c Estudiamos una proposicin que cumple toda funcin homognea, la cual dice
que si F(x,y) es una funcin homognea con grado n de homogeneidad entonces
F(x,y) = xn f
x
y
Podran darme un ejemplo de una funcin homognea e indicar el grado de
homogeneidad?
-
162
c Por ejemplo, F(x,y) = x3y 3x2y2 2xy3, es una funcin homognea de grado
4 de homogeneidad.
Muy bien. Si le aplican la proposicin a la funcin F(x,y) del ejemplo Cmo
se transforma?
c Se transforma en:
F(x,y) = x4
32 23
xy
xy
xy
Correcto Qu otro aspecto estudiamos?
c Estudiamos la definicin de ecuacin diferencial homognea.
Exacto Qu caracterstica dijimos que deban tener las funciones P(x,y) y
Q(x,y) para que la ecuacin diferencial fuese homognea?
c Dijimos que para que la ecuacin diferencial P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 fuese
homognea, las funciones P(x,y), Q(x,y) deban ser homogneas con igual grado de
homogeneidad.
Muy bien. Podran darme algn ejemplo de una ecuacin diferencial
homognea?
-
163
c Por ejemplo, (3x2y + 2y3) dx + (5y2x 4x3) dy = 0 es una ecuacin diferencial
homognea, ya que P(x,y) = 3x2y + 2y3 , Q(x1y) = 5y2x 4x3 son ambas funciones
homogneas con grado 3 de homogeneidad.
Excelente Qu otro aspecto tratamos?
c Vimos cuales eran los pasos que deban seguirse para obtener la solucin
general de una ecuacin diferencial homognea.
Exactamente. Podran enumerarme esos pasos?
c Para obtener la solucin general de la ecuacin diferencial P(x,y) dx + Q (x,y) dy = 0
1- Se debe chequear que las funciones P(x,y) , Q(x,y) son homogneas con igual
grado de homogeneidad.
2- Si el grado de homogeneidad de ambas funciones es n, se aplica la
proposicin, es decir se saca factor comn xn (o yn)
3- Se multiplica la ecuacin por nx1
ny1tambino obtenindose:
0dyxyqdx
xyp =
+
=
+
0dyyxqdx
yxp
4- Ya que p y q quedan dependiendo de
xy
yxdeo se efecta el cambio
de variable
-
164
+===
vdxxdvdy
vxyxy
v
+===
vdyydvdx
vyxyxv
resultando
p(v) dx + q(v) (xdv + vdx) = 0 (o p(v) (ydv + vdy) + q(v) dy = 0)
5- Sacamos factor comn dx (o dy)
[p(v) + v q(v)] dx + x q(v) dv = 0 (o [vp(v) + q(v)] dy + y p(v) dv = 0
6- Se multiplica la ecuacin por el factor
q(v)] v x[p(v)1+
+ q(v)] y[vp(v)1o
para obtener
0dv)v(vq)v(p
)v(qx
dx =++
=++ 0dv)v(q)v(vp
)v(py
dyo
que es una ecuacin diferencial de variables separadas.
7- Se integra cada trmino de la ecuacin de variables separadas obtenida en el
paso 6.
8- Se resuelven las integrales.
9- Se devuelven los cambios de variables efectuados.
10- De ser posible se despeja y.
Ecuacin Diferencial Ordinaria de primer orden reducible a homognea
-
165
Consideren la ecuacin diferencial
(2x + 5y + 1) dx (4x + y 1) dy = 0
Qu tipo de lugar geomtrico representan las ecuaciones
2x + 5y + 1 = 0 y 4x + y 1 = 0
c Son rectas en el plano.
Correcto. Qu necesitan identificar en cada recta para poder establecer la
posicin relativa entre ellas?
c Necesitamos conocer la pendiente de las rectas, sus vectores directores o sus
vectores normales.
Exacto. Cul es la pendiente para cada una de las rectas del ejemplo? Cmo
las obtienen?
c Las pendientes las obtenemos despejando y en cada ecuacin. As:
y = - 52 x -
51 y = - 4x + 1
Por lo tanto, la pendiente de la primera recta, llammosla m1, es m1 = - 52 ; la
pendiente de la segunda recta, llammosla m2, es m2 = - 4.
Bien. Cul ser el vector normal y el vector director en cada una de ellas?
c El vector normal es el que tiene por coordenadas los coeficientes de x e y
respectivamente. As, el vector normal para la primera recta, llammoslo N1 es,
-
166
N1 = (2,5); el vector normal para la segunda recta, llammoslo N2, es N2 = (4,1).
Respectivamente los vectores directores sern, L1 = (5, - 2) y L2 = (1, - 4).
Muy bien. Con toda esa informacin Cul es entonces la posicin relativa
entre las dos rectas y por qu?
c Las rectas no son paralelas, se cortan, ya que sus pendientes son distintas y sus
vectores normales y directores no son proporcionales entre s.
Exactamente. Qu significa que las rectas se cortan?
c Significa que existe un punto de coordenadas (h,k) por donde pasan ambas
rectas, es decir, el punto (h,k) es el punto de interseccin de las dos rectas.
Correcto. Debemos determinar las coordenadas de dicho punto Cmo lo
hacemos?
c Ya que el punto (h, k) es comn a ambas rectas, satisface sus ecuaciones, es
decir, 2h +5k + 1 = 0 y 4h + k 1 = 0. Por lo tanto, para obtener los valores de h y
k bastar con resolver el sistema de ecuaciones.
=+=++01kh401k5h2
Exacto. Cmo resuelven el sistema?
c Si la segunda ecuacin la multiplicamos por (-5) y sumamos con la primera
ecuacin.
-
167
=+=+
05k5h2001k5h2
-18h + 6 = 0 h = 1/3
el valor obtenido de h se sustituye en la ecuacin 4h + k 1 = 0 y se despeja k,
obtenindose k = 1 4 31 = -
31 .
Muy bien. Cules son entonces las coordenadas del punto de interseccin?
Las coordenadas del punto de interseccin son (h,k) =
31,
31
Lo que plantea ahora es realizar una traslacin de ejes al punto
31,
31
Recuerdan cmo debe hacerse eso?
Se hace a travs del cambio de variables
+=+=
kvyhux
==
=+=
dvdy31vy
dudx31ux
Correcto. Con este cambio de variable Cmo se transforma la ecuacin
diferencial?
La ecuacin diferencial se transforma en:
+
+
+ 131v5
31u2 du -
+
+ 1
31v5
31u4 dv = 0
esto es, (2u + 5v) du (4u + v) dv = 0
-
168
La ecuacin diferencial obtenida De cul de los tipos de ecuaciones
diferenciales estudiadas, es y por qu?
La ecuacin diferencial obtenida es una ecuacin diferencial homognea, ya que las funciones
F(u,v) = 2u + 5v G(u,v) = 4u + v
son homogneas con grado 1 de homogeneidad.
Excelente. Qu paso debern seguir ahora?
Aplicarles la proposicin a las funciones F(u,v) y G(u,v). Esto es,
F(u,v) = u
+uv52 G(u,v) = u
+
uv4
Si sustituyen este resultado en la ecuacin diferencial Qu obtienen?
Al sustituir en la ecuacin diferencial obtenemos: u
+
uv52 du u
+
uv4 dv = 0
Qu paso sigue?
Multiplicar por u1 (u 0), para obtener
+uv52 du u
+
uv4 dv = 0
Qu hacen ahora?
Ahora debemos realizar el cambio de variable.
-
169
+===
duzdzudvzuvuvz
Cmo se transforma la ecuacin diferencial con este cambio?
La ecuacin diferencial queda: (2 + 5z) du (4 + z) (udz + zdu) = 0
Qu deben hacer ahora ?
Debemos sacar su factor comn, resultando: [2 + 5z (4 + z) z] du u (4 + z) dz = 0
o equivalentemente
(- z2 + z +2) du u (4 + z) dz = 0
Qu deben hacer a continuacin?
Debemos separar las variables, multiplicando por el factor 2) z z (-u
12 ++
obteniendo:
0dz 2)- z (z
z4u
du2 =
++
Muy bien. Qu tipo de ecuacin obtuvieron?
Obtuvimos una ecuacin diferencial de variables separadas.
Exacto. Cul es el siguiente paso?
-
170
El siguiente paso es integrar cada trmino Cdz
2zzz4
udu
2 =++ (#)
Cmo resuelven udu ?
Es inmediata, udu = ln |u|
Correcto. Cmo resuelven dz2zz
z42 + ?
Factorizamos el polinomio - z2 + z +2 = (z 2) (z + 1) y aplicamos el mtodo de descomposicin en fracciones parciales, esto es:
1zB
2zA
2zzz4
2 ++=+
A y B constantes a determinar
Qu paso sigue?
Multiplicamos a ambos lados por (z 2) (z + 1) obteniendo: 4 + z = (z + 1) A + (z 2) B 4 + z = (A + B) z + (A 2B).
Qu deben hacer ahora?
Se deben comparar los coeficientes de los trminos a ambos lados de la igualdad, resultando que:
-
171
==+
)2(4B2A)1(1BA
Restando (1) y (2) queda 3B = -3, es decir, B = -1. De (1) despejamos A,
obteniendo A = 1 B, por lo tanto, A = 2.
Qu hacen ahora con los valores que obtuvieron para A y B?
Lo sustituimos en la descomposicin en fracciones parciales, quedando:
1z1
2z2
2zzz4
2 ++=
+
Muy bien. Cul es el siguiente paso?
Integrar cada trmino respecto de x: dz
2zzz4
2 + = 2 + 1zdz2zdz
Cmo resuelven las integrales?
Son inmediatas, ya que:
= 2z )2z(d2zdz = ln |z 2|
=++=+ 1z )1z(d1zdz ln |z + 1|
Cul es entones el resultado de dz2zz
z42 + ?
-
172
El resultado es dz
2zzz4
2 + = 2 ln |z 2| - ln |z + 1|
Muy bien. Qu deben hacer ahora?
Sumar los resultados de las integrales e igualar a la constante C (es decir, sustituir en (#))
ln |u| + 2 ln |z 2| - ln |z + 1| = C
Es esta la solucin de la ecuacin diferencial que estamos resolviendo?
No. Hay que devolver los cambios de variables.
Correcto. Hagmoslo Quin es u y quin es z en funcin de x e y?
En el primer cambio de variable
+=+==
==+=
31v3
31yv
31vy
31x3
31xu
31ux
en el segundo cambio de variable
z = uv z =
3131
+
x
y =
1313
+
xy
Por lo tanto, el resultado queda
-
173
ln 3
1x3 + 2 ln 21313
+xy - ln 1
1313 +
+xy = C
o equivalentemente
ln 3
13 x + 2 ln 13
363++
xxy - ln
13133
+x
xy = C
Podr simplificarse ms esta solucin? Cmo lo haran?
Si se puede simplificar ms, aplicando las propiedades de logaritmo, es decir,
ln
+
++
1333
13363
313 2
xxyx
xyx
= C
aplicando "e" a ambos lados:
)(3)13(
)13()12(3
313
2
22
xyx
xxyx
+
++
= eC
simplificando, resulta:
( )k
xy1x2y 2 =+
++
esto es, (y + 2x + 1)2 = k |y + x|
Qu concluyen entonces?
Concluimos que (y + 2x + 1)2 = k |y + x| es la solucin general de la ecuacin diferencial (2x + 5y + 1) dx (4x + y 1) dy = 0
-
174
Abran sus guas en la pgina 29 y leamos la informacin que all aparece.
CASO 1: LA ECUACIN DIFERENCIAL TIENE LA FORMA
(a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2) dy = 0
CON a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 RECTAS QUE SE CORTAN,
Este tipo de ecuacin diferencial es reducible a homognea. Para
transformar dicha ecuaci nea se
deben realizar los siguientes
1- Obtener las coordenad e las dos
rectas, es decir, resolver el s
2- Realizar el cambio de va
=+==+=
dvdykvydudxhux
e
e
P
3- Resolver la ecuacin diferencial homognea que resulta luego de realizado el cambio de variables
4- Devolver los cambios de variables 5- De ser posible despejar "y"
Ahora van a disponer de diez minutos para resolver el Problema 1 que aparec
n sus guas en la pgina 29 ROBLEMA 1:
Obtenga la solucin genn en una ecuacin diferencial homog
pasos:
as del punto (h,k) de interseccin entr
istema de ecuaciones
=++=++
0ckbha0ckbha
222
111
riables eral de la ecuacin diferencial:
-
175
5y2x31y3x2
dxdy
++=
Revisemos que procedimientos utilizaron para resolver el Problema 1.
Qu es lo primero que deben hacer?
Escribir la ecuacin diferencial de la forma: (a1x + b1y + c1) dx + (a2x + b2y + c2 )= 0
Muy bien Cmo queda entonces la ecuacin diferencial?
La ecuacin diferencial queda de la forma: (2x + 3y + 1) dx + (2y 3x + 5) dy = 0
Correcto. Cul es el siguiente paso?
Determinar la posicin relativa entre las rectas 2x + 3y + 1 = 0 2y 3x + 5 = 0
Cmo determinar la posicin relativa?
Buscando las pendientes o los vectores normales.
Cmo hayan las pendientes de las rectas?
Despejando y en cada una de las ecuaciones, obteniendo
-
176
y = - 32 -
31 y =
23 x -
25
as la pendiente de la primera recta es m1 = - 32 y la pendiente de la segunda recta es
m2 = 23
Qu conclusin obtienen sobre la posicin relativa de las rectas?
Que como m1 m2, entonces las rectas se cortan.
Muy bien. Qu debern hacer a continuacin?
Debemos buscar las coordenadas (h,k) del punto de interseccin entre las dos rectas, para lo cual resolvemos el sistema de ecuaciones:
=++=++
)2(05k2h3)1(01k3h2
Cmo resuelven el sistema?
La ecuacin (1) la multiplicamos por 3 y la ecuacin (2) la multiplicamos por 2, luego sumamos las dos ecuaciones que resultan:
=++=++
010k4h603k9h6
13k +13 = 0 k = 1
Lograron obtener el valor de k, Cmo obtienen el valor de h?
Despejando h de la ecuacin (1). As,
-
177
h = 2
k31
Sustituyendo el valor de k = -1, resulta h = 1.
Muy bien. Luego que ya han conseguido las coordenadas del punto de
interseccin Qu debern hacer?
Debemos realizar un cambio de variables
+=+=
kvyhux
===+=
dvdy1vydudx1ux
Cmo les queda la ecuacin diferencial al sustituir el cambio de variables?
La ecuacin diferencial queda: [2(u + 1) + 3(v 1) + 1] du + [2(v - 1) + 3(u + 1) + 5] dv = 0
o equivalentemente:
(2u + 3v) du + (2v - 3u) dv = 0
Esa ltima ecuacin diferencial obtenida de qu tipo es?
Es una ecuacin diferencial homognea.
Por qu?
Porque las funciones (2u + 3v) y (2v 3u) son homogneas con grado 1 de homogeneidad.
Exactamente. Qu hacen ahora?
-
178
Aplicamos la proposicin a ambas funciones, resultando: u
+
uv32 du + u
3
uv2 dv = 0 (u 0)
Cul es el siguiente paso?
Multiplicar la ecuacin diferencial por u1 (u 0) para obtener
+uv32 du +
3
uv2 dv = 0
De quin dependen ahora las funciones que aparecen en la ecuacin
diferencial?
Ambas dependen de uv
Qu se sugiere hacer?
Se sugiere hacer el cambio de variables
+===
duzdzudv
zuvuvz
Al sustituir este nuevo cambio de variables cmo se transforma la ecuacin
diferencial?
La ecuacin diferencial se transforma en:
-
179
(2 + 3z) du + (2z 3) (udz + zdu) = 0
Bien. Qu debern hacer ahora ?
Debemos sacar factor comn du [2 + 3z + z (2z 3)] du + u (2z 3) dz = 0
o equivalentemente:
(2z2 + 2) du + u (2z 3) dz = 0
Qu tipo de ecuacin diferencial obtuvieron?
Obtuvimos una ecuacin diferencial de variable separable. Cmo separan las variables?
Multiplicando por el factor 2) z z (-u
12 ++
Exacto. Cmo les queda la ecuacin?
La ecuacin queda 0dz
2z23z2
udu
2 =++
que es la ecuacin de variables separadas.
Luego de separadas las variables Cul es el siguiente paso?
El siguiente paso es integrar cada trmino
udu + + 2z2 3z2 2 dz = C (#)
-
180
Cmo resuelven udu ?
Esa integral es inmediata: udu = ln |u|
Cmo resuelven + 2z2 3z2 2 dz = 0
Separamos en dos integrales:
+ 2z2 3z2 2 dz = + )1z(2 z22 dz - + )1z(2 dz2 =
21 ++ )1z( )1z(d 2
2
- 21 +1z dz2
= 21 ln |z2 + 1| -
21 arctg z
Resueltas las integrales Qu deben hacer?
Debemos sustituir los resultados de las integrales en (#), obteniendo: ln |u| +
21 ln |z2 + 1| -
21 arctg z = C
Correcto. Qu les falta ahora?
Falta devolver los cambios de variables.
+===+=
1yv1vy1xu1ux
z = uv =
11
+
xy
-
181
sustituyendo queda:
ln | x -1| + 21 ln 1
1x1y 2 +
+ -
21 arctg
+
1x1y = C
Ser posible simplificar sta ltima ecuacin?
Si. Multiplicando por 2 y luego aplicando propiedades de logaritmo resulta:
ln ( ) ( ) ( )
++ 222
2
)1x(1x1y1x = 2 C + arctg
+
1x1y
simplificando y aplicando "e" a ambos lados
y2 + x2 + 2y 2x + 2 = k
+
1x1yarctg
e
Qu concluyen entonces?
Concluimos que la funcin y2 + x2 + 2y 2x + 2 = k
+
1x1yarctg
e es la solucin
diferencial 5y2x31y3x2
dxdy
++=
El Problema 2 que aparece en sus guas, les queda como ejercicio a fin de que
refuercen los conocimientos, acerca de los aspectos tratados hasta el momento.
PROBLEMA 2:
Obtenga la solucin general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
1- (3x y + a) y1 = 10 - 2x + 2y
-
182
2- (2x + 3y + 4) dx = (x + y 1) dy
3- (2x + 2y) dx = (4x + 6y + 1) dy
4- 1yx5y3x
dxdy
+=
5- (3x + y + 1) y1 = x + 3y 1
6- 1yx3yx
dxdy
++=
7- yx
6yxdxdy
+=
8- (2x - 5y + 3) dx - (2x + 4y 6) dy = 0
9- (x y 1) + (4y + x 1) y1 = 0
10- (x + y) dx + (x y) dy = 0
